4paskaita6

Turinys 

Duomenų aproksimavimas : splainai 

Olga Štikonienė 

Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 

1 Splainai 

Tiesinis splainas 

Kvadratinis splainas 

Kubinis splainas 

Kraštinės sąlygos 

2 Splainų taikymai 

MIF VU (MIF VU) Skaitiniai metodai 1/58 


Interpoliavimas daugianariais netinka: 

Interpoliavimas daugianariais netinka: 

Duomenys su dideliu gradientu (lygus grafikas su staigiu piku); 

Duomenys su triukšmu; 

Neglodus paviršius (netolydi išvestinė). 

Nesutapimas su tikrosios funkcijos 

grafiku. Osciliacijos. 

 

 

1 pavyzdys: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rungės funkcija 

f (x) = 

1 

1 + 25x 2 

2 pavyzdys: duomenys su 

triukšmu. 

Tiesinis dėsnis: 

 

 

 

 

 

 

y = 2x + 1. 

3 pavyzdys: netolydi išvestinė. 

f (x) = √ |x| 

Interpoliavimas, kai x = 

−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-osios eilės ir 14 -osios eilės Niutono interpoliaciniai daugianariai. 

 

 

 

 



Laiptuotos funkcijos interpoliavimas 

 

 

 

 

Interpoliavimas daugianariais: 

L n (x), eina per visus duotus taškus; 

jei atsiranda papildomi duomenys, reikia didinti daugianario 

laipsnį, tai nevisada tikslinga. 

Alternatyva: 

Interpoliavimas dalimis daugianarėmis funkcijomis. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kubinis interpoliavimas 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Interpoliavimas 5-ojo 

laipsnio daugianarių 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Interpoliavimas 7-ojo 

laipsnio daugianarių 

 

 

 

 



MIF VU (MIF VU) Skaitiniai metodai 6/58

Interpoliavimas dalimis daugianarėmis funkcijomis 

Funkcija y = f (x) apibrėžta reikšmių lentele 

(x i , y i ), i = 0, 1, ···N: 

x 0 x 1 ··· x N 

y 0 y 1 ··· y N 

Intervale sudarome jos interpoliacinę funkciją iš neaukšto, 

pirmojo arba antrojo laipsnio interpoliacinių daugianarių, 

apibrėžtų atitinkamoje intervalo [x 0 , x N ] dalyje. 

Dalimis tiesinė interpoliacinė funkcija 

Taikoma, kai didinant interpoliacinio daugianario laipsnį 

interpoliavimo paklaida nemažėja. 

L0(x) 1 =a 0 (x − x 0 )+b 0 x 0 x x 1 , 

L1(x) 1 =a 1 (x − x 1 )+b 1 x 1 x x 2 , 

··· 

Li 1 (x) =a i (x − x i )+b i x i−1 x x i , 

··· 

LN−1(x) 1 =a N−1 (x − x N−1 )+b N−1 x N−1 x x N , 

Tolydi visame intervale, bet nėra diferencijuojama 

interpoliavimo mazguose. 

čia 

a i = y i+1 − y i 

x i+1 − x i 

, b i = y i . 

Lengvai realizuojama. 



Funkcijos, apibrėžtos reikšmių lentele, 

interpoliacinė funkcija 

x i 0, 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 1, 2 

y i 1, 2 4, 0 0, 8 2, 5 2, 0 3, 0 1, 5 

Splainai 

Dalimis daugianarė interpoliacinė funkcija 

Tolydi visame intervale. 

Nėra diferencijuojama interpoliavimo mazguose. 

Splainų panaudojimo idėja: 

Interpoliavimas splainais 

Nedidelio laipsnio daugianariai jungia duotuosius taškus. 

Funkcija glodi visame intervale (t.y. ir vidiniuose 

interpoliavimo mazguose). 

Nedidelio laipsnio daugianariai neleidžia atsirasti 

osciliacijoms. 

Dalimis tiesinė 

Dalimis kvadratinė 



Splainai 

Splainai 

Splainai 

Splainai 

spline (angl.)– lazdelė 

Standi lazdelė 

N intervalų ir N + 1 taškų. 

S i (x) neaukštos eilės daugianaris i-ajame intervale. 

