Lineær algebra og differensiallikninger formelsamling versjon 8 ...

Lineær algebra og differensiallikninger formelsamling versjon 8
Algebra a, b, c, x ∈ R
1. Kvadratsetning: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
sin θ
2. Kvadratsetning: (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
0 0 ◦ 0 1 0
1
Konjugatsetningen: (a + b)(a − b) = a 2 − b 2
Kvadratrotkonjugat: ( √ a + √ b)( √ a − √ π
6
30 ◦ 1 √ √
3 3
2 2 3 −
b) = a − b
3π −π − π 2
2
Komplekskonjugat: (a + bi)(a − bi) = a 2 + b 2
π
4
45 ◦ √ √ −1
2 2
2 2
1
Andregradslikningen: ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x = −b±√ b 2 −4ac π
2a
Fullstendig kvadrat: ax 2 + bx + c = a ( )
x + b
3
60 ◦ √
3
√ cos θ
1
2 2 3
2
2a + c −
b 2 π
4a 2
90 ◦ 1
1 0 ±∞
− 3π −π − π
Potenser, røtter, logaritmer a, b, n, m ∈ R + 2
2
−1
r ∈ R k ∈ N
k ganger
a k { }} {
a 1/n = x slik at x n = a
tan θ
= a · a · · · a
2
n√ a = a
a n = e n·ln a
1/n
√ √ 1
a 0 = 1
a =
2
a = a 1/2
−
a −n = 1
n√ 3π −π − π
am = a m/n = (a m ) 1/n
2
2
−1
a n
n√ √
a m+n = a m · a n
a · b =
n
a · n√ −2
b
√ √ √
a m−n = am
n a
n 3 θ − 2π grader
a n
b = a
n√
b
a m·n = (a m ) n
√
(a · b) n = a n · b n
a2 · b = a · √b
2
270 ◦ −1 0 ±∞ − π 2
−90 ◦
2
− √ 3 − π 3
−60 ◦
( a
) n a n
0 0 = 1 eller ∅
2
−1 − π 4
−45 ◦
=
b 2
− √ 3
3
− π 6
−30 ◦
k! = 1 · 2 · 3 · · · k
2π 360 ◦ 0 1 0 0 0 ◦
b n
0 n = 0
0 −n = 1
0 n = 1 0 = ∅
(−1) k = 1 (k partall)
(−1) k = −1
(−a) k = (−1) k · a k
(−a) −k = (−1)k
a k
(−a) 0 = 1
(k oddetall)
Trigonometriske identiteter
sin 2 θ + cos 2 θ = 1
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
cos
sin θ cos θ = 1 sin 2θ
2
ln(a · b) = ln a + ln b
( a
)
ln = ln a − ln b
b
ln (a r ) = r · ln a
e ln a = a
ln e r = r
Komplekse tall i = √ -1 z = a + ib
2θ = cos 2 θ − sin 2 θ
= 2 cos 2 θ − 1
= 1 − 2 sin 2 θ
z =a+ib har realdel Re(z)=a og imaginærdel Im(z)=b.
z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2 ) + i(b 1 ± b 2 )
z 1 · z 2 = (a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + i(a 1 b 2 + b 1 a 2 )
z 1
= a 1 + ib 1
· a2 − ib 2
= (a 1a 2 + b 1 b 2 ) + i(a 2 b 1 − a 1 b 2 )
z 2 a 2 + ib 2 a 2 − ib 2 a 2 2 + b2 2
1
z = a − ib
a 2 + b 2
Im
z = a + ib ligger
i det komplekse
tallplanet ved koordinatet
(a, b). Vinkelen
θ = Arg(z) til
tallet avhenger av
hvor tallet ligger i
forhold til kvadrantene,
jfr figuren til
høyre.
