Выпускная квалификационная работа специалиста - Факультет ...

ОглавлениеВведение ___________________________________________________________________3Глава 1. Постановка задачи. Анализ динамики индекса Доу-Джонса ______________7Глава 2. Экспоненциальное сглаживание _______________________________________9Глава 3. Выявление структуры временного ряда _______________________________11Глава 4. Моделирование тенденции временного ряда ___________________________13§ 1. Построение единых трендовых моделей ______________________________________ 13§ 1.1. Полиномиальная модель регрессии _________________________________________________ 14§ 1.2. Построение модели ARIMA для ряда остатков _______________________________________ 18§ 1.3. Исправленная полиномиальная модель ______________________________________________ 21§ 2. Тест Чоу __________________________________________________________________ 22§ 3. Построение кусочно-непрерывной модели ____________________________________ 25§ 3.1. Кусочно-непрерывная модель _____________________________________________________ 25§ 3.2. Построение модели ARIMA для ряда остатков _______________________________________ 27§ 3.3. Исправленная кусочно-непрерывная модель _________________________________________ 30Глава 5. Построение моделей ARIMA(p,d,q) ___________________________________31Глава 6. Статистическое сравнение моделей _________________________________38Глава 7. Построение прогноза _______________________________________________39Заключение _______________________________________________________________41Литература _______________________________________________________________42Приложения __________________________________________________________________ 44Приложение 1. Исходные значения индекса Доу-Джонса ___________________________ 44Приложение 2. Код программы Statist ___________________________________________ 46Приложение 3. Основные формулы _____________________________________________ 57Предметный указатель_____________________________________________________582

ВведениеПромышленный индекс Доу-Джонса (DJIA) является самым старыми самым распространенным среди всех показателей фондового рынка.Чарльз Генри Доу (1851-1902) изобрел индекс Доу-Джонса как часть своегоизучения движения рынка. Изучая цены закрытия торгов по акциям, Доурешил создать фондовый индекс, который характеризовал бы состояниерынка. Он развивал ряд принципов для анализа поведения рынка, котороеныне известно как теория Доу [3].Первый индекс, рассчитанный 3 июля 1884 г., представлял собойсреднюю цену 11 акций. Он получил название «железнодорожный индекс»,поскольку 9 из 11 акций были выпущены железнодорожными компаниями.К 1896 г. Доу ввел средний промышленный индекс, который определялсякак среднее арифметическое цен 12 акций. Значение индекса на закрытиепервого дня составляло 69,93 пункта. В 1916 число акций, используемыхдля расчета индекса, увеличилось до 20, а в 1928 г. до 30, каким оно остаетсяи в настоящее время.В 1928 г. в методику расчета индекса было введено изменение: вводилсяспециальный множитель (текущий делитель). В качестве делителяиспользовалась не число компаний в выборке, а коэффициент, учитывающиймногократное дробление акций эмитентам 1 .Состав промышленного индекса Доу-Джонса не является постоянным:компоненты этого индекса изменяются в зависимости от позицийкрупнейших промышленных корпораций в экономике США и на мировомрынке.При составлении списков компаний редакторы Wall Street Journalпроизводят отбор. Предпочтение отдается компаниям с высокой рыночной1 Эмитент – юридическое лицо, выпускающее эмиссионные ценные бумаги.3

стоимостью, компаниям с регулярными доходами и дивидендами 2 , а такжекомпаниям, занимающим ведущее место в какой-либо важной отрасли.Ниже приведен перечень компании, входящих в расчет промышленногоиндекса DJIA на рассматриваемый в данной работе период с 14 ноября2005 по 13 ноября 2006 года.№ Название Символ1 AlliedSignal Inc. (ALD)2 Alсоа Inc. (AA)3 American Express Co. (AXP)4 AT&T Corp. (T)5 Boeing Co. (BA)6 Caterpillar Inc. (CAT)7 Citigroup Inc. (C)8 Coca-Cola Co. (КО)9 DuPont Co. (DD)10 Eastman Kodak Co. (EK)11 Exxon Corp. (XON)12 General Electric Co. (GE)13 General Motors Corp. (GM)14 Home Depot, Inc. (HD)15 Hewlett-Packard Co. (HWP)16 International Business Machines Corp. (IBM)17 Intel Corp. (INTC)18 International Paper Co. (IP)19 J.P. Morgan & Co. (JPM)20 Johnson & Johnson (JNJ)21 McDonald's Corp. (MCD)22 Merck & Co. (MRK)23 Microsoft Corp. (MSFT)24 Minnesota Mining & Manufacturing Co. (МММ)25 Philip Morris Cos. (MO)26 Procter & Gamble Co. (PG)27 SBC Communications Inc. (SBC)28 United Technologies Corp. (UTX)29 Wal-Mart Stores Inc. (WMT)30 Walt Disney Co. (DIS)Выбор именно этого индекса не случаен, так как изучаемый показательотражает многие важные экономические процессы, происходящие вэкономике США – наиболее динамично развивающейся экономике мировогосообщества. В американской и мировой экономике индекс Доу-Джонсаявляется основным индикатором, который обуславливает укрепление или2 Дивиденд – часть прибыли акционерного общества, которое оно распределяет между акционерами и выплачиваетим ежегодно в соответствии с имеющимися у них акциями и с учетом достоинства акций.4

ослабление доллара относительно других валют, поэтому исследование динамикииндекса Доу-Джонса актуально по настоящее время. Исследованиеиндекса активно зарубежом [13], среди отечественных ученых анализ долгосрочнойдинамики индекса Доу-Джонса проводил П.Ф. Андрукович [2].Главная цель работы – статистический анализ и моделирование динамикииндекса Доу-Джонса. Представленная работа состоит из семи глав,заключения, списка литературы, 11 приложений и предметного указателя.В первой главе описана постановка задачи, приведен краткий историко-статистическийэкскурс и анализ исследуемых данных.Ряд, составленный из значений индекса Доу-Джонса, имеет резкиеслучайные всплески, которые влияют на анализ исследуемого показателя.Во второй главе производится устранение скачков (аномальные наблюдения)в исходных данных при помощи экспоненциального сглаживания.Во временном ряде 3 присутствует связь между значениями одного итого же случайного процесса. Выявление такой связи имеет большое значениепри анализе динамики временного ряда. В Главе 3 строится автокорреляционнаяфункция, которая помогает выявить структуру ряда.Глава 4 посвящена моделированию тенденции динамики индексаДоу-Джонса. В § 1 строится единая трендовая модель, проводится оценказначимости уравнения регрессии, проверка адекватности модели, оценказначимости параметров регрессии по критерию Стьюдента. Немаловажнымвопросом при исследовании временного ряда является анализ остатков нагомоскедастичность (тест Гольфельда-Куандта), на проверку нормальногозакона распределения остатков, на случайность ряда остатков (критерий,основанный на медиане выборки), а так же на наличие зависимости в остатках(тест Дарбина-Уотсона).3 Временной ряд – совокупность изменений некоторогопоказателя за несколько последовательных моментовили периодов вермени.5

Проводится анализ остатков и строится исправленная трендовая модель,составленная из тренда и остатков, скорректированных модельюARIMA.В § 2 проводится анализ тенденции исследуемого показателя наструктурную стабильность с помощью теста Чоу.В § 3 строится кусочно-непрерывная модель и проводится проверкапредпосылок регрессионного анализа. На остатках кусочно-непрерывноймодели строится ARIMA(p,d,q), проверяются остатки построенной модели истроится новая исправленная модель.Глава 5 посвящена построению моделей ARIMA(p,d,q). В главе 5описано сравнение построенных моделей по статистическим критериям. Впоследней главе строится краткосрочный прогноз по построенным моделям.Для написания работы была изучена литература, в которой проводитсяисследование индекса Доу-Джонса. Брок в своей статье [1] исследуетдинамику индекса с 1897 г. по 1986 г. Андрукович П.Ф. в своей статье [3]анализирует динамику индекса в период с 1897 г. по 2004 г., строит трендовыемодели динамики индекса, основываясь на статистических методах, идолгосрочный прогноз до 2015 г.Статистические методы анализа временных рядов были изучены поосновной учебной литературе под редакцией Елисеевой [11] и книге Боксаи Дженкинса [4].Результаты дипломной работы докладывались на XXXIX Международнойнаучной конференции аспирантов и студентов «Процессы управленияи устойчивость», СПбГУ, ПМ-ПУ, 2008 и опубликованы в [10].6

Глава 1. Постановка задачи. Анализ динамики индексаДоу-ДжонсаПостановка задачиРассматривается временной ряд, составленный из 294 верхних значенийиндекса Доу-Джонса, взятых за год, за период с 14 ноября 2005 г. по13 ноября 2006 г. Значения являются ежедневными, в неделе 6 дней торгов.Данные взяты с сайта http://www.finam.ru.Цель работы:· Проанализировать динамику изучаемого показателя;· Построить модели, адекватно описывающие динамикуиндекса Доу-Джонса;· Рассчитать точечный прогноз на 14 и 15 ноября 2006 г.;· Сравнить точечный прогноз с фактическими значениями,которые не использовались для построения модели.Анализ динамики индекса Доу-ДжонсаПроведем графический анализ (рис. 1) ежедневных значений индексаДоу-Джонса за период с 14 ноября 2005 г. по 13 ноября 2006 г (прил. 1).Y t12312212112011911811711611511411311211111010910810714.11.0528.11.0512.12.0526.12.059.1.0623.1.066.2.0620.2.066.3.0620.3.063.4.0617.4.061.5.0615.5.0629.5.0612.6.0626.6.0610.7.0624.7.067.8.0621.8.064.9.0618.9.062.10.0616.10.0630.10.0613.11.06 датаРис. 1. График динамики индекса Доу-Джонса7

