Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af ...

Landm˚alingens fejlteori
Lektion 4
Vægtet gennemsnit
Fordeling af slutfejl
Kasper K. Berthelsen - kkb@math.aau.dk
http://people.math.aau.dk/∼kkb/Undervisning/LF13
Institut for Matematiske Fag
Aalborg Universitet
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
Vægte
Hver m˚aling gives en vægt pi som afspejler kvaliteten af m˚alingen - desto
højere vægt desto bedre m˚aling.
Definition: Vægtrelationen
Vægtene, der er positive tal, siges at opfylde vægtrelationen, hvis
p1σ 2 1 = p2σ 2 2 = · · · = pnσ 2 n.
Vi antager altid at vægtrelationen er opfyldt.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
1/1
3/1
1
Vægtet model
Givet n uafhængige m˚alinger x1, . . . , xn af n størrelser µ1, . . . , µn.
M˚alinger er ikke nødvendigvis af samme kvalitet. Fx. kan visse m˚alinger
være behæftet ved flere fejlkilder end andre, nogle kan være m˚alt flere
gange, etc.
Som tidligere er x1, . . . , xn realisationer af stokatiske variable
X1, . . . , Xn, hvor E(Xi) = µi og Var(Xi) = σ2 i , hvor σ2 i ’erne ikke
nødvendigvis er ens.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
Vægte: Eksempel
Antag variansen p˚a første m˚aling er dobbelt s˚a stor som p˚a den anden
(σ 2 1 = 2σ 2 2). Et valg af vægte, der opfylder vægtrelationen er p1 = 1 og
p2 = 2, idet p1σ 2 1 = p2σ 2 2.
Der er uendelig mange lige god valg af vægte. Et andet valg er p1 = 1
3 og
p2 = 2
3 .
Bemærk: I eksemplet er vægten p˚a den bedste m˚aling dobbelt s˚a stor
som vægten p˚a den d˚arlige m˚aling.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
2/1
4/1

Vægtet gennemsnit
Antag at µ1 = µ2 = · · · = µn = µ, dvs alle observationer x1, . . . , xn er
m˚alinger af samme størrelse µ.
Fortsat er variansen ikke nødvendigvis den samme for alle m˚alinger. Fx.
kan der være anvendt m˚aleudstyr af forskellige fabrikat og/eller kvalitet.
Til at estimere µ bruges det vægtede gennemsnit ¯x ∗ s˚aledes mere
præcise m˚alinger (observationer med lav varians) vægter mere i
gennemsnittet end d˚arligere bestemte m˚alinger.
Definition: Vægtet gennemsnit
For observationer x1, . . . , xn med vægte p1, . . . , pn er det vægtede
gennemsnit
¯x ∗ =
p1
n i=1 pi
x1 + · · · +
pn
n 1=i pi
xn =
1
n 1=i pi
(p1x1 + · · · + pnxn),
hvor vægtene er valgt s˚a de opfylder p1σ 2 1 = · · · = pnσ 2 n.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
Variansen for det vægtede gennemsnit
Idet vægtrelationen foreskriver piσ 2 i er ens for alle i, kan σ2 0 indføres som
σ 2 0 = p1σ 2 1 = p2σ 2 2 = · · · = pnσ 2 n.
Indtil videre har σ 2 0 ikke nogen naturlig fortolkning.
Sætning: Variansen af vægtet gennemsnit
Lad p+ = n
i=1 pi og dermed ¯ X ∗ = p1
p+ X1 + p2
p+ X2 + · · · + pn
p+ Xn.
Antag vægtrelationen er opfyldt, dvs. σ 2 0 = p1σ 2 1 = · · · = pnσ 2 n.
Da gælder
Var( ¯ X ∗ ) =
σ2 0 n i=1 pi
.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
5/1
7/1
2
Sætning
Sætning
For den stokastiske variabel
¯X ∗ =
p1
n 1=i pi
X1 + · · · +
pn
n 1=i pi
Xn =
1
n 1=i pi
(p1X1 + · · · + pnXn)
gælder følgende udsagn
1. E( ¯ X ∗ ) = µ, dvs. ¯ X ∗ er en central estimator for µ.
2. For positive p1, . . . , pn er Var( ¯ X ∗ ) mindst n˚ar vægtene opfylder
vægtrelationen, dvs. p1σ 2 1 = · · · = pnσ 2 n.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
Estimat af σ 2 0
S˚aledes er variansen p˚a det vægtede gennemsnit givet ved
Var( ¯ X ∗ ) =
Estimat af σ 2 0
σ 2 0
n
i=1 pi
og dermed ¯ X ∗ ∼ N
Som estimat af σ2 0 anvendes s2 0:
s 2 n i=1
0 =
pi(xi − ¯x ∗ ) 2
n − 1
n i=1 =
pix2 i − (¯x∗ ) 2 n n − 1
i=1 pi
µ,
Der gælder desuden, at s 2 0 er et centralt estimat for σ 2 0.
σ 2 0
n
i=1 pi
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
.
6/1
8/1

