Rekenen: vroeger en nu! - Onderwijs in Ontwikkeling

Rekenen: vroeger en nu!
Karin Lukassen
Suzanne Sjoers

Rekenen: vroeger en nu!

Colofon
Titel Rekenen: vroeger en nu!
Auteurs Karin Lukassen, Suzanne Sjoers
Vormgeving APS, Marije Koopmans
Foto’s Shutterstock
Druk Drukkerij Ten Brink, Meppel
Bestelnummer 962072
Bestellen Deze brochure is te bestellen bij BDC Meppel,
Prijs € 4,95
© APS Utrecht, 2011
0522 23 75 55. Bestellen kan ook via www.aps.nl.

Inhoud
1. Inleiding 5
2. Hoe leren leerlingen nu rekenen op de basisschool? 7
Wat is er met de jaren veranderd?
3. De ijsbergmetafoor 18
4. Visies op rekenen 22
5. Een goede aansluiting van groot belang 24
Bronnen 25
inhoUD
3

1. Inleiding
Voor u ligt het boekje Rekenen: vroeger en nu!.
Dat leerlingen en studenten goed moeten kunnen rekenen, daar is iedereen het eigenlijk wel over eens. hoe
u leerlingen nu effectief, zinvol en motiverend een repertoire aan bruikbare rekenvaardigheden bijbrengt, is
een zoektocht die velen ondernemen.
Deze zoektocht zou moeten beginnen bij de basis. hoe leren de leerlingen rekenen op de basisschool? Welke
visie en methodiek liggen daaraan ten grondslag? Zijn die anders dan vroeger toen u rekenles had op de
lagere school? hoe kan daarbij binnen het voortgezet onderwijs en het middelbaar beroepsonderwijs aangesloten
worden?
Dit boekje geeft u, als docent in het voortgezet of middelbaar beroepsonderwijs, in een notendop inzicht in
de huidige rekenmethodiek en didactiek in het basisonderwijs. Deze worden afgezet tegen de situatie van een
eerdere tijd: de tijd waarin u mogelijk zelf, op de lagere school, rekenonderwijs genoten heeft.
1. inLeiDing
5

het boekje is niet bedoeld om uitputtend te zijn, maar om met sprekende voorbeelden een beeld te geven.
Zo:
• krijgt u met behulp van de ijsbergmetafoor 1 uitgelegd dat het huidige rekenonderwijs meer is dan het
oefenen van formele bewerkingen en dat er flink geïnvesteerd moet worden in het drijfvermogen, het rekenkundig
en wiskundig denken en begrip;
• worden er voorbeelden gegeven van hoe aan vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken ‘in de ijsberg’
gewerkt kan worden;
• krijgt u inzicht in wat er veranderd is in het rekenonderwijs op de basisscholen door de jaren heen;
• kunt u dezelfde rekentaal spreken als uw leerlingen en studenten.
Laat het een inspiratie zijn in uw zoektocht!
1 Ontleend aan het artikel ‘Een topje van de IJsberg’ (Boswinkel & Moerlands, 2003)
ReKenen: VRoegeR en nU!
6

2. Hoe leren leerlingen nu rekenen op de basisschool?
Wat is er met de jaren veranderd?
onderwijs is onderdeel van de maatschappij en binnen het onderwijs zijn docenten voortdurend op zoek naar
wegen om leerlingen adequaat voor te bereiden op het functioneren in de huidige en toekomstige maatschappij.
Zo ook binnen het rekenonderwijs.
2.1 Veranderende visie
onderstaande tabel geeft op hoofdlijnen aan wat de verschillen zijn tussen het rekenonderwijs op de basisschool
van vroeger (25 jaar en langer geleden) en het rekenonderwijs nu. het is bedoeld om enig inzicht te
geven in de veranderde visie van waaruit het huidige rekenonderwijs wordt vormgegeven.
2. hoe LeRen LeeRLingen nU ReKenen oP De BASiSSChooL? WAT iS eR MeT De jARen VeRAnDeRD?
7

Rekenen vroeger!
Nadruk op cijferen
Gericht op product
Eén oplossingsstrategie is de juiste
Eerst oefenen, dan begrijpen
Weinig contexten, kale sommen
Mechanistisch
Rekenen als doel
ReKenen: VRoegeR en nU!
8

Rekenen nu!
Nadruk op realistisch rekenen (opkomst: gecijferdheid)
Gericht op proces
Meerdere oplossingsstrategieën van leerlingen waarderen en gebruiken
Eerst begrijpen, dan oefenen
Contextrijk, passend bij leeftijd en leefwereld
Realistisch
Rekenen als middel
2. hoe LeRen LeeRLingen nU ReKenen oP De BASiSSChooL? WAT iS eR MeT De jARen VeRAnDeRD?
9