Динамика индекса представляет собой три стадии развития. Первыйэтап - увеличение значений индекса DJIA за период с 14 ноября 2005 г. по11 мая 2006 г. (практически на 9,5 пунктов). Однако, 12 мая индекс начинаетпадать, спад пришелся на период с 12 мая по 14 июня 2006 г. (на 8 пунктов)и с 06 июля по 15 июля того же года (изменение значений примерно на5 пунктов). Видно еще более быстрое нарастание его значений с 18 июня по13 ноября 2006 г. (121,6390 на конце ряда).Резкие «перепады», как правило, происходят в результате воздействияна исследуемый ряд внешних факторов, в том числе изменения в политикекомпаний, входящих в состав индекса. Всплески зависят от экономическихи политических игр на финансовом рынке. К примеру, неожиданныйвсплеск произошел с 25 на 26 июля 2006 года. Индекс возрос (почти на 4,5пункта) в ожидании новых сделок по слиянию и поглощению: AdvancedMicro Devices согласилась приобрести ATI, управляющая компания сетикоммерческих больниц НСА приняла предложение о покупке ее от группыиз трех компаний [14]. Несмотря на множество факторов, которые влияютна значение индекса и их трудно предусмотреть; долгосрочную тенденциюможно просчитать благодаря закономерным процессам в динамике любогофондового индекса [6].На вопросы как будет развиваться динамика фондового индекса Доу-Джонса и произойдет ли в дальнейшем стагнация 4 этого индекса, или егозначения будут иметь снижающийся с той или иной скоростью тренд, или вближайшее время снова начнется его рост – можно дать предположительныйответ только после статистического анализа динамики индекса Доу-Джонса.4 Стагнация – застой в экономике, торговле, производстве, предшествующий спаду, сопровождающийспад.8

Глава 2. Экспоненциальное сглаживаниеДля устранения случайных всплесков и выявления тенденции сгладимисследуемый временной ряд.Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усредненияданных, при котором несистематические компоненты взаимно погашаютдруг друга. Сглаживание ряда проведем методом экспоненциальногосглаживания. Название метода происходит из того, что при примененииэтого метода получаются экспоненциально взвешенные скользящие средниепо всему временному ряду, т.е. сглаженное значение в любой точке рядаявляется некоторой функцией всех предшествующих наблюдений. Вданном методе учитываются все предыдущие наблюдения, более того, предыдущиеучитываются с большим весом, а предшествующие им с меньшимвесом [11].Значение экспоненциально сглаженного ряда в момент времени tвычисляется по следующей формуле [9]:где= × + - , (1)E W Y (1 W) Ettt-1Y - наблюдаемое значение ряда в момент времениtt ,t 1E -- предшествующеезначение сглаженного ряда, W - коэффициент сглаживания (являетсяконстантой по всему ряду).Некоторой проблемой является выбор коэффициента сглаживанияW , который в значительной степени влияет на результаты. Однако,объективного критерия, при его выборе не существует. W может приниматьлюбые значения из диапазона 0 < W < 1, обычно ограничиваются интерваломот 0.2 до 0.5.На первом шаге полагаем E = Y , а следующие значения вычисляем1 1по формуле (1).Оптимальное значение W ищется следующим образом:n1 2I(Wj) = ået(Wj),j = 1,m ,n t=19

где e (W ) = Y E (W ) - остатки, n – число наблюдений.t j t-tjПри оптимальном значении W выполняется равенствоI(W) = min{I(W )}, и значения сглаженного ряда наиболее приближены копт jjзначениям исходного ряда.Проведя выше описанную процедуру, получили, что при W = 0,5значения сглаженного ряда лучше аппроксимируют динамику индекса Доу-Джонса, чем остальные ( I (0.5)=0.1491, , I(0.33)=03296, I (0.25)=0.4932).Видно (рис. 2), что сглаженный ряд больше не содержит резких всплесков.Для выявления структуры ряда, в том числе тренда, будем исследовать полученныйпри сглаживании временной ряд.123Y tсглаженный ряд (W=0.5) индекс Доу-Джонса12111911711511311110910714.11.0528.11.0512.12.0526.12.0509.01.0623.01.0606.02.0620.02.0606.03.0620.03.0603.04.0617.04.0601.05.0615.05.0629.05.0612.06.0626.06.0610.07.0624.07.0607.08.0621.08.0604.09.0618.09.0602.10.0616.10.0630.10.0613.11.06 датаРис. 2. Графики индекса Доу-Джонса и сглаженного ряда10

Глава 3. Выявление структуры временного рядаАнализ автокорреляционной 5 (АКФ) функции помогает выявитьструктуру временного ряда, а именно, определяет лаг, при котором коэффициентавтокорреляции наиболее высокая, т.е. лаг, при котором связь междутекущим и предыдущими значениями ряда наиболее тесная.Коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле:åt=2nå( Y - Y )( Y - Y )t t t-k-1t-k-1t=2r (k) =,n22( Y - Y ) ( Y - Y )ttåt-k-1t-k-1гдеYt=nåYtt= k+1,n -1nå Yt-1t=k+1Y = , n – число наблюдений, k – лаг.t- 1n -1Рис.3. График АКФ сглаженных значений индекса Доу-ДжонсаПостроив в приложении Statistica 6.0 график АКФ (рис. 2), можносделать вывод, что исследуемый ряд содержит близкую к линейной тенденциюили зависимость между текущим и предыдущим уровнями ряда. Этотвывод основан на том, что первый коэффициент автокорреляции оказался5 Автокорреляционная функция – последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого,второго и т.д. порядков. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.11

значимым и наиболее высокимr (1) = 0.98K. [7], коррелограмма при тенденцииряда к росту показывает убывание.Ряд, составленный из сглаженных значений индекса Доу-Джонса нестационарный,так как АКФ медленно почти линейно убывает.12

Глава 4. Моделирование тенденции временного рядаБыло установлено, что рассматриваемый временной ряд содержитблизкую к линейной тенденцию. Поэтому общий вид аддитивной моделиисследуемого временного ряда может быть представлен в следующем виде:где T – значение тренда, аряда от тренда.Y = T + ,tE tE – ошибка, т.е. отклонение реальных значенийtПостроение функций, характеризующих зависимость значений изучаемогоряда от времени является основным способом моделирования тенденциивременного ряда. Для построения трендов используют линейные инепрерывные трендовые модели.§ 1. Построение единых трендовых моделейКоэффициент детерминации (прил. 3) для линейной и квадратичноймоделей оказался достаточно низкий, меньше 0,71, что свидетельствует ослабой аппроксимации (принято считать достаточным для качества моделиR 2 = 0,75). Следовательно, данные модели нежелательно использовать дляпрогноза, так как он может оказаться недостоверным.Строя полиномиальные модели более высоких порядков, а именно,3-го и 4-го, получили, что для всех трендовых моделей коэффициент детерминациисущественно не различается ( R 2 £ 0. 9 ).Выбор наилучшей модели проводили по информационным критериямАкаики (AIC) и Шварца (SC) [11].æçAIC = lnççènö÷ 2 k÷ +÷ nøn2et ×t= 1,åæçSC = lnççèгде n - число наблюдений, k - число степеней свободы.2eöt ÷ k × ln n1÷ +n ÷ nønåt= ,Полином 4-й степени лучше аппроксимирует сглаженные значенияиндекса Доу-Джонса, так как по обоим критериям он имеет наименьшие13

значения ( AIC = 0. 5697, SC = 0. 6198 для полинома 4-й степени иAIC = 0.6918, SC = 0. 7294 для полинома 3-й степени).§ 1.1. Полиномиальная модель регрессииПолином 4-й степени (рис. 4) для индекса Доу-Джонса имеет следующийвид:-42-63-8Y = 107.64 + 0.03t + 5.00 × 10 t - 5.43×10 × t + 1.37 × 10 ×tкоэффициенты оценены по методу наименьших квадратов (МНК).t4,Y123 t121119117115113111109107исходные данные Полиномиальный (исходные данные)14.11.0528.11.0512.12.0526.12.059.1.0623.1.066.2.0620.2.066.3.0620.3.063.4.0617.4.061.5.0615.5.0629.5.0612.6.0626.6.0610.7.0624.7.067.8.0621.8.064.9.0618.9.062.10.0616.10.0630.10.0613.11.06 датаРис. 4. Графики сглаженных значений индекса Доу-Джонса иполинома 4-й степениДля полинома 4-й степени коэффициент детерминации равен 0.87,следовательно, построенная модель аппроксимирует исходные данные на87%, остальные 13% приходятся на ошибки.Рассмотрим уровень значимости равный 0,05. По F-критерию Фишера(прил. 3) рассчитанная статистика F= 479. 55, а табличное значениеF tab= F(0.05;289;4) = 2.4. Поскольку статистика F > F , можно сделать вы-tabвод о значимости уравнения регрессии по данному критерию на заданномуровне значимости. По критерию Стьюдента (прил. 3) коэффициент b не-114

значим, исключив незначимый коэффициент из уравнения регрессии и пересчитавкоэффициенты, получим следующее уравнение:Yt= 108.19 + 0.0009t2- 7.3×10-6t3+ 1.67 × 10В задачу регрессионного анализа входит не только построение модели,которая бы хорошо аппроксимировала исходные данные, но и исследованиеостатков (рис. 5), которое предполагает проверку 5 предпосылок регрессионногоанализа.1. нулевая средняя величина;2. остатки подчиняются нормальному распределению;3. случайный характер остатков;4. гомоскедастичность 6 ;5. отсутствие автокорреляции, т.е. остатки распределенынезависимо друг от друга.-8t45e t43210-1-2-3-4-5t0 50 100 150 200 250 300Рис. 5. График остатков полиномиальной модели 4-го порядка6 Гомоскедастичность – дисперсия каждого остатка одинакова для всех значений.15

