matematikk1-casen høsten 2008

Oppgave 1 Lavpassfilter
Gitt kretsen
L
x(t) R y(t)
Figur 1 Passivt lavpassfilter (LP-filter)
R representerer motstandsverdien til en høyttaler. Lavpassfilteret vil fungere som et bassfilter
til høyttaleren.
Matematisk modell
Kretsen er energiløs før t = 0. Sett opp differensiallikningen som beskriver utgangsspenningen
y(t). Bestem startbetingelsen y(0). Bestem også et uttrykk for tidskonstanten τ .
Sprangrespons
Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω og at spolen har en induktans på
0,004H. En likespenning på 1V påtrykkes kretsen ved t = 0. Løs differensiallikningen og
bestem spenningen y(t), og angi hva som er transient spenning og hva som er stasjonær
spenning. Plott utgangsspenningen y(t) i samme diagram som inngangsspenningen x(t).
Stasjonær sinusrespons
Anta at impedansen til høyttaleren er reell og lik 4 Ω og at spolen har en induktans på
0,004H. En sinusspenning med amplitude på 1V og vinkelfrekvens 1000 rad/s påtrykkes
kretsen ved t = 0. Benytt kompleks regning til å bestemme stasjonær utgangsspenning. Plott
den stasjonære utgangsspenningen i samme diagram som inngangsspenningen x(t).
Amplitude- og fasediagram
For å beregne amplituden til utgangssignalet i forhold til amplituden til inngangssignalet må
en beregne forholdet mellom disse to amplitudene. Dersom en benytter kompleks regning får
en da også faseforskjellen mellom inngang- og utgangssignalet, fordi et komplekst tall kan
angis med en lengde og en vinkel. La X være amplituden til inngangssignalet og Y være
amplituden til utgangssignalet. Vi får da
R Y R 1
Y X H ( j )
L
R j L X R j L 1 j ω
= ⋅ ⇒ ω = = =
+ ω + ω +
H ( jω) er overføringsfunksjonen til lavpassfilteret. Absoluttverdien (lengden) til H kalles for
amplitudeforsterkningen og vinkelen til H kalles for fasen. Anta at impedansen til høyttaleren
er reell og lik 4 Ω og at spolen har en induktans på 0,004H. Tegn opp
amplitudeforsterkningen og fasen til H som funksjon av vinkelfrekvensen ω . Velg ω -aksen
2 4
logaritmisk, og plott funksjonene i hvert sitt diagram i frekvensområdet 10 − 10 rad / s .
Benytt grader på funksjonsaksen når dere tegner fasekurven til overføringsfunksjonen.
R