2.2 Veranderende hulpmiddelen en technieken
De rekenliniaal/rekenschijf is eeuwenlang een zeer gewaardeerd rekeninstrument geweest, dat in allerlei
uitvoeringen zijn nut heeft bewezen.
Rekenen met een rekenliniaal: het komt niet meer voor in een rekenles anno 2011. Daarvoor is de rekenmachine
in de plaats gekomen, waardoor leerlingen sneller lastige berekeningen kunnen uitvoeren.
ReKenen: VRoegeR en nU!
10

De komst van deze rekenmachine heeft meer veranderd in de rekenles. Bijvoorbeeld de uitkomst van deze som:
24 : 4 x 3
50 jaar geleden was de uitkomst van deze som:
24 : 4 x 3 =
24 : 12 = 2
Tegenwoordig wordt de uitkomst 2 fout gerekend, want anno 2011 is de uitkomst:
24 : 4 x 3 =
6 x 3 = 18
De volgorde van de bewerkingen was tot in de vorige eeuw vastgelegd in het bekende ezelsbruggetje:
Meneer (… 2 ) Van ( x ) Dalen ( : ) Wacht ( √ ) op ( + ) Antwoord ( ­ )
‘Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord’ geldt niet meer. Tegenwoordig wordt de onderstaande, internationale
bewerkingsvolgorde gebruikt:
1. bewerkingen tussen haakjes
2. machtsverheffen of worteltrekken (gelijkwaardig)
3. vermenigvuldigen of delen (gelijkwaardig)
4. optellen of aftrekken (gelijkwaardig)
2. hoe LeRen LeeRLingen nU ReKenen oP De BASiSSChooL? WAT iS eR MeT De jARen VeRAnDeRD?
11

Deze bewerkingsvolgorde zegt: de rekenbewerkingen worden toegepast in de volgorde waarin ze staan. Komen
echter optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen in dezelfde bewerking voor, dan gaan vermenigvuldigen
en delen voor optellen en aftrekken, echter ook in de volgorde waarin ze staan.
De tegengestelde bewerkingen werden in de programmering dus gelijk aan elkaar gesteld en de volgorde van
die bewerkingen bepaalde wat er als eerste moest worden gedaan.
24 : 4 x 3
is nu dus 18... Tenzij je haakjes zet om de 4 x 3, want de haakjes hebben ‘Meneer Van Dalen...’ wel overleefd.
Ander voorbeeld:
oud: 16 ­ 2 + 4 = 16 ­ 6 = 10
nieuw: 16 ­ 2 + 4 = 14 + 4 = 18
De komst van de rekenmachine heeft onder andere deze veranderende techniek in bewerkingen teweeggebracht.
2.3 Veranderende aanpak hoofdbewerkingen
niet alleen de volgorde van de rekenbewerkingen is veranderd, ook worden er tegenwoordig andere aanpakken
gebruikt om de basisstrategieën uit te leggen.
ReKenen: VRoegeR en nU!
12

Optellen
Bij het optellen wordt het ‘kolomsgewijs optellen’ aangeleerd voordat het cijferend uitgerekend kan worden.
in essentie komt het er bij het kolomsgewijs rekenen op neer dat de leerling altijd snapt wat de grootte van
de cijfers en getallen is waarmee hij werkt.
De 3 in 534 staat voor 30. De 3 in 345 staat voor 300:
534
345 +
800 500 + 300)
70 (30 + 40)
9 + (4 + 5)
879
of van rechts naar links:
375
212 +
7
80
500 +
587
2. hoe LeRen LeeRLingen nU ReKenen oP De BASiSSChooL? WAT iS eR MeT De jARen VeRAnDeRD?
13

Aftrekken
Ook bij het aftrekken wordt het ‘kolomsgewijs aftrekken’ aangeleerd. Dat ziet er als volgt uit:
367
145 ­
200 (300 ­ 100)
20 (60 ­ 40)
2 (7 ­ 5) +
222
of over het tiental/honderdtal heen:
362
181 ­
200 (300 ­ 100 )
­20 (60 ­ 80 )
1 (2 ­ 1)
181 (200 + ­20 + 1)
ReKenen: VRoegeR en nU!
14