Средняя величина остатков близка к нулю и равна3.2-14× 10 ; остаткиtподчиняются нормальному закону распределения ( Î [-1.96;1.96]S ad= 1.76), за исключением примерно 3%.eSad, гдеПроверку остатков на случайность будем проводить с помощью критерия,основанного на медиане выборки.Из исходного рядаe K образуется ранжированный (вариационный)ряд e ( ) £ K £ e1 ( n).,e , e1 2 nОпределяется медиана ранжированного ряда:med =eìïíïîe( m+1),+ e( m ) ( m+1)Сравнив значения исходного рядапоследовательность,d , d1 2 n2d K по формуле:,если n = 2m + 1,.если n = 2m.ei,ì+, если yi> med,ïd = í0,если y = med,iiïî-,если yi< med.i = 1,n с медианой, составимВ дальнейшем рассматриваются только плюсы и минусы, нули неучаствуют в анализе. Подсчитывается число серий 7 v ( n)в последовательностиi = 1, n . Определяется t ( n)- протяженность самой длинной серии.d ,imaxПри условии случайности ряда,e , e1 2 ne K (т.е. в отсутствие тенденции)протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой,а общее число серий – слишком маленьким. Поэтому при нарушениихотя бы одного из следующих неравенств гипотеза о случайности отвергаетсядля 5%-го уровня значимости:7 Серия – последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Отдельно стоящих плюс или минустоже считается серией.16

ìïvíïîté1( n) > × ( n + 1-1.96 × n - 1)maxêë2( n) < [ 3.3 × lg( n + 1)].Исследуемый ряд остатков оказался неслучайным, так какn ( n) < 130.73 , t > 8. 15 ( n ( n) = 17, t = 30,med = 0. 15 ).max maxПоследние две предпосылки проверены в программе Statist (прил. 2),которая написана на языке C++ Visual Studio.ùúû,Рис. 6. Интерфейс программы StatistКритерий Дарбина-Уотсона свидетельствует о том, что в остаткахосталась автокорреляция 1-го порядка ( 0 < DW < d ); критерий Гольдфельда-Куандтапоказал, что статистикаF > F , следовательно, дисперсия гете-tabроскедастична 8 .нПодведем итоги анализа ряда остатков. Три последние предпосылкирегрессионного анализа не соблюдены, это говорит о том, что построенныепо МНК оценки коэффициентов уравнения регрессии не являются состоя-8 Гетероскедастичность – дисперсия каждого остатка различна для всех значений.17

тельными 9 и эффективными 10 . Следовательно, рассматриваемую модель необходимокорректировать.Попытаемся исключить зависимость в остатках и гетероскедастичность,построив на полученных отклонениях модель.Интеграционная статистика Дарбина-Уотсона (IDW - статистика)проверяет ряд на стационарность 11 . IDW - статистика имеет следующийвид:nå ( e - e )t t-1IDW ,t=1= nt=1å ( e - e )t tгде e - остатки, e - выборочное среднее e .tttРассматриваемый ряд является нестационарным, так как статистика( IDW = 0, 09) близка к нулю. Следовательно, необходимо строить модельARIMA (p,d,q). Если остатки, полученные по модели ARIMA, будут «белымшумом» 12 , тогда общий вид аддитивной модели можно представить в виде:Y = T + u + e¢,где u - значения модели ARIMA, e¢ - остатки.ttttt22§ 1.2. Построение модели ARIMA для ряда остатковМетодология ARIMA(p,d,q), разработанная Боксом и Дженкинсом,чрезвычайно популярна во многих приложениях, и практика подтвердилаего мощность и гибкость. Однако из-за мощности и гибкости, ARIMA -сложный метод.Общая модель [5], предложенная Боксом и Дженкинсом, включаеттри типа параметров модели: параметры авторегрессии ( p), порядок разно-9 Состоятельные оценки – точечные оценки, сходящаяся по вероятности к оцениваемому параметру.10 Эффективные оценки – это оценки, которые характеризуются наименьшей дисперсией.11 Стационарный ряд – это ряд, у которого среднее постоянно, а выборочные дисперсия и автокорреляцияне меняются во времени.12 «Белый шум» - случайный процесс, т.е ряд независимых, одинаково распределенных случайных величин,удовлетворяющих свойствам постоянства матожидания и дисперсии.18

сти ( d), параметры скользящего среднего ( q). Общий вид моделиARIMA (p,d,q) представлен в следующем виде:гдеwd= D u ,tt t( f )0+ f1wt-1+ + fpwt-p+ et- q1et-1- - qqet qwt= K-K ,e - «белый шум», d - порядок разности.Моделирование с помощью ARIMA производится на ряде, составленномиз остатков (рис.5). Ранее было выяснено, что ряд нестационарный,следовательно, необходимо «взять разности» 13 (продифференцировать ряд).Продифференцированный ряд – стационарный, так как статистикаIDW > IDW L( IDW = 1. 2, IDW L= 0. 18). На графике АКФ на (рис. 8) достаточномало положительных значений, стандартное отклонение среднегосильно уменьшилось после дифференцирования - с 1.31 до 0.38. Если братьвторую производную, то получим стандартное отклонение равное 0,64. Известно[12], что оптимальный порядок дискретной производной - тот, прикотором минимально стандартное отклонение. Поэтому будем исследоватьвременной ряд, продифференцированный один раз.Параметры p и q определяются с помощью коррелограмм частнойавтокорреляционной функции 14 (ЧАКФ) и АКФ [5]. Для определения параметровбудем исследовать АКФ И ЧАКФ производной (рис. 7).13 Часто вместо «взять разности» используют термин продифференцировать ряд, что не совсем удачно.14 Частная автокорреляционная функция – это функция аналогичная автокорреляционной функции, за исключениемтого, что при вычислении ее удаляется влияние автокорреляции с меньшими лагами.19

Рис. 7. Графики АКФ и ЧАКФ продифференцированного рядаВидно, что АКФ имеет несколько резко выделяющихся значения на1-м, 2-м, 7-м, 8-м и 9-м лагах, следовательно, рассмотрим q = 1, 2, 9 . ЧАКФтак же имеет несколько выделяющихся значение на 1-м, 3-м, 7-м и 9-м лагах,поэтому p = 1,3,7,9 .В табл. 1. представлены построенные модели, так же значения длякаждой модели по информационным критериям Акаики и Шварца.Таблица 1. Модели ARIMA (p,d,q) для ряда остатковМодельЗначениекритерияАкаикиЗначениекритерияШварцаARIMA(1,1,0) -2,08 -2,06ARIMA(3,1,1) -2,10 -2,09ARIMA(2,1,2) -2,11 -2,09ARIMA(7,1,9) -2,21 -2,18Подводя итоги, можно сделать вывод, что лучшей является модельARIMA(7,1,9), так как у нее наименьшие значения по критериям Акаики иШварца.У построенной модели только 2 коэффициента значимы. Пересчитаннаямодель ARIMA(7,1,9) выглядит следующим образом:w 0.8w + e + 0. 86et t-6tt-6= .АКФ и ЧАКФ для остатков ARIMA(7,1,9) имеют следующий вид:Рис. 8. Графики АКФ и ЧАКФ остатков модели ARIMA(7,1,9)20

Автокорреляции на лагах 1 и 2 отсутствуют. Видно (рис. 8), что рядостатков колеблется вокруг среднего. Хотя на 33 и 34 лагах видны небольшиеслучайные всплески, можно сделать предположение, что остатки моделиARIMA (7,1,9) являются «белым шумом».Для проверки является ли ряд остатков «белым шумом» воспользуемсяQ - статистикой Бокса-Пирса:k2å r ii=1Q = n × ,где r - выборочный коэффициент автокорреляции, n - количество наблю-iдений, k - лаг.Ряд, составленный из остатков модели ARIMA(71,9) является «белымшумом», так какkQ крит> Q (табл. 2).Таблица 2. Q - статистика Бокса-Пирса для ARIMA(7,1,9).Q крит Q kQ крит Q kQ крит Q kQ крит Q1 0,0045 0,0045 19 7,3176 6,9168 37 27,9886 25,2884 55 39,3818 34,89102 0,0173 0,0171 20 7,5221 7,1061 38 28,3206 25,5754 56 41,5637 36,64393 0,0216 0,0213 21 9,7344 9,1459 39 30,4536 27,4119 57 42,3840 37,30014 0,0314 0,0309 22 9,8678 9,2684 40 31,4965 28,3064 58 44,5043 38,98915 0,2319 0,2267 23 9,9334 9,3285 41 32,1011 28,8228 59 45,0837 39,44886 0,4568 0,4454 24 10,5986 9,9350 42 32,9870 29,5766 60 45,1629 39,51137 0,4606 0,4492 25 10,6460 9,9781 43 34,5253 30,8803 61 45,2589 39,58688 0,8828 0,8570 26 10,7155 10,0410 44 35,0181 31,2962 62 45,4873 39,76579 1,6569 1,6023 27 10,9098 10,2162 45 36,2514 32,3330 63 46,6435 40,667110 2,2519 2,1731 28 11,8740 11,0824 46 36,2664 32,3455 64 47,3720 41,232611 2,2768 2,1969 29 12,5518 11,6890 47 36,5908 32,6161 65 47,8390 41,593612 2,4746 2,3852 30 14,7560 13,6540 48 36,9696 32,9307 66 48,5685 42,154913 2,6612 2,5624 31 16,4055 15,1190 49 37,1480 33,0782 67 49,8261 43,118314 2,8762 2,7658 32 16,4251 15,1363 50 37,1710 33,0972 68 52,2321 44,953415 3,3502 3,2124 33 22,4993 20,4899 51 37,6083 33,4559 69 52,3534 45,045616 3,8752 3,7054 34 22,5362 20,5223 52 37,7057 33,5355 70 56,1418 47,909317 4,7822 4,5539 35 27,5008 24,8642 53 37,9318 33,7195 71 57,5657 48,980818 7,1338 6,7461 36 27,7585 25,0888 54 38,4326 34,1252 72 57,5857 48,995973 58,3404 49,558674 58,3813 49,5890§ 1.3. Исправленная полиномиальная модельСкорректировав остатки трендовой модели при помощиARIMA(7,1,9), построим исправленную полиномиальную модель 4-го порядка(рис. 9), у которой остатки являются «белым шумом».21

