Tiesės erdvėje lygtys.

13.5. Tiesės erdvėje normalinės lygtys.
Duota: Tiesės taškas M 1 = M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) ir vienetinis krypties vektorius ⃗n, sudarantis
kampus α, β, γ su koordinačiu ‘
ašimis x, y, z.
Krypties vektoriaus ⃗n koordinatės yra cos α, cos β, cos γ. Galime parašyti tiesės lygtis:
x − x 1
cos α = y − y 1
cos β = z − z 1
cos γ .
Šias lygtis vadiname tiesės normalinėmis lygtimis.
Tiesės kanonines lygtis galima suvesti i ‘
normalines. Tarkime,
x − x 1
= y − y 1
l m = z − z 1
m
yra tiesės kanoninės lygtys. Padaugine ‘
krypties vektoriaus koordinates iš normuojančio
daugiklio M, turime gauti vienetinio krypties vektoriaus koordinates:
⎧
l · M = cos α,
⎪⎨
m · M = cos β,
⎪⎩
n · M = cos γ.
Pakėle ‘
abipus kiekvienos lygties puses kvadratu ir sudėje ‘
, gauname lygti ‘
M 2 (l 2 + m 2 + n 2 ) = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1.
Iš čia
1
M = ± √
l2 + m 2 + n . 2
Ženklas priklauso nuo tiesės krypties parinkimo. Gauname tiesės normalines lygtis
x − x 1 y − y 1 z − z 1
=
l
m
=
± √ ± √ n
. △
l2 +m 2 +n 2 l2
± √
+m 2 +n 2 l2 +m 2 +n 2
13.6. Tiesės lygtys per du taškus.
Duota: Taškai M 1 = M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 = M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ). Parašysime tiesės, išvestos
per taškus M 1 ir M 2 lygtis.
85