r - Wisnet

Kruk-drijfstang-mechanisme
©Wisnet-hbo april 2009
Analytische bepaling van snelheid en versnelling van de zuiger en van de hoeksnelheid en
hoekversnelling van de drijfstang bij een machine met kruk-drijfstangmechanisme.
dθ t
De gegeven grootheden zijn drijfstanglengte l, krukstraal r en hoeksnelheid ω =
d t
Als de kruk een hoek θ met de klok mee uit het dode punt dekselzijde is gedraaid, is de
drijfstang een hoek 4 gedraaid tegen de wijzers van de klok in.
Er geldt voor de uitslag x van de zuiger:
x = l Cr Kl cos 4 Kr cos θ
Voor het lijnstuk BB' geldt:
BB' = r sin θ = l sin 4
Dus 4 is in θ uit te drukken:
Verder geld altijd:
sin 4 = r
l
sin θ

sin 4 2 Ccos 4 2 =1
Dus cos(4) kan uitgedrukt worden in θ:
cos 4 = 1 Ksin 4 2 = 1 K r2 2
2 sin θ
l
Met behulp van machtreeksbenadering kan deze wortelvorm benaderd worden door
cos 4 = 1 K r2
l 2 sin θ 2 z 1 K r2 2
2 sin θ
2 l
omdat de verhouding r
in de praktijk altijd kleiner dan 1 is en in het kwadraat dus nog kleiner
l
is en omdat de sinus maximaal gelijk aan 1 is, kan de benadering toegepast worden die
afkomstig is van de reeksontwikkeling. Het rekenwerk wordt dan een stuk eenvoudiger:
1 Kx z 1K x
2
De benaderingsformule voor de uitwijking van de zuiger wordt dus nu:
Herleiden geeft:
Animatie
Script van de animatie
Snelheid en versnelling
x z l CrKl 1K r2
2 l 2 sin θ 2 Kr cos θ
x z r 1Kcos θ C r2 2
sin θ
2 l
x z r 1Kcos θ t C r2
sin θ t
2 l
Stel de veranderlijke krukhoek θ als functie van t.
Veronderstel de krukhoek verloopt lineair met ω als hoeksnelheid (in radialen per seconde).
Dan is de verplaatsing x van de zuiger:
De snelheid van de zuiger v = dx
d t
x z r 1Kcos ω t C r2 2
sin ω t
2 l
v z ω r sin ω t C
ω r2
l
sin ω t cos ω t
2

Nog verder herleiden door ω en r buiten haken te halen en met behulp van de formule
De versnelling van de zuiger a = d2x dv
=
2
d t d t
Grafieken
O
O
O
O
O
sin 2 x =2 sin x cos x
v z ω r sin ω t C r
sin 2 ω t
2 l
a z ω 2 r cos ω t C r
l
cos 2 ω t
Begin eerst de toekenningen te doen van de systeemconstanten van drijfstanglengte l en
krukstraal r en hoeksnelheid ω in radialen per seconde.
Daarna kunnen de grafieken van de verplaatsing x en de snelheid v en de versnelling a van
de zuiger getekend worden.
interface displayprecision =5 : l d 0.8; r d 0.1; ω d 2;
l := 0.80000
r := 0.10000
ω := 2
x d r 1Kcos ω t C r2
2$l sin ω t 2 ;
x := 0.10000 K0.10000 cos 2 t C0.00625 sin 2 t 2
v d ω r sin ω t C r
sin 2 ω t ;
2 l
v := 0.20000 sin 2 t C0.01250 sin 4 t
a d ω 2 r cos ω t C r
l
cos 2 ω t ;
a := 0.40000 cos 2 t C0.05000 cos 4 t
plot x, v, a , t = 0 ..20, color = red, blue, green , legend = uitwijking, snelheid,
versnelling ;

0.4
0.3
0.2
0.1
0
K0.1
K0.2
K0.3
5 10
t
15 20
uitwijking snelheid versnelling