Y tсглаженные значенияиндекса Доу-Джонса исправленная полиномиальная модель1231221211201191181171161151141131121111101091081071 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201 211 221 231 241 251 261 271 281 291датаРис. 9. Графики исправленной полиномиальной модели 4-го порядка и сглаженныезначения индекса Доу-Джонса§ 2. Тест ЧоуНа рис. 1 видны единовременные изменения тенденции исследуемогоряда, которые произошли под влиянием экономических факторов. Поэтому,начиная с некоторых моментов, происходят структурные изменениядинамики индекса Доу-Джонса, что приводит к изменению параметровтренда, описывающего эту динамику [11]. Необходимо выяснить значимоли повлияли структурные изменения на характер тенденции. Если влияниеоказалось весомым, тогда необходимо строить кусочно-непрерывную модельрегрессии. В противном случае, динамику индекса можно описать спомощью единого уравнения регрессии.Перед применением теста Чоу более детально изучим динамику индексаДоу-Джонса. Тенденцию динамики индекса можно разделить на триэтапа развития (рис. 1). Первый этап, начинающийся с 14 ноября 2005г. характеризуетувеличение значений индекса. В дальнейшем, а именно, с12 мая 2006 г., индекс стал достаточно быстро снижаться – второй этап. С19 июля 2006 г. тенденция сменилась на обратную, которая сохранилась доконца рассматриваемого периода.22

Статистический тест Чоу [11] подразумевает избрание одной из двухмоделей, а именно, выбор единой по всем значениям или кусочнонепрерывноймоделей. При построении кусочно-непрерывной модели происходитуменьшение остаточной суммы квадратов по сравнению с единымуравнением тренда. Тем не менее, разделение совокупности значений начасти ведет к потере числа наблюдений, а именно, к уменьшению числасвободы в каждом уравнении кусочно-непрерывной модели. Поэтому выбормежду моделями будет зависеть от соотношения между снижением остаточнойдисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе отединого уравнения тренда к кусочно-непрерывной модели [11].Построим регрессионные модели (табл. 3) и для единой совокупности,и для трех подсовокупностей значений индекса Доу-Джонса. Коэффициентывычислены по МНК.Таблица 3. Предварительные результаты для теста Чоуномерурав-вид уравнения 2Rчисло наблюденийв совокупностиОстаточнаясумма квадратов( Q e )число параметроввуравнении,не включаясвободныйчислостепенейсвободыКусочно-непрерывная трендовая модель(t) T 1Y12-63t = 111.56 + 0.00001t - 2.6 × 10 t 0,85 179 91,12 2 177(t) T 2Y2t0.001t= 110.28+0.09t + 0.01t3-1×10-5t42+ 7.9×10--7t50,84 68 23,09 5 63T 3 (t)Y 3 t 109.85 - 0.12t= 0,96 118 57,04 1 117(t) T 4Уравнение тренда по всей совокупности наблюдений2 -63Yt= 108.19 + 0.0009t - 7.3×10 t +0,87 365 510,2 3 362-84+ 1.67×10 tДля проверки изучаемого ряда на структурную стабильность необходимонайти остаточную сумму квадратов по кусочно-непрерывной модели:C = С + С + С ,кнoct1ост2ост3остгдеC - остаточная сумма квадратов i-й модели, i = 1,2, 3 (табл. 1).iост23

Соответствующее ей число степеней свободы составит:( n k ) + ( n - k ) + ( n - k ) = ( n - k - k - )- , где n - число наблюденийik1 1 2 2 3 31 2 3i-й модели, k - число параметров i -м уравнении регрессии.iСокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнениятренда к кусочно-непрерывной модели вычисляется по следующейформуле:гдеD C = С - С ,4С - остаточная сумма квадратов для единого тренда.остост4осткностЧисло степеней свободы, соответствующееD C :ост( n - k - k - k ) = k + k + k1 2 3 1 2 3 4n - k- .-k4Фактическое значение F - критерия определяется по следующимдисперсиям на одну степень свободы вариации:FфактDC/(k + k + k - k )ост 1 2 3 4= .клC /(n - k - k - k )остНайденное значение Fфактсравнивают с табличным, полученным потаблицам распределения Фишера для уровня значимости a = 0, 05 и числастепеней свободы ( k + k + k - k ) и ( n - k - k - k ). Если F1 2 3 41 2 3факт> Fтабл, тогипотеза о структурной стабильности тенденции отклоняется, а влияниеструктурных изменений на динамику изучаемого показателя признают значимым.В этом случае моделирование тенденции временного ряда следуетосуществлять с помощью кусочно-непрерывной модели. В противном случае,нет оснований отклонять структурную стабильность тенденции.Проверка стабильности теста Чоу для исследуемого ряда показала,что для рассматриваемого показателя необходимо строить кусочнонепрерывнуюмодель регрессии, так как статистика Fфакт> Fтабл( F факт= 113, 21, а F табл= 2, 25).12324

§ 3. Построение кусочно-непрерывной модели§ 3.1. Кусочно-непрерывная модельТест Чоу (§ 2) показал, что в исследуемом ряду отсутствует структурнаястабильность, следовательно, построим кусочно-непрерывныйтренд.Ранее (§ 2) было выявлено, что динамику индекса Доу-Джонса можноразделить на три этапа. Каждой смене тенденции соответствует определеннаяточка «перелома». Точку, которая является решающей при сменепервого этапа на второй, обозначим t 1. Момент времени, являющийся переломныммежду вторым и третьим этапами - t 2.Выбор моментов переломов - важный и сложный. Поварьировавзначения переломов t и t , построили различные кусочно-непрерывные1 2модели (табл. 4).Табл. 4. Значения кусочно-непрерывных моделей2Номер Уравнение модель промежутки R2SadMAD1231tY = 108.497 + 3.0 × 10- 0.175d(t)Y2t- 0.178d(t)Y3t[ t - t ] + 0.152c(t) [ t - t ]= 108.467 + 3.1×10- 0.172d(t)1-5214.11 - 11.05t-[ t - t ] + 0.150c(t) [ t - t ]= 108.529 + 2.9 × 1012212.05 - 18.0719.07 - 13.11-5214.11 - 10.05t-[ t - t ] + 0.154c(t) [ t - t ]1211.05 - 17.0718.07 - 13.11-5214.11 - 12.05t-13.05 - 19.0720.07 - 13.110,9357 0,8856 0,84130,9373 0,8354 0,82180,9336 0,8846 0,8695ì0,если t £ t1где d (t) = í,î1,если t1< t < t2ì0,еслиt£ t2c (t) = í.î1,еслиt> t2Коэффициенты регрессионных моделей рассчитаны по МНК. Покритерию Стьюдента получили, что для каждой построенной модели всекоэффициенты значимы.Видно (табл. 4), что коэффициент детерминации у второй моделинаивысший, следовательно, построенная модель лучше аппроксимирует25

сглаженные значения индекса Доу-Джонса. Вторая модель является наилучшей,так как у нее наименьшая дисперсия ошибок и среднее абсолютноеотклонение (MAD). Подводя итоги, можно сделать вывод, что необходимостроить вторую кусочно-непрерывную модель.Y tиндекс Доу-Джонса кусочно-непрерывная модель12312212112011911811711611511411311211111010910810714.11.0528.11.0512.12.0526.12.059.1.0623.1.066.2.0620.2.066.3.0620.3.063.4.0617.4.061.5.0615.5.0629.5.0612.6.0626.6.0610.7.0624.7.067.8.0621.8.064.9.0618.9.062.10.0616.10.0630.10.0613.11.06 датаРис. 10. Графики сглаженных значений индекса Доу-Джонса и кусочнонепрерывноймоделиРассмотрим уровень значимости равный 0,05. По F-критерию Фишера(прил. 3) рассчитанная статистика F = 1444. 46, а табличное значениеF tab= 2.4. Поскольку статистика F > F , можно сделать вывод о значимостиtabуравнения регрессии по данному критерию на заданном уровне значимости.Проанализируем остатки кусочно-непрерывной модели.26

e t2,521,510,50-0,5-1-1,5-2-2,5-3-3,5t0 50 100 150 200 250 300Рис. 11. Остатки кусочно-непрерывной моделиВидно (рис. 11), что в ряде остатков присутствует направленность,поэтому можно сделать вывод, что остатки гетероскедастичны. Следовательно,остатки не являются «белым шумом». Скорректируем ряд остатковс помощью модели ARIMA.§ 3.2. Построение модели ARIMA для ряда остатковРяд остатков нестационарный, так как по интеграционной статистикеДарбина-УотсонаIDW < IDW ( IDW = 0. 16, IDW =0,1756). Для приве-UUдения его к стационарному виду возьмем первые разности. Ряд являетсястационарным, так какIDW < IDW ( IDW = 1. 37 , IDW =0,1764).LLВидно, что АКФ и ЧАКФ продифференцированного ряда (рис. 12)имеют несколько резко выделяющихся значений на 1-м, 2-м, 4-м, 7-м, 8-м и9-м лагах, следовательно, q = 1,2,4,7,8, 9, p = 1,3,7,9 .При взятии второй разности получаем нестационарный ряд, так какIDW > IDW U( IDW = 1. 08, а IDW U= 0. 1765 ).Следовательно, будем строить модели ARIMA(p,1,q).27

Рис. 12. Графики АКФ и ЧАКФ продифференцированного рядаВ таблице 5 представлены построенные модели, а так же значенияинформационных критериев Акаики и Шварца для каждой модели.МодельТабл. 5. Модели ARIMA (p,d,q) для остатковЗначениекритерияАкаикиЗначениекритерияШварцаARIMA(1,1,2) -2.12 -2.10ARIMA(3,1,7) -2.22 -2.17ARIMA(3,1,8) -2.23 -2.20ARIMA(7,1,8) -2.25 -2.15ARIMA(7,1,9) -2.26 -2.21По критериям Акаики и Шварца модель ARIMA(7,1,9) оказаласьнаилучшей. У построенной модели 5 коэффициентов значимы. Следовательно,модель ARIMA(7,1,7) имеет следующий вид:w 0.57w + 0.73w - 0.67w + e + 0. 83et t -1t-6t -7tt -6= .По графику остатков (рис. 13) можно предположить, что остатки являются«белым шумом».28

