Merkwaardig producten: Het kwadraat van een tweeterm a+b ... - casio

Merkwaardig producten:
Even herhalen
Het kwadraat van een tweeterm a+b
(a+b)²
Wanneer een getal of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dan duid je dat aan
door dat getal of die lettervorm één keer te schrijven en dan het cijfer 2 als exponent rechts
naast het getal of de lettervorm te schrijven.
Zo is
3² ( gelezen: het kwadraat van 3 of de tweedemacht van 3 of 3 tot de tweede)
de korte notatie van 3.3
en is 3² = 3.3 = 9
En ook :
(-7)²=(-7).(-7)= 49
2
⎛ − 5 ⎞ ⎛ - 5 ⎞ ⎛ - 5 ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟.
⎜ ⎟ =
⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
a²= a.a
(-5).(-5)
6.6
(-x)² = (-x).(-x) = x.x = x²
Opgave 1: Geef zelf nog twee voorbeelden van het kwadraat van een getal en bereken het
resultaat:
Voorbeeld 1: ……………………………………………………………
Voorbeeld 2: ……………………………………………………………
Ook van tweetermen, drietermen, viertermen,… kan het kwadraat berekend worden. Een
aantal ervan komt heel dikwijls voor, zodat je het resultaat – of de “formule” - uit je hoofd
moet kennen.
Eén ervan is het kwadraat van de tweeterm a+b.
Opgave 2: Weet je het nog? De twee termen van de tweeterm a+b zijn :….. en ….…
Merkwaardige producten - 1
=
25
36

Opgave 3: a+b is een tweeterm want
………………………………………………………………………………...
We berekenen nu het kwadraat van de tweeterm a+b, en noteren dat als (a +b)².
Let op :
De tweeterm is a+b, maar als je het kwadraat van die tweeterm wil berekenen, dan mag je
niet vergeten om de haakjes te plaatsen. Doe je dat niet, dan bereken je a+b² en dit is
wegens de volgorde van de bewerkingen de som van de eerste term a en het kwadraat van
de tweede term b.
Een beetje meetkunde
Net zoals we aan 3² de betekenis kunnen geven van de oppervlakte van een vierkant met
zijde 3,
kan ook je ook (a+b)² bekijken als de oppervlakte van een vierkant met zijde a+b (als a en b
positieve getallen zijn).
a+b
3
We proberen nu de oppervlakte van dit grote vierkant op een andere manier te berekenen.
a+b
(a+b)²
3
3² = 9
Merkwaardige producten - 2

Daarvoor verdelen we dit grote vierkant in vier zoals hieronder
De oppervlakte van het grootste vierkant kan je nu ook bekomen als de som van de
oppervlakte van de vier kleinere oppervlaktes
(a+b)²
Opgave 4: Nog niet overtuigd? Knip dan zelf drie vierkanten met zijde 5cm, 7 cm en 12 cm
uit. Knip ook twee rechthoeken met lengte 7cm en breedte 5 cm uit.
Probeer nu zelf om het grootste vierkant volledig te bedekken met de vier kleinere stukjes.
Lukt het?
We leggen de puzzelstukjes samen :
a+b
a
b
a+b
(a+b)²
a²
a
ab
Merkwaardige producten - 3
a
b
b
a²
ab
a
ab
ab
b²
b
b²

Opgave 5: Welk vermoeden kan je formuleren? Vul in met “+” of “=”:
Nog enkele cijfervoorbeelden
(a + b)² ……. a² ……. 2ab ……. b²
Vervolledig de volgende tabel met de getalwaarden van (a+b)² en van a² + 2ab + b² voor de
opgegeven waarden van a en b.
Gebruik de CALC functie ( ) van je rekentoestel om eerst alle getalwaarden van
(a+b)² te berekenen voor de opgegeven waarden van a en b. Dit doe je als volgt:
Voer eerst (a+b)² in :
( Qz(A)+QX(B))d
Druk r.
Je kan nu de waarde van a invoeren. In de
eerste opgave is dit 5
Druk daarna op l
Je kan nu de waarde van b invoeren.
Voer 7 in en druk op l
Lees de getalwaarde van (a+b)² af voor a=5
en b=7
Druk op l
Je kan nu de volgende waarde van a
invoeren….
Merkwaardige producten - 4