Nulinis kreivis galuose 



Splainai 

Splaino apibrėžimas 

Splainai 

Dažniausiai naudojami splainai 

Funkcija y = f (x) apibrėžta reikšmių lentele 

(x i , y i ), i = 0, 1, ···N: 

 

 

 

 

 

x 0 x 1 ··· x N 

y 0 y 1 ··· y N 

Kiekviename daliniame intervale [x i , x i+1 ] funkcija y = f (x) 

aproksimuojama m-ojo laipsnio daugianarių 

1 Tiesinis splainas; 

2 Kvadratinis splainas; 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S m i (x) =a i0 x m + a i1 x m−1 + ···+ a im−1 x + a im . 

Funkcija ir visos jos išvestinės iki (m − 1) eilės yra tolydžios 

kiekviename intervalo [x 0 , x N ] taške. 

Tokia interpoliacinė funkcija vadinama m-tosios eilės splainu 

(su defektu 1). 

3 Kubinis splainas. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Splainų taikymas 

Splainai 

Splainai 


Tiesinis splainas: S 1 i (x) =a i x + b i 

Duoti taškai: (x 0 , y 0 ), ..., (x N , y N ). 

Intervalai: I 0 =[x 0 , x 1 ], ..., I N−1 =[x N−1 , x N ]. 

 

 

 

Laivo paviršiaus valdymo 

tinklas 

Realaus laivo korpuso 

paviršiaus aproksimacija 

splainais (FastShip V, firmos 

Proteus paketas 1997) 

 

 

 



Splainai 


Tiesinis splainas: S 1 i (x) =a i x + b i 


Splainai 




Du gretimi taškai jungiami atkarpa. 

Tolydumo reikalavimas yra ekvivalentus splaino tolydumui 

(m = 1 ⇒ m − 1 = 0): 

 

 

 

S 1 i−1(x i )=S 1 i (x i )=y i , i = 1, ···N − 1. 

Jungiančios taškus atkarpos gaunamos iš interpoliavimo 

sąlygos: 

 

 

 

a i x i + b i = y i , i = 0, ··· , N − 1; 

a i x i+1 + b i = y i+1 . 

2N nežinomųjų a i , b i ; 

2N lygčių. 




Splainai 


Pavyzdys: 

Splainai 




⎧ 

f (x 0 )+f (x 0 , x 1 )(x − x 0 ), x 0 x x 1 ; 

⎪⎨ f (x 

S 1 1 )+f (x 1 , x 2 )(x − x 1 ), x 1 x x 2 ; 

(x) = 

. 

. 

⎪⎩ 

f (x N−1 )+f (x N−1 , x N )(x − x N−1 ), x N−1 x x N . 

Sutampa su dalimis tiesine interpoliacine funkcija. 

x i 0 2 5 6 

f (x i ) 4 −2 19 58 

f (x i , x i+1 ) −3 7 39 

S 0 = 4 − 3x 0 x 2; 

S 1 = −2 + 7(x − 2) 2 x 5; 

S 2 = 19 + 39(x − 5) 5 x 6. 

Tiesinis splainas sutampa su 

dalimis tiesine interpoliacine 

funkcija! 



Splainai 



Splainai 


Tiesinio splaino trūkumas - nėra glodumo interpoliavimo 

mazguose (pirmoji išvestinė netolydi). 

Tolydžiosios išvestinės gaunamos taikant aukštesnės eilės splainus. 

Vidiniuose mazguose splainas yra tolydi funkcija : 

S i−1 (x i )=S i (x i ), i = 1, ··· , N − 1. 

Vidiniuose mazguose išvestinė tolydi: 

S (k) 

i−1 (x i)=S (k) 

i (x i ), i = 1, ··· , N − 1, k = 1, ··· , m − 1. 

Kvadratinis splainas - tolydi pirma išvestinė. 

Bet antra išvestinė gali būti netolydi. 

Kaip gauti formules 

Si 2 (x) =a i x 2 + b i x + c i ? 

N + 1 taškas (i = 0,...,N); 

N intervalų ⇒ 3N nežinomųjų koeficientų 

(a i , b i , c i ) i = 0,...,N − 1. 

Reikia 3N lygčių. 



Splainai 


Kvadratinis splainas: S 2 i (x) =a i x 2 + b i x + c i 


Splainai 


 

 

 

 

 



 

 

3N nežinomųjų koeficientų. 

