M - 大阪大学X線天文グループ

宇 宙 物 理 学 概 論2003/10/09大 阪 大 学 大 学 院 理 学 研 究 科林 田 清

2 体 問 題 : 相 対 位 置 、 換 算 質 量 mm 1 22 個 の 質 点 m1, m2がr1, r2にあるときf( r) =− G , r = r22−r1としてr2 dr1 r1−r2m1 = f( r) ....(1)2dt r2 dr2 r2 − r1m2 = f( r) ....(2)2dt r2dr ⎛ 1 1 ⎞ r(2)/ m2-(1)/ m1から= + f( r)2 ⎜ ⎟dt ⎝m1 m2⎠ r( m m ) mm ( m m )ここで 換 算 質 量 µ = 1/ 1/ + 1/ = / +2drµ = f(r) 2dt r1 2 1 2 1 2を 使 うと

二 体 問 題 : 重 心 のまわりの 運 動 重 心 を 原 点 にとるとmr 11+ mr2 2= 0, r = ( m1+m2)r2/m1 dr r m+m r mm rm f r f r G2 32 1 2 2 1 2 22= ( ) = (2 2)= −2dt r m21r2 ( m1 + m2)r r2 21 2( )これはm の 運 動 が 重 心 にM = m / m + m の 質 量 がある 場 合 の32 1 1 2運 動 方 程 式 と 同 じ。mに 対 するm の 運 動 の 軌 道 長 半 径 をaとすると、2( )重 心 のまわりのm の 運 動 の 軌 道 長 半 径 a = am / m + m軌 道 周 期 P =2 2 1 1 23 /2 3/22πa22πa=GM G m mここ 添 え 字 修 正 しました。( + )1 2

連 星 系 の 観 測 と 星 の 質 量• 実 視 連 星• 分 光 連 星• 星 のスペクトル 線の 時 間 的 な 変 位から 連 星 であることがわかるM 1a 1ia 2M 23a ⎛2π⎞M1+ M2= ⎜ ⎟ G ⎝ P ⎠a ≡ a + a , M / M = a / a1 11 2 1 2 2 1V = K cos Ωt( π )K = 2 a / P sini1 1は 視 線 速 度 振 幅星 2についても 同 様a= a( M + M )3 3 1 21 3M2⎛ KP ⎞⎝2πsini⎠1= ⎜ ⎟332( M + M )1 23M2を 上 の 式 に 代 入 すると3上 の 二 つの 図 はhttp://exoplanets.org/exoplanets_pub.htmlanets_pub.htmlより( sin )( + )3 32 12M i K ⎛ P ⎞= ⎜ ⎟M M G ⎝2π⎠1 2質 量 関 数 : 右 辺 は 観 測 から決 められる。 例 えば 質 量 M 1と 傾 き 角 iが 推 定 できていると質 量 M 2 が 決 まる。

太 陽 系 外 惑 星 探 査• Masses and Orbital Characteristics of All Known Extrasolar Planets(http:// http://exoplanets.org/exoplanets_pub.htmlより)に 現 在 111 個 掲 載ICRS 2000.0 coordinates*M sin i Per a K Mstar -------------+----------(Mjup) (d) (AU) e (m/s) (suns) R.A. | Dec-----------------------------------------------------------------+----------0 hd73256 1.85 2.548 0.037 0.04 267.0 1.05 | 8 37 17.0 | -41 19 101 hd83443 0.41 2.985 0.04 0.05 58.0 0.79 | 9 37 11.8 | -43 16 19…………………………………109 hd72659 3.0 3537.154 4.5 0.26 42.3 0.95 | 8 34 3.0 | -1 34 7110 55cncd 4.05 5360.000 5.9 0.16 49.3 1.03 | 8 52 36.1 | 28 19 53Msini( 木 星 質 量単 位 )公 転 周 期( 日 )軌 道 半 径(AU)恒 星 質 量( 太 陽 質 量単 位 )http://exoplanets.org/doppframe.htmlでドップラー 観 測 の 原 理 がみられる

大 きさのある 物 体 :球 対 称 な 物 体 の 重 力 場球 殻 の 微 小 部 分 の 質 量ρ2R ∆Rsind dθ θ φこの 質 量 が 距 離 sの 点 につくる 重 力 ポテンシャルdU=-G2( ρ ∆ θ θ ϕ)R Rsin d d / s( )2 2 2 2 2 2( r − Rcos θ) + Rsinθ = s よりr + R − 2rRcosθ= sdss = rRsinθdθ2ππ2 sinθU(r)=-GρR∆R∫dϕ∫dθ0 0 s( r+R)2 1 2 1 1=−G2πρR ∆ R∫ds =−G4πρR ∆ R =−GM( r- R)rR r r*) r < Rの 場 合 R-r,R+rなのでU(r)= −G 4πρR∆ R = 一 定r sθR半 径 R 厚 み∆Rの 球 殻• 球 対 称 な 質 量 分 布 の 中 心 からrの 距 離 における 重 力 は、rより 内 側 の 全 質 量が 中 心 に 集 中 している 場 合 と 等 価 。• 円 盤 上 に 軸 対 称 な 質 量 分 布 をしている 場 合 も、 円 盤 を 含 む 平 面 上 中 心 からrの 距 離 における 重 力 はrより 内 側 の 全 質 量 が 中 心 に 集 中 している 場 合 と 等 価 。

地 表 面 での 重 力 加 速 度M( < Re)g = GR2eここでR は 地 球 の 半 径 、 M( < R ) はRより 内 側 に 含 まれる 質 量e e e高 さhの 場 所 ではM( < R ) M( < Re)hg' = G ~ G (1−2 )( R + h)R Re深 さdの 穴 の 底 ではe2 2eM( < ( Re− d)) M( < ( R −d))dg'' = G ~ G(1+2 )( R − d)RRee2 2eee写 真 はhttp://www.mhhe.com/physsci/astronomy/arny/instructor/graphics/ch04/0401.htmlより

潮 汐 力• 満 潮 と 干 潮 、それぞれ1 日 何 回 ?• 2 回 づつ遠 心 力=mrω 2r=GとCの 間 の 距 離 、ω=GのまわりのCの 回 転 角 速 度 = 月 の 公 転 角 速 度月 からの 重 力BC( 地 球 の 重 心 )A合 力 ( 地 球 の 重 心 Cに 固 定された 座 標 系 でみて)BC地 球 と 月の 重 心GA月地 球 を 北 極 からみて 地 球 の 自 転 とGのまわりの 回 転 はわけて 考 える各 点 ( 除 くG)で 速 度 は 異 なるが 角 速 度 は 同 じ潮 汐 作 用 が 海 水 に 摩 擦 を 起 こし 地 球 の 自 転 は14 秒 /1 世 紀 で 遅 くなっている。同 時 に 月 までの 距 離 は8mm/1ヶ 月 づつ 長 くなっている( 地 球 の 自 転 の 角 運動 量 が 減 ったぶんだけ、 月 の 公 転 角 運 動 量 が 増 すため)。