Estimat af Var( ¯ X ∗ )
Variasen for det vægtede gennemsnit er
Var( ¯ X ∗ ) =
σ 2 0
n
i=1 pi
Et centralt estimatet for variansen af det vægtede gennemsnit er derfor
s 2 0
n
i=1 pi
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
Eksempel - Geometrisk nivellement
Højdeforskel nivelleret over n strækninger med samme kilometerspredning
σk. Variansen over en længde ℓ er fra tidligere givet ved σ 2 k ℓ.
Højdeforskel h Længde ℓ Varians p˚a h over ℓ
h1 ℓ1 σ 2 1 = σ 2 k ℓ1
h2 ℓ2 σ 2 2 = σ 2 k ℓ2
.
.
hn ℓn σ 2 n = σ 2 k ℓn
Forskellig varianser p˚a m˚alinger pga. forskellige strækninger, alts˚a ℓi = ℓj.
Da varianserne er forskellige benytter vi vægtede observationer.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
.
9/1
11/1
3
Estimat af σ 2 i
Relationen mellem de enkelte varianser σ 2 i og σ2 0 er givet ved
vægtrelationen:
σ 2 0 = p1σ 2 1 = · · · = pnσ 2 n
Dvs. den i’te varians σ 2 i
Estimat for σ 2 i
skrives som
σ 2 i = σ 2 0/pi.
Variansen for σ 2 i kan estimeres vha. s2 i = s2 0/pi.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
Eksempel - Geometrisk nivellement
Vægtrelationen er opfyldt n˚ar
σ 2 0 = p1σ 2 1 = · · · = pnσ 2 n
Indsættes udtrykket for σ2 i = ℓiσ2 k har vi:
Heraf fremg˚ar det at hvis pi = ℓ −1
i
σ 2 0 = p1σ 2 kℓ1 = · · · = pnσ 2 kℓn
er ligheden opfyldt:
σ 2 0 = ℓ −1
1 σ2 kℓ1 = · · · = ℓ −1
n σ 2 kℓn
= σ 2 k = · · · = σ 2 k.
Dvs. vægte kan vælges til pi = (ℓi) −1 alts˚a er vægten den resiprokke
længde.
Bemærk: Her har σ0 en fortolkning: kilometerspredningen.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
10/1
12/1

