matematikk1-casen høsten 2008

HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG
AVDELING FOR TEKNOLOGI
PROGRAM FOR ELEKTRO- OG DATATEKNIKK
N7004 TRONDHEIM
Telefon jobb: 735 59584
Mobil: 911 77 898
kare.bjorvik@hist.no
http://www.edt.hist.no/
Kåre Bjørvik, 15. oktober 2008
ALM005-A Matematikk 1
Lærebok: Anthony Croft, Robert Davison, Martin Hargreaves: Engineering
mathematics, 3.utgave
(Grunnlagsfag, 10 studiepoeng)
Case: Analyse av passive elektriske filtre
Les dette først.
Casen er en "hjemmeoppgave" som du skal arbeide med før eksamen. Resultatet av arbeidet
skal ikke innleveres.
Eksamen vil være en flervalgseksamen med 30 spørsmål. De 15 første spørsmålene har en
tilknytning til casen. Under denne delen av eksamen er caseteksten og din besvarelse
nødvendige hjelpemidler. Husk derfor å ta med både caseteksten og besvarelsen på
eksamensdagen.
Det er viktig at du før eksamen setter deg godt inn i casens problemstillinger, og at du
behersker løsningsmetodene og er i stand til å tolke de resultatene du kommer fram til. Hvis
du i en flervalgsoppgave blir spurt om ting du ikke har regnet direkte på, bør du være klar
over at svaralternativene ofte er utformet slik at du likevel kan avgjøre hvilket alternativ som
er riktig, ut fra den generelle innsikt du har fått gjennom arbeidet med casen.
Under arbeidet med casen kan du bruke de hjelpemidler du finner hensiktsmessig (kalkulator
/programvare). Vær imidlertid oppmerksom på at noen av spørsmålene på eksamen kan
forutsette at du vet hvordan et problem fra casen kan løses for hånd.
Du kan arbeide alene med casen, eller sammen med andre. Det avgjørende er at du selv
tilegner deg innsikt i problemene.
Lykke til med arbeidet!

Oppgave 1 Lavpassfilter
Gitt kretsen
L
x(t) R y(t)
Figur 1 Passivt lavpassfilter (LP-filter)
R representerer motstandsverdien til en høyttaler. Lavpassfilteret vil fungere som et bassfilter
til høyttaleren.
Matematisk modell
Kretsen er energiløs før t = 0. Sett opp differensiallikningen som beskriver utgangsspenningen
y(t). Bestem startbetingelsen y(0). Bestem også et uttrykk for tidskonstanten τ .
Sprangrespons
Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω og at spolen har en induktans på
0,004H. En likespenning på 1V påtrykkes kretsen ved t = 0. Løs differensiallikningen og
bestem spenningen y(t), og angi hva som er transient spenning og hva som er stasjonær
spenning. Plott utgangsspenningen y(t) i samme diagram som inngangsspenningen x(t).
Stasjonær sinusrespons
Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω og at spolen har en induktans på
0,004H. En sinusspenning med amplitude på 1V og vinkelfrekvens 1000 rad/s påtrykkes
kretsen ved t = 0. Benytt kompleks regning til å bestemme stasjonær utgangsspenning. Plott
den stasjonære utgangsspenningen i samme diagram som inngangsspenningen x(t).
Amplitude- og fasediagram
For å beregne amplituden til utgangssignalet i forhold til amplituden til inngangssignalet må
en beregne forholdet mellom disse to amplitudene. Dersom en benytter kompleks regning får
en da også faseforskjellen mellom inngang- og utgangssignalet, fordi et komplekst tall kan
angis med en lengde og en vinkel. La X være amplituden til inngangssignalet og Y være
amplituden til utgangssignalet. Vi får da
R Y R 1
Y X H ( j )
L
R j L X R j L 1 j ω
= ⋅ ⇒ ω = = =
+ ω + ω +
H ( jω) er overføringsfunksjonen til lavpassfilteret. Absoluttverdien (lengden) til H kalles for
amplitudeforsterkningen og vinkelen til H kalles for fasen. Anta at impedansen til høyttaleren
er reell og lik 4 Ω og at spolen har en induktans på 0,004H. Tegn opp
amplitudeforsterkningen og fasen til H som funksjon av vinkelfrekvensen ω . Velg ω -aksen
2 4
logaritmisk, og plott funksjonene i hvert sitt diagram i frekvensområdet 10 − 10 rad / s .
Benytt grader på funksjonsaksen når dere tegner fasekurven til overføringsfunksjonen.
R

Oppgave 2 Høypassfilter
Gitt kretsen
C
x(t) R y(t)
Figur 2 Passivt høypassfilter (HP-filter)
R representerer motstandsverdien til en høyttaler. Høypassfilteret vil fungere som et
diskantfilter til høyttaleren.
Matematisk modell
Kretsen er energiløs før t = 0. Sett opp differensiallikningen som beskriver utgangsspenningen
y(t). Bestem startbetingelsen y(0). Bestem også et uttrykk for tidskonstanten τ .
Sprangrespons
Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω og at kondensatoren har en kapasitans
på 6,25μ F . En likespenning på 1V påtrykkes kretsen ved t = 0. Løs differensiallikningen og
bestem spenningen y(t), og angi hva som er transient spenning og hva som er stasjonær
spenning. Plott utgangsspenningen y(t) i samme diagram som inngangsspenningen x(t).
Stasjonær sinusrespons
Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω og at kondensatoren har en kapasitans
på 6,25μ F . En sinusspenning med amplitude på 1V og vinkelfrekvens 40000 rad/s påtrykkes
kretsen ved t = 0. Benytt kompleks regning til å bestemme stasjonær utgangsspenning. Plott
den stasjonære utgangsspenningen i samme diagram som inngangsspenningen x(t).
Amplitude- og fasediagram
Bestem overføringsfunksjonen til høypassfilteret. Anta at impedansen til høyttaleren er reell
og lik 4 Ω og at kondensatoren har en kapasitans på 6,25μ F . Tegn opp
amplitudeforsterkningen og fasen til H som funksjon av vinkelfrekvensen ω . Velg ω -aksen
3 6
logaritmisk, og plott funksjonene i hvert sitt diagram i frekvensområdet 10 − 10 rad / s .

