H12_Middelpuntshoeken_en_omtrekshoeken

11
Hoofdstuk 11
Middelpuntshoeken en omtrekshoeken
1 MIDDELPUNTSHOEK EN OMTREKSHOEK
Definitie middelpuntshoek
Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek waarvan
het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is.
De doorsnede van een middelpuntshoek en de cirkel is een
boog.
We zeggen: de middelpuntshoek staat op die boog. In de
figuur hiernaast staat de middelpuntshoek AÔB op de
boog [AB].
O •
A
B
Definitie omtrekshoek
Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de
cirkel ligt en waarvan beide benen de cirkel snijden of waarvan één been de
cirkel snijdt en één been de cirkel raakt.
B
A
A
•
O
C
•
O
B
De doorsnede van een omtrekshoek en de cirkel bestaat uit het hoekpunt en een
boog. We zeggen: de omtrekshoek staat op die boog. In de linkerfiguur staat de
omtrekshoek
 op de boog [BC], in de rechterfiguur staat de omtrekshoek  op
de boog [AB].
VRAGEN EN OPDRACHTEN
1 Op welke bogen staan de genummerde hoeken?
A
1
A
1
A
1 2
D
•
B
1 D A
1 1
B
C
O
1
B
C
1
B
1
2
C
1 2
3
2
1 C
215

11
2 a Op de onderstaande figuur zijn a, b, c raaklijnen aan de cirkel.
Welke van de 13 genummerde hoeken zijn middelpuntshoeken, welke zijn
omtrekshoeken?
b Welke hoek is met zekerheid een rechte hoek?
c Vind een middelpuntshoek en een omtrekshoek die op dezelfde boog staan.
7
b
•
a
•
9
8
•
6
5
12
1
•
13
4
3
10
2
11
c
Antwoord op de vraag van blz. 206.
Slechts 500 m, want na 500 m jaag je die hond het bos uit.
216

11
2 INSTAP
a
Om een vierkant ABCD is een cirkel beschreven.
Het middelpunt O is het snijpunt van de
diagonalen.
De omtrekshoek  1
en de middelpuntshoek Ô
1
staan beide op de boog [BC].
Uit de eigenschappen van een vierkant kun je
de grootte van  1
en Ô 1
afleiden.
Vul in :
ë 1 ë = ...... ëÔ 1 ë = ......
B
A
1
1
O
C
D
b Om een gelijkzijdige ∆ABC is een cirkel beschreven.
Het middelpunt O is het snijpunt van
de drie symmetrieassen.
De omtrekshoek  en de middelpuntshoek Ô
1
staan beide op de boog [BC].
Uit de eigenschappen van een gelijkzijdige driehoek
kun je de grootte van  en Ô 1
afleiden.
Vul in:
ëÂë = ...... ëÔ 1
ë = ......
B
A
O
1
C
c
In de figuur hiernaast is  een omtrekshoek
en Ô een middelpuntshoek.
Ze staan beide op de boog [BC].
A
•
B
Meet met je geodriehoek nauwkeurig de
grootte van  en Ô.
O
C
d Kies op de cirkel hiernaast een boog [BC].
Construeer de middelpuntshoek Ô die op die
boog [BC] staat.
Construeer een omtrekshoek  die op die boog
[BC] staat.
Meet met je geodriehoek nauwkeurig de grootte
van  en Ô.
•
O
e Neem het Cabri-bestand Omtrekshoeken1 en voer de vermelde opdrachten uit.
Leid uit de gevonden resultaten een vermoeden af:
de grootte van een omtrekshoek is ................................. van de grootte van de
middelpuntshoek die op dezelfde boog staat.
217