Рис. 13. График остатков модели ARIMA(7,1,9)Этот вывод подтверждает Q - статистика Бокса-Пирса, так какQ крит> Q (табл. 6).Таблица 6. Q - статистика Бокса-Пирса.kQ крит Q k Q крит Q k Q крит Q k Q крит Q1 0,0032 0,0032 19 7,7046 7,2988 37 25,9452 23,5011 55 36,6677 32,57972 0,0977 0,0964 20 7,7495 7,3404 38 26,4034 23,8974 56 37,9123 33,58043 0,1005 0,0991 21 9,0394 8,5301 39 28,8775 26,0287 57 38,1624 33,78074 0,2231 0,2193 22 9,4288 8,8879 40 29,6799 26,7173 58 41,3766 36,34335 0,5039 0,4934 23 9,4744 8,9297 41 30,4439 27,3703 59 41,4936 36,43626 1,0319 1,0072 24 10,2666 9,6523 42 31,3619 28,1519 60 41,5017 36,44267 1,0760 1,0500 25 10,2667 9,6523 43 32,7597 29,3372 61 41,5216 36,45838 1,2801 1,2471 26 10,2686 9,6541 44 33,1269 29,6473 62 41,6037 36,52279 2,0376 1,9765 27 10,7902 10,1246 45 34,1643 30,5200 63 43,5127 38,012410 2,3615 2,2872 28 11,3095 10,5912 46 34,1921 30,5433 64 44,0791 38,452511 2,4692 2,3902 29 11,7662 11,0001 47 34,6592 30,9331 65 44,1786 38,529512 3,0302 2,9247 30 13,8930 12,8970 48 34,9573 31,1808 66 45,6660 39,675213 3,2372 3,1212 31 15,7677 14,5627 49 35,3672 31,5200 67 47,6091 41,165314 3,3284 3,2074 32 15,8396 14,6263 50 35,4728 31,6071 68 49,3317 42,480615 4,1859 4,0157 33 20,9635 19,1444 51 35,6811 31,7781 69 49,8904 42,905316 4,3728 4,1913 34 20,9745 19,1541 52 35,6834 31,7800 70 52,2651 44,702317 5,0988 4,8706 35 25,4845 23,1002 53 36,3522 32,3246 71 52,8957 45,177418 7,2523 6,8787 36 25,7312 23,3153 54 36,4682 32,4186 72 52,9531 45,220573 53,1826 45,391874 53,1838 45,392729

§ 3.3. Исправленная кусочно-непрерывная модельОбщий вид исправленной кусочно-непрерывной модели представимв виде:Y = T + u + e¢,где u - значения модели ARIMA (7,1,9), e¢ - остатки.ttttt12312212112011911811711611511411311211111010910810714.11.0528.11.0512.12.0526.12.059.1.0623.1.06Y tиндекс Доу-Джонса исправленная кусочно-непрерывная модель6.2.0620.2.066.3.0620.3.063.4.0617.4.061.5.0615.5.0629.5.0612.6.0626.6.0610.7.0624.7.067.8.0621.8.064.9.0618.9.062.10.0616.10.0630.10.0613.11.06датаРис. 14. Графики сглаженных значений индекса Доу-Джонса и исправленнойкусочно-непрерывной модели30

Глава 5. Построение моделей ARIMA(p,d,q)Построив в приложении Statistica графики АКФ (рис. 3) и ЧАКФ(рис. 15) получили, что АКФ убывает почти линейно, а ЧАКФ имеет резковыделяющееся значения на 1-м лаге. Будем строить авторегрессионную модель1-го порядка AR(1).AR(1) имеет следующий вид:Рис. 15. График ЧАКФ индекса Доу-ДжонсаY 1.44 + 0.99Y t t -1= .По критерию Стьюдента свободный член незначим на 5-% уровнезначимости. Однако из экономических соображений в модели крайне редкосвободный член не учитывается, даже если он незначим [11]. По критериюФишера (прил.3) уравнение регрессии значимо, так какF табл= (0,05;1;292) = 3,87 ).F > F ( F » 7579,таблКоэффициент детерминации равен 0 . 96, следовательно, модельAR(1) аппроксимирует исходные данные на 96%, остальные проценты приходятсяна ошибку.31

e t543210-1-2-3-4-5Y пр106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122Рис. 16 График остатков модели ARIMA(1,0,0)Анализируя остатки AR(1) (рис. 16) выявили [10], что все предпосылкирегрессионного анализа выполняются. Следовательно, можно сделатьтеоретические значения хорошо аппроксимируют фактические.Поскольку исходный ряд нестационарный (выявлено в главе 3), тодля приведения рассматриваемого ряда к стационарному виду, возьмемпервые разности. Ряд стационарный, так как IDW > IDWLIDW = 1.2, IDW L= 0. 18 .Графики АКФ и ЧАКФ (рис. 17) продифференцированного ряда указываютна то, что необходимо брать параметры p = 1,3,7, 9 и q = 1,2,6,7,8, 9 .32

так какРис. 17. Графики АКФ и ЧАКФ продифференцированного рядаПродифференцировав ряд еще раз получаем нестационарный ряд,IDW > IDW ( IDW = 1. 06, а IDW 0. 1765UU= ).В приложении Statistica 6.0 для сглаженных значений индекса Доу-Джонса были построены всевозможные модели (табл. 6).МодельЗначениекритерияАкаикиТабл. 6. Модели ARIMA(p,d,q)ЗначениекритерияШварцаARIMA(1,1,1) -2,08 -2,07ARIMA(1,1,2) -2,10 -2,07ARIMA(3,1,1) -2,11 -2,09ARIMA(7,1,6) -2,18 -2,11ARIMA(9,1,7) -2,19 -2,17ARIMA(9,1,8) -2,20 -2,17ARIMA(9,1,9) -2,20 -2,16По критериям Акаики и Шварца наилучшими являются моделиARIMA(9.1.8) и ARIMA(9.1.9) так как у них наименьшие значения по обоимкритериям.Проанализируем модель ARIMA(9.1.8) (рис. 18), которая имеет следующийвид:w 0.46w + e + 0. 4et t-6tt-6= .Рис. 18. График модели ARIMA(9,1,8)33

Стандартная ошибка модели равна 0 . 1167. Исследуем остатки(рис. 19) построенной модели. Средняя величина остатков близка к нулю иравна7-4× 10 .Рис. 19. График остатков модели ARIMA(9.1.8)Проверяя остатки на случайность по критерию, основанному на медианевыборки, получилиìvíît( n)>( n)max130.25, где n ( n) = 139 , 9max< 18.76t = .График остатков (рис. 19), а так же Q - статистика Бокса-Пирса ( Q крит> Q ) (табл. 7) позволяют сделать вывод о том, что остатки являются«белым шумом». Следовательно, построенную модель возможноиспользовать для прогноза.kТаблица 7. Q - статистика Бокса-Пирса.Q крит Q kQ крит Q kQ крит Q kQ крит Q1 0,0010 0,0010 19 3,2060 3,0167 37 21,5788 19,4007 55 32,8044 28,86822 0,0111 0,0110 20 3,2508 3,0582 38 22,0185 19,7808 56 35,4282 30,97623 0,0453 0,0446 21 4,7003 4,3947 39 24,7855 22,1631 57 36,1916 31,58694 0,1039 0,1020 22 4,9787 4,6504 40 25,7363 22,9786 58 39,3290 34,08615 0,1754 0,1718 23 5,9937 5,5794 41 27,4234 24,4197 59 39,3820 34,12836 0,2411 0,2357 24 6,0656 5,6450 42 27,4655 24,4556 60 39,3823 34,12857 0,2632 0,2571 25 6,5800 6,1123 43 28,0741 24,9714 61 39,4268 34,16358 0,2908 0,2837 26 6,5822 6,1143 44 28,1966 25,0748 62 39,6844 34,36529 0,4133 0,4018 27 7,5786 7,0127 45 28,8642 25,6360 63 40,5696 35,055410 0,4524 0,4392 28 8,5233 7,8614 46 28,8642 25,6360 64 41,7596 35,979111 0,4752 0,4610 29 8,5253 7,8632 47 29,5365 26,1966 65 42,1093 36,249412 0,4791 0,4647 30 13,6856 12,4637 48 29,5377 26,1976 66 43,1625 37,059834

13 0,5155 0,4993 31 14,5892 13,2662 49 30,3877 26,9007 67 45,4307 38,797414 0,6323 0,6098 32 14,6820 13,3483 50 30,3946 26,9064 68 47,9972 40,755015 1,1030 1,0534 33 18,4886 16,7033 51 31,0634 27,4550 69 48,0130 40,767016 1,1955 1,1402 34 18,5303 16,7399 52 31,1538 27,5289 70 52,0382 43,809717 1,9107 1,8093 35 20,7645 18,6939 53 32,2931 28,4557 71 52,5074 44,162918 3,1856 2,9977 36 20,7975 18,7227 54 32,2933 28,4559 72 52,6191 44,246573 53,1561 44,647074 53,5276 44,9228ARIMA(9.1.9) имеет 3 значимых коэффициента, пересчитанная модельвыглядит следующим образом:w = 0.43w - 0.53w + 0.59wtt- 1t-7t-8У модели ARIMA(9.1.9) (рис. 20) стандартное отклонение равно0.1158.Рис. 20. График модели ARIMA(9.1.9)Исследуя остатки (рис. 21) на случайность получили:ìvíît( n)>( n)max130.25,< 18.76max =где n ( n) = 141, t 9 . Следовательно, ряд, составленный из остатков моделиARIMA(9.1.9) случаен. Средняя величина остатков близка к нулю иравна 0 . 035.35

