Opgave 4.2 a. Traagheidsmoment rechthoekig draadraam ...

Opgave 4.2
a. Traagheidsmoment rechthoekig draadraam
• Gegeven:
4 identieke staven met lengte L en massa m
draai-as door het midden van de 2 horizontale staven
• Aanpak: splits het probleem op in bekende situaties door
gebruikmaking van symmetrie:
Twee horizontale staven
Twee verticale staven
• Voor de verticale staven geldt:
J = m r 2 J = m(L/2) 2 = (1/4)mL 2 per staaf
Dus de bijdrage van beide verticale staven samen is
J =(1/2)mL 2
• Voor de horizontale staven geldt (zie dictaat, Hoofdstuk 4-3, Fig.
4.3): J = (1/12)mL 2 per staaf
Dus de bijdrage van beide horizontale staven samen is
J = (1/6)mL 2
• Hiermee komt het totale traagheidmoment op:
J = (1/2)mL 2 + (1/6)mL 2 = (2/3) mL 2
b. Traagheidsmoment horlogeanker
• Gegeven:
Draad met een massa λ per meter
• Aanpak: splits het probleem op in bekende of minder complexe
situaties door gebruikmaking van symmetrie:
Een horizontale draad L = 2R; m = Lλ = 2Rλ
J = (1/12)mL 2 = (1/12) (2Rλ) (2R) 2 = (2/3)λR 3
Twee gelijkwaardige ¼-cirkelvormige draden; totale
lengte is πR (halve omtrek van de cirkel)
J = mR 2 = (πRλ) R 2 = πλR 3
• Hiermee komt het totale traagheidsmoment op:
J = (2/3)λR 3 + πλR 3 = [2/3 + π] λR 3
c. Traagheidsmoment driehoekig draadraam
• Gegeven:
3 identieke staven met lengte L en massa m
draai-as valt samen met de zwaartelijn vanuit de top van de
driehoek
• Aanpak: splits het probleem op in bekende of minder complexe
situaties door gebruikmaking van symmetrie:
Een horizontale staaf J = (1/12)mL 2
Twee gelijkwaardige “scheve” staven; doe de berekening
voor één staaf en verdubbel het resultaat
• We moeten berekenen:
J = ∫ r 2 dm
• Voor positie x op de staaf is de afstand r tot de draai-as:
r = x sinα, waarbij α de hoek is van de staaf t.o.v. de draai-as (in
ons geval dus 30°)

De massa van de staaf per lengte-eenheid is m/L, dus
dm = (m/L)dx
• Hiermee wordt J:
J = ∫ r 2 dm = ∫ (x sinα) 2 (m/L)dx = (m/L) sin 2 α [(1/3)x 3 ]L-0
J = (1/3) sin 2 α mL 2
Met α = 30° is sinα = 1/2 wordt dit: J = (1/12)mL 2
• Hiermee komt het totale traagheidsmoment op:
J = (1/12)mL 2 + 2(1/12)mL 2 = (1/4) mL 2