LØSNING ØVING 9

TFY4250 Atom- & molekylfysikk/FY2045 Kvantefysikk, løsning øving 9 2
b. Operatoren ap.r. anvendt p˚a begynnelsestilstanden gir
ap.r.Ψ(q, 0) =
=
=
⎛
⎞
mω ¯h ∂
⎝ q +
⎠ C0 e
2¯h 2mω ∂q
−mω(q−q0) 2 /2¯h
⎡
mω ¯h
⎣ q + −
2¯h 2mω
mω
(q − q0)
¯h ⎤
⎦ C0 e −mω(q−q0) 2 /2¯h
mω
2¯h q0 Ψ(q, 0) ≡ α0 Ψ(q, 0).
Begynnelsestilstanden Ψ(q, 0) = 〈q|Ψ(0)〉 er alts˚a ganske riktig en egenfunksjon til ap.r.
med egenverdien
mω
α0 ≡
2¯h q0
q0
= √
2 ¯h/mω .
[Som vi skal se, er usikkerheten i begynnelsestilstanden, og i grunntilstanden, (∆q)0 =
¯h/(2mω). Dette er en naturlig lengde-enhet for oscillatoren, og vi merker oss at den
dimensjonsløse egenverdien α0 er forholdet mellom q0 og 2(∆q)0.]
Den tilsvarende “abstrakte” relasjonen (4) utleder vi slik:
a |Ψ(t)〉 = dq |q〉〈q| a |Ψ(0)〉 = dq |q〉 ap.r. 〈q|Ψ(0)〉 = dq |q〉 α0 〈q|Ψ(0)〉
1
= α0 dq |q〉〈q| |Ψ(t)〉 = α0 |Ψ(t)〉, q.e.d.
1
c. Fra egenverdiligningen ovenfor og stigeoperator-relasjonen a |n〉 = √ n |n − 1〉 har vi
(for n = 0, 1, 2, · · ·)
α0cn = α0〈n|Ψ(0)〉 = 〈n|α0|Ψ(0)〉 (4)
= 〈n| a |Ψ(0)〉 = 〈n| a
(2)
= 〈n|
k=1
= √ n + 1 cn+1,
√
ck k |k − 1〉 = ck δk,n+1
k=1
k=0
ck|k〉
( 〈n|k − 1〉 = δk−1,n = δk,n+1 )
√
eller α0 cn−1 = cn n, slik at sannsynlighetsamplituden for ˚a m˚ale energien En er
cn = α0
√n cn−1 = α0
√n
Et alternativ til utledningen ovenfor er
a|Ψ(0)〉 =
ck a|k〉 =
= α0
k=0
n=0
cn |n〉.
k=1
α0
√ n − 1 cn−2 = · · · = αn 0
√n! c0.
√ k−1=n √
ck k |k − 1〉 = cn+1 n + 1 |n〉
n=0
Denne vektorligningen m˚a være oppfylt komponent for komponent, analogt med at ligningen
A = B impliserer at Ax = Bx osv.