11
3 STELLING
In een cirkel is een omtrekshoek half zo groot als de middelpuntshoek die op
dezelfde boog staat.
Te bewijzen
omtrekshoek  en middelpuntshoek Ô
} ê
staan beide op de boog [BC]
ëÂë = 1 ⋅ ëÔë
2
Bewijs
Geval 1
Beide benen van  snijden de cirkel
Ondergeval 1: één been gaat door O
Bewijs nr. 1
ëÔ 1
ë = ëÂë + ëBˆ ë (Ô 1
buitenhoek van ∆OAB)
ê ëÔ 1
ë = 2⋅ëÂë (∆OAB gelijkbenig)
ê ëÂë = 1 ⋅ëÔ 1
ë
2
Bewijs nr. 2
B
A
2
O
1
C
ëÂë + ëBˆ ë + ëÔ 2
ë = 180° (som hoekgrootten ∆OAB)
ëÂë + ëBˆ ë + 180° – ëÔ 1
ë = 180° (nevenhoeken)
ëÂë + ëBˆ ë = ëÔ 1
ë
ê 2⋅ëÂë = ëÔ 1
ë (∆OAB gelijkbenig)
ê ëÂë = 1 ⋅ëÔ 1
ë
2
Ondergeval 2: O Ï Â en O ligt niet op een been
We trekken de halfrechte [AO. Ze verdeelt  in twee hoeken  1
en  2
en Ô in
twee hoeken Ô 1
en Ô 2
. We vinden dan:
A
ëBÂCë = ë 1
ë + ë 2
ë
Ondergeval 3: O µ Â
= 1 ⋅ëÔ 1
ë + 1 ⋅ëÔ 2
ë (ondergeval 1)
2 2
= 1 ⋅(ëÔ 1
ë + ëÔ 2
ë)
2
= 1 ⋅ëBÔCë
2
• O
1 2
We trekken de halfrechte [AO en noemen het tweede snijpunt met de cirkel D. De
hoek BÂD noemen we  1
, de hoek CÂD noemen we  2
.
Zo noemen we ook de hoeken BÔD en CÔD respectievelijk Ô 1
en Ô 2
. We vinden
dan:
B
1
D
2
C
218

11
ëBÂCë = ë 1
ë – ë 2
ë
= 1 ⋅ëÔ 1
ë – 1 ⋅ëÔ 2
ë (ondergeval 1)
2 2
B
1
A
2
= 1 ⋅(ëÔ 1
ë – ëÔ 2
ë)
•
2
2 O
= 1 1
⋅ëBÔCë
2
C
D
Geval 2 Eén been van  raakt de cirkel en één been snijdt de cirkel
Ondergeval 1: één been gaat door O
Je vindt direct:
ë 1
ë = 90°
ëÔ 1
ë = 180°
Bijgevolg: ë 1
ë = 1 ⋅ ëÔ 1
ë
2
(eig. raaklijn)
(gestrekte hoek)
Ondergeval 2: O Ï Â Ondergeval 3: O µ Â
en O niet op een been
A
1
1 •
O
B
•
A
1
2
B
•
1
A
2
1 • O
2
1
• O
2
C
C
Die ondergevallen worden bewezen zoals de vorige ondergevallen 2 en 3.
Bijvoorbeeld voor de linkerfiguur:
ëBÂCë = ë 1
ë + ë 2
ë = 1 ⋅ëÔ 1
ë + 1 ⋅ëÔ 2
ë (ondergeval 1)
2 2
= 1 ⋅ (ëÔ 1
ë + ëÔ 2
ë) = 1 ⋅ ëAÔCë
2 2
VRAGEN EN OPDRACHTEN
3 Bereken α.
O
α
70°
α
O
60°
O
α
O
α
219

11
O α
26°
102°
O
α
O
α
40°
112°
O
α
4 INSTAP
a
In de figuur hiernaast is a een raaklijn aan de
cirkel; de middelpuntshoek Ô is 70° groot.
B
– Hoe groot is Â? Waarom?
– Hoe groot is Bˆ ? Waarom?
– Hoe groot is Ĉ? Waarom?
– Hoe groot is Pˆ 1 ? Waarom?
Wat kun je besluiten over de hoeken Â, Bˆ , Ĉ,
Pˆ 1
, die alle op de boog [MP] staan?
A
M
O
70°
1
P
C
a
b Neem het Cabri-bestand Omtrekshoeken1 en beweeg alleen het punt A. Wat
stel je vast?
5 STELLING
B
Alle omtrekshoeken van een cirkel die op
eenzelfde boog staan, zijn even groot.
A
O
C
a
Te bewijzen
Â, Bˆ , Ĉ, Pˆ 1
zijn omtrekshoeken
}
ê
die staan op de boog [MP]
Bewijs
Volgens de vorige stelling geldt:
M
ëÂë = ëBˆ ë = ëĈë = ëPˆ 1 ë
1
P
ëÂë = 1 ⋅ ëÔë ëBˆ ë = 1 ⋅ ëÔë ëĈë = 1 ⋅ ëÔë ëPˆ 1 ë = 1 ⋅ ëÔë
2 2 2 2
Dus:
ëÂë = ëBˆ ë = ëĈë = ëPˆ 1 ë
220

