Enkele basisbegrippen uit de convexe meetkunde

Enkele basisbegrippen uit de convexe meetkunde
1 Affiene ruimten
Als basisruimte nemen we IR d (of algemener, een eindigdimensionale vectorruimte
over een “geordend lichaam”).
De vectoren in IR d worden door kolommatrices voorgesteld, die in de duale
ruimte (IR d ) ∗ door rijmatrices. Dus, als u ∈ (IR d ) ∗ en x ∈ IR d , dan u · x ∈ IR.
Een affiene combinatie van een eindig aantal vectoren x 1 , . . . , x n is een lineaire
combinatie
n∑
x = λ i x i
met
n∑
λ i = 1
(λ i ∈ IR)
i=1
i=1
Het affien omhulsel aff(S) van een deel S van IR d bestaat uit alle mogelijke
affiene combinaties van vectoren uit S. Het resultaat noemen we een affiene
ruimte, en kan de vorm aannemen van een punt, een rechte, een vlak,. . .
Een stel vectoren S = {x 1 , . . . , x n } wordt affien onafhankelijk genoemd,
wanneer het affien omhulsel van iedere echte deelverzameling van S strikt kleiner
is dan aff(S). In dat geval is S = {x 1 , . . . , x n } een affiene basis voor A =aff(S),
en kan iedere vector x van A op unieke wijze geschreven worden als een affiene
combinatie van S. De gebruikte coëfficiënten (λ 1 , . . . , λ n ) in die affiene combinatie
worden de barycentrische coördinaten van x genoemd. De affiene dimensie
van A is gelijk aan n − 1, dus 1 minder dan het aantal vectoren in de affiene
basis S.
Een hypervlak H van IR d is een affiene ruimte van dimensie d − 1. Ieder
hypervlak wordt bepaald door een koppel (u, a) met u ∈ (IR d ) ∗ en a ∈ IR:
H = {x ∈ IR d | u · x = a}
Behalve als affien omhulsel, geven we nog twee andere equivalente manieren
om een affiene ruimte in IR d te construeren:
• als eindige doorsnede van hypervlakken
• als translatie van een lineaire deelruimte
1

2 Convexiteit
Een deel K van IR d wordt convex genoemd, als voor ieder paar {p, q} ⊂ K het
lijnstuk tussen p en q volledig tot K behoort.
Eigenschap. Een willekeurige doorsnede van convexe delen is opnieuw convex.
Het convex omhulsel conv(S) van een deel S van IR d is de “kleinste” convexe
verzameling van IR d die S omvat. Meer expliciet:
conv(S) = ∩{K ⊂ IR d | K is convex en S ⊂ K}
Een convexe combinatie van een eindig aantal vectoren x 1 , . . . , x n
lineaire combinatie
n∑
n∑
x = λ i x i met λ i = 1 en (λ i ∈ IR + )
i=1
i=1
is een
Het is een interessante oefening om aan te tonen dat het convexe omhulsel
conv(S) van een deel S van IR d juist bestaat uit alle mogelijke convexe combinaties
van vectoren uit S. Iets minder voor de hand is het volgende klassieke
resultaat:
Theorema van Caratheodory. Als x ∈ conv(S) dan kan x steeds geschreven
worden als een convexe combinatie van {x 1 , . . . , x t } ⊂ S met t ≤ dim(aff(S))+1.
Het convex omhulsel conv({x 1 , . . . , x n }) van een eindig aantal vectoren in
het vlak (x i ∈ IR 2 ) is steeds een veelhoek V . Bovendien komen de hoekpunten
van V uit {x 1 , . . . , x n }. Uiteraard is de veelhoek V convex, met als gevolg dat
alle hoekpunten van V convex zijn (hun inwendige hoek is kleiner dan 180 ◦ ).
Omgekeerd is iedere convexe veelhoek V het convex omhulsel van zijn hoekpuntenverzameling.
Indien we de k hoekpunten van een convexe veelhoek V rangschikken in
tegenwijzerzin, (v 0 , . . . , v k−1 ), waarbij het startpunt v 0 willekeurig gekozen is,
dan observeren we de volgende eigenschappen:
• v i+1 ligt links van de georiënteerde rechte v i−1 v i (indexrekenen modulo k)
• Als p een inwendig punt van V is, en als 1 ≤ i < i + 1 ≤ k − 1, dan geldt
pv̂
0 , pv i < pv 0
̂, pv i+1
waar de betreffende hoeken in ]0, 2π[ gemeten worden.
2

