VEELVLAKKEN - Adeleuw
VEELVLAKKEN - Adeleuw
VEELVLAKKEN - Adeleuw
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
de Leuke En Uitdagende Wiskunde<br />
<strong>VEELVLAKKEN</strong><br />
SAMENSTELLING: H. de Leuw
1. VEELHOEKEN.<br />
Een veelvlak is een lichaam dat wordt begrensd door vlakke veelhoeken.<br />
Zo zijn balken en piramides wel veelvlakken, maar cilinders en bollen niet.<br />
Een veelhoek waarvan alle zijden even lang zijn en de hoeken even groot, noemen we een<br />
regelmatige veelhoek.<br />
Opgave 1.1:<br />
a. Welke van de onderstaande figuren zijn veelhoeken?<br />
b. Welke van de onderstaande figuren zijn bovendien regelmatig?<br />
Een bekende stelling in de wiskunde is dat voor iedere<br />
driehoek geldt dat de som van de hoeken gelijk is aan 180º.<br />
Dus in ABC geldt: A B<br />
C<br />
180<br />
.<br />
Deze stelling kunnen we gebruiken om de hoeken van een regelmatige veelhoek te berekenen.<br />
Opgave 1.2:<br />
a. Hoe groot is iedere hoek van een gelijkzijdige driehoek?<br />
b. Hoe groot is iedere hoek van een regelmatige vierhoek (=vierkant)?<br />
Om de hoeken van een regelmatige vijfhoek te berekenen<br />
verdelen we de vijfhoek in driehoeken. Omdat in iedere<br />
driehoek de som van de hoeken 180º is, kun je nu de som<br />
van de hoeken van een vijfhoek berekenen.<br />
Opgave 1.3:<br />
a. Hoe groot is de som van de hoeken van een vijfhoek?<br />
b. Hoe groot is een hoek van een regelmatige vijfhoek?<br />
Op dezelfde manier kun je een hoek van een regelmatige zeshoek, regelmatige zevenhoek, etc<br />
berekenen.<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 1 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>
Opgave 1.4:<br />
Vul de volgende tabel in:<br />
regelmatige<br />
veelhoek<br />
driehoek<br />
vierhoek<br />
vijfhoek<br />
zeshoek<br />
zevenhoek<br />
achthoek<br />
aantal<br />
driehoeken<br />
som van alle<br />
hoeken<br />
aantal graden<br />
van één hoek<br />
Met behulp van bovenstaande tabel kunnen we een formule afleiden waarmee we de grootte<br />
van een hoek in een regelmatige n-hoek kunnen berekenen. Hierbij is n een heel getal dat<br />
groter of gelijk is aan 3.<br />
Opgave 1.5:<br />
a. Als je vanuit één hoekpunt de diagonalen van een regelmatige n-hoek tekent, in hoeveel<br />
driehoeken wordt de regelmatige n-hoek dan verdeeld?<br />
b. Hoe groot is de som van alle hoeken in deze driehoeken samen?<br />
c. Hoe groot is één hoek van een regelmatige n-hoek?<br />
d. Controleer je formule met behulp van de tabel die je hebt ingevuld.<br />
Veelvlakken kunnen we onderverdelen in convexe (bolle) en concave (holle) veelvlakken.<br />
Bij een convex (bol) lichaam kan ieder tweetal punten op het oppervlak altijd verbonden<br />
worden door een recht lijnstuk dat geheel binnen het lichaam loopt, terwijl dit bij een concaaf<br />
(hol) lichaam niet altijd mogelijk is.<br />
concaaf convex<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 2 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>
2. PLATONISCHE <strong>VEELVLAKKEN</strong>.<br />
Veelvlakken waarvan de zijvlakken allemaal gelijkmatige, regelmatige vlakke veelhoeken<br />
zijn en waarbij er in ieder hoekpunt evenveel zijvlakken samenkomen, noemen we<br />
regelmatige veelvlakken.<br />
Rond 550 v. Chr. kende de Griekse wiskundige Pythagoras al drie regelmatige veelvlakken,<br />
te weten de kubus, de tetraëder (=regelmatig 4-vlak) en de dodecaëder (=regelmatig 12vlak).<br />
De Griekse filosoof Plato (427-347 v. Chr.) kende ook de octaëder (=regelmatig 8-vlak) en<br />
de icosaëder (=regelmatig 20-vlak). Voor Plato lag in deze vijf regelmatige veelvlakken de<br />
essentie van de gehele natuur besloten. In de Timaeus, geschreven rond 350 v. Chr.,<br />
