3 skyrius Matematinės fizikos uždavinių skaitiniai sprendimo metodai

102 3 SKYRIUS. MATEMATINĖS FIZIKOS UŽDAVINIAI
Neišreikštinės dešiniųjų vienpusių skirtumų schemos sprendinį apskaičiuojame
išreikštine formule:
yi n+1 = yi−1 n+1 + h
vi−1
n+1 y t,i−1 , i = 1,2,... ,N ,
y n+1
0 = µ 0
(
t
n+1 ) .
Panagrinėkime Kranko ir Nikolsono schemą, kai duotos dvi kraštinės
sąlygos:
y n 0 = µ 0 (t n ), y n N = µ 1 (t n ).
Tada kiekviename laiko sluoksnyje sprendžiame tiesinių lygčių sistemą su
triįstrižaine matrica:
⎧
y0 n+1 = µ 0 (t n+1 ),
⎪⎨
⎪⎩
čia pažymėjome:
− vn+0,5 i4h yn+1 i−1 + 1 τ yn+1 i
+ vn+0,5 i4h yn+1 i+1 = F i n ,
y n+1
N = µ N(t n+1 ),
i = 1,... ,N − 1,
F n
i = 1 τ yn i − 1 2 vn+0,5 i
y n ◦ x
+ f(x i ,t n+0,5 ).
(3.9)
Tokių tiesinių lygčių sistemų sprendinį taupiai apskaičiuojame perkelties
metodu.
Periodiškumo kraštinės sąlygos
Panagrinėsime tik Kranko ir Nikolsono schemos realizavimą. Tada sprendžiame
(3.9) tiesinių lygčių sistemą, kurioje pirmojo tipo kraštinės sąlygos yra
pakeistos periodiškumo sąlygomis:
y0 n+1 = y n+1
N , yn+1 1 = y n+1
N+1 .
Kadangi tokio tipo tiesinės lygčių sistemos svarbios ir sprendžiant daugelį
kitų uždavinių, tai panagrinėkime bendrą tiesinių lygčių sistemą:
⎧
c ⎪⎨ 1 y 1 − b 1 y 2 − a 1 y N = f 1 ,
−a i y i−1 + c i y i − b i y i+1 = f i , i = 2,3,... ,N − 1,
⎪⎩
−b N y 1 − a N y N−1 + c N y N = f N .