統計的データ解析 ２００８ - 大阪大学X線天文グループ

統 計 的 データ 解 析 2008
2008.11.25
林 田 清
( 大 阪 大 学 大 学 院 理 学 研 究 科 )

XSPECとレスポンス 行 列
データスペクトル( 黒 十 字 )=
観 測 されたPHスペクトル
レスポンス 行 列
⎛ SPH
[0] ⎞ ⎛ R0,0 R0,0 RM−
1, N−1
⎞⎛ IE[0]
⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜
SPH
[1] ⎟
R0,1 R1,1
IE[1]
= ⎜ ⎟
⎜ ⎜ ⎟
⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ S ⎟ ⎜
R
R ⎟⎜I
⎟
⎝
⎠
⎝ PH [ N −1] ⎠ 0, N−1 M−1, N−1
⎝ E[ M −1]
⎠
仮 定 した 入 射 X 線 エネルギー
スペクトルモデル
残 差 :データスペクトルー
モデルスペクトル
モデルスペクトル( 赤 )=
期 待 されるPHスペクトル

ここまでのまとめ
• 測 定 : 母 集 団 から 標 本 をとってくる
• 誤 差 とは? 誤 差 をどう 求 めるか
• 最 尤 法 の 考 え 方
• 誤 差 伝 播
• いろいろな 確 率 分 布
• 最 小 二 乗 法 、カイ 二 乗 フィット
カイ 二 乗 検 定 、パラメータの 誤 差
• 検 定 と 推 定 、 相 関 係 数
問 題 E: 各 自 、 具 体 例 を 設 定 した 演 習 問 題 を 作 成 せよ。

擬 似 乱 数 の 発 生
• モンテカルロ 法 のための 準 備
• 一 様 乱 数 (0

乱 数 ルーチンの 選 び 方
• srandom, randomあるいはsrand, randは 学 習 用
• 本 格 的 な 研 究 にはより” 性 能 のいい” 擬 似 乱 数 発
生 ルーチンを 使 うべき
偏 りがない、 周 期 性 がない、 計 算 速 度 が 速 いなど
• 例 えば、Numerical Recipes in C (W.Press 他 著 、
技 術 評 論 者 )や 計 算 物 理 ( 早 野 龍 五 、 高 橋 忠 幸 著 、
共 立 出 版 )を 参 考 のこと
• 新 しい 試 みの 一 例 Mersenne Twister 法
(http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~mmat/MT/mt.html)

一 様 乱 数 の 応 用 例 ( 簡 単 なモンテカ
ルロ 計 算 )
• 一 様 擬 似 乱 数 を 与 える
• 円 の 面 積 ( 円 周 率 の 計 算 )
( 擬 似 ) 一 様 乱 数 の 組 (x,y)をN 個 生 成
半 径 1の 円 の 中 (x 2 +y 2

プログラム 例
• ここではseedは 任 意 の 数 (で
きれば 素 数 )を 入 力 する。
srandom(time(NULL));と
して 時 間 情 報 を 種 とするこ
ともできる。この 場 合 は
time.hをincludeする 必 要
あり。
• 右 の 例 でpi1は 整 数 の 割 り 算
が 最 初 に 行 われるので 値 が
ゼロになる。 pi2, pi3のよう
な 記 法 にせよ。
• RAND_MAXは
/usr/include/stdlib.hの 中 で
定 義 (#define)されている。
#include
#include
int main()
{
int seed, n, i, m;
double x,y,pi1,pi2,pi3;
printf("input seed number¥n");
scanf("%d",&seed);
printf("input number of points ¥n");
scanf("%d",&n);
srandom(seed);
m=0;
for(i=0;i

プリプロセッサ
• #include
コンパイルされる 際 に、ソースコードのこの 位 置 に
fname.h( 通 常 は/usr/includeの 下 にある; 具 体 的 には
stdio.h,stdlib.h,math.h 等 )の 内 容 が 挿 入 される。
• #define ABC abc
ソースコードのこの 位 置 以 降 にあるABCという 文 字 列
があれば、コンパイル 時 に 自 動 的 にabcにおきかえら
れて 解 釈 される。
RAND_MAXは stdlib.hの 中 でdefineされている。