11
VRAGEN EN OPDRACHTEN
4 Bereken telkens α.
C
B
A
B
31°
α
C
α
A
α
D
A
74°
D
B
C
A
36°
A
58°
A
α
B
α
C
α
B
B 70°
C
C
5 Bereken telkens α.
α
57°
O
65°
O
α
α
α
α
α
110°
O
118°
α
O
70°
36°
α
6 Welke genummerde hoeken zijn even groot?
B D
1 B
C
1 1 1
1
2 1
2
3 2
S
2 4
A
S1
2 1
1 A
1 2
3
A
D
2
C 1
1
C
1
B
C
4 1 2
B
3
1 2
1 2 1
3 2
A 4
D
221

11
7 Bereken de hoekgrootten van ∆ABC.
A
A
A
A
B
O
72°
C
B
O
134°
C
B
104°
O
C
B
106°
114°
O
C
8 De rechte x raakt de cirkel.
Bereken α.
A
70°
x
D
α
76°
B
C
9 Een vierhoek waarvan de vier hoekpunten op een cirkel liggen, noemen we
een koordenvierhoek. Bewijs dat de overstaande hoeken van een convexe
koordenvierhoek supplementair zijn.
10 Een koorde [BC] is de middelloodlijn van een straal [OA] van een cirkel.
Neem een omtrekshoek waarvan de benen door de grenspunten B en C van
die koorde gaan. Bereken de grootte van die omtrekshoek.
11 – Construeer een ∆ABC met hoekgrootten 60°, 70°, 50°.
– Construeer de omcirkel.
– Construeer de raaklijnen in A, B, C aan de cirkel.
– Bereken de grootte van de hoeken die de zijden van ∆ABC in een hoekpunt
maken met de raaklijn in dat hoekpunt.
12 Vijf punten P, A, B, C, D liggen op een cirkel, zó
dat:
ëAPˆ Bë = ëBPˆ Cë = ëCPˆ Dë = 45°
Bewijs dat ABCD een vierkant is.
13 Door de top A van een gelijkbenige ∆ABC trekken we een rechte die de
boog [BC] van de omcirkel snijdt in een punt D. Bewijs dat DA de bissectrice
van BDˆ C is.
14 De bissectrice van de hoek  van een ∆ABC snijdt de omcirkel een tweede
maal in D.
a Bewijs: ëBDë = ëDCë.
b
Leid daaruit af dat in een ∆ABC de bissectrice van een hoek en de
middelloodlijn van de overstaande zijde elkaar snijden op de omcirkel.
B
A
•
O
45°
45° 45°
•
P
C
D
222

11
15 a Bereken x in de volgende figuren (in de tweede figuur is AP de raaklijn
in A).
x
A•
3
•
P
C•
4 8
•
D
• B
b Bewijs algemeen voor figuren zoals in deel a:
linkerfiguur: ëPAë⋅ëPBë = ëPCë⋅ëPDë
rechterfiguur:
ëPAë 2 = ëPBë⋅ëPCë
Zie ook het Cabri-bestand Oef15.
•
B
16 De bissectrice van de hoek  van een ∆ABC snijdt BC in D en de omcirkel
een tweede maal in E. Bewijs:
a ëABë⋅ëACë = ëADë⋅ëAEë b ëBEë 2 = ëEDë⋅ëEAë
5
A
•
•
C
x
4
• P
6 INSTAP
a
–We nemen een cirkel met middellijn [AB]. Eerst nemen we een punt P
binnen de cirkel dat niet op [AB] ligt (figuur 1).
Wat voor een soort hoek lijkt Pˆ ? Kies uit scherp, recht of stomp.
Neem zelf een punt Q binnen de cirkel en niet op [AB].
Wat voor een soort hoek lijkt Qˆ ?
– Herneem de vragen voor punten P en Q buiten de cirkel (figuur 2).
– Herneem de vragen voor punten P en Q op de cirkel en verschillend van A
en B (figuur 3).
P
•
P
•
P
•
A
•
B
A
•
B
A
•
B
b Neem het Cabri-bestand Omtrekshoeken2 en voer de vermelde opdracht uit.
Gebruik beide instappen om een vermoeden op te stellen over de grootte van een
omtrekshoek waarvan de benen door de grenspunten van een middellijn gaan.
223