formuleerde Plato de theorie dat de vier ‘elementen’ waaruit de wereld zou zijn opgebouwd<br />
(vuur, lucht, water en aarde) allemaal bestonden uit kleine lichaampjes. En, redeneerde hij,<br />
daar de wereld slechts gemaakt kan zijn uit volmaakte bestanddelen, moeten de elementen de<br />
vorm hebben van regelmatige lichamen.<br />
Het lichtste en scherpste van de elementen, het vuur, zou de vorm moeten hebben van een<br />
tetraëder. Aarde, het meest stabiele element, moest de vorm hebben van een kubus. Een kubus<br />
is namelijk stevig als een berg en makkelijk stapelbaar. Water, het meest beweeglijke en<br />
vloeibare element, moest de vorm hebben van een icosaëder, het veelvlak dat het<br />
gemakkelijkste rolt. Lucht zit tussen water en vuur, daarom is lucht de octaëder, die immers<br />
tussen de tetraëder en de icosaëder in zit. De overblijvende dodecaëder stond voor het<br />
hemelgewelf.<br />
Sindsdien worden deze vijf veelvlakken de Platonische lichamen of Platonische veelvlakken<br />
genoemd.<br />
Opgave 2.1:<br />
In de bijlage vind je van ieder Platonische veelvlak een uitslag. Knip deze uitslagen uit en<br />
plak ze in elkaar.<br />
Opgave 2.2:<br />
Schrijf van ieder Platonisch veelvlak de vorm van de grensvlakken op.<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 3 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>
Opgave 2.3:<br />
a. Waarom zit de octaëder tussen de tetraëder en de icosaëder?<br />
b. Waarom stond de dodecaëder voor het hemelgewelf?<br />
Terwijl er in het platte vlak een eindeloze rij van regelmatige veelhoeken is, zijn er in de<br />
ruimte maar precies vijf regelmatige veelvlakken mogelijk. Dat er niet meer zijn, blijkt door<br />
de mogelijkheden systematisch af te zoeken.<br />
In een hoekpunt van het regelmatige veelvlak moeten minstens drie zijvlakken bij elkaar<br />
komen, maar de totale som van het aantal graden moet natuurlijk minder zijn dan 360º.<br />
Opgave 2.4:<br />
a. Waarom kan de totale som van het aantal graden niet precies 360º zijn?<br />
b. Wat gebeurt er met het oppervlak als de totale som van het aantal graden groter is dan<br />
360º?<br />
Opgave 2.5:<br />
a. Kun je een regelmatig veelvlak maken met zeshoeken als zijvlakken?<br />
b. Kun je een regelmatig veelvlak maken met zevenhoeken als zijvlakken?<br />
c. Welke regelmatige veelhoeken zijn dus alleen misschien mogelijk als zijvlakken van een<br />
regelmatig veelvlak?<br />
We hebben nu de regelmatige veelhoeken gevonden die misschien mogelijk zijn als zijvlak<br />
van een regelmatig veelvlak. We gaan nu na welke regelmatige veelvlakken je daar mee kunt<br />
maken.<br />
Opgave 2.6:<br />
Vul de volgende tabel in:<br />
soort zijvlak aantal hoeken aantal zijvlakken som van de graden naam van<br />
van een zijvlak in een hoekpunt in een hoekpunt het veelvlak<br />
driehoek 3 3 180º tetraëder<br />
kubus<br />
octaëder<br />
dodecaëder<br />
icosaëder<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 4 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>
3. DE FORMULE VAN EULER.<br />
Zou je op het idee komen om van veelvlakken de aantallen<br />
hoekpunten (H), zijvlakken (Z) en ribben (R) te tellen, dan<br />
zou je waarschijnlijk net als Descartes rond 1630 of de<br />
Zwitser Euler (1707-1783) in 1752 een verrassend verband<br />
ontdekken. Over dat verband, dat tegenwoordig bekend<br />
staat als de formule van Euler, gaat dit hoofdstuk.<br />
De formule van Euler speelt een belangrijke rol in vele<br />
takken van de wiskunde, en is helemaal niet moeilijk te<br />
bewijzen.<br />
We bekijken de Platonische veelvlakken.<br />
Opgave 3.1:<br />
Vul de volgende tabel in:<br />
Platonisch<br />
veelvlak<br />
Tetraëder<br />
Kubus<br />
Octaëder<br />
Dodecaëder<br />
Icosaëder<br />
vorm van<br />
zijvlakken<br />
aantal zijvlakken<br />
