1.4. Rung˙es ir Kuto metodas - techmat.vgtu.lt

1.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS 25endfor i = 1 to MK j [i] = f i (t + τ n+1 a j , Y N)end forend for4. Vektoriaus Y n+1 skaičiavimasfor i = 1 to MY N[i] = Y S[i]for j = 1 to mY N[i] = Y N[i] + τ n+1 σ j K j (i)end forend fort = t + τ n+1n = n + 1end while1.4.3. Rungės ir Kuto metodo koeficientu˛radimasAlgoritmo koeficientai a i , b ij , σ i parenkami taip, kad metodo aproksimacijostikslumas būtų didžiausias. Išnagrinėsime dvipakopį Rungės ir Kuto metoda. ˛ Iššio pavyzdžio bus aišku, kaip koeficientai randami ir bendruoju atveju.Imsime vienos diferencialinės lygties atvejį, kai M = 1. Lygčių sistemu˛analizėatliekama visiškai taip pat, be to, tik Rungės ir Kuto metodams, kuriu˛tikslumoeilė didesnė už ketvirtaj ˛ a, ˛ atsiranda papildomu˛lygčiu, ˛ kurias turi tenkinti metodokoeficientai. Kadangi paprastai randame ne konkretu˛vienintelį nurodyto tikslumoRungės ir Kuto metoda, ˛ o metodu˛šeima, ˛ priklausančia˛nuo keliu˛laisvu˛parametru,˛tai dažniausiai pavyksta patenkinti ir šias papildomas lygtis.Dvipakopio Rungės ir Kuto metodo formulėse yra keturi laisvi parametrai a 2 ,b 21 , σ 1 , σ 2 :K 1 = f(t n , y n ),K 2 = f(t n + a 2 τ, y n + b 21 τK 1 ),y n+1 = y n + τ(σ 1 K 1 + σ 2 K 2 ) .Perrašykime paskutiniaj ˛ a˛lygybę standartine forma:y n+1 − y n= σ 1 f(t n , y n ) + σ 2 f ( t n + a 2 τ, y n + b 21 τf(t n , y n ) ) .τ