Enkele basisbegrippen uit de convexe meetkunde

More documents

Recommendations

Info

Indien we −T noteren voor de spiegeling van T t.o.v. de oorsprong, −T = {−t | t ∈ T }, dan kunnen we ook het Minkowski-verschil invoeren: S ⊖ T = S ⊕ (−T ) Het is een veelgebruikte techniek om een ingewikkeld meetkundig object te modelleren als de Minkowski-som van eenvoudigere objecten (Minkowskidecompositie). Zo is een parallellopipedum bijvoorbeeld de Minkowski-som van 3 goedgekozen lijnstukken in IR 3 . De Minkowski-som van n lijnstukken in IR d wordt een zonotoop genoemd (een polytoop met veel toepassingen). Deze Minkowski-decompositie laat bijvoorbeeld toe om bepaalde geometrische operaties uit te voeren op eenvoudige objecten, om daarna de resultaten terug samen te voegen tot een meer ingewikkeld object (CAD/CAM, computeranimatie,. . . ) Andere toepassingen zijn bijvoorbeeld: • offset computation: Een object met te veel details of verstoord door ruis wordt “afgevlakt” door de Minkowski-som te nemen met een relatief kleine bol. • morphing: In computeranimatie en vele commerciële toepassingen wil men een object A op een vloeiende manier laten vervormen tot een object B. Hiervoor bestaan verschillende methodes, maar men kan bijvoorbeeld (1 − t)A ⊕ tB beschouwen, waarbij t van 0 tot 1 varieert (proberen!). • overlapping en penetratiediepte: Het leeuwenaandeel van de berekeningen tijdens een computeranimatie gaat naar intersectiedetectie. Een veelgebruikte overlappingstest steunt op A ∩ B ≠ ∅ ⇐⇒ o ∈ A ⊖ B In geval van overlapping kan de afstand van o tot de rand van A ⊖ B als maat genomen worden voor de penetratiediepte. • motion planning: Bij automatische robotnavigatie wordt de robot vaak herleid tot zijn referentiepunt, en dit heeft als gevolg dat de hindernissen moeten “groeien” met behulp van het Minkowski-verschil met de robot. Dit steunt op bovenstaande overlappingstest (zie later in de cursus). Eigenschappen. 1. Voor willekeurige delen A en B van IR d : conv(A) ⊕ conv(B) = conv(A ⊕ B) 4
2. Als A en B convex zijn, dan ook A ⊕ B (volgt uit 1.). 3. Als P en Q polytopen zijn, dan ook P ⊕ Q (volgt uit 1.). Bovendien is ieder hoekpunt van deze laatste de som van een hoekpunt van P en een hoekpunt van Q. Uit voorgaande eigenschappen besluiten we dat een algoritme voor het convex omhulsel van een eindige verzameling punten in IR d kan gebruikt worden om de Minkowski-som van polytopen in IR d te berekenen. Inderdaad, als P en Q polytopen zijn met respectieve hoekpuntenverzamelingen V P en V Q dan bekomen we P ⊕ Q door 1. construeer S = V P ⊕ V Q (eindige berekening) 2. construeer conv(S) Bovenstaand algoritme heeft echter te veel tijd nodig, omdat S heel veel overbodige punten bevat die niet op de rand van conv(S) liggen, en dus geen bijdrage leveren voor de uiteindelijke vorm van P ⊕ Q. Gelukkig kunnen we eigenschap (3) verfijnen. Indien een hoekpunt v van P ⊕ Q “gedragen” wordt door een raakvlak met uitwendige normaal ⃗u, dan geldt dat v = v P +v Q , waarbij de hoekpunten v P en v Q van P en Q door raakvlakken met dezelfde uitwendige normaal gedragen worden. Dit laatste kunnen we iets preciezer formuleren, maar hiervoor hebben we wat nieuwe notatie nodig. Indien ⃗u een (eenheids)vector is in IR d , en P een gegeven polytoop, dan noteren we H ⃗u (P ) voor het unieke hypervlak dat raakt aan P zodat ⃗u loodrecht op H ⃗u (P ) staat, waarbij ⃗u naar de halfruimte wijst die P niet bevat (uitwendige normaal). Verder introduceren we het volgende i-zijvlak van P : F ⃗u (P ) = H ⃗u (P ) ∩ P Nu kunnen we de volgende eigenschap formuleren, voor iedere (eenheids)vector ⃗u, en voor ieder paar polytopen {P, Q} in IR d : F ⃗u (P ⊕ Q) = F ⃗u (P ) ⊕ F ⃗u (Q) Een en ander leidt tot een snel algoritme voor de Minkowski-som van twee convexe veelhoeken P en Q in het vlak. In wezen roteren we ⃗u over 360 ◦ en houden halt telkens wanneer ofwel F ⃗u (P ) ofwel F ⃗u (Q) wijzigt. Dit is natuurlijk juist wanneer ⃗u samenvalt met de uitwendige normaal van een zijde van P of Q. De hoekpunten van P ⊕ Q worden dan in tegenwijzerzin geproduceerd door het bijhouden van F ⃗u (P ) + F ⃗u (Q): 5
Page 1 and 2: Enkele basisbegrippen uit de convex
Page 3: 3 Polytopen Een polytoop is de vera

Enkele basisbegrippen uit de convexe meetkunde

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?