in een hoekpunt<br />
aantal<br />
hoekpunten H<br />
aantal<br />
ribben R<br />
aantal<br />
zijvlakken Z<br />
Opgave 3.2:<br />
a. Wat valt je op in de laatste drie kolommen van de bovenstaande tabel?<br />
b. Is er een verband tussen H, R en Z?<br />
c. Stel een formule op voor het aantal hoekpunten (H), ribben (R) en zijvlakken (Z) van een<br />
Platonisch veelvlak: …..–…..+…..=…..<br />
De formule van Euler heeft betrekking op zogenaamde sferische veelvlakken.<br />
Een sferisch veelvlak ziet er, ruwweg, uit als een gedeukte bol. Voor een betere beschrijving<br />
stellen we ons voor dat het beschouwde veelvlak gemaakt is van ideaal rekbaar en indrukbaar<br />
materiaal. Bij een topologische vervorming van het veelvlak mogen we het veelvlak rekken<br />
en indeuken, maar niet scheuren of plakken. We zeggen nu dat een veelvlak sferisch is als we<br />
het topologisch kunnen vervormen tot een bol. Een Platonisch veelvlak kunnen we<br />
gemakkelijk opblazen tot een bol en is dus sferisch.<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 5 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>
Opgave 3.3:<br />
Het hiernaast getekende ringvormige veelvlak is niet<br />
sferisch. We zullen zien dat bij dit veelvlak de formule<br />
van Euler niet geldt.<br />
a. Bepaal de waarden van Z, R en H die bij dit veelvlak<br />
horen.<br />
b. Welke waarde heeft Z R H ?<br />
We kunnen een sferisch veelvlak voorstellen als een landkaart (in het platte vlak). Nadat we<br />
het sferisch veelvlak hebben vervormd tot een bol, prikken we een gat in de bol en spreiden<br />
hem daarna uit tot hij in het vlak ligt. Hieronder zie je dit gedaan voor de dodecaëder.<br />
de dodecaëder de tot een bol vervormde dodecaëder<br />
in de bol wordt een gat geprikt en de zodoende ontstaat een ‘landkaart’<br />
bol wordt uitgespreid<br />
De laatste figuur noemen we een graaf van de dodecaëder. In de graaf staan de punten voor<br />
de hoekpunten van het veelvlak en de lijnen voor de ribben. Het is een vereenvoudigde<br />
voorstelling van je veelvlak, waarin je duidelijk kunt zien hoeveel hoekpunten, zijvlakken en<br />
ribben je veelvlak heeft, en hoe die met elkaar verbonden zijn.<br />
Opgave 3.4:<br />
Teken een graaf van de tetraëder, de octaëder, de dodecaëder en de icosaëder.<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 6 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>
Misschien heb je van een veelvlak twee grafen gekregen die er op het eerste gezicht<br />
verschillend uitzien, maar bij nader onderzoek toch dezelfde grafen zijn. Twee grafen zijn<br />
gelijk als het aantal punten, lijnen en vlakken hetzelfde is en als de punten op dezelfde manier<br />
verbonden zijn.<br />
Zo zijn de volgende twee figuren dezelfde graaf van een tetraëder.<br />
Het aantal hoekpunten H komt overeen met het aantal punten P van de graaf. Zo komt het<br />
aantal ribben R overeen met het aantal lijnen L, en het aantal zijvlakken Z komt overeen met<br />
het aantal vlakken V als we het omliggende vlak van de graaf meetellen.<br />
De formule van Euler zegt: H R Z 2<br />
Deze formule geldt voor een sferisch veelvlak dan en alleen dan als voor de bijbehorende<br />
graaf een soortgelijke formule geldt.<br />
Opgave 3.5:<br />
Schrijf de formule van Euler die voor de graaf geldt met behulp van P, L en V.<br />
De formule die je bij opgave 3.5 gevonden hebt, gaan we bewijzen voor grafen van sferische<br />
veelvlakken.<br />
We stellen ons de graaf voor als een stuk land dat is afgebakend door dijken en dat is<br />
omgeven door zee. De lijnen van de graaf zijn dus de dijken, het omringende vlak is de zee en<br />
de vlakken binnen de graaf zijn weilanden. We willen alle weilanden onder water zetten door<br />
een zo klein mogelijk aantal dijken door te steken.<br />
