Kapittel 21 - Elektrisk ladning og elektriske felt Kapittel 22 - Gauss ...

Kapittel 21 - Elektrisk ladning og elektriske felt
• Coulombs lov, kraft mellom to punktladninger: F = k |q1q2|
r
= 1 |q 1q 2|
2 4πε 0 r 2
• En punktladning setter opp et elektrisk felt i området rundt: E ⃗
⃗
=
F0
q 0
= 1 q
4πε 0 r
ˆr 2
• Per denisjon peker det elektriske feltet til en punktladning peker alltid vekk fra en positiv ladning, og mot en negativ ladning.
• ladningstetthet langs en linje - λ
• ladningstetthet på en ate - σ
• ladningstetthet i et volum - ρ
• elektriske feltlinjer krysser aldri hverandre
• I et homogent elektrisk felt, er feltlinjene parallene, rette, jevnt fordelte linjer
• En elekstrisk dipol er et ladningspar som har lik størrelse, men motsatt fortegn, som er en avstand d fra hverandre
• Netto kraft på en elektrisk dipol i et uniformt ytre elektrisk felt er null
Men en det kan virke et kraftmoment på den
Dipolmomentet er denert som p = qd
Kraftmoment på en dipol er gitt som
⃗τ = ⃗p × ⃗ E
Posisjonen hvor φ = 0 er en stabil likevekt, posisjonen hvor φ = π er en ustabil likevekt
• Arbeid utført på en dipol: W = ∫ φ 2
φ 1
(−pE sin φ)dφ
• Potensiell energi til en dipol: U = −⃗p · ⃗E
Kapittel 22 - Gauss' lov
• Gauss' lov: φ E = ∮ ⃗ E · d ⃗ A =
Q encl
ε 0
Kapittel 23 - Elektrisk potensiale
• Elektrisk potensiell energi i homogent elektrisk felt: W a→b = F d = q 0 Ed
• Elektrisk felt peker fra positiv til negativ - den veien en positiv testpartikkel vil bli trukket mot
• Potensiell energi mellom to punktladninger q og q 0 : U = 1 qq 0
4πε 0 r
• Kraften fra et elektrisk felt er alltid konservativ
• Elektrisk potensial er potensiell energi per ladningsenhet: V = U q 0
• Potensialforskjellen mellom to punkter kalles spenning, det er lik arbeidet gjort av en elektrisk kraft når EN ladning beveger seg
fra a til b.
• Potensial rundt en punktladning: V = U q 0
= 1
4πε 0
q
r
∫
• Potensial rundt en sammenhengende ladningsfordeling: V = 1 dq
4πε 0 r
• Potensialforskjell som et integral av E: ⃗ V A − V B = ∫ b
E ⃗ · d ⃗ l = ∫ b
E cos φdl
a a
• Når alle ladninger er i ro, er overaten til en leder alltid en ekvipotensialate
• ⃗ E = −∇⃗vV
Kapittel 24 - Kapasitans og dielectrics
• Kapasitans: C = Q
V ab
• Kapasitansen sier noe om evnen til en kondensator til å lagre energi
A
• Kapasitans for en platekondensator i vakuum: C = ε 0 d
• Kapasitans for kulekondensator: C = Q
r
V ab
= 4πɛ ar b 0 r b −−r a
• Kapasitans for sylinderkondensator: C = Q
• kondensatorer i serie:
λL
V ab
= λ
2πɛ ln r b
0 ra
Ladningen på hver kondensator er like i størrelse, men potensialforskjellen er ikke være det samme hvis kapasitansene ikke er
like.
1
C eq
= 1 C 1
+ 1 C 2
+ ... + 1
C n
• kondensatorer i parallell:
potensialforskjellen for alle kondensatorene er lik, men ladningene er ikke like hvis ikke kapasitansene er like