θ=π+tan -1 ( b a)
θ=π
θ=π+tan -1 ( b a)
θ= π 2
θ= 3π 2
θ=tan -1 ( b a)
θ=0
θ=2π+tan -1 ( b a)
r = |z| = √ a 2 + b 2 (Tallets lengde)
z = re iθ (Polarform)
z = |z|(cos θ + i sin θ)
= |z| n (cos nθ + i sin nθ)
z 1/n = |z| ( 1/n cos( θ+2kπ
n
) + i sin( θ+2kπ
z n
θ grader sin θ cos θ tan θ
2π
3
120 ◦ √
3
2
− 1 2
− √ 3
3π
4
135 ◦ √
2
2
− √ 2
2
−1
5π
6
150 ◦ 1 2
− √ 3
2
− √ 3
3
π 180 ◦ 0 −1 0
7π
6
210 ◦ − 1 2
− √ √
3 3
2 3
5π
4
225 ◦ − √ 2
2
− √ 2
2
1
4π
3
240 ◦ − √ 3
2
− 1 2
3π
5π
3
300 ◦ − √ 3 1
2
7π
4
315 ◦ − √ √
2 2
2
11π
6
330 ◦ − 1 √
3
2
( u
)
v
Integrasjon
∫
t n dt = 1
n+1 tn+1 + c
∫ 1
∫
t
dt = ln |t| + c
∫
1
at+b dt = ∫
1
a
ln |at + b| + c
∫ ∫
sin at dt = −
1
a
cos at + c
∫ ∫
cos at dt =
1
a
sin at + c
∫
a t dt = 1
ln a at + c
∫
d v(x)
dx u(x)
∫
e at cos bt dt =
∫
Re
e at sin bt dt =
n
) )
Derivasjon
(t n ) ′ = nt n−1 (sin t) ′ = cos t
(cu) ′ = cu ′ (cos t) ′ = − sin t
(u + v) ′ = u ′ + v ′ (tan t) ′ = 1
cos 2 t
(uv) ′ = u ′ v + uv ′ (sin −1 t) ′ = 1 √
1−t 2
= u′ v−uv ′
v 2 (cos −1 t) ′ = − 1 √
1−t 2
(e t ) ′ = e t (tan −1 t) ′ = 1
1+t 2
(a t ) ′ = a t ln a (ln t) ′ = 1 t , t > 0
(g(u)) ′ = g ′ (u)u ′
∫
π
2
π
2
π
2
π
π
π
θ
3π
2
3π
2
3π
2
1 r
b = rθ
dt
a 2 +t
= ( 1 2 a tan−1 t
a)
+ c
√ dt
= (
a2 −t 2 sin−1 t
a)
+ c
1
cos 2 t
dt = tan t + c
1
sin 2 t dt = − 1
tan t + c
e at dt = 1 a eat + c
∫
u dv = uv −
∫
v du
∫ b
a f(t)g′ (t) dt = f(t)g(t)] b a − ∫ b
a f ′ (t)g(t) dt
dv
du
f(t) dt = f(v(x))
dx
− f(u(x))
dx
∫ b
a f(g(x)) · g′ (x) dx = ∫ g(b)
f(u) du
g(a)
eat
a 2 +b
(a cos bt + b sin bt) + c
2
eat
a 2 +b
(a sin bt − b cos bt) + c
∫ 2 1
te 2 t2 dt = e 1 2 t2 + c
∫
sin at cos at dt = −
cos 2 (at)
+ c
∫
sin at cos bt dt =
cos((b−a)t)
2(b−a)
2a
− cos((b+a)t)
2(b+a)
+ c
b
θ
θ
θ
1

Lineær algebra
En lineær likning med variabler x 1 , . . . , x n kan skrives
a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a n x n = b
der b og koeffisientene a 1 , . . . , a n er reelle eller komplekse
tall. Et system med lineære likninger (eller et lineært
system) er en samling med en eller flere lineære likninger.
F.eks.