We gaan de formule eerst bewijzen voor de hiernaast getekende<br />
graaf van een kubus.<br />
Opgave 3.6:<br />
a. Hoeveel weilanden heeft deze graaf?<br />
b. Hoeveel weilanden kunnen we maximaal onder water zetten door één dijk door te steken?<br />
c. Hoeveel dijken moeten we doorsteken om alle weilanden onder water te zetten (als we<br />
geen dijk te veel willen doorsteken)?<br />
d. Teken een mogelijke graaf waarbij alle weilanden onder water staan en waarbij we geen<br />
dijk te veel hebben doorgestoken.<br />
e. Hoeveel dijken zijn er nog intact?<br />
f. Controleer met een berekening de volgende formule:<br />
totaal aantal dijken = aantal doorgestoken dijken + aantal intacte dijken<br />
g. We kijken naar de overgebleven dijken. Is vanuit ieder punt ieder ander punt te bereiken<br />
via dijken die nog intact zijn? Hoe weet je dat?<br />
h. Op hoeveel manieren kun je nog van het ene punt naar het andere komen? Waarom?<br />
Een graaf waarin je op precies één manier van het ene naar het andere punt kunt komen,<br />
noemen we een boom.<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 7 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>
We gaan de formule nu bewijzen voor een graaf van een willekeurig sferisch veelvlak.<br />
Deze graaf heeft L lijnen, P punten en V 1<br />
weilanden (want V is het aantal vlakken van de<br />
graaf als we het omliggende vlak meetellen).<br />
Opgave 3.7:<br />
a. Hoeveel weilanden kunnen we maximaal onder water zetten door één dijk door te steken?<br />
b. Hoeveel dijken moeten we doorsteken om alle weilanden onder water te zetten (als we<br />
geen dijk te veel willen doorsteken)?<br />
c. Hoeveel dijken zijn er nog intact?<br />
d. De antwoorden van opgave b en c vullen we in bij de formule:<br />
totaal aantal dijken = aantal doorgestoken dijken + aantal intacte dijken<br />
Dit geeft: L ..... .....<br />
e. Dit kunnen we ook schrijven als: ..... ..... ..... .....<br />
We hebben nu de formule van Euler bewezen voor sferische veelvlakken.<br />
De formule van Euler heeft ontzettend veel toepassingen. Hij kan worden gebruikt voor het<br />
inventariseren van de regelmatige en halfregelmatige veelvlakken. De formule speelt een<br />
belangrijke rol bij de oplossing van het vier-kleuren-probleem. Ook is hij de sleutel bij vele<br />
puzzels.<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 8 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>
4. DUALITEIT.<br />
Opgave 4.1:<br />
Hiernaast zie je een kubus getekend.<br />
a. Bepaal van ieder zijvlak het punt dat precies<br />
in het midden ligt en verbind steeds een<br />
tweetal punten met elkaar als ze in<br />
aangrenzende zijvlakken liggen.<br />
b. Welke figuur is er nu ontstaan?<br />
c. Tel het aantal zijvlakken van de kubus en tel<br />
het aantal hoekpunten van de ontstane figuur.<br />
d. Tel het aantal hoekpunten van de kubus en tel<br />
het aantal zijvlakken van de ontstane figuur.<br />
e. Wat valt er op bij je antwoorden van opgave<br />
c en d?<br />
In feite heb je van ieder zijvlak een hoekpunt gemaakt en heb je van ieder hoekpunt een<br />
zijvlak gemaakt. De figuur die zo ontstaat heet het duale veelvlak van het oorspronkelijke<br />
veelvlak.<br />
Opgave 4.2:<br />
a. Hoeveel hoekpunten en hoeveel zijvlakken<br />
moet het duale veelvlak van een tetraëder<br />
hebben?<br />
b. Welk veelvlak kan dus het duale veelvlak van<br />
een tetraëder zijn?<br />
c. Controleer je antwoord van opgave b door in<br />
de hiernaast getekende tetraëder het duale<br />
veelvlak te tekenen.<br />
Opgave 4.3:<br />
a. Hoeveel hoekpunten en hoeveel zijvlakken heeft het duale veelvlak van een dodecaëder.<br />
b. Welk veelvlak kan dus het duale veelvlak van een dodecaëder zijn?<br />