11
7 OMTREKSHOEK OP EEN HALVE CIRKEL
Stelling
Een omtrekshoek van een cirkel waarvan de benen door de grenspunten van
een middellijn gaan, is recht.
We zeggen ook:
– een omtrekshoek die op een halve cirkel staat, is recht.
– vanuit een punt op de cirkel wordt een middellijn onder een rechte hoek
gezien.
Te bewijzen
cirkel met middellijn [AB]
omtrekshoek Pˆ staat op halve cirkel [AB]
Bewijs
ëAPˆ Bë = 1 ⋅ ëAÔBë (stelling van nr. 3)
2
= 1 ⋅ 180°
2
= 90°
} ê ëAPˆ Bë = 90°
A
P
•
?
•
O
B
8 OMGEKEERDE STELLING
Een punt van waaruit een lijnstuk onder een rechte hoek gezien wordt, ligt
op de cirkel met dat lijnstuk als middellijn.
Te bewijzen
ëAPˆ Bë = 90° ê P ligt op de cirkel met middellijn [AB]
Bewijs
We geven een bewijs uit het ongerijmde: we veronderstellen
dat het punt P niet op de cirkel c met
C
P
middellijn [AB] ligt.
Ten minste een van de rechten PA en PB snijdt dan
de cirkel een tweede maal. We onderstellen bv. dat
PA de cirkel een tweede maal snijdt in een punt C
dat verschilt van P.
Verbinden we C met B, dan is Ĉ recht volgens de
rechtstreekse stelling.
In ∆BPC zijn de hoeken Pˆ en Ĉ dus beide recht.
Dat is in strijd met het feit dat de som van de hoekgrootten in een driehoek precies
180° is. Bijgevolg ligt P wel op de cirkel c.
Samenvatting
We kunnen de rechtstreekse stelling van nr. 7 en de omgekeerde stelling van nr. 8
als volgt samenvatten:
De verzameling van de punten van waaruit een lijnstuk onder een rechte
hoek wordt gezien, is de cirkel met dat lijnstuk als middellijn.
A
•
O
B
224

11
VRAGEN EN OPDRACHTEN
17 Welke hoeken in deze figuur zijn recht?
Waarom?
B
C
A
• O
D
18 Bereken α.
E
• O
=
• O
α
A
19 Construeer een cirkel met middellijn [BC]. Neem op die cirkel een punt A,
verschillend van B en C, en construeer D = s A
(C). Welk soort driehoek is
∆BCD? Waarom?
20 Neem een lijnstuk [AB]. Noem M het midden.
Construeer een punt C µ AB en zó dat: ëCMë = ëAMë = ëMBë
Welk soort driehoek is ∆ABC? Waarom?
21 Op een cirkel met middellijn [AB] nemen we twee punten C en D zó dat ze
aan dezelfde kant van AB liggen. We geven het snijpunt van AC en BD de
naam P en het snijpunt van AD en BC de naam Q. Welke onderlinge stand
hebben AB en PQ. Waarom?
Blijft die eigenschap gelden als je C en D aan weerskanten van AB neemt?
22 De cirkel met een opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek als middellijn
snijdt de basis in het midden. Bewijs dat.
23 We nemen een ∆ABC en trekken de cirkels met middellijnen [AB] en [AC].
Die cirkels snijden elkaar in een merkwaardig punt van [BC]. Welk?
24 De straal van een cirkel meet 2,5 cm. Een punt A van die cirkel ligt op 4 cm
van het grenspunt B van een middellijn [BC]. Hoe ver ligt A van C?
25 In de figuur hiernaast is [AB] een middellijn van
de cirkel. Bereken x.
D
x
A
•
2 cm C 4,5 cm
B
225