Vermenigvuldigen
Bij het vermenigvuldigen wordt het ‘kolomsgewijs vermenigvuldigen’ aangeleerd, voordat het cijferend
uitgerekend kan worden:
39
7 x
210 (7 x 30)
63 (7 x 9) +
273
Delen
Bij het delen wordt de ‘hapjesmethode’ aangeleerd. Uit het te verdelen getal worden steeds hapjes genomen,
tot er niets meer over is, of een rest:
20 / 520 \
200 10 x
320
200 10 x
120
120 6 x +
26 x
2. hoe LeRen LeeRLingen nU ReKenen oP De BASiSSChooL? WAT iS eR MeT De jARen VeRAnDeRD?
15

Sommige leerlingen nemen grotere hapjes, zij zien direct dat je een ‘grotere’ hap van 20 keer 20 kunt nemen.
De deling zal bij hen dan ook korter zijn, maar leidt tot dezelfde uitkomst.
Bij het cijferend rekenen valt het begrip van hapjes nemen weg. je moet de voorgeschreven stappen precies
uitvoeren en dan zal het wel goed gaan. het is meer mechanistisch.
De aanpak om basisstrategieën uit te leggen is dus vaak heel anders dan wat docenten zelf hebben geleerd.
ReKenen: VRoegeR en nU!
16

3. De ijsbergmetafoor
na het basisonderwijs richten veel rekenmethoden zich vooral op formele bewerkingen (het topje van de ijsberg).
Maar ook in het voortgezet en het middelbaar beroepsonderwijs loont het de moeite te blijven investeren
in getalbegrip, verbindingen leggen, modelleren, herkennen in de praktijk, interpreteren en toepassen
in de praktijk (het drijfvermogen en het verbinden van het rekenen met modellen en de werkelijkheid om ons
heen). Veel leerlingen hebben immers nog niet voldoende tijd gehad om dit goed te ontwikkelen op de basisschool.
het drijfvermogen is bij hen (nog) niet voldoende ontwikkeld, al gaan de reken­ en wiskundemethoden
in het voortgezet en middelbaar beroepsonderwijs daar wel van uit.
het drijfvermogen van de ijsberg is het rekenkundig en wiskundig denken en dat is veel omvangrijker en
fundamenteler dan het topje. hoe meer in onderwijs wordt geïnvesteerd in het drijfvermogen, hoe stabieler
de top wordt. Zonder drijfvermogen is er geen zichtbare top.
in het basisonderwijs wordt geïnvesteerd in het drijfvermogen.
De modellen en de praktische situaties moeten uiteraard aansluiten bij de leeftijd en de leefwereld van de
leerlingen in het voortgezet onderwijs en de studenten in het mbo. Als leerlingen hun eigen werkelijkheid
herkennen in de context, kan informele kennis hiermee bewust gemaakt worden. Bij alle aspecten van het
rekenonderwijs zijn verkenningen van verschijningsvormen en functionaliteit van getallen en bewerkingen
ReKenen: VRoegeR en nU!
18

een noodzakelijk vertrekpunt. Vandaar dat dit in verschillende ijsbergen kan worden weergegeven.
het is niet zo dat alle leerlingen bovenstaande aanpakken gebruiken. er is namelijk een bepaalde opbouw te
vinden in de verschillende aanpakken.
Leerlingen beginnen onder in de ijsberg wanneer ze in aanraking komen met een strategie als optellen,
aftrekken of vermenigvuldigen. helemaal onder in de ijsberg worden aanpakken aangeleerd waarin concreet
gehandeld wordt. Wanneer een leerling deze aanpak beheerst, kan de stap naar een aanpak hoger in de
ijsberg gemaakt worden: het symboliseren van deze concrete handeling. nog steeds is dit niet de meest
verkorte aanpak, die is te vinden in het topje van de ijsberg: het formele rekenen.
niet alle leerlingen zullen ooit het topje van de ijsberg bereiken, ofwel in staat zijn de kortste strategie te
gebruiken. het doel is vooral dat leerlingen de voor hen meest efficiënte strategie gaan gebruiken, dus zo
hoog mogelijk in de ijsberg rekenen.
Voor een docent is het van belang dat hij op elk niveau in de ijsberg leerlingen kan begeleiden bij het
gebruiken van de betreffende strategie. Tegelijkertijd kan hij zo proberen de leerlingen hoger in de ijsberg
te krijgen.
Via enkele rekenopgaven lichten we deze opbouw toe.
3. De ijSBeRgMeTAfooR
19

Bij de opgave 25 x 16 zijn de volgende aanpakken te zien:
1. Cijferen: onder elkaar zetten
2. handig rekenen: 25 x 16 = 50 x 8
3. Splitsen: 10 x 16 + 10 x 16 + 5 x 16
4. Roostermodel
5. Rechthoekje tekenen
(een zijde van 25 en een zijde van 16)
6. herhaald optellen: 25 + 25 + 25 + …
(Dit wordt 16 keer herhaald. Deze methode kost veel tijd en rekenfouten worden makkelijk gemaakt.
Toch wordt hiermee het concept ‘vermenigvuldigen’ aangeleerd.)
ReKenen: VRoegeR en nU!
20