1 Interpoliavimo ir tolydumo sąlygos 

2N lygčių: 

S i (x i )=y i , i = 0, 1, ..., N − 1 

S i (x i+1 )=y i+1 , i = 0, 1, ..., N − 1. 

2 Išvestinių tolydumo sąlygos (vidiniuose taškuose) 

N − 1 lygtis: 

S ′ i−1(x i )=S ′ i(x i ), i = 1, ..., N − 1. 

3 Papildoma sąlyga (duota išvestinė viename iš kraštinių taškų 

- e 0 = 0 natūralioji kraštinė sąlyga) 

1 lygtis 

2N +(N − 1) +1 = 3N ⇒ 3N lygčjų su 3N nežinomųjų. 



Kvadratiniai splainai 

Splainai 



Splainai 



2N lygčių: 

a i xi 2 + b i x i + c i = y i , i = 0, 1, ..., N − 1 

a i xi+1 2 + b i x i+1 + c i = y i+1 , i = 0, 1, ..., N − 1. 

2 Išvestinių tolydumo sąlygos 

N − 1 lygtis: 

2a i−1 x i + b i−1 = 2a i x i + b i , i = 1, ..., N − 1. 

3 Papildoma sąlyga (duota išvestinė viename iš kraštinių taškų 

- e 0 = 0 natūralioji kraštinė sąlyga) 

2a 0 x 0 + b 0 = e 0 . 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

x0 2 x 0 1 

x1 2 x 1 1 

2x 0 1 0 

x1 2 x 1 1 

x2 2 x 2 1 

−2x 0 −1 0 2x 1 1 0 

⎞ 

. . . . . . xN−1 2 x N−1 1 

⎟ 

xN 2 xN 1 

⎠ 

−2x N−2 −1 0 2x N−1 1 0 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

a 0 

b 0 

c 0 

a 1 

b 1 

c 1 

. .. 

. .. 

a N−1 

b N−1 

c N−1 

⎞ ⎛ 

y 0 

y 1 

e 0 

y 1 

y 20 = 

. .. . .. 

⎟ ⎜ y 

⎠ ⎝ N−1 

yN 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 



Splainai 


Kvadratinis splainas - algoritmas 

Splainai 


Kvadratinis splainas. Pavyzdys 

1 e 0 duotas, sprendžiame 

⎛ 

x 2 ⎞ ⎛ ⎞ 

0 

x 0 1 a 0 

⎝ x1 2 x 1 1 ⎠ ⎝ b 0 

⎠ = 

2x 0 1 0 c 0 

2 e 1 = 2a 1 x 1 + b 1 iš suderinamumo sąlygu: 

⎛ 

⎝ 

⎞ 

y 0 

y 1 

⎠ 

e 0 

S ′ 0(x 1 ) = S ′ 1(x 1 ) ⇒ 2a 0 x 1 + b 0 = 2a 1 x 1 + b 1 = e 1 . 

 

Funkcijos f (x) =x 3 − 5x 2 + 3x + 4 aproksimavimas kvadratinių 

splainų, nauduojant taškus (0; 4), (2; −2), (5; 19), (6; 58). 

 

 

 

 

sprendžiame 

3 ir t.t. 

⎛ 

x 2 ⎞ ⎛ ⎞ 

1 

x 1 1 a 1 

⎝ x2 2 x 2 1 ⎠ ⎝ b 1 

⎠ = 

2x 1 1 0 c 1 

⎛ 

⎝ 

⎞ 

y 1 

y 2 

⎠ 

e 1 

 

 

 

 

 

 




Splainai 


Splainai 


Kubinis splainas: S 3 i (x) =a ix 3 + b i x 2 + c i x + d i 

S 3 i (x) =a i x 3 + b i x 2 + c i x + d i , x i x x i+1 . 



Kaip ir kvadratiniam splainui gaunama 4N koeficientų 

4N lygčių sistema. 

 

Vidiniuose mazguose tolydumas. 

Intervalo galai fiksuoti. 

Vidiniuose mazguose išvestinės tolydžios. 

Papildomos sąlygos antrosios eilės išvestinėms intervalo 

galuose. 

 

 

 

 

4N nežinomųjų koeficientų. 

