H11_De_cirkel

10
3 CIRKEL DOOR DRIE GEGEVEN PUNTEN
Geval 1
De drie gegeven punten A, B, C liggen niet op één rechte
Welke cirkel er ook door A, B en C gaat, telkens
zijn [AB] en [BC] koorden van die cirkel.
Volgens stelling 3 behoort het middelpunt van
zo’n cirkel tot de middelloodlijn van elk van
die koorden.
Nu hebben die middelloodlijnen precies één
snijpunt O waarvoor geldt:
ëOAë = ëOBë = ëOCë (eig. middelloodlijn)
A •
•
O
•
B
• C
Er bestaat dus precies één cirkel die door A, B en C gaat.
Het middelpunt is O en de straal is ëOAë. Die cirkel is de omcirkel van ∆ABC.
Geval 2
De drie gegeven punten A, B, C liggen op één rechte
Als er een cirkel door A, B, C zou gaan, moet zoals bij geval 1 het gezochte
middelpunt een gemeenschappelijk punt van de middelloodlijnen van [AB] en
[BC] zijn.
Maar die middelloodlijnen zijn loodlijnen
op eenzelfde rechte, dus evenwijdig: ze
hebben geen gemeenschappelijke punten.
•
• •
A
B
C
Er bestaat dus geen cirkel die door A, B en C gaat.
Gevolg
Een rechte en een cirkel hebben ten hoogste twee punten gemeenschappelijk.
Volgens geval 2 kunnen drie punten immers niet tegelijk tot een rechte en tot een
cirkel behoren.
4 GEMEENSCHAPPELIJKE SYMMETRIEAS VAN EEN
CIRKEL EN EEN RECHTE
We nemen een cirkel c met middelpunt O en straal r. We nemen ook een rechte a
die niet door het middelpunt O gaat: O µ a
Symmetrieassen van de cirkel c: elke rechte door O.
Symmetrieassen van de rechte a: de rechte a zelf en elke loodlijn op a.
Er is dus precies één gemeenschappelijke symmetrieas voor de cirkel c en de
rechte a:
de loodlijn x uit O op a
207