2x 1 − x 2 + 1.5x 3 = 8
x 1 − 4x 3 = −7
En løsning av systemet er en liste (s 1 , . . . s n ) med tall som
gjør at hver likning stemmer når man bytter ut x 1 , . . . , x n
med s 1 , . . . , s n . Samlingen av alle mulige løsninger kalles
løsningsmengden. To lineære systemer kalles ekvivalente
hvis de har samme løsningsmengde. Å finne løsningsmengden
til et system med to lineære likninger med to variable
med reelle koeffisienter er ekvivalent med å finne ut hvor to
linjer krysser hverandre. F.eks:
x 1 − 2x 2 = −1
−x 1 + 2x 2 = 3
2
x 2
Ingen løsning
3
x 1
Et lineært system har enten
1. Ingen løsning, eller
x 1 − 2x 2 = −1
−x 1 + 3x 2 = 3
2
x 2
3
Nøyaktig én løsning
2. Nøyaktig én løsning, eller
3. Uendelig mange løsninger
x 1
x 1 − 2x 2 = −1
−x 1 + 2x 2 = 1
2
x 2
3
Uendelig mange
løsninger
Et lineært system er konsistent hvis det har minst en løsning
og er inkonsistent hvis det ikke har noen løsning. Et
lineært system kan representeres med en matrise. F.eks. gitt
det lineære systemet
x 1 − 2x 2 + x 3 = 0
−4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = −9
2x 2 − 8x 3 = 8
så kan man representere koeffisientene i systemet med følgende
koeffisientmatrise:
[ 1
] -2 1
-4 5 9
0 2 -8
Hele det lineære systemet kan representeres med følgende
augmenterte matrise:
[ 1
]
-2 1 0
-4 5 9 -9
0 2 -8 8
Størrelsen til en matrise sier hvor mange rader og kolonner
den har. Den augmenterte matrisa ovenfor har 3 rader og 4
kolonner. En m×n matrise (“m ganger n matrise”) er en
x 1
matrise med m rader og n kolonner. m og n trenger ikke å
være forskjellige tall. Hvis to matriser er ekvivalente bruker
man tegnet ∼ mellom dem. Tre grunnleggende radoperasjoner
kan benyttes på lineære systemer uten at det påvirker
løsningsmengden:
1. (erstatning) Erstatte en rad med summen av seg selv
og en multippel av en annen rad.
2. (ombytting) Bytte om to rader.
3. (skalering) Gange alle tall i en rad med et tall ulik 0.
Eksempel 1: Erstatter rad 2 med (rad 2) + (4 ganger rad 1):
]
]
∼
∼
[ 1 -2 1 0
-4 5 9 -9
0 2 -8 8
[ 1 -2 1 0
-4+4·1 5+4·(-2) 9+4·1 -9+4·0
0 2 -8 8
Eksempel 2: Bytter rad 2 med rad 3:
]
∼
[ 1 -2 1 0
0 -3 13 -9
0 2 -8 8
[ 1 -2 1 0
0 2 -8 8
0 -3 13 -9
Eksempel 3: Ganger alle tall i rad 2 med 1 2 :
] [ ]
1 -2 1 0
∼ 0· 1
∼
[ 1 -2 1 0
0 2 -8 8
0 -3 13 -9
2 2· 1
2 -8· 1
2 8· 1
2
0 -3 13 -9
]
[ 1 -2 1 0
0 -3 13 -9
0 2 -8 8
[ 1
]
-2 1 0
0 1 -4 4
0 -3 13 -9
En enhetsmatrise av størrelse n×n er en kvadratisk matrise
med 1 langs diagonalen fra øverste venstre hjørne til
nederste høyre hjørne og 0 ellers. Eksempel på en 3×3 enhetsmatrise:
[ 1
] 0 0
0 1 0
0 0 1
Ved å bruke radoperasjonene for å få koeffisientmatrisen
mest mulig lik en enhetsmatrise kalles radredusering. Gjør
man det med eksempelmatrisen ovenfor får man følgende:
[ 1 -2 1 0
0 1 -4 4
0 -3 13 -9
]
∼
[ 1 0 0 29
0 1 0 16
0 0 1 3
Og man har funnet en unik løsning på det opprinnelige systemet
med s 1 =29, s 2 =16, s 3 =3. To matriser er radekvivalente
hvis det finnes en rekkefølge av elementære radoperasjoner
som transformerer den ene matrisen til den andre.
Hvis de augmenterte matrisene til to lineære systemer er
radekvivalente så har systemene samme løsningsmengde.
Et ledende tall i en rad er det tallet lengst til venstre i en rad
som ikke er lik 0. En nullrad er en rad der alle tall er 0. En
rad er ikkenull om den inneholder minst ett tall som ikke er
lik 0. En matrise er på trappeform hvis den har følgende tre
egenskaper:
1. Alle ikkenull-rader ligger over alle eventuelle nullrader.
2. Det ledende tallet i en rad ligger i en kolonne som er
til høyre for det ledende tallet i raden over.
3. Alle tall i en kolonne under et ledende tall er lik 0.
Hvis en matrise på trappeform i tillegg har følgende egenskaper,
så er matrisa på redusert trappeform:
4. Det ledende tallet i alle ikkenull-rader er lik 1.
5. Hvert ledende 1-tall er det eneste tallet som ikke er lik
0 i kolonnen.
