Ken uw klassieken Kolmogorov in het Concertgebouw - Wiskunde

Ken uw klassieken
Kolmogorov in het Concertgebouw
Henk Broer
December 6, 2003
A.N. Kolmogorov, The general theory of dynamical systems and classical mechanics.
Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Amsterdam,
1954), Vol. 1, pp 315-333, North Holland, Amsterdam, 1957 [in het Russisch].
Engelse vertaling als Appendix D in R.H. Abraham Foundations of Mechanics,
pp 263-279. Benjamin, 1967.
Andreĭ Nikolaevich Kolmogorov (1903 - 1987) was een der grootste wiskundigen
van de 20ste eeuw, onder meer betrokken bij het funderen van de kansrekening
en haar toepassingen in de fysica (via ergodentheorie) en de informatietheorie
(met het begrip entropie). Ook werkte hij aan dynamische systemen en turbulentietheorie.
Hij is de geestelijke vader van de Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM)
stelling, die wellicht de belangrijkste bijdrage van de 20ste eeuw vormt aan de
klassieke mechanica. De KAM stelling zegt dat voor bijna-integreerbare Hamiltoniaanse
systemen meestal het volgende geldt. Bij willekeurig gekozen beginwaarden
is de evolutie in de plaats-snelheidsruimte (de ‘faseruimte’) met grote
kans geheel beperkt tot een torus met daarin multi- of quasi-periodieke dynamica.
De dimensie van zo’n torus, die dus invariant is onder de dynamica, is gelijk
aan het aantal vrijheidsgraden. De bijbehorende storingsreeksen divergeren echter
op een dichte verzameling beginwaarden, die corresponderen met resonanties in
de torusfrequenties. Convergentie treedt op als de frequentieverhoudingen ‘voldoende
irrationaal’ zijn, hetgeen in de praktijk natuurlijk moeilijk meetbaar is ¡ ¡
Dit resultaat heeft een grote invloed gehad zowel in de klassieke mechanica als
in de statistische mechanica. Het werd door Kolmogorov aangekondigd in 1954,
tijdens de slotrede van het Internationaal Wiskundig Congres in het Amsterdamse
Concertgebouw. Deze rede verdient met recht het predikaat ‘klassieker’.
Ter toelichting het volgende. In the 19de eeuw dacht men dat alle problemen
uit de klassieke mechanica integreerbaar zijn, met andere woorden: dat er even-
1

veel behoudswetten zijn als vrijheidsgraden en dus dat elk probleem gereduceerd
kan worden tot één vrijheidsgraad. Alle bekende voorbeelden spreken hier ook
voor, zoals het Keplerse twee-lichamen probleem en de Euler tol. Poincaré liet
echter zien dat dit programma reeds spaak loopt bij een eenvoudige versie van
het drie-lichamen probleem, in dit geval geschreven als kleine storing van een
twee-lichamen probleem. In hedendaagse termen zouden we zeggen dat er chaos
optreedt. De quasi-periodieke dynamica geleverd door de KAM stelling is echter
niet-chaotisch. Beperkt tot de bijbehorende invariante tori ziet de dynamica er
nog steeds integreerbaar uit. De KAM stelling heeft tenminste twee interessante
aspecten, die we nu zullen bespreken.
Beschouw eerst het Zonnestelsel, als klassiek mechanisch systeem, waarvan Laplace
reeds de stabiliteit aan de orde stelde. Instabiliteit zou betekenen dat botsingen
kunnen optreden of dat een hemellichaam na een lange, maar begrensde tijd uit
het Zonnestelsel wegschiet. De KAM stelling heeft haar oorsprong in dit stabiliteitsprobleem.
Voor toepassing ervan vatten we het Zonnestelsel op als storing van
het integreerbare systeem dat bestaat uit een aantal onafhankelijke Kepler problemen.
In deze integreerbare benadering verwaarlozen we dus de interacties der
planeten onderling. Stel dat de interactie tussen de planeten een storing belichaamt
die binnen de toepassingsnormen van de KAM stelling valt. In dat geval zou, als de
beginwaarde van de evolutie van het Zonnestelsel willekeurig gekozen was, deze
met positieve kans zo’n quasi-periodieke vorm hebben. Dat laatste zou betekenen
dat het huidige programma van zonsverduisteringen, paasdata, etc., tot in
der eeuwigheid zou blijven doorgaan, hetgeen zeker stabiliteit belichaamt. Op
deze gedachte is overigens veel af te dingen; ik noem een drietal aspecten. Ten
eerste bevat het Zonnestelsel nogal wat resonantie en is een betere integreerbare
benadering nodig dan hierboven gegeven. Ten tweede valt de grootte van de interactie
tussen de planeten waarschijnlijk buiten de storingstolerantie van de KAM
stelling. En ten derde suggereert recent numeriek onderzoek van de Franse sterrenkundige
J. Laskar dat het Zonnestelsel erg chaotisch is, maar dat de mensheid
nog niet lang genoeg bestaat om daar weet van te kunnen hebben ...
Een ander aspect van de KAM stelling betreft het kanstheoretische deel van de conclusie:
bij willekeurig kiezen van de beginwaarde zit je op zo’n quasi-periodieke
torus. Dit geldt ook onder de restrictie van energiebehoud. Dat betekent dat elke
begrensde niveauverzameling van de energiefunctie (energie-oppervlak) gesplitst
kan worden in verschillende delen met de volgende eigenschappen. Ten eerste is
elk deel invariant onder de dynamica: evoluties maken geen verbindingen tussen
de verschillende delen. Ten tweede geldt dat in elk deel bij willekeurige keus de
beginwaarden met quasi-periodieke tori met positieve kans optreden.
Deze conclusie is in tegenspraak met het ‘ergodenpostulaat voor het microkanoniek
ensemble’, dat impliceert dat de begrensde energie-oppervlakken ergodisch
2

0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0.5
0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5 0.52
Figure 1: Toepassingen van KAM theorie in de fysica geeft soms aanleiding tot
een ‘duivelstrap’. Dit is de grafiek van een continue trap-functie met oneindig
veel treden, die corresponderen met een dichte deelverzameling van het beeld.
3

zijn. Dat wil ruwweg zeggen dat elke evolutie het hele energie-oppervlak doorloopt.
Het uiteenvallen van het energie-oppervlak in quasi-periodieke tori zou dus
volstrekt niet mogen. Overigens past het chaotische deel van de dynamica wel
goed bij het ergodenpostulaat. Inmiddels is in een aantal gevallen vastgesteld dat
totale kans om op een KAM torus te zitten razendsnel afneemt als het aantal vrijheidsgraden
toeneemt, dus of de statistische fysica veel last zal hebben van deze
‘paradox’ ...
4