Voor een deelsom als 132 : 6 is een andere opbouw te maken:
1. Staartdeling
2. hapjesmethode zonder schema
3. Schema maken en vervolgens hapjesmethode
1 6
2 (verdubbelen) 12
4 (verdubbelen) 24
10 60
5 (halveren) 30
4. Tafel van 6 opzeggen
5. groepjes van 6 maken
3. De ijSBeRgMeTAfooR
21

4. Visies op rekenen
er zijn grofweg drie visies op rekenen: cijferen, realistisch rekenen en gecijferdheid.
cijferen
0,8 x 10 =
realistisch
rekenen
Kevin en Melissa gaan samen
knikkeren, want Kevin heeft
10 knikkers voor zijn verjaardag
gekregen. Melissa heeft 20%
minder knikkers dan Kevin.
Hoeveel knikkers heeft zij?
gecijferdheid
Hoeveel kost de plant nu?
10,-
20%
korting
ReKenen: VRoegeR en nU!
22

er zit een volgordelijkheid in de ontwikkeling van deze visies. Vroeger was − in ons land dat dreef op handel,
scheepvaart en industrie − de ambachtelijke vaardigheid van het uitvoeren van algoritmische bewerkingen op
kale getallen (cijferen) van belang. De noodzaak om snel en goed uit het hoofd te kunnen rekenen was groot;
er was immers ook nog geen rekenmachine voorhanden. Vanaf het midden van de jaren ’90 is het realistisch
rekenen geïntroduceerd; een sterke nadruk op contextrijk rekenen.
op dit moment is het realistisch rekenen de meest gangbare manier waarop reken­ en wiskundeonderwijs in
nederland is ingericht. gecijferdheid is een meer recente benadering. Meer nog dan bij het realistisch rekenen
is de kwantitatieve kant van de wereld (rijk, gevarieerd en complex) om ons heen het uitgangspunt. Rekenen
is geïntegreerd in het culturele, maatschappelijke, persoonlijke en emotionele handelen.
Bij elke visie zitten, in meer of mindere mate, elementen uit de voorgaande visies. De ene visie is per definitie
niet beter dan de andere, maar is vaak anders, passend bij de ontwikkelingen en vraagstukken van de
dan geldende maatschappij. op dit moment is er bijvoorbeeld veel discussie over het hedendaagse rekenonderwijs:
kwaliteiten en vervormingen van realistisch rekenen worden tussen voor­ en tegenstanders
besproken. in die discussie gaat het over resultaten, over de inhoud van rekenonderwijs (wat) en over de
manier waarop dat in de klas of groep wordt uitgevoerd. Uit het onderzoek ‘Rekenonderwijs op de basisschool’
van de Koninklijke nederlandse Akademie van Wetenschappen (KnAW) blijkt dat de docent in de klas of groep
het verschil maakt. Dus aandacht voor de kwaliteit van de docenten is van belang.
4. ViSieS oP ReKenen
23

5. Een goede aansluiting van groot belang
het voorgaande laat zien dat we in onze zoektocht naar hoe we leerlingen en studenten op effectieve,
zinvolle en motiverende wijze een repertoire aan bruikbare rekenvaardigheden kunnen bijbrengen, moeten
focussen op een goede doorlopende lijn in het rekenonderwijs in de gehele schoolloopbaan van de leerling of
student. een goede aansluiting tussen scholen is een aansluiting op niveau en doelgroep, een aansluiting in
methodiek en didactiek én een aansluiting bij de visie op rekenonderwijs, passend bij de ontwikkelingen en
vraagstukken van de maatschappij.
het is van groot belang dat we met elkaar die aansluiting realiseren. en dat kan alleen als we dezelfde
rekentaal spreken!
ReKenen: VRoegeR en nU!
24

Bronnen
- Boswinkel, N. & F. Moerlands (2003). ‘Het topje van de ijsberg.’ In: K. Goenewegen (red.),
Nationale rekendagen 2002, een praktische terugblik. Utrecht: freudenthal instituut
- Groenestein, M. van (2009). ‘Van informeel handelen naar formeel rekenen.’ In: Volgens Bartjens,
jaargang 29 2009/2010 nr. 1
­ hoogland, K. e.a. (2009). Rekenen in het voortgezet onderwijs. Waarom? Wat? Hoe? Utrecht: APS
­ Tal­team. Kinderen leren rekenen
BRonnen
25

leren
inspireren