Følgende matriser er i hhv trappeform og red. trappeform:
] [ ]
1 0 0 29
[ 2 -3 2 1
0 1 4 8
0 0 0 5/2
]
0 1 0 16
0 0 1 3
]
2

TEOREM 1: Enhver matrise er radekvivalent med en og
bare en matrise på redusert trappeform.
En pivotposisjon i en matrise A er en posisjon i A som korresponderer
med et ledende 1-tall i den reduserte trappeformen
til A. En pivotkolonne er en kolonne i A som inneholder
en pivotposisjon. En pivot er et tall ulik 0 i en pivotposisjon
som brukes til å lage 0’er i de andre radene i kolonnen
vha radoperasjoner.
Hvis en augmentert matrise på redusert trappeform har
minst en nullrad, har systemet minst en fri variabel, og systemet
har uendelig mange løsninger. F.eks.
[ 1 0 -5 1
0 1 1 4
0 0 0 0
]
Tilsvarer systemet
x 1 − 5x 3 = 1
x 2 + x 3 = 4
0 = 0
Variablene x 1 og x 2 kalles ledende variable, mens x 3 her er
en fri variabel. Slike konsistente systemer kan skrives som
en generell løsning ved å løse det reduserte likningssystemet
mhp de ledende variablene:
{
x1 = 1 + 5x 3
x 2 = 4 − x 3
x 3 er fri
Her står løsningen på parameterform, men kan også omformes
til parametrisk vektorform slik:
[ ] [ ] [ ]
x1 1 + 5x3
5
−→ x = x 2 =
+ x 3 −1
x 3
⇒ −→ x = −→ p + t −→ v der
]
4 − x 3 =
x 3
−→ p =
[ 1
4
0
[ ] 1
4 ,
−→ v =
0
[ 5
−1
1
1
]
, og t ∈ R
TEOREM 2: Eksistens og entydighetsteorem. Et lineært
system er konsistent hvis og bare hvis kolonnen lengst
til høyre i en augmentert matrise ikke er en pivotkolonne,
dvs hvis og bare hvis en trappeform av den augmenterte
matrisa ikke har noen rad på formen
[ 0 · · · 0 b ] der b ≠ 0
Hvis systemet er konsistent, da inneholder løsningsmengden
enten (i) en unik løsning uten fri variabler eller (ii)
uendelig mange løsninger med minst en fri variabel.
En matrise med kun én kolonne kalles en kolonnevektor,
eller bare en vektor. Et hvert punkt i n dimensjoner kan representeres
med en vektor med n rader. Det geometriske
[
punktet (a, b) i R 2 kan identifiseres med vektoren a
b]
. To
vanlige notasjoner
[
for vektorer som variabler er enten fet
skrift: v = a
b]
, eller pil over bokstav: −→ [
v = a
b]
.
Addisjon og subtraksjon av vektorer gjøres rad for rad:
[ [ [ ] [ 1 3 1 + 3 4
+ = =
2]
4]
2 + 4 6]
Gitt −→ v og c∈R så er c·−→ v en skalar multippel av −→ v:
[ ]
−→ 1 v = og c = 3 ⇒ c −→ [ [ 1 3
v = 3 =
2
2]
6]
En nullvektor er en vektor der alle tallene er lik 0, og kan
skrives som −→ 0. For alle −→ u, −→ v, −→ w i R n og c, d∈R har vi:
(i) −→ u+ −→ v = −→ v + −→ u
(ii) ( −→ u+ −→ v)+ −→ w = −→ u+( −→ v + −→ w)
(v) c( −→ u+ −→ v) = c −→ u+c −→ v
(vi) (c+d) −→ u = c −→ u+d −→ u
Summen/differansen av to matriser
Dette er definert for to matriser som er like store:
⎡
⎤ ⎡ ⎤
a 11 · · · a 1n b 11 · · · b 1n
⎢
⎥ ⎢
⎣ . . ⎦± ⎣ . .
a m1 · · · a mn b m1 · · · b mn
Skalering av en matrise
⎥
⎦ =
⎡
⎤
a 11 ± b 11 · · · a 1n ± b 1n
⎢
⎥
⎣ .
. ⎦
a m1 ± b m1 · · · a mn ± b mn
En matrise kan ganges med et tall; Man ganger da alle tallene
i matrisa med tallet:
⎡
⎤ ⎡
⎤
a 11 · · · a 1n c · a 11 · · · c · a 1n
⎢
c ⎣
.