 

 




Splainai 


Splainai 


Kubiniai splainai: S 3 i (x) =a ix 3 + b i x 2 + c i x + d i 


2N lygčių: 

S i (x i )=y i , i = 0, 1, ..., N − 1 

S i (x i+1 )=y i+1 , i = 0, 1, ..., N − 1. 

2 Išvestinių tolydumo sąlygos 

2(N − 1) lygtis: 

 


Intervalai: I 1 =[x 0 , x 1 ], ..., I N =[x N−1 , x N ]. 

 

S i−1(x ′ i )=S i(x ′ i ), i = 1, ..., N − 1 

S i−1(x ′′ 

i )=S ′′ 

i (x i ), i = 1, ..., N − 1. 

3 Papildomos sąlygos (natūraliosios kraštinės sąlygos) 

2 lygtys 

S ′′ 

0 (x 0 )=0, S N−1(x ′′ N )=0. 


 

 

S i (x) – gabalais kubinis daugianaris; 

S ′ i (x) - gabalais kvadratinis daugianaris; 

S ′′ 

i (x)) - gabalais tiesinis daugianaris. 

Suvedama į N lygčių sistemą su N nežinomųjų. 


Kubiniai splainai 

Splainai 


Pažymėkime g i = S ′′ 

i (x i), h i = x i+1 − x i, i = 1, ··· , N − 1. 

g 0 = S ′′ 

0 (x 0)=0, g N = S N−1(x ′′ 

N)=0. 

Tiesinis splainas: S ′′ gi+1 − gi 

i (x) =g i + (x − x i). (1) 

h i 

∫ x 

xi 

∫ x 

xi 

(1) : S ′ i (x) − S ′ gi+1 − gi 

i (x i)=g i(x − x i)+ (x − x i) 2 

2h i 

Pažymėkime e i = S ′ i (x i) S ′ gi+1 − gi 

i (x) =e i + g i(x − x i)+ (x − x i) 2 (2) 

2h i gi+1 + gi 

(2) ∣ :⇒ e i+1 = e i + h i. (3) 

x=xi+1 2 

(2) : 


(4) ∣ :⇒ 

x=xi+1 

S i(x) =y i + e i(x − x i)+ gi 

2 (x − xi)2 gi+1 − gi 

+ (x − x i) 3 . (4) 

6h i 

⇒ 

y i+1 = y i + e ih i + gi 

2 h2 i + 

e i = 

yi+1 − yi 

h i 

− gi+1 

6 

gi+1 − gi 

h 2 i . (5) 

6 

gi 

hi − hi. (6) 

3 



Splainai 


e i+1 = e i + g i+1 + g i 

h i . (3) 

2 

e i = y i+1 − y i 

− g i+1 

h i 6 h i − g i 

3 h i. (6) 

(3) perrašykime i-ajame taške įstatant į ją (6) (i − 1)-ajame taške : 

e i = e i−1 + g i + g i−1 

h i−1 = y i − y i−1 

− g i 

2 

h i−1 6 h i−1 − g i−1 

3 h i−1 + g i + g i−1 

h i−1 . 

2 

(7) =(6) ⇒ y i − y i−1 

h i−1 

Triįstrižainė lygčių sistema 

⇒ e i = y i − y i−1 

h i−1 

+ g i 

3 h i−1 + g i−1 

6 h i−1. (7) 

+ g i 

3 h i−1 + g i−1 

6 h i−1 = y i+1 − y i 

h i 

− g i+1 

6 h i − g i 

3 h i. 

h i−1 g i−1 + 2(h i−1 + h i )g i + h i g i+1 = 6( y i+1 − y i 

h i 

g 0 = 0, g N = 0, i = 1, ..., N − 1. 

− y i − y i−1 

h i−1 

), 



Splainai 


Splainai 


Lygčiu sistema su triįstrižaine matrica 



h i 

g 0 = 0, g N = 0, i = 1, ..., N − 1. 

− y i − y i−1 

h i−1 

), 

arba 


h i−1 

h i 

g i−1 + 2g i + g i+1 = 6f (y i−1 , y i , y i+1 ), 

h i−1 + h i h i−1 + h i 

g 0 = 0, g N = 0, i = 1, ..., N − 1. 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 0 

h1 

2 

h0+h1 

. .. . .. . .. 

h0 

h0+h1 

hi−1 

hi−1+hi 

hi 

2 

hi−1+hi 

. .. . .. . .. 