3 Polytopen
Een polytoop is de veralgemening van een convexe veelhoek in willekeurige dimensies,
en wordt meestal gedefinieerd als het convex omhulsel van een eindig
aantal vectoren in IR d :
P = conv({x 1 , . . . , x n })
De dimensie van P is per definitie de (affiene) dimensie van aff(P ).
We zeggen dat een hypervlak H raakt aan een polytoop P , indien
1. H snijdt P
2. P is volledig bevat in 1 van de 2 gesloten halfruimten begrensd door H
Men kan bewijzen dat de doorsnede van een polytoop P met een raakvlak H
opnieuw een polytoop F is. Indien dim(F ) = i, dan noemen we F een i-zijvlak.
Gewoonlijk worden de 0-zijvlakken hoekpunten genoemd, de 1-zijvlakken ribben,
en de 2-zijvlakken vaak kortweg zijvlakken.
Indien P een 3-dimensionale polytoop is met v hoekpunten, e ribben en f
zijvlakken, dan zegt de beroemde formule van Euler:
v − e + f = 2
Tel maar na bij bekende 3-polytopen (kubus, tetraeder, piramide, dodecaeder,. . . )
Deze wet heeft eigenlijk een topologische oorzaak, namelijk dat de rand van een
3-polytoop homeomorf is met de 2-sfeer, en staat dus los van de convexiteit.
Een polyeder in IR d is een doorsnede van eindig veel halfruimten in IR d . Een
polyeder kan al dan niet begrensd zijn. De volgende stelling lijkt evident, maar
dat is het bewijs zeker niet (m.b.v. Fourier-Motzkin eliminatie).
Hoofdstelling. Iedere polytoop is een begrensde polyeder, en omgekeerd is
iedere begrensde polyeder een polytoop.
Wellicht de meest eenvoudige polytoop is de d-simplex, zijnde het convex
omhulsel van d+1 affien onafhankelijk vectoren. Zo is een 2-simplex bijvoorbeeld
een driehoek, en een 3-simplex een tetraeder. Merk op dat een i-zijvlak van een
simplex een i-simplex is.
4 Minkowski-sommen
Als S en T delen in IR d zijn, dan noemen we
de Minkowsi-som van S en T .
S ⊕ T = {s + t | s ∈ S en t ∈ T }
3

Indien we −T noteren voor de spiegeling van T t.o.v. de oorsprong,
−T = {−t | t ∈ T },
dan kunnen we ook het Minkowski-verschil invoeren:
S ⊖ T = S ⊕ (−T )
Het is een veelgebruikte techniek om een ingewikkeld meetkundig object
te modelleren als de Minkowski-som van eenvoudigere objecten (Minkowskidecompositie).
Zo is een parallellopipedum bijvoorbeeld de Minkowski-som van
3 goedgekozen lijnstukken in IR 3 . De Minkowski-som van n lijnstukken in
IR d wordt een zonotoop genoemd (een polytoop met veel toepassingen). Deze
Minkowski-decompositie laat bijvoorbeeld toe om bepaalde geometrische operaties
uit te voeren op eenvoudige objecten, om daarna de resultaten terug samen
te voegen tot een meer ingewikkeld object (CAD/CAM, computeranimatie,. . . )
Andere toepassingen zijn bijvoorbeeld:
• offset computation: Een object met te veel details of verstoord door ruis
wordt “afgevlakt” door de Minkowski-som te nemen met een relatief kleine
bol.
• morphing: In computeranimatie en vele commerciële toepassingen wil men
een object A op een vloeiende manier laten vervormen tot een object
B. Hiervoor bestaan verschillende methodes, maar men kan bijvoorbeeld
(1 − t)A ⊕ tB beschouwen, waarbij t van 0 tot 1 varieert (proberen!).
• overlapping en penetratiediepte: Het leeuwenaandeel van de berekeningen
tijdens een computeranimatie gaat naar intersectiedetectie. Een veelgebruikte
overlappingstest steunt op
A ∩ B ≠ ∅ ⇐⇒ o ∈ A ⊖ B
In geval van overlapping kan de afstand van o tot de rand van A ⊖ B als
maat genomen worden voor de penetratiediepte.
• motion planning: Bij automatische robotnavigatie wordt de robot vaak
herleid tot zijn referentiepunt, en dit heeft als gevolg dat de hindernissen
moeten “groeien” met behulp van het Minkowski-verschil met de robot.
Dit steunt op bovenstaande overlappingstest (zie later in de cursus).
Eigenschappen.
1. Voor willekeurige delen A en B van IR d :
conv(A) ⊕ conv(B) = conv(A ⊕ B)
4

