H12_Middelpuntshoeken_en_omtrekshoeken

11
9 RAAKLIJNEN UIT EEN PUNT AAN EEN CIRKEL
We gaan uit van een cirkel c en een punt P gelegen buiten de cirkel.
Gevraagd: een methode om de raaklijnen uit P aan c te construeren.
Oplossing
We noemen O het middelpunt van de cirkel
en A een gezocht raakpunt.
c
A
•
Dan geldt (eigenschap van de raaklijn in
een punt van de cirkel):
OA ⊥ AP
Het lijnstuk [OP] wordt dus vanuit A
onder een rechte hoek gezien.
O •
• P
Volgens de stelling van nr. 8 betekent dat:
c'
A
A ligt op de cirkel met middellijn [OP].
•
c
Daaruit volgt de constructie:
– construeer de cirkel c’ met middellijn
[OP]
O•
•
M
• P
– de rechte door P en een snijpunt van de
•
cirkels c en c’ is een raaklijn uit P aan
B
de cirkel c.
Je stelt vast: uit een punt buiten een cirkel kunnen precies twee raaklijnen aan die
cirkel getrokken worden.
Opmerking
De rechte OP gaat door de middelpunten O en M van de cirkels c en c’ en is dus
een symmetrieas van de hele figuur. Daaruit volgt:
PO ⊥ AB ëPAë = ëPBë OP bissectrice van AÔB en van APˆ B
VRAGEN EN OPDRACHTEN
43 Neem een cirkel c en een punt P buiten de cirkel. Construeer de raaklijnen
uit P aan c.
44 We nemen twee cirkels c 1
en c 2
met middelpunten O 1
en O 2
, zó dat c 1
en c 2
geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
Construeer de raaklijnen uit O 1
aan c 2
en noem de raakpunten A en B.
Construeer de raaklijnen uit O 2
aan c 1
en noem de raakpunten C en D.
Bewijs dat O 1
, O 2
, A, B, C, D op één cirkel liggen.
45 Uit een punt P gelegen op 25 cm van het middelpunt O van een cirkel met
straal 10 cm trekken we beide raaklijnen aan die cirkel.
a Hoe ver ligt P van de raakpunten A en B?
b Bereken de afstand tussen de raakpunten.
c Bereken de grootte van de scherpe hoek tussen de raaklijnen.
228