Рис. 21. График остатков модели ARIMA(9.1.9)ПоQ - статистика Бокса-Пирса (табл. 8) остатки моделиARIMA(9.1.9) являются «белым шумом».Таблица 8. Q - статистика Бокса-Пирса.kQ крит Q kQ крит Q kQ крит Q kQ крит Q1 0,2053 0,2032 19 4,9122 4,6836 37 17,7913 16,2334 55 28,7332 25,47432 0,2054 0,2033 20 4,9145 4,6857 38 18,7419 17,0551 56 31,1975 27,45413 0,7826 0,7707 21 5,6978 5,4079 39 21,7593 19,6531 57 31,8017 27,93754 0,8055 0,7932 22 5,7139 5,4227 40 21,8575 19,7374 58 34,2897 29,91945 1,3137 1,2893 23 8,8927 8,3322 41 23,1362 20,8297 59 34,3039 29,93076 1,3865 1,3601 24 9,1344 8,5526 42 23,9509 21,5228 60 34,3743 29,98627 1,3880 1,3616 25 9,2017 8,6137 43 24,1347 21,6787 61 34,4037 30,00948 1,6311 1,5964 26 9,5682 8,9454 44 24,4774 21,9679 62 34,9170 30,41139 1,6623 1,6265 27 9,8557 9,2046 45 25,0912 22,4839 63 35,9946 31,251510 1,6623 1,6265 28 10,5297 9,8101 46 25,0993 22,4907 64 37,0103 32,039911 1,8336 1,7902 29 10,8448 10,0921 47 25,5362 22,8551 65 37,1250 32,128612 2,0874 2,0320 30 14,4015 13,2630 48 25,5483 22,8651 66 37,9085 32,731513 2,0987 2,0427 31 14,5577 13,4018 49 26,7701 23,8757 67 40,2463 34,522514 2,8604 2,7631 32 14,5590 13,4029 50 26,8937 23,9775 68 42,2185 36,026715 3,4056 3,2769 33 15,8622 14,5515 51 27,3317 24,3368 69 42,4121 36,173716 3,4677 3,3352 34 15,8672 14,5558 52 27,3324 24,3374 70 47,2744 39,849317 4,1596 3,9826 35 17,0264 15,5697 53 28,3238 25,1439 71 47,7626 40,216718 4,7658 4,5476 36 17,0286 15,5716 54 28,3475 25,1631 72 47,9996 40,394273 48,1679 40,519774 48,5697 40,8181Подводя итоги, можно сказать, что и модель ARIMA(9.1.8) , и модельARIMA(9.1.9) хорошо аппроксимируют сглаженные значения индекса36

Доу-Джонса. Следовательно, построенные модели можно использовать дляпостроения краткосрочного точечного прогноза.37

Глава 6. Статистическое сравнение моделейСравним построенные модели по критерию Николаевой, методу абсолютныхотклонений (MAD) и проверим, какая из моделей дает более высокуюточность аппроксимации.По критерию Николаевой лучшей является та модель, у которой остаточнаядисперсия ( S ) минимальна. По критерию MAD лучшей является2adта модель, у которой среднее абсолютное отклонение наименьшее.Для характеристики точности модели воспользуемся показателемсредней относительной ошибки аппроксимации, который рассчитываетсяпо формуле:где e t-остаточная компонента, а ŷ t-e1ent= × å × 100%отнn t=1 ŷtпредсказанное значение.Полученное значение средней относительной ошибки говорит о достаточновысоком уровне точности построенной модели (ошибка менее 5%свидетельствует об удовлетворительном уровне точности; ошибка в 10 иболее процентов считается очень большой).,Таблица 9. Статистическое сравнение моделеймодельЕдиная трендовая модель +ARIMA (7,1,9) на остаткахКусочно-непрерывная модель+ ARIMA (7,1,9) на остатках2Sade MADотн1,7593 0,8838% 0,99900,8354 0,6184% 0,8241ARIMA(1.0.0) 0,5040 0,42% 0,4687ARIMA(9.1.8) 0,1107 0,2143% 0,2371ARIMA(9.1.9) 0,1102 0,2115% 0,2372Все проведенные критерии показали, что модель ARIMA(9.1.9) лучшеаппроксимирует исходные данные, чем остальные построенные модели,так как по всем критериям модель ARIMA(9.1.9) дает наименьшие значения.38

Глава 7. Построение прогнозаПодводя итоги исследования, можно сделать вывод, чтомодели ARIMA(p,d,q) лучше аппроксимируют динамику индекса Доу-Джонса. Поэтому построим прогноз (табл. 10) только для моделей AR(1),ARIMA(9,1,8) и ARIMA(9,1,9). Построенные модели эффективны толькодля краткосрочного прогноза, поэтому будем строить прогноз на 2 дня.При прогнозировании существует подход [11], когда модель проверяютна адекватность и точность на фактических данных, не использованныхпри построении модели.Y t123,5123,0122,5122,0121,5121,0120,5120,0прогнозные значения нижняя граница верхняя гранца119,514.11.2006 15.11.2006 датадатаРис. 22 Графики фактических значений и прогноза по модели ARIMA(9,1,8)Для прогноза по моделям ARIMA(p,d,q) используется формула:Фактическиезначенияw ~ w w-pqt+ h= f0+ f1t+h+ K + fpt+h+ q1et-h-1+ Kqqet-h1AR(1)нижние99%верхние99%ARIMA(9,1,8)Таблица 10. Прогнозные значениянижние99%верхние99%ARIMA(9,1,9)нижние99%верхние99%14.11.06 120,88 121,19 121,12 121,36 121,48 120,64 122,41 121,43 120,54 122,3115.11.06 122,06 121,24 121,18 121,41 121,60 120,17 123,23 121,54 120,00 123,0816.11.06 122,5017.11.06 122,7818.11.06 123,37Фактические значения (табл. 10) моделей ARIMA (9,1,8) иARIMA (9,1,9) попадают в доверительный интервал (прил. 3). Прогноз по39

ЗаключениеВ ходе исследования динамики индекса Доу-Джонса было построено5 моделей.В динамике индекса прослеживается резкое изменение тенденции напериод с 11.05 по 19.07, которое вызвано нестабильностью экономикиСША. Проверив на структурную стабильность по тесту Чоу исследуемыйпоказатель, выявили, что необходимо строить кусочно-непрерывную модель.Поэтому были построены полиномиальная и кусочно-непрерывнаямодели. Обе модели достаточно хорошо аппроксимируют исследуемый показатель.Так же для исследуемого показателя были построены модели AR(1),ARIMA(9,1,8) и ARIMA(9,1,9).Однако, сравнивая построенные модели, выявили, что наилучшимиявляются модели AR(1), ARIMA(9,1,8) и ARIMA(9,1,9), так как они даютнаименьшие показатели по критерию Николаевой и MAD, лучшую точностьаппроксимации индекса Доу-Джонса.Построив прогнозы по лучшим моделям получили, что все построенныемодели угадали тенденцию развития индекса, однако полученныепрогнозные значения не совпадают с фактическими. Прогноз по моделиARIMA (9,1,8) наилучший, так как ошибка аппроксимации для построенноймодели наименьшая.Очень трудно предугадать поведение исследуемого индекса, так какна экономические показатели воздействуют внешние факторы.41

13. Brok W., Lakonishok S., LeBaron B. Simple tehnical trading rulesand the stochastic properties of stock returns // The Journal of finance. volXLVII, December. 1992. P. 1731_1764.14. www.investnews.ru43