与 えられた 分 布 関 数 に 従 う 乱 数 1: 逆 変 換 法
分 布 関 数 f()
xに 従 う 乱 数 xを 発 生 させたい
累 積 分 布 関 数 Fx ()
∫ x
x
Fx () = f(') xdx'
min
は 区 間 (0,1)に 一 様 にランダムに 分 布 する。
−1 −1
もしFの 逆 関 数 F をみつけることができればx F () r により
擬 似 一 様 乱 数 rから 分 布 関 数 f()
xに 従 う 乱 数 xを 求 めることができる
=
例 : f( x) = λ exp( −λx)
∫ x
0
x
[ λ ] 0
F( x) = f( x') dx' = −exp( − x') = 1−exp( −λ
x)
1 1
x =− ln(1 − F( x)) =− ln( r)
λ
λ

逆 変 換 法 の 考 え 方
rが0

与 えられた 分 布 関 数 に 従 う 乱 数 2: 棄 却 法
発 生 が 容 易 な 分 布 関 数 ( 例 えば 一 様 分 布 ) gx () の 定 数 倍 Cgx () に
よってf()
xを 完 全 に 包 み 込 む。
1. gx () の 確 率 分 布 に 従 う 乱 数 xを 発 生 させる
0 0 0
0 0 0
0
≥
0
0
0
2. 点 xでf( x ) とCg( x ) を 計 算 する。 (0,1) の 乱 数 rを 発 生 させ、
(a) f( x ) < rCg( x ) ならば、 xを 棄 ててステップ1からやり 直 す
(b) f( x ) rCg( x ) ならば、 xが 求 める 乱 数
x0を 棄 却
P
Cg( x0
)
Cg()
x
x0を 採 択
0
xmin
f( x0
)
x 0
x
f () x
xmax

正 規 乱 数 の 発 生
• 積 分 は 誤 差 関 数 、 解 析 的 に 記 述 できない。
Box-Muller 法 か 中 心 極 限 定 理
12
∑
x= r −6
i=
1
i
ここでrは(0,1)
の 一 様 乱 数
i
一 般 に 確 率 密 度 関 数 qx ( , x) に 従 う 変 数 x, xの 関 数 y,
yの 確 率 密 度 関 数 は
∂( x, x )
py ( , y) dydy = qx ( , x)
dydy
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
∂( y1, y2)
⎡ 1 ⎤⎡ 1
⎤
p( y, y ) dydy = ⎢ exp( −y / 2) ⎥⎢ exp( −y / 2) ⎥dydy
⎣ 2π
⎦⎣ 2π
⎦
となるような 変 数 y , yを 生 成 したい ⇒ Box-Muller 法
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
y = − 2ln x cos2 π x , y =
1 1 2 2
−2ln
x
sin2π
x
1 2
x, xが 区 間 (0,1)の 独 立 な 一 様 乱 数 であればq( x, x ) dxdx = dxdx
1 2 1 2 1 2 1 2
⎡ 1 ⎤ 1 y
x = exp − ( y + y ) , x = arctan
2 2 2
1 ⎢ 1 2 2
⎣ 2 ⎥
⎦ 2π
y1
∂( x , x ) ⎡ 1 ⎤⎡ 1
⎤
=− exp( −y
/ 2) exp( −y
/ 2)
1 2
2 2
1 2
∂( y1, y2) ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ 2π
⎦⎣ 2π
⎦

ポアッソン 分 布 に 従 う 乱 数
Px e x
x -μ
() = μ / !
ただしxは 離 散 値 、 棄 却 法 はそのままでは 使 えない
Qydy e y
[ y] -μ
( ) = μ /[ ]!
という 連 続 分 布 関 数 を 定 義 する
ここで[y]はyを 超 えない 整 数
Qy ( ) に 従 う 乱 数 yを 棄 却 法 により 発 生 させ、その 整 数 部 を
とってxとする