Inspiratie uit Uitwiskeling voor de vrije ruimte wiskunde in het 5de ...

Inspiratie uit Uitwiskeling voor de vrije ruimte
wiskunde in het 5de jaar - 6de jaar
1. Grafische voorstellingen van functies met twee variabelen (UW 24/2)
In wiskundige, wetenschappelijke en economische toepassingen komen vaak functies voor met twee
variabelen. We kunnen de grafiek van deze functies z = f ( x,
y)
voorstellen als een golvend oppervlak
in een driedimensionaal assenstelsel. Een beperking van deze voorstellingswijze is de afleesbaarheid
van de exacte beeldwaarden op een perspectieftekening. In de loep van 24/1 stellen we twee ‘vlakkere’
voorstellingswijzen voor: niveaulijnen en nomogrammen. De niveaulijnendiagrammen brengen ons
via afgeleiden en integralen bij een project over moirékunst. Via eenvoudige analytische meetkunde
stellen we vervolgens nomogrammen op voor de bodymass-index.
2. Elastiekjes en zeepbellen: minimale lengten en oppervlakten (UW 23/3)
Gespannen elastiekjes en zeepvliezen hebben met elkaar gemeen dat ze streven naar een zo klein
mogelijke lengte, respectievelijk oppervlakte. Bovendien voegen een showelement toe aan de
wiskundeles. Aan de hand van dit didactische materiaal stellen leerlingen van de derde graad vast bij
welke configuratie de minimale lengte of de minimale oppervlakte bereikt wordt. Hier blijft het
natuurlijk niet bij: ze gaan ook op zoek naar de wiskundige verklaringen. Hierbij duikt een mooi stuk
meetkunde op; een goede opfrissing van de meetkunde van de eerste en de tweede graad.
3. Wiskunde en muziek (UW 23/1)
Vaak wordt er een band tussen muziek en wiskunde gelegd. Maar muziek in de wiskundelessen
introduceren, is niet zo eenvoudig omdat de behandeling snel te theoretisch wordt voor de muzikale
leek. In de loep van UW 23/1 behandelen we enkele eenvoudige en toegankelijke onderwerpen. We
gebruiken ritmes als instap voor het rekenen met breuken, onderzoeken met logaritmen het verband
tussen muzikale intervallen en snaarlengten op een gitaar en verklaren met kettingbreuken waarom een
piano 12 toetsen per octaaf heeft.
4. Boldriehoeken tussen hemel en aarde (UW 22/4)
Boldriehoeksmeting is al jaren niet meer terug te vinden op de leerplannen van het secundair
onderwijs. Met een light-versie van de boldriehoeksmeting - alleen de cosinusregel - kan men
spectaculaire resultaten boeken op het terrein van de aardrijkskunde en de sterrenkunde:
afstandberekening op aarde tussen twee steden waarvan de lengte- en breedteligging gegeven zijn,
opkomst en ondergang berekenen van sterren en planeten, berekening van het exacte lentetijdstip,
berekening van langste daglengte doorheen het jaar in functie van de positie op aarde … De
cosinusregel voor boldriehoeken wordt door de leerlingen afgeleid via hoekmetingen met een
protractor of een uitspringende-hoekmeter.
5. Logistische groei (UW 22/2)
Groei is een context die veel gebruikt wordt in wiskundelessen en voor veel leerlingen interessant is.
Logistische groei is het eenvoudigste begrensde groeimodel. Veel leerkrachten kennen de naam of de
grafiek, maar niet de wiskundige behandeling. We starten de loep met discrete logistische groei: we
stellen de recursievergelijking op, lossen ze op (met de grafische rekenmachine) en leggen het verband

met exponentiële groei. Daarna bekijken we continue logistische groei. We stellen de
differentiaalvergelijking op en lossen ze (analytisch) op. We eindigen de loep met heel wat contexten
waarin logistische groei de kop opsteekt: biologische, economische …
6. Complexe getallen minder imaginair (UW 21/4)
In deze loep brengen we enkele mogelijke aanvullingen bij een cursus complexe getallen. We tonen
hoe een dynamisch meetkundeprogramma vanaf het begin van dit leerstofonderdeel ingeschakeld kan
worden om de complexe bewerkingen te onderzoeken. We geven enkele grafische mogelijkheden bij
het onderzoek van complexe veeltermfuncties en de hoofdstelling van de algebra. We werken ook
twee toepassingen uit: één in de aërodynamica en één in de elektriciteitsleer.
7. Lineaire regressie (UW 21/2)
We nemen het statistisch onderwerp 'lineaire regressie' onder de loep. We bekijken hoe we op een
verantwoorde manier een functie kunnen associëren aan meetgegevens en op die manier een fenomeen
uit de realiteit met een wiskundig model kunnen beschrijven. We hebben daarbij veel aandacht voor
het statistisch redeneren en minder voor de wiskundige afleidingen.