11
26 Bereken in de eerste cirkel x, in de tweede α en in de derde de straal r.
10
C
A
=
•
O
B
r = 6
27 Twee cirkels c 1
en c 2
hebben twee punten A en B gemeenschappelijk.
Construeer de middellijn [AC] van c 1
en de middellijn [AD] van c 2
. Bewijs
dat C, B en D op één rechte liggen.
28 We nemen een ∆ABC en de omcirkel c. Construeer het hoogtelijnstuk [AD]
en de middellijn [AE].
a Bewijs: ∆ABD & ∆AEC
b Leid daaruit af dat ∆ABC en ∆ADE dezelfde bissectrice door A hebben.
c Bewijs: ëABë⋅ëACë = ëADë⋅ëAEë
29 In de figuur is O het middelpunt van de cirkel.
Bereken ëADë.
A
12
C
5
O
12
D
B
30 In het grenspunt A van een middellijn [AB] van een cirkel trekken we de
raaklijn. Een willekeurige rechte door B snijdt die raaklijn in C en de cirkel
een tweede maal in D.
Bewijs: ëADë 2 = ëCDë⋅ëDBë
31 Trek in de onderstaande figuren cirkels die telkens door vier van de benoemde
punten gaan.
A
A
E
G
F
H
B
F
C
E
B
D
C
D
226

11
32 Bewijs voor de figuur hiernaast:
ë 1
ë = ëBˆ 1 ë
A
C
D
1 1
B
33 Voor een vierhoek ABCD geldt: ëÂë = ëĈë = 90°.
Heeft die vierhoek een omgeschreven cirkel?
Zo ja, waar ligt het middelpunt?
B
C
A
D
34 Op een rechte x nemen we drie punten A, B, C. We nemen tevens een punt
P µ x. We noemen P’ het voetpunt van de loodlijn uit P op x. Welk punt ligt
op elk van de cirkels met middellijnen [PA], [PB], [PC]? Verklaar.
35 Op een cirkel met middellijn [BC] nemen we een punt A. We construeren het
parallellogram ABCD.
Waar ligt het middelpunt van de omcirkel van ∆ACD? Waarom?
36 Neem een ∆ABC, rechthoekig in A. Noem M het midden van [BC] en x de
middelloodlijn van [BC].
Construeer: D = s BC
(A) E = s x
(A) F = s M
(A)
Bewijs dat A, B, C, D, E, F op één cirkel liggen.
37 De hoekpunten A en C van een rechthoek ABCD zijn vast, de hoekpunten B
en D zijn veranderlijk. Welke figuur wordt beschreven door B? Welke door
D? Verklaar.
38 Welke verzameling vormen de middens van de koorden door een vast punt
van een cirkel? Verklaar. Zie het Cabri-bestand Oef38.
39 Construeer een punt P Ï a
zó dat AP ⊥ PB.
• B
A •
a
40 Gegeven: een cirkel met een onbekend middelpunt. Construeer dat punt.
41 Construeer een ∆ABC met ëBCë = 5 cm; de hoogten uit B en C meten respectievelijk
3 cm en 4,7 cm. Eén oplossing volstaat.
42 Met de schuine zijde [BC] van een rechthoekige ∆ABC als zijde construeren
we buitenwaarts een vierkant BCDE. Bewijs dat de rechte door A en het
snijpunt van de diagonalen van BCDE de bissectrice van  is.
227

11
9 RAAKLIJNEN UIT EEN PUNT AAN EEN CIRKEL
We gaan uit van een cirkel c en een punt P gelegen buiten de cirkel.
Gevraagd: een methode om de raaklijnen uit P aan c te construeren.
Oplossing
We noemen O het middelpunt van de cirkel
en A een gezocht raakpunt.
c
A
•
Dan geldt (eigenschap van de raaklijn in
een punt van de cirkel):
OA ⊥ AP
Het lijnstuk [OP] wordt dus vanuit A
onder een rechte hoek gezien.
O •
• P
Volgens de stelling van nr. 8 betekent dat:
c'
A
A ligt op de cirkel met middellijn [OP].
•
c
Daaruit volgt de constructie:
– construeer de cirkel c’ met middellijn
[OP]
O•
•
M
• P
– de rechte door P en een snijpunt van de
•
cirkels c en c’ is een raaklijn uit P aan
B
de cirkel c.
Je stelt vast: uit een punt buiten een cirkel kunnen precies twee raaklijnen aan die
cirkel getrokken worden.
Opmerking
De rechte OP gaat door de middelpunten O en M van de cirkels c en c’ en is dus
een symmetrieas van de hele figuur. Daaruit volgt:
PO ⊥ AB ëPAë = ëPBë OP bissectrice van AÔB en van APˆ B
VRAGEN EN OPDRACHTEN
43 Neem een cirkel c en een punt P buiten de cirkel. Construeer de raaklijnen
uit P aan c.
44 We nemen twee cirkels c 1
en c 2
met middelpunten O 1
en O 2
, zó dat c 1
en c 2
geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
Construeer de raaklijnen uit O 1
aan c 2
en noem de raakpunten A en B.
Construeer de raaklijnen uit O 2
aan c 1
en noem de raakpunten C en D.
Bewijs dat O 1
, O 2
, A, B, C, D op één cirkel liggen.
45 Uit een punt P gelegen op 25 cm van het middelpunt O van een cirkel met
straal 10 cm trekken we beide raaklijnen aan die cirkel.
a Hoe ver ligt P van de raakpunten A en B?
b Bereken de afstand tussen de raakpunten.
c Bereken de grootte van de scherpe hoek tussen de raaklijnen.
228