Eksempel - polygonvinkler
Vi m˚aler vinklerne i punkterne 13-16.
Alle vinkler er m˚alt med samme varians σ 2 v.
Lad σ 2 m,i
være variansen af middelsatsen i punkt i.
Punkt Antal satser σ 2 m,i
13 2 σ 2 m,13 = σ2 v
2
14 3 σ 2 m,14 = σ2 v
3
15 4 σ 2 m,15 = σ2 v
4
16 6 σ 2 m,16 = σ2 v
6
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
Eksempel - Vinkelm˚alinger
Vinkler m˚alt med forskellige satser med samme vinkelspredning σv.
Variansen p˚a vinkler m˚alt med k satser er fra tidligere givet ved σ 2 v/k.
Vinkel v Sats k Varians p˚a middelsats
v1 k1 σ 2 1 = σ 2 v/k1
v2 k2 σ 2 2 = σ 2 v/k2
.
.
.
vn kn σ 2 n = σ 2 v/kn
Forskellig varians p˚a m˚alinger pga. forskelligt antal satser, dvs. vægtede
observationer.
Vægtrelationen er opfyldt n˚ar
σ 2 0 = p1σ 2 1 = · · · = pnσ 2 n.
Fra tabellen ses det at vægten kan vælges til pi = ki dvs vægten er antal
satser.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
13
15
14
16
13/1
15/1
4
Eksempel - fortsat
Ifølge vægtrelationen skal piσ 2 m,i
være ens for alle i,
p13σ 2 m,13 = p14σ 2 m,14 = p15σ 2 m,15 = p16σ 2 m,16.
Jf. udtrykkene fra forrige slide
σ
p13
2 v σ
= p14
2 2 v σ
= p15
3 2 v σ
= p16
4 2 v
6 .
S˚aledes kan vægtene vælges lig antal satser for hvert punkt:
p13 = 2 p14 = 3 p15 = 4 p16 = 6
Med disse vægte gælder σ 2 0 = σ 2 v.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
Fordeling af slutfejl
Betragt en situation hvor vi ved at summen af vores observationer skal
være lig en kendt værdi x0. Dette kunne eksempelvis være:
x0 = 200 gon, hvor vores m˚alinger er vinkler i en trekant.
x0 = 0 mm, hvor vi nivellerer i et lukket net, dvs. slut- og startpunkt
er det samme.
x0 = H2 − H1, hvor m˚alinger er for at bestemme kote til et punkt.
...
Slutfejlen er afvigelsen mellem x0 og den faktiske sum af observationer.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
14/1
16/1

Nivellement - bestemmelse af kote
Vi ønsker at beregne koten µ til punktet P med højdeforskelle ∆h1 til P1
og ∆h2 til P2. Længderne fra P til de to punkter P1 og P2 er henholdvis
ℓ1 og ℓ2.
P1
H1
ℓ1
∆h1
P
ℓ2
∆h2
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
Estimat af µ
Til at estimere µ anvendes det vægtede gennemsnit ¯x ∗ idet varianserne
p˚a højdem˚alingerne ikke nødvendigvis er ens,
P2
H2
¯x ∗ = p1
(H1 + ∆h1) +
p1 + p2
p2
(H2 − ∆h2),
p1 + p2
hvor vægtene p1 og p2 opfylder vægtrelationen p1ℓ1σ 2 k = p2ℓ2σ 2 k .
Dvs. de reciprokke længder kan anvendes som vægte,
Estimatet for µ er alts˚a givet ved:
¯x ∗ =
ℓ −1
1
ℓ −1
1
+ ℓ−1
2
p1 = ℓ −1
1 og p2 = ℓ −1
2 .
(H1 + ∆h1) +
ℓ −1
1
ℓ −1
2
+ ℓ−1
2
(H2 − ∆h2).
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
17/1
19/1
5
Model
P1
H1
ℓ1
∆h1
P
ℓ2
∆h2
XH1 og XH2 er uafhængige stokatiske variable med
E(XH1 ) = E(XH1 ) = µ,
XH1
XH2
↓ ↓
H1 + ∆h1 H2 − ∆h2
Fra sidste gang har vi at Var(XH1 ) = ℓ1σ 2 k og Var(XH2 ) = ℓ2σ 2 k .
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
Estimat af µ - fortsat
Vi kan omskrive udtrykket for ¯x ∗ s˚aledes:
¯x ∗ =
=
=
ℓ −1
1
1
ℓ1
ℓ −1
1
1
ℓ1
+ ℓ−1
2
+ 1
ℓ2
ℓ2
ℓ1 + ℓ2
ℓ1ℓ2
ℓ1ℓ2
(H1 + ∆h1) +
(H1 + ∆h1) +
(H1 + ∆h1) + ℓ1
ℓ −1
1
ℓ −1
2
1
ℓ1
ℓ1 + ℓ2
+ ℓ−1
2
1
ℓ2
+ 1
ℓ2
P2
H2
(H2 − ∆h2)
ℓ1ℓ2
ℓ1ℓ2
(H2 − ∆h2)
(H2 − ∆h2)
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
18/1
20/1