⎥ ⎢
. ⎦ = ⎣
.
⎥
. ⎦
a m1 · · · a mn c · a m1 · · · c · a mn
Produktet av to matriser
Hvis antall kolonner i en matrise likt antall rader i en annen
matrise, så kan de ganges sammen som i eksempelet her:
[ ]
2 17 3 4
15 7 −8 4
B
A A·B = −3 27 11 −4
[ ] [ ]
1 4 −2 68 −9 −51 28
0 13 7
2 3 4
174 280 −27 24
37 163 26 4
F.eks. så har −27 her kommet frem ved å plusse sammen
produktet av tall fra 2. rad i A og 3. kolonne i B slik:
Regneregler for matriser
0 · 3 + 13 · (−8) + 7 · 11 = −27
La A, B, C være vilkårlige matriser, I enhetsmatrisen og 0
være matrisen der alle tallene er lik null. Vi har da følgende
regler for matriseregning (der størrelsene på matrisene er
slik at den aktuelle formelen gir mening):
A + B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C
A + 0 = 0 + A = A
A − A = 0
A(BC) = (AB)C
AI = IA = A
A(B + C) = AB + AC
I tillegg er operasjonen A k der k ∈ N definert som å gange A
med seg selv k ganger. M 0 er definert til å være lik I.
Den inverse til en matrise
Hvis A er en kvadratisk matrise, så er A −1 definert slik at
A −1 · A = A · A −1 = I
En matrise A er inverterbar ⇔ det A ≠ 0
Inversen til en 2×2-matrise er
[ ] −1 [ ]
a b 1 d −b
=
c d ad − bc −c a
3

Inverser i likningsløsing
Hvis Y = AX og |A| ̸= 0 så er X = A −1 Y
Negative eksponenter
Vi definerer
Dette fører til at
A −k = (A −1 ) k
k ∈ N
A p A q = A p+q og (A p ) q = A qp
Inversen til et produkt
Determinanter
(AB) −1 = B −1 A −1
Det generelle likningssystemet
Kan løses slik:
Som gir
[ ] a b p
∼
c d q
x 1 =
ax 1 + bx 2 = p
cx 1 + dx 2 = q
dp − bq
ad − bc ,
[ ]
1 0
dp−bq
0 1
x 2 =
ad−bc
aq−cp
ad−bc
aq − cp
ad − bc
Dette betyr at det generelle 2×2-systemet har en entydig bestemt
løsning når den såkalte determinanten ad − bc ≠ 0.
Hvis vi har følgende generelle system av n likninger med n
ukjente:
For n ≥ 3 kan determinanten til en n×n-matrise defineres
rekursivt på følgende måte:
∣ a 11 a 12 · · · a 1n ∣∣∣∣∣∣∣∣
a 21 a 22 · · · a 2n
. . . ..
. ∣ a n1 a n2 · · · a nn
= a 11 det(M 1 ) − a 12 det(M 2 ) + · · · + (−1) n+1 a 1n det(M n )
der det(M i ) er determinanten til den (n−1)×(n−1)-matrisen
som kommer frem når vi stryker rad 1 og kolonne i.