8. Kegelsneden (UW 20/4)
Er komt voor de leraar meer keuzevrijheid in de derde graad. Voor klassen met acht uur wiskunde
blijft het huidige pakket 'analytische meetkunde' heel zinvol. Voor leerkrachten die echter meer tijd
willen vrijmaken voor andere onderwerpen of die ook in klassen met zes uur wiskunde de leerlingen
met kegelsneden willen laten kennismaken, is deze loep bedoeld. We starten vanuit concrete
problemen en maken gebruik van de mogelijkheden van dynamische meetkunde op de computer.
Zowel synthetische als analytische redeneringen komen aan bod.
9. Discrete dynamische processen (UW 20/3)
Voor de studierichtingen wiskunde-… in de derde graad ASO schrijven de eindtermen ook discrete
wiskunde voor. Eén van de mogelijke invullingen hiervan is 'discrete dynamische systemen'. In deze
loep tonen we hoe je die in de klas kunt behandelen. We vertrekken van recursievergelijkingen die
fenomenen zoals groeiprocessen, opname van een medicijn, toren van Hanoi, … beschrijven. We leren
recursievergelijkingen opstellen, grafisch voorstellen en oplossen. We maken kennis met spinnenwebdiagrammen.
We laten ook het verband zien met differentiaalvergelijkingen, overgangsmatrices en
'chaos'.
10. Wiskunde uit de speelgoedkast (UW 20/2)
Heel wat speelgoed kun je gebruiken om een stuk wiskunde mee aan te brengen of om je leerlingen
mee aan het denken te zetten. Wij halen voor deze loep een constructiespel met tandwielen, ‘Set’ en
‘boter, kaas en eieren’ uit onze speelgoedkast. De tandwielen gebruiken we om onder meer het
kleinste gemeenschappelijke veelvoud en het product van breuken toe te passen. Met ‘Set’ laten we
leerlingen van de derde graad telproblemen oplossen. Met ‘boter, kaas en eieren’ illustreren we dat
strategisch denken in een spel heel wat gemeen heeft met wiskundig denken.
11. Het mysterie van de Mekkawijzers van Isfahan (UW 20/1)
De geschiedenis van de wiskunde verdient een plaats in het wiskundeonderwijs. In de Middeleeuwen
lag het zwaartepunt van de cultuur en de kennis in de Arabische wereld. Misschien minder bekend,
maar ook op het vlak van meetkunde hebben de Arabieren een originele bijdrage geleverd. In deze
loep bespreekt Jan P. Hogendijk hoe de ‘Mekkawijzers’ hiervan getuigen. Aanvullend presenteren we
enkele werkteksten waarin de basisideeën van boldriehoeksmeting worden aangebracht.

12. Migratie- en Lesliematrices (UW 19/1)
Sinds geruime tijd vind je in alle handboeken toepassingen van matrices. Twee populaire toepassingen
zijn migratie- en Lesliematrices. In deze loep werken we die twee toepassingen verder uit. We werken
met realistisch cijfermateriaal. Door gebruik te maken van ICT is dit mogelijk. De verspreiding van de
euromuntstukken wordt gemodelleerd aan de hand van een migratiematrix. Bij Lesliematrices
bestuderen we de groei van de Belgische bevolking. De evolutie van de bevolking op lange termijn
wordt ook gebruikt als instapvoorbeeld om eigenwaarden en eigenvectoren aan te brengen.
13. Zebrareeks: wiskunde beter bekeken (UW 18/4)
In de hoogste jaren van het VWO in Nederland is een deel van de tijd (40 ‘studielasturen’)
gereserveerd voor keuzeonderwerpen, de zogenaamde zebraruimte. Tijdens deze uren kunnen de
leerlingen zelfstandig of in groepjes enkele zelfgekozen onderwerpen bestuderen, als uitbreiding of
verdieping van de verplichte leerstof. De boekjes van de zebrareeks zijn bedoeld als leidraad bij de
zelfstudie binnen deze zebraruimte. Ze zijn ook heel goed bruikbaar voor de Vlaamse vrije ruimte. In
de Bibwijzer van 18/4 overlopen we de 12 boekjes die tot dan toe (2002) verschenen zijn.
14. Optimalisatie en extremumproblemen (UW 17/3)
Extremumproblemen kennen we vooral als toepassingen op afgeleiden en het verloop van functies.
Door de versnelde invoering van elektronische hulpmiddelen ligt nu ook een grafisch-numerieke
aanpak van deze problemen binnen handbereik. Hiermee bedoelen we niet alleen het aflezen van
extreme waarden van grafieken en tabellen, maaar ook het dynamisch simuleren van de situatie in
Cabri, eventeel zelfs zonder een functievoorschrift op te stellen. In een aantal gevallen leidt dit tot
mooie meetkundige oplossingswijzen.