⎛ 

= 

⎜ 

⎝ 

hN−2 

hN−2+hN−1 

0 

f (y 0 , y 1 , y 2 ) 

. 

f (y i−1 , y i , y i+1 ) 

. 

f (y N−2 , y N−1 , y N ) 

0 

2 

0 1 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

hN−1 

hN−2+hN−1 

⎞ ⎛ 

g 0 

g 1 

. . 

g i 

⎟ ⎜ . 

⎠ ⎝ g N−1 

g N 

⎞ 

⎟ 

⎠ 



Kubinio splaino lygtis: 

Splainai 


Splainai 

Kubinio splaino paklaida 


S 3 i (x) =y i + e i (x − x i )+G i (x − x i ) 2 + H i (x − x i ) 3 , i = 0, 1, ..., N − 1. 

e i = y i+1 − y i h i 

− g i+1 

h i 6 − g i 

G i = g i 

2 , 

H i = g i+1 − g i 

. 

6h i 

h i 

3 , 

Teorema 

Jei funkcija y(x) ∈ C 4 [a, b], tai kubinio splaino S 3 (x) paklaida ir jo 

išvestinių S 3′ (x), S 3′′ (x) paklaida įvertinama nelygybe: 

|y (k) (x) − S 3(k) (x)| M 4 h 2−k( h 2 + max(|y ′′ (a) − S 3′′ (a)|, |y ′′ (b) − S ′′ (b)|) ) , 

k = 0, 1, 2. 

Kai y ′′ (a) =S 3′′ (a), y ′′ (b) =S 3′′ (b) 

|y (k) (x) − S 3(k) (x)| M 4 h 4−k , k = 0, 1, 2. 

Kai y ′′ (a) ≠ S 3′′ (a), y ′′ (b) ≠ S 3′′ (b), pvz., natūraliosios kraštinės 

sąlygos 

|y (k) (x) − S (k) (x)| M 4 h 2−k , k = 0, 1, 2. 



Splainai 

Kubinis splainas: 1 pavyzdys 

Duoti taškai: 


x i 0 1 2 3 

y i 0 0, 5 2 1, 5 

S 3′′ (0) =S 3′′ (3) =0 (natūralusis splainas) 

Splainai 





h i 

i = 1, ..., N − 1. 

g 0 = 0, g N = 0. 

− y i − y i−1 

h i−1 

), 

h 0 = x 1 − x 0 = 1 − 0 = 1 f (x 0 , x 1 )= y 1 − y 0 

= 0, 5 − 0 = 0, 5 

h 0 1 

h 1 = 2 − 1 = 1 f (x 1 , x 2 )= y 2 − y 1 

= 2 − 0, 5 = 1, 5 

h 1 1 

h 2 = 3 − 2 = 1 f (x 2 , x 3 )= y 3 − y 2 

= 1, 5 − 2 = −0, 5. 

h 2 1 

g 0 = 0, g 3 = 0. 

h i = 1, i = 0, 1, 2. 

i = 1 : g 0 + 4g 1 + g 2 = 6(1, 5 − 0, 5); 

i = 2 : g 1 + 4g 2 + g 3 = 6(−0, 5 − 1, 5). 

⇒ 

{ 

⇒ 

g 1 = 2, 4; 

g 2 = −3, 6 . 

{ 4g1 + g 2 = 6; 

g 1 + 4g 2 = −12. 



Splainai 



Splainai 



Si 3 (x) =y i + e i (x − x i )+G i (x − x i ) 2 + H i (x − x i ) 3 , i = 0, ..., N − 1. 

e i = y i+1 − y i h i 

− g i+1 

h i 6 − g h i 

i 

3 , G i = g i 

2 , H i = g i+1 − g i 

. 

6h i 

⎧ 

⎨0, 1x + 0, 4x 3 , 0 x 1; 

S 3 (x) = 0, 5 + 1, 3(x − 1)+1, 2(x − 1) 2 − (x − 1) 3 , 1 x 2; 

⎩ 

2 + 0, 7(x − 2) − 1, 8(x − 2) 2 + 0, 6(x − 2) 3 , 2 x 3. 

g 0 = 0; g 1 = 2, 4; g 2 = −3, 6; g 3 = 0. 