ПриложенияПриложение 1. Исходные значения индекса Доу-Джонсадата У дата У дата У дата У дата У14.11.05 107,0999 26.1.06 107,8842 9.4.06 111,5335 21.6.06 111,3165 2.9.06 114,655115.11.05 107,4191 27.1.06 109,3234 10.4.06 111,8538 22.6.06 110,7460 3.9.06 114,648316.11.05 107,1158 28.1.06 109,3167 11.4.06 111,8639 23.6.06 110,7410 4.9.06 114,641517.11.05 107,2751 29.1.06 109,3101 12.4.06 111,4414 24.6.06 109,9581 5.9.06 114,881718.11.05 107,9611 30.1.06 109,3034 13.4.06 111,7824 25.6.06 110,1306 6.9.06 114,728819.11.05 108,0915 31.1.06 109,2329 14.4.06 111,3765 26.6.06 110,3031 7.9.06 114,072420.11.05 108,2219 1.2.06 109,2658 15.4.06 111,4510 27.6.06 110,6401 8.9.06 114,028421.11.05 108,3523 2.2.06 109,5395 16.4.06 111,5254 28.6.06 109,8117 9.9.06 113,929122.11.05 108,7735 3.2.06 108,6350 17.4.06 111,5999 29.6.06 111,9548 10.9.06 114,070823.11.05 109,5075 4.2.06 107,9378 18.4.06 112,8029 30.6.06 112,3531 11.9.06 114,212524.11.05 109,1913 5.2.06 108,0407 19.4.06 113,0272 1.7.06 111,6663 12.9.06 115,129825.11.05 109,5548 6.2.06 108,1435 20.4.06 113,8399 2.7.06 111,9890 13.9.06 115,670126.11.05 109,5422 7.2.06 108,2268 21.4.06 114,0556 3.7.06 112,3117 14.9.06 115,490827.11.05 109,5295 8.2.06 108,6519 22.4.06 113,4761 4.7.06 112,2802 15.9.06 116,135128.11.05 109,5169 9.2.06 109,5213 23.4.06 113,5366 5.7.06 112,2506 16.9.06 115,613329.11.05 109,5949 10.2.06 109,4499 24.4.06 113,5970 6.7.06 112,5692 17.9.06 115,747830.11.05 109,2482 11.2.06 109,2097 25.4.06 113,5465 7.7.06 112,2546 18.9.06 115,88221.12.05 109,3481 12.2.06 109,3038 26.4.06 113,7987 8.7.06 110,9091 19.9.06 115,61972.12.05 109,2137 13.2.06 109,3978 27.4.06 114,1685 9.7.06 111,3269 20.9.06 116,28723.12.05 108,7783 14.2.06 110,4744 28.4.06 114,1685 10.7.06 111,7447 21.9.06 116,30404.12.05 108,7687 15.2.06 110,6866 29.4.06 113,7186 11.7.06 111,5118 22.9.06 115,34115.12.05 108,7591 16.2.06 111,1916 30.4.06 113,9043 12.7.06 111,4988 23.9.06 115,09306.12.05 109,2489 17.2.06 111,2621 1.5.06 114,0900 13.7.06 110,1583 24.9.06 115,62897.12.05 108,6806 18.2.06 111,2621 2.5.06 114,2757 14.7.06 108,4821 25.9.06 116,16488.12.05 108,4717 19.2.06 111,2258 3.5.06 114,2413 15.7.06 107,4730 26.9.06 116,70279.12.05 108,0595 20.2.06 111,1532 4.5.06 114,6303 16.7.06 107,7487 27.9.06 117,204510.12.05 107,8082 21.2.06 111,4053 5.5.06 115,8622 17.7.06 108,0243 28.9.06 117,277411.12.05 107,9619 22.2.06 111,5918 6.5.06 115,8102 18.7.06 108,1355 29.9.06 117,416712.12.05 108,1155 23.2.06 111,3853 7.5.06 116,0329 19.7.06 110,0206 30.9.06 116,805113.12.05 108,7143 24.2.06 111,1297 8.5.06 116,2557 20.7.06 110,3704 1.10.06 117,036914.12.05 109,1969 25.2.06 110,8741 9.5.06 116,4784 21.7.06 109,5155 2.10.06 117,268615.12.05 109,3852 26.2.06 110,6185 10.5.06 116,7011 22.7.06 108,7119 3.10.06 117,588716.12.05 109,4010 27.2.06 111,3245 11.5.06 116,4329 23.7.06 109,6852 4.10.06 118,507717.12.05 108,7999 28.2.06 110,9875 12.5.06 115,0177 24.7.06 110,6585 5.10.06 118,699018.12.05 109,0120 1.3.06 110,6931 13.5.06 113,8131 25.7.06 111,3381 6.10.06 118,669319.12.05 109,2241 2.3.06 110,5433 14.5.06 114,0825 26.7.06 115,7600 7.10.06 118,534120.12.05 108,6006 3.3.06 111,0653 15.5.06 114,3518 27.7.06 111,8744 8.10.06 118,518121.12.05 109,0081 4.3.06 110,2183 16.5.06 114,6047 28.7.06 112,4331 9.10.06 118,502122.12.05 108,9040 5.3.06 110,2940 17.5.06 114,2021 29.7.06 112,1986 10.10.06 118,777423.12.05 109,0480 6.3.06 110,3696 18.5.06 112,4707 30.7.06 112,1978 11.10.06 118,759024.12.05 108,8768 7.3.06 109,8893 19.5.06 111,8021 31.7.06 112,1970 12.10.06 119,595525.12.05 108,8548 8.3.06 110,2663 20.5.06 111,4406 1.8.06 111,8576 13.10.06 119,588326.12.05 108,8327 9.3.06 110,4904 21.5.06 111,5967 2.8.06 112,2930 14.10.06 119,605127.12.05 109,3266 10.3.06 110,9891 22.5.06 111,7527 3.8.06 112,6949 15.10.06 119,788028.12.05 108,2508 11.3.06 110,7778 23.5.06 112,0265 4.8.06 113,4393 16.10.06 119,970929.12.05 108,2500 12.3.06 110,9719 24.5.06 111,6808 5.8.06 112,4155 17.10.06 119,822030.12.05 107,8746 13.3.06 111,1660 25.5.06 112,0249 6.8.06 112,4367 18.10.06 120,490344

дата У дата У дата У дата У дата У1.1.06 107,4713 15.3.06 112,2652 27.5.06 112,8005 8.8.06 112,7613 20.10.06 120,48872.1.06 107,7677 16.3.06 112,8237 28.5.06 112,7933 9.8.06 112,5060 21.10.06 120,03973.1.06 108,0640 17.3.06 112,9007 29.5.06 112,7861 10.8.06 111,4390 22.10.06 120,64494.1.06 108,3603 18.3.06 112,8053 30.5.06 112,7725 11.8.06 111,2437 23.10.06 121,25005.1.06 108,6567 19.3.06 112,9446 31.5.06 111,8303 12.8.06 110,8835 24.10.06 121,33166.1.06 108,9530 20.3.06 113,0839 1.6.06 112,6997 13.8.06 111,4546 25.10.06 121,47977.1.06 109,2493 21.3.06 113,3480 2.6.06 112,8560 14.8.06 112,0257 26.10.06 121,66868.1.06 109,5456 22.3.06 113,2856 3.6.06 112,4787 15.8.06 112,2570 27.10.06 121,64789.1.06 109,8420 23.3.06 113,2712 4.6.06 112,4827 16.8.06 113,4080 28.10.06 120,964210.1.06 110,1383 24.3.06 113,1593 5.6.06 112,4867 17.8.06 113,7242 29.10.06 121,067911.1.06 110,4776 25.3.06 112,7997 6.6.06 110,9411 18.8.06 113,7843 30.10.06 121,171512.1.06 110,4572 26.3.06 112,8011 7.6.06 110,7714 19.8.06 113,8147 31.10.06 121,130713.1.06 109,9253 27.3.06 112,8025 8.6.06 109,6460 20.8.06 113,8147 1.11.06 121,238814.1.06 109,6124 28.3.06 112,8169 9.6.06 109,7612 21.8.06 113,8147 2.11.06 120,332715.1.06 109,6001 29.3.06 112,4107 10.6.06 108,9192 22.8.06 113,8363 3.11.06 120,614416.1.06 109,5878 30.3.06 112,5915 11.6.06 108,8202 23.8.06 113,7050 4.11.06 119,894817.1.06 109,5755 31.3.06 111,9112 12.6.06 108,7212 24.8.06 113,3560 5.11.06 120,535218.1.06 108,9880 1.4.06 111,4055 13.6.06 108,6222 25.8.06 113,1703 6.11.06 121,175519.1.06 109,1579 2.4.06 111,9417 14.6.06 108,1484 26.8.06 112,8661 7.11.06 121,963220.1.06 108,8095 3.4.06 112,4779 15.6.06 110,3632 27.8.06 113,3704 8.11.06 121,937521.1.06 106,8430 4.4.06 112,2690 16.6.06 110,4504 28.8.06 113,8747 9.11.06 121,867122.1.06 107,1063 5.4.06 112,5067 17.6.06 110,4910 29.8.06 113,7947 10.11.06 121,270823.1.06 107,3696 6.4.06 112,4691 18.6.06 110,5315 30.8.06 114,0700 11.11.06 121,084324.1.06 107,5000 7.4.06 112,6930 19.6.06 110,5721 31.8.06 114,0524 12.11.06 121,361725.1.06 107,6016 8.4.06 111,2132 20.6.06 110,2983 1.9.06 114,7640 13.11.06 121,639045

Приложение 2. Код программы StatistТест Гольфельда-Куандта (на гетероскедастичность)Рассматривается рядРассматриваем частноеe .,e ,..., e1 2 nm = n4. Если число n - четное, то m округляетсяв четную сторону, если n - нечетное, то в нечетную сторону.Обозначим полученное значение M .Из середины исходной последовательности ряда убираем M значенийи оставшуюся последовательность значений делим на две подпоследовательности,длины которых равны. Обозначим эту длину n .1Для каждой подпоследовательности вычисляются суммы квадратовQe1и Qe 2и строится соотношение:F =max{Qmin{Qe1e1,Q,Qe2e2}}Ищется табличное значение распределения по ФишеруF сотаблстепенями свободы = f = n - k 1, где k - порядок рассматриваемойрегрессионной модели.Еслиf -1 2 1F > F , то гипотеза об однородности дисперсии отклоняет-таблся (т.е. дисперсия гетероскедастична).Тест Дарбина-УотсонаТест Дарбина-Уотсона является одним из методов определения автокорреляцииостатков. Автокорреляция – зависимость соседних значенийошибок.Находится величинаnå2(e - e )i i-1i=2DW = . (4.5.4)n2eåi=1i46

По статистическим таблицам ищутся критические значениякритерия Дарбина-Уотсона: d - нижнее значение; d - верхнее зна-нвчение.Делается вывод об автокорреляции:£н- если 0 DW < d - положительная автокорреляция и гипотезаоб отсутствии автокорреляции отвергается;- если d £ DW < d или 4 - d £ DW < 4 - d , то нельзя сде-нввнлать определенный вывод об автокорреляции;- если d £ DW < 4 - d , то гипотеза об отсутствии автокорре-ввляции принимается;- если 4 - d £ DW £ 4 - отрицательная автокорреляция и ги-нпотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;- если DW = 2 , то автокорреляция отсутствует.Код программы, выполненный на языке C++ Visual Studio.void CProg3View::GetEntry(CStatist* p0) //задание параметров{m_EditN=p0->m_iN;m_EditNMO.Format("%d",p0->m_iN);m_EditSadMO.Format("%.4f",p0->m_dSad);m_iEditN1=p0->m_iN1;m_iEditN2=p0->m_iN2;m_dEditSad1.Format("%.4f",p0->m_dSad1);m_dEditSad2.Format("%.4f",p0->m_dSad2);m_dEditFcalc.Format("%.4f",p0->m_dFcalc);m_dEditFtable.Format("%.4f",p0->m_dFtable);m_sEditResultFisher=p0->m_ResultFisher;m_iEditNdw=p0->m_iN;m_dEditDW.Format("%.4f",p0->m_dDW);m_dEditDn.Format("%.4f",p0->m_dDn);m_dEditDb.Format("%.4f",p0->m_dDb);m_sEditResultDarbin=p0->m_ResultDarbin;}UpdateData(FALSE);47