Opgave 6: Vul nu eerst de kolom waarin de getalwaarde van (a+b)² berekend wordt,verder
aan:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
a b (a + b)² a² + 2ab + b² Is (a+b)²=a²+2ab+b²?
5
− 5
3
2011
31
−12
13
− 7
32
7
3
2
-789
− 9
17
7
9
− 3
8
Voor het invullen van de volgende kolom, waarin de getalwaarde van a² + 2ab + b² berekend
wordt, ga je als volgt te werk
Voer a² + 2ab + b² in:
Qz(A) d+2 Qz(A)
QX(B)+ QX(B)+ d
Druk r. Je kan nu de waarde van a
invoeren. In de eerste opgave is dit 5
Druk daarna op l
Je kan nu de waarde van b invoeren.
Voer 7 in en druk op l
Merkwaardige producten - 5

Lees de getalwaarde van a² + 2ab + b² af
voor a=5 en b=7
Druk op l
Je kan nu de volgende waarde van a
invoeren…
Opgave 7: Vul nu de kolom met de getalwaarden van a² + 2ab + b² voor de opgegeven
waarden van a en b verder aan.
Opgave 8: Vergelijk de bekomen waarden in de tweede en de derde kolom en vul de laatste
kolom met “ja” of “neen” aan.
In deze tabel heb je een aantal cijfervoorbeelden bestudeerd. We maken nu de algemene
berekening, zodat we een formule kunnen afleiden.
Berekening
Het kwadraat van een tweeterm kan je berekenen door de tweeterm met zichzelf te
vermenigvuldigen. Je gaat dan tewerk zoals bij het vermenigvuldigen van veeltermen
(a + b)² = (a + b)(a + b)
= a² + ab + ba + b²
= a² + 2 ab + b²
Formule
Aan de hand van bovenstaande berekening leiden we de volgende formule af:
(a+b)² = a²+ 2ab + b²
Dit is één van de zeer belangrijke “merkwaardige” producten, die je uit het hoofd moet
kennen in symbolen, maar ook in woorden.
In woorden
Het kwadraat van een tweeterm is gelijk aan de som van
o het kwadraat van de eerste term
o het kwadraat van de tweede term
o twee keer het product van de twee termen ( of : het dubbel product van
de twee termen )
Merkwaardige producten - 6
…

Opmerking
Een kwadraat is steeds positief. Het dubbel product kan wel negatief zijn.
Dit is het geval wanneer de twee termen een verschillend teken hebben.
Controle
Met het rekentoestel kunnen we nog eens controleren dat deze formule juist is.
Ga naar de modus “VERIF” ( van “verifiëren”
of “nagaan”)
w
Kies 5 (VERIF)
Voer eerst (a+b)² in, en ga na of dit gelijk is
aan a²+2ab+b²
( Qz(A)+QX(B))dp
Qz(A) d+2 Qz(A)
QX(B)+ QX(B)+ d
Druk op l. Op het scherm verschijnt de
tekst “TRUE” (waar). Dit betekent dat (a+b)²
inderdaad gelijk is aan a²+2ab+b².
Opmerking
Als je iets zou invoeren dat niet correct is, dan
verschijnt de boodschap “FALSE” (onwaar of
vals) op het scherm.
Merkwaardige producten - 7

a
Uitbreiding
Je kan op dezelfde manier tewerk gaan voor de berekening van het product van twee
toegevoegde tweetermen (a+b)(a-b).
Je kan dit “merkwaardig” product bekijken als de oppervlakte van een rechthoek met lengte
a+b en breedte a-b.
We zetten je alvast voor het meetkundig gedeelte op weg
a-b
b
a(a-b)
a+b
a b
(a+b)b
ab b²
Opgave 9: Kleur op de figuur hierboven de rechthoek met lengte a+b en breedte a-b.
Opgave 10: Welk vermoeden kan je formuleren? Vul in met “+”, “-“ of “=”:
(a + b)(a-b) ……. a² ……. b²
Merkwaardige producten - 8
a²
a
b²
a-b
b

Opgave 1: Verschillende goede antwoorden
Antwoordsleutel
Opgave 2: De twee termen van de tweeterm a+b zijn : a en b
Opgave 3: a+b is een tweeterm want a+b is de som van de twee termen a en b
Opgave 5: Vul in met “+” of “=”: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Opgave 6, 7 en 8:
a b (a + b)² a² + 2ab + b² Is
(a+b)²=a²+2ab+b²?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5
− 5
3
2011
31
−12
13
− 7
32
7
3
2
-789
− 9
17
7
9
− 3
8
Opgave 10: Vul in met “+”, “-“ of “=”: (a + b)(a-b) = a² - b²
ja
ja
ja
ja
ja
ja
9