Splaino koeficientai: 

i = 0 : e 0 = 0, 5 − 2, 4/6 − 0 = 0, 1; G 0 = 0; H 0 = 2, 4/6 = 0, 4. 

⇒ S 3 0 (x) =0, 1x + 0, 4x3 , 0 x 1; 

i = 1 : e 1 = 1, 5 + 3, 6/6 − 2, 4/3 = 1, 3; G 1 = 1, 2; H 1 = −1. 

⇒ S 3 1 (x) =0, 5 + 1, 3(x − 1)+1, 2(x − 1)2 − (x − 1) 3 , 1 x 2; 

i = 2 : e 2 = −0, 5 + 1, 2 = 0, 7; G 2 = −1, 8; H 2 = 0, 6. 

⇒ S 3 2 (x) =2 + 0, 7(x − 2) − 1, 8(x − 2)2 + 0, 6(x − 2) 3 , 2 x 3. 



Splainai 


Duoti taškai: 

Raskite f (4). 


x i 0 2 5 6 

y i 4 −2 19 58 

Tikslus sprendinys: f (x) =x 3 − 5x 2 + 3x + 4, f (4) =0. 

S 3′′ (0) =S 3′′ (3) =0 (natūralusis splainas) 

h 0 = 2 − 0 = 2 f (x 0 , x 1 )= y 1 − y 0 

= −2 − 4 = −3 

h 0 2 

h 1 = 5 − 2 = 3 f (x 1 , x 2 )= y 2 − y 1 

= 19 + 2 = 7 

h 1 3 

h 2 = 6 − 5 = 1 f (x 2 , x 3 )= y 3 − y 2 

h 2 

= 

58 − 19 

1 

= 39. 


Splainai 




 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Naturaliosios kraštinės sąlygos: g 0 = 0, g 3 = 0. 

( )( ) ( ) ( ) ( ) 

10 3 g1 60 g1 −1, 35211 

= ⇒ = 

. 

3 8 g 2 192 g 2 24, 50704 


Splainai 



Splainai 



Si 3 (x) =y i + e i (x − x i )+G i (x − x i ) 2 + H i (x − x i ) 3 , i = 0, ..., N − 1. 

e i = y i+1 − y i h i 

− g i+1 

h i 6 − g h i 

i 

3 , G i = g i 

2 , H i = g i+1 − g i 

. 

6h i 


g 0 = 0; g 1 = −1, 35211; g 2 = 24, 50704; g 3 = 0. 

Splaino koeficientai: 

i = 0 : e 0 = 2, 549296; G 0 = 0; H 0 = −0, 112676. 

S 3 0(x) =4 − 2, 549296x − 0, 112676x 3 , 0 x 2; 

i = 1 : e 1 = −3, 901408; G 1 = −0, 676056; H 1 = 1, 4366197. 

S 3 1(x) =−2 − 3, 901408(x − 2) − 0, 676056(x − 2) 2 + 1, 4366197(x − 2) 3 , 2 x 5; 

i = 2 : e 2 = 30, 830986; G 2 = 12, 253521; H 2 = −4, 0845070. 

S 3 2(x) =19 + 30, 830986(x − 5)+12, 253521(x − 5) 2 − 4, 0845070(x − 5) 3 , 5 x 6. 



Splainai 


2 pavyzdys : rezultatų analizė 

Splainai 


2 pavyzdys : rezultatų analizė 


Kubinis splainas f (4) =S2 3 (4) =−1, 0141. 

Tikslus sprendinys yra kubinė funkcija. 

Kodėl kubinis splainas nesutampa su tiksliu sprendiniu? 

Dėl skirtingų kraštinių sąlygų! 

Bendruoju atveju f ′′ (x 0 ) ≠ 0 ir f ′′ (x N ) ≠ 0. 


Kubinis splainas f (4) =S2 3 (4) =−1, 0141. 

Tikslus sprendinys yra kubinė funkcija. 

Kodėl kubinis splainas nesutampa su tiksliu sprendiniu? 

Dėl skirtingų kraštinių sąlygų! 