Determinant ved kofaktorekspansjon
-11 2 17 4
7 3 9 5
Kofaktorekspansjon av
∣
2 8 -7 4
langs 3. kolonne:
∣
-11 2 17 4
7 3 9 5
2 8 -7 4
3 4 3 4
-11 2 17 4
7 3 9 5
2 8 -7 4
3 4 3 4
3 4 3 4
-11 2 17 4
7 3 9 5
2 8 -7 4
3 4 3 4
-11 2 17 4
7 3 9 5
2 8 -7 4
3 4 3 4
(-1) 1+3 7 3 5
-11 2 4
-11 2 4
-11 2 4
·17·
2 8 4
∣ 3 4 4∣ (-1)2+3 ·9·
2 8 4
∣ 3 4 4∣ (-1)3+3 ·-7·
7 3 5
∣ 3 4 4∣ (-1)4+3 ·3·
7 3 5
∣ 2 8 4∣
= 17 · 44 = (−9) · (−232) = (−7) · 138 = (−3) · 472
= 748 = 2088 = −966 = −1416
Cramers regel
Det = 748 + 2088 − 966 − 1416 = 454
La D ≠ 0 være determinanten til koeffisientmatrisen til likningssystemet
a 11 x 1 + · · · + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + · · · + a 2n x n = b 2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
a n1 x 1 + · · · + a nn x n = b n
a 11 x 1 + · · · + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + · · · + a 2n x n = b 2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
a n1 x 1 + · · · + a nn x n = b n
så kalles systemet homogent hvis b 1 = b 2 = · · · = b n = 0
og inhomogent hvis minst en b i ≠ 0. Generelt kan vi da si at
hvis D er determinanten til et lineært likningssystem med n
likninger med n ukjente så har vi følgende fire muligheter:
D ≠ 0 D = 0
inhomogent
homogent
entydig bestemt
løsning
kun triviell løsning
x 1 =x 2 =· · ·x n =0
Determinanten til en 2×2-matrise er:
[ ]
a b
det =
c d ∣ a b
c d ∣ = ad − bc
enten uendelig
mange løsninger,
eller ingen løsninger
uendelig mange
ikke-trivielle løsninger
Determinanten til en 3×3-matrise er:
a b c
∣ ∣ ∣ ∣∣∣ d e f
∣ g h i ∣ = a e f
∣∣∣ h i ∣ − b d f
∣∣∣ g i ∣ + c d
g
e
h ∣
Da har likningssystemet løsningen
∣ b 1 a 12 · · · a 1n ∣∣∣∣∣∣∣∣
b 2 a 22 · · · a 2n
. . . ..
. ∣ b n a n2 · · · a nn
x 1 =
,
D
∣ a 11 b 1 · · · a 1n ∣∣∣∣∣∣∣∣
a 21 b 2 · · · a 2n
.
.
. .. . ∣ a n1 b n · · · a nn
x 2 =
,
D
∣ a 11 a 12 · · · b 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣
a 21 a 22 · · · b 2
. . . ..
. ∣ a n1 a n2 · · · b n
. . . , x n =
D
4

Egenverdi og egenvektor
La A være en kvadratisk matrise. Et tall λ kalles en egenverdi
for A hvis det finnes en vektor −→ x ≠ 0 slik at
A −→ x = λ −→ x
−→ x kalles en egenvektor for A med λ som tilhørende egenverdi.
Vi har da at
A k−→ x = λ k−→ x
Egenverdiene til matrisen A er de tallene λ som gir
det(A − λI) = 0
Metode for å finne egenverdiene og egenvektorene
1. Regn ut determinanten det(A − λI), som blir et polynom
i λ av grad n.
2. Løs likningen det(A − λI) = 0. Egenverdiene til A
er alle løsningene λ av denne likningen. Eventuelle
komplekse løsninger regnes også som egenverdier til
A.
3. For hver reell egenverdi λ, løs likningen (A − λI)X =
0. De løsningene X som ikke er lik 0, er egenvektorene
til A med λ som tilhørende egenverdi.
Lengden (eller normen) til −→ v er den ikke-negative skalaren
|| −→ v || = √ −→ v •
−→ v =
√v 2 1 + v2 2 + · · · + v2 n og || −→ v || 2 = −→ v • −→ v
Gram-Schmidt-prosessen
Hvis { −→ x 1 , −→ x 2 , . . . , −→ x p } er en basis for et underrom W i R n ,
så er { −→ v 1 , −→ v 2 , . . . , −→ v p } en ortogonal basis for W der
−→ v 1 = −→ x 1
−→ v 2 = −→ −→ x2 • −→ v 1
x 2 − −→ v 1 • −→ −→ v 1
v 1
−→ v 3 = −→ −→ x3 • −→ v
−→
1
x 3 − −→ v 1 • −→ −→ x3 • −→ v 2
v 1 −
v
−→
1 v 2 • −→ −→ v 2
v 2
.
−→ v p = −→ x p −
−→ xp • −→ v 1
−→ v 1 • −→ v 1
−→ v 1 −
I tillegg så har vi
−→ xp • −→ v 2
−→ v 2 • −→ v 2
−→ v 2 − · · ·
Span{ −→ v 1 , . . . , −→ v k } = Span{ −→ x 1 , . . . , −→ x k }
−→ xp • −→ v p−1
−→ v p−1 • −→ v p−1
−→ v p−1
for 1 ≤ k ≤ p
En ortonormal basis { −→ u 1 , −→ u 2 , . . . , −→ u p } får vi ved å dele hver
av vektorene i den ortogonale basisen på sin egen norm:
−→ uk = 1
|| −→ −→ v k
v k ||
for 1 ≤ k ≤ p
Omforming av uttrykket a cos ωt + b sin ωt
La a, b og ω være gitte tall ≠ 0 med ω > 0. Funksjonen
kan skrives på formen
f(t) = a cos ωt + b sin ωt
der (C, ωt 0 ) er polarkoordinatene til punktet (a, b).
