Implicitní funkce

Z grafu vidíme, že rovnice e 2x − e y + x + 2y − 2 = 0 definuje implicitně funkci y = f(x) pro všechnax ∈ (−2, 1).Pokud’ rovnice F (x, y) = 0 definuje v okolí bodu A = [a, b] implicitně zadanou funkci, můžemevypočítat f ′ (a), f ′′ (a), . . . pomocí příkazu implicitdiff(F(x,y),y,x). Takto použitý příkaz námvypočte f ′ (a), vyšší derivace si ukážeme na příkladu.• Příklad 2:Vypočtěte f ′ (0), f ′′ (0), f ′′′ (0) pro funkci, která je implicitně definovaná rovnicíe 2x + e y + x + 2y − 2 = 0 .Nejdříve vypočteme pro x 0 = 0 příslušné y 0 .> b:=solve(F(0,y),y);y0 := 0Nyní vypočteme pomocí příkazu implicitdiff první derivaci implicitně zadané funkce y(x) a dosadímeza x hodnotu x 0 , za y hodnotu y 0 .> subs(x=0,y=0,implicitdiff(F(x,y),y,x));Zjednodušíme vypočtený výraz.> simplify(%);− 2 e0 +1e 0 +2−1Druhou derivaci vypočteme podobně, jen použijeme příkaz implicitdiff(F(x,y),y,x$2) pro druhouderivaci implicitně zadané funkce.> subs(x=0,y=0,implicitdiff(F(x,y),y,x$2));Contents First Last Prev Next Back Close Quit

simplify(%);Podobně spočteme třetí derivaci.− 8(e0 ) 3 +20(e 0 ) 2 +17 e 0(e 0 ) 3 +6 (e 0 ) 2 +12 e 0 +8−5/3> subs(x=0,y=0,implicitdiff(F(x,y),y,x$3));−2 24(e0 ) 5 +90(e 0 ) 4 +147(e 0 ) 2 +162(e 0 ) 3 +63 e 0(e 0 ) 5 +10 (e 0 ) 4 +40 (e 0 ) 3 +80 (e 0 ) 2 +80 e 0 +32> simplify(%);−4• Příklad 3: Nakreslete plochu, která je definovaná rovnicí x 2 +y x 2 −3+z 2 = 0. Zjistěte, zda rovnicedefinuje v okolí bodu (x 0 , y 0 , z 0 ) = (1, 1, 1) implicitně zadanou funkci z = f(x, y) a vypočtěte derivacitéto funkce v bodě (1, 1).Nejdříve zavoláme knihovnu programů plots a potom pomocí příkazu implicitplot3d vykreslímeplochu, která je definována rovnicí F (x, y, z) = 0 .> with(plots):> implicitplot3d(F(x,y,z),x=-3..3,y=-3..1,z=-2..2,axes=boxed,style=PATCHNOGRID);Contents First Last Prev Next Back Close Quit