c. Welk veelvlak is het duale veelvlak van een icosaëder?<br />
d. Controleer je antwoorden van opgave b en c door in de graaf van een dodecaëder en in de<br />
graaf van een icosaëder met een andere kleur de graaf van het duale veelvlak te tekenen.<br />
Opgave 4.4:<br />
Wat gebeurt er als je twee keer de duale van een regelmatig veelvlak neemt?<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 9 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>
Hieronder zie je de vijf Platonische veelvlakken met hun duale veelvlak.<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 10 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>
H5: HALFREGELMATIGE <strong>VEELVLAKKEN</strong>.<br />
De Platonische veelvlakken zijn allemaal opgebouwd uit<br />
één soort van een regelmatige veelhoek.<br />
De halfregelmatige veelvlakken zijn opgebouwd uit<br />
meerdere soorten van een regelmatige veelhoek. De<br />
gebruikte veelhoeken van dezelfde soort zijn allemaal<br />
even groot en de situatie in alle hoekpunten is hetzelfde.<br />
Dus bijvoorbeeld heb je in elk hoekpunt twee gelijkzijdige<br />
driehoeken en twee vierkanten en zijn deze veelhoeken in<br />
elk hoekpunt op dezelfde manier gerangschikt.<br />
Zo zie je in de bovenste figuur hiernaast in elk hoekpunt de<br />
rangschikking driehoek, vierkant, driehoek, vierkant. Dit<br />
veelvlak wordt weergegeven door het viertal getallen<br />
(3,4,3,4) dat we de hoeksamenstelling noemen.<br />
In de onderste figuur zie je in elk hoekpunt de rangschikking<br />
vierkant, zeshoek, zeshoek. De hoeksamenstelling is dus<br />
(4,6,6).<br />
De halfregelmatige veelvlakken kunnen we onderverdelen in drie klassen.<br />
De eerste klasse wordt gevormd door de regelmatige prisma’s. Hieronder zie je enkele<br />
regelmatige prisma’s.<br />
Elk prisma bestaat uit twee even grote regelmatige veelhoeken, die het grondvlak en het<br />
bovenvlak van het prisma vormen. De opstaande zijvlakken zijn allemaal vierkanten. Dit<br />
houdt dus in dat alle ribben van het prisma even groot zijn.<br />
De tweede klasse bestaat uit de zogenaamde antiprisma’s, deze ontstaan uit de prisma’s uit de<br />
eerste klasse door het bovenvlak te draaien, zodanig dat elk hoekpunt van de bovenste<br />
veelhoek boven het “midden” van een zijde van de onderste veelhoek komt te liggen.<br />
Vervolgens verbinden we de hoekpunten in het bovenvlak met die in het grondvlak. Omdat<br />
alle ribben dezelfde lengte hebben, moet de lengte van de ribben in de opstaande zijvlakken<br />
worden aangepast, zodat alle opstaande zijvlakken gelijkzijdige driehoeken worden.<br />
a b c<br />
Opgave 5.1:<br />
Bereken van elk van de drie hierboven getekende antiprisma’s de kleinste hoek waarover het<br />
bovenvlak van het prisma gedraaid is, om het bijbehorende antiprisma te krijgen.<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 11 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>
De derde klasse bestaat uit 13 bijzonder veelvlakken. Volgens bronnen uit de Oudheid zijn<br />
deze veelvlakken ontdekt door de Griekse wiskundige Archimedes (287-212 v. Chr.). Deze<br />
veelvlakken worden dan ook vaak de Archimedische veelvlakken genoemd.<br />
Opgave 5.2:<br />
Geef van alle Archimedische veelvlakken de bijbehorende hoeksamenstelling.<br />
Alle dertien Archimedische veelvlakken zijn af te leiden van de Platonische veelvlakken door<br />
hoekpunten en/of ribben door nieuwe zijvlakjes te vervangen.<br />
We zullen zien dat er precies één Archimedisch veelvlak is, opgebouwd uit regelmatige<br />
vijfhoeken en regelmatige zeshoeken.<br />
Eerder hebben we gezien dat een hoek in een regelmatige vijfhoek 108º is en dat een hoek in<br />
een regelmatige zeshoek 120º is.<br />
In één hoekpunt van het te maken veelvlak moeten minstens drie veelhoeken samenkomen,<br />