Slutfejlen rn
P˚a grund af m˚alefejl er ∆h1 + ∆h2 = H2 − H1. Derfor indføres slutfejlen
rn som korrektion
∆h1 + ∆h2 + rn = H2 − H1 ⇔ H2 − ∆h2 = H1 + ∆h1 + rn.
Indsættes dette i udtrykket for ¯x ∗ f˚ar vi
¯x ∗ =
=
ℓ2
ℓ2 + ℓ1
ℓ2
ℓ2 + ℓ1
(H1 + ∆h1) + ℓ1
ℓ2 + ℓ1
(H1 + ∆h1) + ℓ1
= (H1 + ∆h1) + ℓ1
rn
ℓ2 + ℓ1
ℓ2 + ℓ1
(H2 − ∆h2)
(H1 + ∆h1 + rn)
Slutfejlen p˚a estimatet ¯x ∗ af koten µ skal under de anvendte vægte
(reciprokke længdem˚al) fordeles proportionalt med vejlængden.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
Model for vinkler i trekant
P˚a grund af betingelsen om en vinkelsum p˚a 200 gon, kan modellen
simplificeres,
Xα 200 − Xβ − Xγ
↓ ↓
xα 200 − xβ − xγ
Fra vores viden om lineære transformationer om E og Var har vi at,
E(Xα) = α E(200 − Xβ − Xγ) = 200 − β − γ
Var(Xα) = σ 2
Var(200 − Xβ − Xγ) = 2σ 2
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
21/1
23/1
6
Slutfejl af vinkelm˚alinger i trekant
α
Betragt trekanten med sande vinkler α, β og γ. Dvs α + β + γ = 200 gon.
β
Xα Xβ Xγ
↓ ↓ ↓
xα xβ xγ
E(Xα) = α, E(Xβ) = β og E(Xγ) = γ.
Var(Xα) = Var(Xβ) = Var(Xγ) = σ 2 .
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
Estimat af α
Idet variansen for de to observationer er forskellig anvendes det vægtede
gennemsnit til at estimere α.
Bemærk at b˚ade xα (direkte m˚aling) og 200 − xβ − xγ (indirekte
m˚aling) er observationer til at estimere den sande værdi α.
¯x ∗ = p1
xα +
p1 + p2
p1
(200 − xβ − xγ).
p1 + p2
Igen skal vægtene p1 og p2 opfylde vægtrelationen p1σ 2 1 = p2σ 2 2.
Idet σ 2 1 = σ 2 og σ 2 2 = 2σ 2 vælges p1 = 2 og p2 = 1. Hermed har vi
¯x ∗ = 2
3 xα + 1
3 (200 − xβ − xγ).
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
γ
22/1
24/1

Slutfejlen rv p˚a vinkelsummen
Som i foreg˚aende eksempel er summen af xα, xβ og xγ ikke 200 pga.
uundg˚alige m˚alefejl.
Derfor indføres rv s˚aledes
xα + xβ + xγ + rv = 200 ⇔ 200 − xβ − xγ = xα + rv,
og dette indsættes i udtrykke for ¯x ∗ ,
¯x ∗ = 2
3 xα + 1
3 (200 − xβ − xγ)
= 2
3 xα + 1
3 (xα + rv)
= xα + 1
3 rv.
Dvs. slutfejlen fordeles ligeligt p˚a alle vinkler uanset deres m˚alte
størrelser.
Landm˚alingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Kasper K. Berthelsen
25/1
7