Spesielt har vi
C = √ a 2 + b 2 og tan(ωt 0 ) = b a
Vinkelen ωt 0 ligger i intervallet [0, 2π⟩ og hører til samme
kvadrant som punktet (a, b).
Første ordens inhomogen lineær differentiallikning
har løsningen
y = e −P (t) ∫
y ′ + p(t)y = g(t)
e P (t) −P (t)
g(t) dt + Ce
der P (t) er en vilkårlig antiderivert av p(t)
Høyere ordens differensialligninger med konstante koeffisienter
En høyere ordens differensialligning med konstante koeffisienter
er en ligning
a n y (n) + · · · + a 3 y (3) + a 2 y ′′ + a 1 y ′ + a 0 y = f(t)
Komplementær / homogen løsning
Den tilhørende homogene differensialligningen får vi ved å
bytte ut høyresiden f(t) med 0. Vi får da
a n y (n) + · · · + a 3 y (3) + a 2 y ′′ + a 1 y ′ + a 0 y = 0
Vi løser en homogen høyere ordens differensialligninger
med konstante koeffisienter ved først å løse den karakteristiske
ligningen
a n r n + · · · + a 3 r 3 + a 2 r 2 + a 1 r + a 0 = 0
som har røtter r 1 , r 2 , . . . , r n . Deretter finner vi løsningene
y 1 , y 2 , . . . , y n til den homogene differensialligningen ved
følgende regel:
Hvis r k = a + bi, og denne roten har forekommet m ganger
før, er
{ t
y k (t) =
m e at cos(bt) hvis b ≥ 0 «ploss rimer på cos»
t m e at sin(bt) hvis b < 0 «minus rimer på sinus»
Den komplementære løsningen y C er da
y C = c 1 · y 1 + c 2 · y 2 + · + c n · y n
Partikulær løsning
Partikulær løsning kan du finne når du kjenner
y 1 , y 2 , · · · , y n . Hvis differensialligningen var av 2. orden har
du kun 2 løsninger y 1 og y 2 , og da har du en snarvei for y P
som ser slik ut (bruk ikke +C for integralene):
∫ ∫ −y2 · f(t)
y1 · f(t)
y P = y 1 ·
dt + y 2 ·
dt
|W |
|W |
der |W | er Wronski-determinanten av y 1 , y 2 :
|W | =
∣ y 1 y 2
y 1 ′ y 2
′ ∣
f(t) = C cos (ω(t − t 0 ))
5

Hvis differensialligningen er av orden n > 2, kan du ikke
bruke denne snarveien. Da må du løse følgende matriseligning
(Vi anbefaler Cramer’s regel!):
⎡
y 1 y 2 · · · y n
y 1 ′ y 2 ′ y n
′
⎢
⎣ .
.
y (n−1)
1 y (n−1)
2 · · · y n
(n−1)
⎤
⎡
⎥
⎦ ·
⎢
⎣
u ′ 1(t)
u ′ 2(t)
.
u ′ n(t)
⎤ ⎡
0
⎥
⎦ = ⎢
⎣
.
0
f(t)
Deretter finner du u(t) = ∫ u ′ (t)dt (bruk ikke +C for integralene),
og til slutt
Om dette heftet
y P = u 1 · y 1 + u 2 · y 2 + · · · u n · y n
Dette heftet er laget som en skreddersydd formelsamling
til et kurs i lineær algebra og differensiallikninger ved UiA
i Grimstad. En del av stoffet er oversettelser av definisjoner
og teoremer fra Lay (2006), Kohler og Johnson (2006) og
Gulliksen (1998). Noe stoff er også inspirert av formelsamlingen
til Haugan (2007). Kommentarer og rettelser er meget
velkomne, og medfører finnerlønn ved alvorlige feil.
⎤
⎥
⎦
Dette er versjon 8. Siste versjon bør ligge her:
Referanser
CC⃝
⃝ BY: $
\
trondal.com/lindiff.pdf
⃝ Jostein Trondal, 20. mars 2012
jostein@trondal.no
Gulliksen, T. (1998). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget.