15. Wiskunde en aardrijkskunde (UW 16/3)
Het vak aardrijkskunde is een vindplaats van mooie wiskundecontexten. We werken er enkele uit: de
schaal van een kaart en een schaalmodel voor het zonnestelsel; de derde wet van Kepler via
dubbellogaritmisch grafiekpapier; de omtrek van de aardbol gemeten door de Oude Griek
Erathostenes; een zonnewijzer en tenslotte cartografie. Er zit materiaal bij voor leerlingen van het
eerste tot en met het zesde jaar.
16. Help, de opdeurdag komt eraan (UW 16/2)
De meeste scholen organiseren in de loop van het derde trimester een opendeurdag. In deze loep geven
we enkele suggesties voor activiteiten die op zo’n dag in het wiskundelokaal kunnen georganiseerd
worden. We probeerden daarbij ook aandacht te hebben voor het daaraan voorafgaande klasgebeuren.
Het accent ligt op onderwerpen die onderzoeksgericht zijn en een hoog doe-gehalte hebben. We
hebben het over wiskundige origami, stangenconstructies, anamorfosen, puzzels en pentomino’s.
Verder tonen we hoe je leerlingen op een leuke manier grafieken kunt laten tekenen met DERIVE en
hoe je geschiedenis van de wiskunde kunt combineren met een inleiding op het zoeken op internet.
17. Spiegelanamorfosen: een aparte kijk op transformaties (UW 15/4)
Spiegelanamorfosen zijn transformaties met verrassende effecten: in het beeld herken je niet meteen
het origineel. Dit staat in schril contrast met de vormbewarende transformaties die gewoonlijk
bestudeerd worden. Het onderwerp ‘spiegelanamorfosen’ biedt zeker mogelijkheden voor een beknopt
of uitgebreider wiskundeproject in de derde graad. In de loep van 15/4 wordt er aandacht besteed aan
de historische, culturele en artistieke ontwikkeling van anamorfosen. De wiskundige technieken om

zelf cilinder- en kegelanamorfosen te maken met een dynamisch meetkundeprogramma komen aan
bod.
18. Tekenen, rekenen en … denken (UW 14/2)
In deze loep doen we een poging om de positieve invloed van het vak wetenschappelijk tekenen te
integreren in onze wiskundelessen. Er worden vier voorbeelden uitgewerkt: de constructie van een
regelmatige n-hoek, een vergelijking tussen de verschillende projectiemethodes, het draaien van een
figuur en het binnenstebuiten keren van een afgeknotte octaëder.
19. Differentiaalvergelijkingen (UW 13/4)
Differentiaalvergelijkingen zijn zeker een heel belangrijke toepassing van wiskunde in de andere
wetenschappen. Dit is één van de redenen om in het S.O. iets te zeggen over de idee van een
differentiaalvergelijking. In deze onder de loep gaat het niet over verschillende oplossingsmethoden,
maar wel over de rol van zo’n vergelijking bij het opstellen van een wiskundig model.
20. Lineaire algebra (UW 12/1)
We behandelen enkele aspecten van lineaire algebra die enkel op het achtuursleerplan staan. De
theorie i.v.m. lineaire combinaties, dimensie, … wordt al voor een groot stuk bij de studie van stelsels
ter sprake gebracht. De determinanten bekijken we meetkundig, als het effect van lineaire
transformaties op oppervlakte en volume. De rij van Fibonacci verschijnt tenslotte als toepassing op
eigenvectoren.
21. Toestellen waar wiskunde in zit (UW 10/4)
Met toestellen wordt hier alle materiaal dat je in een wiskundeles kan gebruiken bedoeld, met
uitzondering van elektronische rekenmachine en computers. Zo komt o.a. het volgende aan bod: de
rekenliniaal(logaritmen), afstanden meten met een Jacobsstaf (gelijkvormige driehoeken), de
spirograaf (deelbaarheid en parametervergelijkingen) en een pantograaf (transformaties van het vlak).
22. Christiaan Huygens als gastdocent (UW 10/1)
Naast heel wat historische achtergronden, bevat deze loep twee bijdragen uitgewerkt voor leerlingen:
het planetarium (waarbij gebruik gemaakt wordt van kettingbreuken) en het slingeruurwerk (waarbij
de cycloïde een belangrijke rol speelt).
23. Economische toepassingen in wiskundelessen (UW 9/3)
Twee toepassingen uit de economie worden uitgewerkt tot bruikbare werkteksten binnen de
wiskundelessen: het Leontief input-output model (matrices) en elasticiteit (afgeleiden).
24. Lineaire programmering (UW 2/4)
Een eenvoudig probleem van lineaire programmering wordt gebruikt om ongelijkheden van de eerste
graad in twee variabelen te leren oplossen. Naast de grafische manier om zo’n probleem van lineaire
programmering op te lossen, wordt ook de simplexmethode beschreven (toepassing op het oplossen
van stelsels eerstegraadsvergelijkingen met matrices). Het geheel wordt afgesloten met wat
achtergrondinformatie voor de leraars.