maar de totale som van het aantal graden moet natuurlijk minder zijn dan 360º. Immers bij<br />
precies 360º ontstaat een plat vlak en bij meer dan 360º ontstaat een ‘deuk’ in het oppervlak.<br />
Opgave 5.3:<br />
a. We kunnen een som, minder dan 360º alleen maar op twee verschillende manieren<br />
krijgen: ..... 108 ..... 120<br />
..... en ..... 108<br />
..... 120<br />
.....<br />
b. Geef de bijbehorende hoeksamenstelling.<br />
Het is nu eenvoudig na te gaan dat de hoeksamenstelling (5,5,6) niet mogelijk is.<br />
Daartoe kijken we naar de hiernaast getekende figuur en<br />
letten op de opvolging van de vijfhoeken en zeshoeken.<br />
Het lijkt daarbij wel of de veelhoeken in een plat vlak<br />
liggen, maar dat is natuurlijk niet zo, in werkelijkheid<br />
staan ze schuin omhoog.<br />
Opgave 5.4:<br />
Laat zien dat de hoeksamenstelling (5,5,6) niet mogelijk<br />
is, maar de hoeksamenstelling (5,6,6) wel.<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 12 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>
Dat we bij de hoeksamenstelling (5,6,6) ook een halfregelmatige veelvlak kunnen maken<br />
zullen we nu laten zien.<br />
Hieronder zie je het resultaat als we bij ieder hoekpunt van een icosaëder een stukje afzagen<br />
(afknotten). Hiertoe verdelen we elke ribbe in drie gelijke delen. In het midden van ieder<br />
zijvlak ontstaat dan een regelmatige zeshoek.<br />
Verder letten we op de hoekpunten van dit twintigvlak, dat zijn er 12. In elk hoekpunt komen<br />
nu vijf gelijkzijdige driehoeken samen, waarvan de lengte van de zijde 3<br />
1 is van de<br />
oorspronkelijke ribbe. Deze vormen in totaal 12 kleinere piramiden, die elk een grondvlak<br />
hebben dat een regelmatige vijfhoek is. Als we nu deze twaalf top-piramiden afzagen, dan<br />
houden we een veelvlak over dat wordt begrensd door twaalf regelmatige vijfhoeken en de<br />
twintig zeshoeken als restanten van de zijvlakken van het twintigvlak.<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 13 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>
H6: VARIA.<br />
Opgave 6.1:<br />
Hieronder zie je zes veelvlakken met gelijkzijdige driehoeken en vierkanten als zijvlakken:<br />
een kubus met piramides erop (1), een driehoekig prisma (2), een vierzijdig antiprisma (3),<br />
een kuboctaëder (4), een rhombenkuboctaëder (5) en een gyrobifastigium (6).<br />
Elk van de zes veelvlakken heeft een spoor (a t/m f) achtergelaten. Onderzoek welk veelvlak<br />
bij welk spoor hoort.<br />
Opgave 6.2:<br />
We willen de Platonische en de Archimedische veelvlakken kleuren. Voorwaarde daarbij is<br />
dat zijvlakken die met een ribbe aan elkaar grenzen een verschillende kleur krijgen.<br />
Zijvlakken die alleen een hoekpunt gemeen hebben, mogen dus dezelfde kleur krijgen.<br />
Onderzoek voor elk Platonisch en Archimedisch veelvlak wat het kleinste aantal kleuren is<br />
dat je nodig hebt.<br />
Opgave 6.3:<br />
Als je meerdere kubussen hebt, kun je een grotere kubus maken.<br />
a. Onderzoek voor ieder Platonisch veelvlak of je met een aantal van die Platonische<br />
veelvlakken een Platonisch veelvlak van dezelfde soort kunt maken. Zo ja, geef dan het<br />
kleinste aantal Platonische veelvlakken dat je nodig hebt.<br />
b. Onderzoek of je een groter Platonisch veelvlak kunt krijgen door meerdere soorten<br />
Platonische veelvlakken te gebruiken. Zo ja, geef dan het kleinste aantal van elke soort<br />
aan die je nodig hebt.<br />
Opgave 6.4:<br />
Als je van verschillende kanten naar de tetraëder, de kubus en de octaëder kijkt, kun je steeds<br />
iets anders zien. Maak van elk veelvlak drie verschillende aanzichten. Doe dat zo nauwkeurig<br />
mogelijk.<br />
de Leuke En Uitdagende Wiskunde - 14 - <strong>VEELVLAKKEN</strong>