Haugan, J. (2007). Formler og tabeller. NKI Forlaget.
Kohler, W. & Johnson, L. (2006). Elementary differential equations.
Pearson Addison Wesley.
Lay, D.C. (2006). Linear algebra and its applications. Pearson
Addison Wesley.
Takk til
Svein Olav Nytun, Torgeir Attestog, Bjørn Øyvind Halvorsen
og Asbjørn Sandnes for innspill og rettelser.
6

f(t)
f(t)
af(t) + bg(t)
f ′
Laplacetransformasjon
L {f(t)} = ∫ ∞
e −st f(t) dt
0
F (s)
aF (s) + bG(s)
sF (s) − f(0)
f ′′ s 2 F (s) − sf(0) − f ′ (0)
f (n) s n F (s) − s n−1 f(0) − · · · − f n−1 (0)
f(t − a)u(t − a)
e −as F (s)
e at f(t) F (s − a)
∫ t
0 f(τ) dτ 1
s F (s)
tf(t)
f(t)
t
−F ′ (s)
∫ ∞
F (σ) dσ
s
Parallellforskyving:
f(t)
F (s)
f(t)
F (s)
e at f(t) F (s − a)
f(t − a)u(t − a)
e −as F (s)
f(t) −→ F (s) F (s) −→ f(t)
1
1
1
s
1
s
1
e at 1
1
s−a
2
s−a
e at
2 √ 1
1
t/π 3 2 √ t/π
s 3/2 s 3/2
t n n!
1
1
s
4 n+1 s n (n−1)! tn−1
t n at n!
1
1
e
(s−a)
5 n+1 (s−a) n
e at − e bt
a−b
1
1
(s−a)(s−b)
6
(s−a)(s−b)
ae at − be bt
(a−b)s
s
1
(s−a)(s−b)
7
(s−a)(s−b)
ω
1
1
sin ωt
s 2 +ω
8 2 s 2 +ω 2 ω
sin ωt
s
s
cos ωt
s 2 +ω
9 2 s 2 +ω
cos ωt
2
e at ω
1
1
sin ωt
(s−a) 2 +ω
10 2 (s−a) 2 +ω 2 ω eat sin ωt
e at s−a
s−a
cos ωt
(s−a) 2 +ω
11 2 (s−a) 2 +ω
e at cos ωt
2
ω
ωt − sin ωt 3
1
s 2 (s 2 +ω 2 )
12
s 2 (s 2 +ω 2 )
ω
1 − cos ωt 2
1
s(s 2 +ω 2 )
13
s(s 2 +ω 2 )
2ω
sin ωt − ωt cos ωt 3
1
(s 2 +ω 2 )
14 2
t sin ωt
1
(s 2 +ω 2 ) 2
2ωs
s
t
(s 2 +ω 2 )
15 2 (s 2 +ω 2 ) 2 2ω
(n−1)! (tn−1 e at )
a−b (eat − e bt )
a−b (aeat − be bt )
1
ω
(ωt − sin ωt)
3
1
ω
(1 − cos ωt)
2
2ω
(sin ωt − ωt cos ωt)
3
sin ωt
2ωs
sin ωt + ωt cos ωt 2
s
(s 2 +ω 2 )
16 2
1
2 (s 2 +ω 2 ) 2 2ω
(sin ωt + ωt cos ωt)
(b
cos at − cos bt
2 −a 2 )s
s
1
(s 2 +a 2 )(s 2 +b 2 )
17
(s 2 +a 2 )(s 2 +b 2 ) b 2 −a
(cos at − cos bt)
( 2 sin kt cosh kt−
)
(
4k 3
1
1
cos kt sinh kt
s 4 +4k
18 sin kt cosh kt−
)
4 s 4 +4k 4 4k 3 cos kt sinh kt
2k
sin kt sinh kt
2 s
s
1
s 4 +4k
19 4 s 4 +4k 4 2k
sin kt sinh kt
2
2k
sinh kt − sin kt 3
1
1
s 4 +k
20 4 s 4 +k 4 2k
(sinh kt − sin kt)
3
2k
cosh kt − cos kt
2 s
s
1
s 4 −k
21 4 s 4 −k 4 2k
(cosh kt − cos kt)
2
1
u(t − a)
s e−as 1
22
s e−as u(t − a)
δ(t − a) e −as 23 e −as δ(t − a)
7