void CProg3View::TestGolfelda(CStatist *st1) //тест Гольдфельда-Куандта{int n1,n2;double dSad1,dSad2;double dEsum1=0,dEsum2=0;double dFcalc;double dFtable=0;double dE;int iN=st1->m_iN;CString pStr;GetDlgItemText(IDC_COMBO1, pStr);if (pStr=="1") st1->m_iK=1;else st1->m_iK=2;if ((int(iN-iN/4.))%2==0) {n1=(iN-iN/4)/2; n2=n1;}else {n1=(iN-iN/4)/2; n2=n1-1;}for(int i=0;im_dEfirst[i]-st1->m_dEfuture[i];dEsum1=dEsum1+dE*dE;}for(int i=iN-n2;im_dEfirst[i]-st1->m_dEfuture[i];dEsum2=dEsum2+dE*dE;}dSad1=sqrt(dEsum1/(n1-1));dSad2=sqrt(dEsum2/(n2-1));dFcalc=dSad2/dSad1;st1->m_iN1=n1;st1->m_iN2=n2;st1->m_dSad1=dSad1;st1->m_dSad2=dSad2;st1->m_dFcalc=dFcalc;LoadTableFisher(st1);if (st1->m_dFtable>st1->m_dFcalc) st1->m_ResultFisher="Гипотеза об однородности дисперсии принимается(Fтабл>Fрасч)";else st1->m_ResultFisher="Гипотеза об однородности дисперсиине принимается (Fтабл

void CProg3View::LoadTableFisher(CStatist* st1) //Вывод табличныхзначений{CDatabase database;CString sSql;CString sItem1, sItem2;CDBVariant varValue;double dItem1;double dItem2;CString sDriver;CString sDsn;short nFields;short indexF1=-1;short indexF2=-1;short count=0;CString sPath =m_sPath;CString sFile = "TablesFisherDarbin.xls";if (sPath==""){sPath=".";}sDriver = GetExcelDriver();if( sDriver.IsEmpty() ){AfxMessageBox("No Excel ODBC driver found");return;}sDsn.Format("ODBC;DefaultDir=%s;DRIVER={%s};DSN='';DBQ=%s",sPath,sDriver,sFile);TRY{database.Open(NULL,false,false,sDsn);CRecordset recset( &database );recset.Open(CRecordset::forwardOnly,_T("SELECT * FROMTableFisher"),CRecordset::readOnly);nFields=recset.GetODBCFieldCount();while( !recset.IsEOF() ){for( short index = 0; index < nFields; index++ ){49

ecset.GetFieldValue(index, varValue,SQL_DOUBLE);if (count==0 && index!=0 && varValue.m_dblVal==(st1->m_iN1-st1->m_iK-1)){indexF1=index;>m_iN2-st1->m_iK-1))}}if (index==0 && varValue.m_dblVal==(st1-indexF2=count;if (indexF1==index && indexF2==count)st1->m_dFtable=varValue.m_dblVal;}recset.MoveNext();count++;}recset.Close();database.Close();}CATCH(CDBException, e){AfxMessageBox("Database error: "+e->m_strError);}END_CATCH;void CProg3View::LoadDataTable(CStatist* st){CDatabase database;CString sSql;CString sItem1, sItem2;CDBVariant CDBVItem1;CDBVariant CDBVItem2;double dItem1;double dItem2;CString sDriver;CString sDsn;CDBVariant varValue;CProg3Doc* pDoc = GetDocument();CString sPath =pDoc->m_docfp;50

CFile ds;ds.SetFilePath(sPath);CString sFile =ds.GetFileName();sPath.TrimRight(sFile);m_sPath=sPath;m_sFile=sFile;if (sPath==""){sPath=".";sFile = "FirstData.xls";}st->m_iN=0;m_ctrlListFirstData.ResetContent();sDriver = GetExcelDriver();if( sDriver.IsEmpty() ){AfxMessageBox("No Excel ODBC driver found");return;}sDsn.Format("ODBC;DefaultDir=%s;DRIVER={%s};DSN='';DBQ=%s",sPath,sDriver,sFile);TRY{database.Open(NULL,false,false,sDsn);CRecordset recset( &database );sSql="SELECT * FROM FirstDataTable";recset.Open(CRecordset::forwardOnly,sSql,CRecordset::readOnly);while( !recset.IsEOF() ){recset.GetFieldValue((short)(0), varValue);st->m_dEfirst[st->m_iN]=varValue.m_dblVal;sItem1.Format("%.4f",varValue.m_dblVal);recset.GetFieldValue((short)(1), varValue);st->m_dEfuture[st->m_iN]=varValue.m_dblVal;sItem2.Format("%.4f",varValue.m_dblVal);m_ctrlListFirstData.AddString("|| "+sItem1+" ||"+sItem2+" ||");recset.MoveNext();51

}st->m_iN=st->m_iN+1;}recset.Close();database.Close();}CATCH(CDBException, e){AfxMessageBox("Database error: "+e->m_strError);}END_CATCH;void CProg3View::TestDarbina(CStatist* st1) //тест Дарбина-Уотсона{int n1,n2;double dSad1,dSad2;double dEsum1=0,dEsum2=0;double dFcalc;double dFtable=0;double dE2, dE1, dDW;int iN=st1->m_iN;for(int i=0;im_dEfirst[i]-st1->m_dEfuture[i];dEsum2=dEsum2+dE1*dE1;if(im_dEfirst[i+1]-st1->m_dEfuture[i+1];dEsum1=dEsum1+(dE2-dE1)*(dE2-dE1);}}dDW=dEsum1/dEsum2;st1->m_dDW=dDW;LoadTableDarbin(st1);if (st1->m_dDWm_dDn && st1->m_dDW>=0) st1->m_ResultDarbin="Положительная автокорреляция (0

else if (st1->m_dDWm_dDb &&st1->m_dDW>st1->m_dDn) st1->m_ResultDarbin="Нужны дополнительныеисследования (dн

ecset.Open(CRecordset::forwardOnly,_T("SELECT * FROMTableDarbin"),CRecordset::readOnly);nFields=recset.GetODBCFieldCount();while( !recset.IsEOF() ){recset.GetFieldValue(short(0), varValue,SQL_DOUBLE);if (count!=0 && st1->m_iNm_iN>=Fpred){if ((st1->m_iN-Fpred)>=(varValue.m_dblVal-Fpred)/2) indexF2=count;else indexF2=count-1;}else if(st1->m_iN>varValue.m_dblVal) indexF2=count;Fpred=varValue.m_dblVal;if (st1->m_iN>=varValue.m_dblVal && indexF2==-1)indexF2=count;for( short index = 1; index m_iK)indexF1=index;if (indexF1==index && indexF2==count){st1->m_dDn=varValue.m_dblVal;recset.GetFieldValue((index+1), varValue,SQL_DOUBLE);st1->m_dDb=varValue.m_dblVal;}}recset.MoveNext();count++;}recset.Close();database.Close();}CATCH(CDBException, e){AfxMessageBox("Database error: "+e->m_strError);}54

}END_CATCH;void CProg3View::OnCbnSelchangeCombo1(){int k = m_ctrlComboK.GetCurSel();UpdateData(FALSE);m_ctrlComboK.SetCurSel(k);}void CProg3View::OnBnClickedButtonfisher(){CTableDataFisher dlg;dlg.m_sPath=m_sPath;dlg.m_sFile=m_sFile;if(m_st!=NULL){dlg.m_dFtable=m_st->m_dFtable;dlg.m_iF1=m_st->m_iN1-m_st->m_iK-1;dlg.m_iF2=m_st->m_iN2-m_st->m_iK-1;}if (dlg.DoModal() == IDOK){ // Запускаем диалог и, в случае успеха,m_sPath=dlg.m_sPath; // Забираем данные из объектадиалога в документm_sFile=dlg.m_sFile;}}void CProg3View::OnBnClickedButtondarbin() //вывод критическихзначений{CTableDataDarbin dlg;dlg.m_sPath=m_sPath;dlg.m_sFile=m_sFile;if(m_st!=NULL){dlg.m_iF1=m_st->m_iN;dlg.m_iF2=m_st->m_iK;dlg.m_dDb=m_st->m_dDb;dlg.m_dDn=m_st->m_dDn;}if (dlg.DoModal() == IDOK)55

{ // Запускаем диалог и, в случае успеха,m_sPath=dlg.m_sPath; // Забираем данные из объектадиалога в документm_sFile=dlg.m_sFile;}}void CProg3View::OnCalc() /вычисление{OnBnClickedButton1();}void CProg3View::OnTableDarbin() //таблица Дарбина-Уотсона{OnBnClickedButtondarbin();}void CProg3View::OnTableFisher() //таблица Фишера{OnBnClickedButtonfisher();}56

Приложение 3. Основные формулыКоэффициент детерминации имеет вид:RQQ + Q2R= ,n2где QR= å(Y- Y ~t) - сумма квадратов, которой обусловлена регрессия;t=1= ån n22eet= å(Yt-t)t= 1 t=1Q Y ~ - остаточная сумма квадратов, которая характеризуетотклонение от регрессии.Критерий Фишера.Формула для вычисления F - распределения со степенями свободы= k; f = n - k 1, ( k - порядок регрессии) имеет вид:f -1 2ReКритерий Стьюдента.F =QeQ kR(n - k -1)Если для коэффициентаa выполняется неравенствоit > t , тоiaтаблгипотеза о незначимости коэффициентазначим.где SpОстаточная дисперсия:S2ada отвергается, т.е. коэффициентiQe=n - k -1Среднее абсолютное отклонение (MAD):nå( e e )t-tt=1MAD = , где entnåett=1= .nДоверительный интервал для прогноза:Y ~ - S £ Y £ Y ~ + S ,1= Sy× 1 + +nn2( Yk- Y)å( Y - Y)tt=12tpptp57

Предметный указательАавтокорреляционная функция · 11частная · 19аддитивная модель · 13Ббелый шум · 18Бокса-Пирса Q - статистика · 21Ввременной ряд · 11Ккоррелограмма · 11коэффициент автокорреляции · 11критерийАкаики · 13критерий, основанный на медиане выборки · 16Шварца · 13МОARIMA · 18кусочно-непрерывная · 23полиномиальная 4-го порядка · 14точность · 38оценкасостоятельная · 17эффективная · 17Ррядстационарный · 18Ссглаживание экспоненциальное · 9Статистика интеграционная Дарбина-Уотсона · 18ТтестГольдфельда-Куандта · 45Дарбина-Уотсона · 45Чоу · 22модель58