Bendruoju atveju f ′′ (x 0 ) ≠ 0 ir f ′′ (x N ) ≠ 0. 



Splainai 


Kubinio splaino kraštinės sąlygos 

Natūralusis: Antra išvestinė lygi nuliui intervalo galuose. 

Clamped(suvaržytas): nurodytos pirmos išvestinės intervalo 

galuose. 

Not-a-Knot(nesurištas): Tolydi trečia išvestinė taškuose x 1 ir 

x N−1 . 

Splainai 


Kubinio splaino kraštinės sąlygos 

Natūralusis: Antra išvestinė lygi nuliui intervalo galuose. 

Clamped(suvaržytas): nurodytos pirmos išvestinės intervalo 

galuose. 

Not-a-Knot(nesurištas): Tolydi trečia išvestinė taškuose x 1 ir 

x N−1 . 



Splainai 


Rungės funkcijos ir not-a-knot splaino palyginimas 

Rungės funkcija (raudonas punktyras) 

9-taškų not-a-knot splainas (žalia) 

Splainai 


Rungės funkcijos ir suvaržyto (Clamped End) 

splaino palyginimas 

Rungės funkcija (raudonas punktyras) 

9-taškų suvaržytas (Clamped End) splainas (žalia) 

Tolydžiosios treciosios išvestinės taškuose x 1 ir x N−1 . 


Kraštiniuose taškuose užduotos pirmųjų išvestinių reikšmės: 

f ′ (−1) =1 ir f ′ (1) =−4. 


Splainų taikymai 

Parametrinis interpoliavimas splainais 

Duoti taškai (x i , y i ). 

Taškų parametrizacija (t i , x i ), (t i , y i ), t i = 0, 1, ··· , N; 


x = S 3 x(t), y = S 3 y(t); 

Braižomas grafikas y = f (x). 

x =[0242420 − 2 − 4 − 2 − 4 − 20], 

y =[5331 − 1 − 1 − 3 − 1 − 11335], t = 0, ··· , 12. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Matlab funkcijos: 

spline(kubinis splainas); 

pchip(dalimis kubinis Hermito 

interpoliavimas), išlaiko 

duomenų monotoniškumą ir 

formą. 


Interpoliavimo metodu palyginimas I 

Pavyzdys: dvimatis interpoliavimas (7x7 duomenu matrica) 

Retas tinklas: [x,y] = meshgrid(-3:1:3); 

z = peaks(x,y); 

surf(x,y,z) 

 

 




Interpoliavimo metodu palyginimas II 

1 Generuojamas smulkus tinklas: 

[xi,yi] = meshgrid(-3:0.25:3); 

2 Interpoliavimas - nearest neighbor: 

zi1 = interp2(x,y,z,xi,yi,’nearest’); 

3 Interpoliavimas – bilinear: 

zi2 = interp2(x,y,z,xi,yi,’bilinear’); 

4 Interpoliavimas - bicubic: 

zi3 = interp2(x,y,z,xi,yi,’bicubic’); 


Dvimatis interpoliavimas netolygiajame tinkle 

x=rand(1,100); 

y=rand(1,100); 

z=sin(10*x).*exp(-2*y); 

plot3(x, y, z, ’o’) 

hold on 

[X, Y] = meshgrid(min(x):0.02:max(x), min(y):0.02:max(y)) % 

interpoliavimo tinklas 

Z = griddata(x, y, z, X, Y, ’cubic’); 

% galima ’linear’, ’cubic’, ’nearest’ mesh(X, Y, Z) 




Daugiamačių duomenų interpoliavimas 


Pavyzdys taikant MATLAB: Basic Fitting 1 

Pavyzdys - MATLAB 

[X, Y, Z, U] =flow(5); 

[XX, YY, ZZ] =meshgrid(.1 : .25 : 10, −3 : .25 : 3, −3 : .25 : 3); 

UU = interp3(X, Y, Z, U, XX, YY, ZZ); 

slice (XX, YY, ZZ, UU, [69.5], 2, [−20.2]); 

colormap hot 

shading interp 

X=[2,4,6,8,10,12,14]; 

Y=[3.76,4.4,5.1,5.5,6.6,6.3,6.7]; 

plot(X,Y,’o’); 




Pavyzdys taikant MATLAB: Basic Fitting 2

4paskaita6

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?