11
WE ONTHOUDEN
Middelpuntshoek en omtrekshoek
Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek
waarvan het hoekpunt het middelpunt van de
cirkel is.
•
A
B
Een omtrekshoek van een cirkel
is een hoek waarvan het
hoekpunt op de cirkel ligt en
waarvan beide benen de cirkel
snijden of waarvan één
been de cirkel snijdt en één
been de cirkel raakt.
A
•
O
B
C
A
•
O
B
Stellingen
1 In een cirkel is een omtrekshoek half zo groot als
de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat.
Bv. voor de figuur hiernaast: ëÂë = 1 ⋅ ëÔ 1
ë
2
A
•
O
1
2 Alle omtrekshoeken van een cirkel die op eenzelfde
boog staan, zijn even groot.
Bv. voor de figuur hiernaast:
A
B
C
ëÂë = ëBˆ ë = ëĈë = ëDˆ 1 ë
1
D
3 Een omtrekshoek van een cirkel waarvan de
benen door de grenspunten van een middellijn
gaan, is recht.
A
4 Omgekeerd: een punt van waaruit een lijnstuk
onder een rechte hoek gezien wordt, ligt op de
cirkel met dat lijnstuk als middellijn.
B
• O
C
De raaklijnen uit een punt P aan
een cirkel c construeren
c
A
c'
– construeer de cirkel c’ met
middellijn [OP]
– de rechte door P en een snijpunt
van de cirkels c en c’ is een raaklijn
uit P aan de cirkel c.
O•
B
• • P
M
229

11
TOETS JEZELF
1 Bereken α. In de laatste figuur is x een raaklijn.
C
O 78 o
=
A
B
C
D
32 o A
=
B
B
O
•
54 o
=
A
B
A
=
70 o
x
C
C
2 Bereken de hoekgrootte van:
a ∆ABC b ∆OAB
D
67 o A
C
B
A
B
O
114 o
C
3 In een ∆ABC is O het snijpunt van de middelloodlijnen en M het midden van
[BC]. Bewijs: ëÂë = ëBÔMë
4 De cirkels c en c’ hebben de punten A en B gemeenschappelijk. Door A is een
rechte getrokken die c een tweede maal snijdt in C en c’ een tweede maal in D.
Door A is nog een rechte getrokken die c een tweede maal snijdt in E en c’ een
tweede maal in F.
Bewijs: ëCBˆ Eë = ëDBˆ Fë
E
A
1 2
D
C
F
c
B
c'
230

11
5 Op een cirkel c met middellijn [BC] ligt een
punt A op 24 mm van B en op 70 mm van C.
a Bereken de straal van de cirkel.
b Bereken de hoekgrootte van Bˆ en Ĉ
(afronden op 0,1°).
B
A
24
70
c
C
6 We nemen een gelijkzijdige ∆ABC en construeren
D = s C
(B).
Welk soort driehoek is ∆ABD?
Verklaar.
A
B C D
7 In een scherphoekige ∆ABC noemen we D het voetpunt van de hoogtelijn uit
A en E het voetpunt van de hoogtelijn uit B. Het snijpunt van AD en BE noemen
we H.
Bewijs: ëDĤCë = ëDÊCë Maak zelf een figuur.
Tip: zoek een cirkel die door vier van de punten A, B, C, D, E, H gaat.
231