Oppgave 3 Båndpassfilter
Gitt kretsen
C L
x(t) R y(t)
Figur 3 Passivt båndpassfilter (BP-filter)
R representerer motstandsverdien til en høyttaler. Båndpassfilteret vil fungere som et
mellomtonefilter til høyttaleren.
Matematisk modell
Kretsen er energiløs før t = 0. Sett opp differensiallikningen som beskriver utgangsspenningen
dy
y(t). Bestem startbetingelsene y(0) og .
dt t=
0
Sprangrespons
Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω . En likespenning på 1V påtrykkes
kretsen ved t = 0. Løs differensiallikningen og bestem spenningen y(t) for følgende tre
tilfeller:
1. C = 78,125μ F og L = 0,2mH
2. C = 62,5μ F og L = 0, 25mH
3. C = 40μF og L = 0, 25mH
Angi hva som er transient spenning og hva som er stasjonær spenning. Plott
utgangsspenningene y(t) i samme diagram som inngangsspenningen x(t).
Stasjonær sinusrespons
Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω , kondensatoren har en kapasitans på
78,125μ F og at spolen har en induktans på 0,2mH. En sinusspenning med amplitude på 1V
og vinkelfrekvens 8000 rad/s påtrykkes kretsen ved t = 0. Benytt kompleks regning til å
bestemme stasjonær utgangsspenning. Plott den stasjonære utgangsspenningen i samme
diagram som inngangsspenningen x(t).
Amplitude- og fasediagram
Bestem overføringsfunksjonen til høypassfilteret. Anta at impedansen til høyttaleren er reell
og lik 4 Ω , kondensatoren har en kapasitans på 78,125μ F og at spolen har en induktans på
0,2mH. Tegn opp amplitudeforsterkningen og fasen til H som funksjon av vinkelfrekvensen
ω . Velg ω -aksen logaritmisk, og plott funksjonene i hvert sitt diagram i frekvensområdet
2 6
10 − 10 rad / s .

Oppgave 4 Oppsummering
Knekkfrekvenser
Dere har nå analysert et lavpassfilter, et høypassfilter og et båndpassfilter. Et filter har en eller
flere knekkfrekvenser. Knekkfrekvensen er den vinkelfrekvensen der amplitudeforsterkningen
til filteret er lik 1 . Hva er knekkfrekvensene til lav- og høypassfilteret? Hvilken
2
sammenheng er det mellom knekkfrekvensene og tidskonstantene til henholdsvis lav- og
høypassfilteret?
Stasjonær sinusrespons
Dere fant stasjonær sinusrespons ved regning. Amplitudeforsterkningskurven og fasekurven
til filtrene kan benyttes til å lese ut slike sinusresponser uten å foreta beregninger. Benytt
disse kurvene til å øve dere opp til å finne sinusresponsen når en påtrykker filtrene andre
vinkelfrekvenser enn det dere har regnet på tidligere.
Tips:
y = A ⋅ H ( jω ) ⋅sin( ω ⋅ t + ∠H
( jω
))
stasjonær inn
inn
1 1 1
A = Amplituden til inngangssignalet
H ( jω 1)
og H ( jω1)
∠ leses av i henholdsvis amplitude- og fasediagrammet.
________________________________________________________________
Matlabtips
Opptegning av amplitude- og fasediagram (AFF-diagram) kan med fordel utføres i matlab,
likeså plotting av sprangresponsene og sinusresponsene.
Amplitude- og fasediagram (AFF-diagram)
Før du finner overføringsfunksjonene bytter du ut jω i impedansuttrykkene til en spole og en
kondensator med s, d.v.s. impedansen til en spole blir da sL og til en kondensator 1
. Anta
sC
0.001s + 0
at du har følgende overføringsfunksjon: H ( s)
=
0.001s + 1
. Før du får tegnet AFF-
diagrammene må telleren og nevneren i H(s) leses inn, og de leses inn som rekkevektorer med
riktige koeffisienter. Du må også lese inn hvilket frekvensområde du ønsker å tegne AFFdiagrammene
over.
Kommando i matlab Forklaring
>> w=logspace(2,5,2000);
2
Genererer w-verdier i området 10
5
til 10 , 2000 punkter
>> Teller=[0.001 0]; Teller lik 0.001s+0
>> Nevner=[0.001 1]; Nevner lik 0.001s+1
>> [a,f]=bode(Teller,Nevner,w); Her beregnes amplituden (a) og fasen (f) for alle w-verdier
>> semilogx(w,a); Her plottes amplituden som funksjon av w med logaritmisk w-akse
>>grid; ”Rutemønster” tegnes opp i diagrammet
>> semilogx(w,f);
>>grid;
Her plottes fasen som funksjon av w med logaritmisk w-akse
Plotting av vanlige funksjoner har dere prøvd i ENTERing-uka, og øvingen dere da
gjennomførte ligger ut på it’s learning. Dere kan også se på andre matlabtips og simulinktips
som ligger ut på it’s learning.