Integralregning 2. del

8.14 Eksempel på beregning af areal ved opdeling
Figuren viser grafen for funktionen
skraverede område.
Integralregning Side 52 2006 Karsten Juul
2
3
2
5
16
f ( x)
= −x
− ⋅ x − . Vi vil beregne arealet af det
Lad 1 M betegne det skraverede område over førsteaksen, og lad 2
skraverede område under førsteaksen.
M betegne det
Ved at løse ligningen f ( x)
= 0 finder vi at førstekoordinaterne til grafens
skæringspunkter med førsteaksen er
5 − 1
4 4
− 5 og
4
Da f ( x)
≥ 0 for x i [ − ; ] , gælder at
1
4
∫ 5
4
−
−
(1) f x)
dx = areal(
M ) .
( 1
[ 1
4
Da f ( x)
≤ 0 for x i − ; 0]
, gælder at
0
∫− 1
4
(2) f x)
dx = − areal(
M ) .
( 2
Ved beregning finder vi at
(3)
(4)
1
4
∫ 5
4
−
−
0
∫− 1
4
f ( x)
dx =
Af (1) og (3) fås at
1
6
7
192
f ( x)
dx = − .
1
6
arealet af det skraverede område er
− 1 .
4
areal( M 1) = , og af (2) og (4) fås at
f
1 7 =
6 192
13
64
1
4
+ .
( 2)
1
4
( 1)
7
192
areal( M 2 ) = , så