2. Als A en B convex zijn, dan ook A ⊕ B (volgt uit 1.).
3. Als P en Q polytopen zijn, dan ook P ⊕ Q (volgt uit 1.). Bovendien is
ieder hoekpunt van deze laatste de som van een hoekpunt van P en een
hoekpunt van Q.
Uit voorgaande eigenschappen besluiten we dat een algoritme voor het convex
omhulsel van een eindige verzameling punten in IR d kan gebruikt worden
om de Minkowski-som van polytopen in IR d te berekenen. Inderdaad, als P
en Q polytopen zijn met respectieve hoekpuntenverzamelingen V P en V Q dan
bekomen we P ⊕ Q door
1. construeer S = V P ⊕ V Q (eindige berekening)
2. construeer conv(S)
Bovenstaand algoritme heeft echter te veel tijd nodig, omdat S heel veel
overbodige punten bevat die niet op de rand van conv(S) liggen, en dus geen
bijdrage leveren voor de uiteindelijke vorm van P ⊕ Q. Gelukkig kunnen we
eigenschap (3) verfijnen. Indien een hoekpunt v van P ⊕ Q “gedragen” wordt
door een raakvlak met uitwendige normaal ⃗u, dan geldt dat v = v P +v Q , waarbij
de hoekpunten v P en v Q van P en Q door raakvlakken met dezelfde uitwendige
normaal gedragen worden.
Dit laatste kunnen we iets preciezer formuleren, maar hiervoor hebben we
wat nieuwe notatie nodig. Indien ⃗u een (eenheids)vector is in IR d , en P een
gegeven polytoop, dan noteren we H ⃗u (P ) voor het unieke hypervlak dat raakt
aan P zodat ⃗u loodrecht op H ⃗u (P ) staat, waarbij ⃗u naar de halfruimte wijst
die P niet bevat (uitwendige normaal). Verder introduceren we het volgende
i-zijvlak van P :
F ⃗u (P ) = H ⃗u (P ) ∩ P
Nu kunnen we de volgende eigenschap formuleren, voor iedere (eenheids)vector
⃗u, en voor ieder paar polytopen {P, Q} in IR d :
F ⃗u (P ⊕ Q) = F ⃗u (P ) ⊕ F ⃗u (Q)
Een en ander leidt tot een snel algoritme voor de Minkowski-som van twee
convexe veelhoeken P en Q in het vlak. In wezen roteren we ⃗u over 360 ◦ en
houden halt telkens wanneer ofwel F ⃗u (P ) ofwel F ⃗u (Q) wijzigt. Dit is natuurlijk
juist wanneer ⃗u samenvalt met de uitwendige normaal van een zijde van P of
Q. De hoekpunten van P ⊕ Q worden dan in tegenwijzerzin geproduceerd door
het bijhouden van F ⃗u (P ) + F ⃗u (Q):
5

Algoritme.
(met hoek(ab) bedoelen we de hoek die ⃗ ab maakt t.o.v. de positieve x-as)
1. (v 1 , . . . , v m ) en (w 1 , . . . , w n ) zijn de hoekpuntenlijsten van P en Q, in
tegenwijzerzin, startend met het hoekpunt mat kleinste y-coördinaat (en
kleinste x-coördinaat in geval van conflict).
2. i ← 1; j ← 1
3. v m+1 ← v 1 ; w n+1 ← w 1
4. repeat
5. Voeg v i + w j bij de hoekpuntenlijst van P ⊕ Q
6. if hoek(v i v i+1 ) < hoek(w j w j+1 ) then i ← i + 1
7. else if hoek(v i v i+1 ) > hoek(w j w j+1 ) then j ← j + 1
8. else i ← i + 1; j ← j + 1
9. if i > m + 1 then i ← m + 1;
10. if j > n + 1 then j ← n + 1;
11. until i = m + 1 en j = n + 1
Opmerkingen.
• Merk op dat dit algoritme in een tijd van O(m + n) loopt.
• Dit algoritme bewijst tevens dat de veelhoek P ⊕ Q ten hoogste m + n
hoekpunten heeft, ook al bevat V P ⊕ V Q juist mn punten.
vraag: wanneer heeft P ⊕ Q minder dan m + n hoekpunten
6