10AIhr Kurzstreckenfahrschein gilt bisGatterburggasseSaarplatzNiederhofstraße ●UHeiligenstadtGunoldstraßeBarawitzkagasseSaarplatzSilbergasse38,39AGatterburggasse35A,38ChimanistraßeDänenstraße37A,40ATürkenschanzplatzGersthof419,40,41CzartoryskigasseRichthausenstraße42AHernalser Hptstr./Wattgasse43AlbrechtskreithgasseWilhelminenstr./Wattg.44Ottakringer Str./Wattgasse2Schuhmeierplatz46Possingergasse/Koppstraße48APossingergasse/Gablenzgasse12AAuf der Schmelz12AHütteldorfer Straße/JohnstraßeJohnstraße ●U12A,49,U3U3Märzstraße/JohnstraßeJohnstr./Linzer Str.10,52Schloß Schönbrunn10,58Schönbrunn ●UU4Rotenmühlgasse63AMeidling Hauptstraße ●U15A,63A,9A,U4Niederhofstraße ●UU60103050709101113141516Montag-Freitag (Schule) Montag-Freitag (Ferien) Samstag Sonn- und Feiertag5 22 32 42 526 02 12 22 32 41 50 587 07 15 23 31 39 48 588 08 18 28 33 38 48 589 08 18 28 38 48 5810 08 18 28 38 48 5811 08 18 28 38 48 5812 08 18 28 38 48 5813 08 18 28 38 48 5814 08 18 28 38 48 5815 08 18 28 38 48 5816 08 18 28 38 48 5817 08 18 28 38 48 5818 08 18 28 38 48 5819 08 18 28 38 48 5820 07 17 27 32 37 47 5721 07 17 27 37 48 5522 03 18 25 33 4823 03 13 24 37 52Am 24.12. Verkehr wie samstags, ab ca. 18.00 Uhr Intervall alle 15 MinutenAm 31.12. Verkehr wie samstagsbis Hütteldorfer Straße/Johnstraße bis Meidling Hauptstraße ●U5 22 32 42 526 02 12 22 32 41 50 597 09 18 28 38 48 588 08 18 28 38 48 589 08 18 28 38 48 5810 08 18 28 38 48 5811 08 18 28 38 48 5812 08 18 28 38 48 5813 08 18 28 38 48 5814 08 18 28 38 48 5815 08 18 28 38 48 5816 08 18 28 38 48 5817 08 18 28 38 48 5818 08 18 28 38 48 5819 08 18 28 38 48 5820 07 17 27 32 37 47 5721 07 17 27 37 48 5522 03 18 25 33 4823 03 13 24 37 521719202122245 29 44 566 07 17 27 37 47 577 07 17 27 37 47 578 07 17 27 37 47 579 07 17 27 37 47 5710 07 17 27 37 47 5711 07 17 27 37 47 5712 07 17 27 37 47 5713 07 17 27 37 47 5714 07 17 27 37 47 5715 07 17 27 37 47 5716 07 17 27 37 47 5717 07 17 27 37 47 5718 07 17 27 37 47 5719 07 17 22 27 37 47 5720 07 18 25 33 48 5521 03 18 33 4822 03 18 33 4823 03 13 24 37 52252629303233345 29 486 03 18 33 487 03 18 33 488 03 17 27 37 47 579 07 17 27 37 47 5710 07 17 27 37 47 5711 07 17 27 37 47 5712 07 17 27 37 47 5713 07 17 27 37 47 5714 07 17 27 37 47 5715 07 17 27 37 47 5716 07 17 27 37 47 5717 07 17 27 37 47 5718 07 17 27 37 47 5719 07 17 27 37 47 5720 07 18 25 33 48 5521 03 18 33 4822 03 18 33 4823 03 13 24 37 5236 Fahrzeit in MinutenServer: swl45002; Datum: 10.08.2012 10:34:06; Linie: 2310A_ (H)Holen Sie sich dieaktuellen Abfahrtszeitenauf Ihr HandyLeerzeilem.qando.at/qr/01138AuskunftWiener Linien: 7909-100Änderungen vorbehalten

Z tohoto grafu vidíme, že rovnice x 2 + y x 2 − 3 + z 2 = 0 definuje implicitně funkci z = f(x, y) provšechna x ∈ (0.8, 1.2) a y ∈ (0.8, 1.2).Nyní vypočteme pomocí příkazu implicitdiff první parciální derivace implicitně zadané funkcez = f(x, y) a dosadíme za x hodnotu 1, za y hodnotu 1 a za z hodnotu 1. Vypočteme tedy ∂f (1, 1) a∂x(1, 1).∂f∂yVýpočet ∂f∂x = ∂z∂x :> implicitdiff(F(x,y,z),z(x,y),x);−x (1 + y)zVýpočet ∂f (1, 1):∂x> subs(x=1,y=1,z=1,implicitdiff(F(x,y,z),z(x,y),x));Výpočet ∂f∂y = ∂z∂y :> implicitdiff(F(x,y,z),z(x,y),y);−2− x22 zContents First Last Prev Next Back Close Quit

Výpočet ∂f (1, 1):∂y> subs(x=1,y=1,z=1,implicitdiff(F(x,y,z),z(x,y),y));− 1 2Contents First Last Prev Next Back Close Quit