C eq = C 1 + C 2 + ... + C n
• Arbeidet som kreves for å lade opp en kondensator: W = ∫ W ∫
dW = 1 Q
0 C 0
Q2
qdq =
2C
• Potensiell energi lagret i en kondensator: U = Q2
2C = 1 2 CV 2 = 1 2 QV
• Kapasitans er altså et mål på evnen en kondensator har til å lagre ladning og energi
• Energitetthet mellom platene i en platekondensator: u = 1 CV 2
2 Ad
• Elektrisk energitetthet i vakuum: u = 1 2 ε 0E 2
• Ofte bruker man et isolerende materiale mellom kondensatorplatene. Tre grunner til det:
Løser problemet med å ha så liten avstand mellom platene, uten kontakt
Det øker den maksimale potensialforskjellen mellom platene
Kapasitansen blir større hvis det er et isolerende materiale mellom platene enn vakuum
• Når et isolerende materiale blir plassert mellom platene og ladningen er konstant, vil potensialforskjellen synke med en faktor
K.E-feltet må derfor også synke med den samme faktoren K.
• Det vil bli indusert en ladning på overaten av isolatoren σ i = σ ( 1 − 1 K
) .
• Permittivitet er denert som ɛ = Kɛ 0
• Elektrisk feltstyrke mellom plater iplatekondensator: E = σ ɛ
• Kapasitans til platekondensator med isolerende materiale mellom platene: C = KC 0 = Kɛ 0
A
d = ɛ A d
• Elektrisk energitetthet med dielektrisk meteriale mellom platene: u = 1 2 Kɛ 0E 2 = 1 2 ɛE2
• Gauss' lov i isolerende matereiale: ∮ K ⃗ E · d ⃗ A = Q enql−free
ɛ 0
Kapittel 25 - Strøm, resistans og elektromotorisk spenning
• Denisjon av strøm: I = dQ
dt
= n|q|v dA
• Strømtetthet: J = I A = nqv d, hvor v d er drithastigheten til ladningene.
• Denisjon av resistivitet: ρ = E J
• Den inverse til resistivitet kalles konduktans
• Temperatur-avhengighet av resistivitet: ρ(t) = ρ 0 [1 + α(T − T 0 )]
• Sammenheng mellom resistans og resistivitet: R = ρL A
• En resistor er et element i en krets som er laget for å ha en spesikk resistans, kan kalles motstand.
• Elektromotorisk spenning er det som øker potensialet til ladningene i en krets
• Ladningene møter indre resistans i et batteri. V ab = ε − IR, der V ab kalles terminalspenning
• Energi fra et kretselement: P = V ab I
• Energi levert til en resistor: P = V ab I = I 2 R = V 2 ab
R
Kapittel 26 - Likestrøm
• Resistorer i serie: R tot = R 1 + R 2 + ... + R n
• Resistorer i parallell:
1
R tot
= 1 R 1
+ 1 R 2
+ ... + 1
R n
• Kirchhos lover:
ΣI = 0, Summen av strømmen inn i et knutepunkt er null
ΣV = 0
• Å lade opp en kondensator:
( ) ( )
q = Cε 1 − e − t
RC = Q f 1 − e − t
RC
i = dq
dt = ε R e− t
RC
= I 0 e − t
RC
• Tidskonstant for kretsen: τ = RC
• Utlade en kondensator: p = Q 0 e − t
RC
• Utlade en kondensator: i = dq
dt = − Q0
RC e− t
RC
= I 0 e − t
RC
Kapittel 27 - Magnetiske felt og magnetiske krefter
• Magnetisk kraft på en partikkel i bevegelse: ⃗ F = q⃗v × ⃗ B

• Når en partikkel beveger seg i et elektrisk og magnetisk felt, blir den utsatt for kraften ⃗ F = q( ⃗ E + ⃗v × ⃗ B)
• Magnetisk uks gjennom en ate: φ B == ∫ ⃗ B · d ⃗ A
• Gauss' lov: Summen av den magnetiske uksen gjennom en lukket ate er alltid null: ∮ ⃗ B · d ⃗ A = 0
• B kalles magnetisk ukstetthet: B = dφ B
dA ⊥
• Radius i en sirkelbane: R = mv
|q|B
• Hastighets-lter slipper bare gjennom partikler med en bestemt hastighet. v = E B
• Magnetisk kraft på en rett leder-del: ⃗ F = I ⃗ l × ⃗ B
• Kraftmoment på en strøm-loop: τ = IBA sin φ, IA kalles magnetisk dipolmoment, betegner µ
• En strøm-loop som blir utsatt av magnetisk kraftmoment kalles magnetisk dipol
• Kraftmomentvektor: ⃗τ = ⃗µ × ⃗ B
• Potensiell energi til en magnetisk dipol: U = −⃗µ · ⃗B
• Magnestisk moment til en spole: τ = NIAB sin φ
• Halll-eekt: nq = − JxBy
E z
Kapittel 28 - Kilder til magnetfelt
• Magnetfelt i et gitt punkt: B ⃗ = µ0 |q|⃗v׈r
4π r 2
• Magnetisk felt fra et strømelement: d ⃗ B = µ0
4π
• B-felt rundt en LANG rett leder: B = µ0I
2πr
Id ⃗ l׈r
r
. Kalles Biot og Savart-loven
2
F
• Kraft mellom to lange, parallelle ledere med samme strømretning:
L
samme vei.
• B-felt på aksen til en sirkulær loop: B x =
µ0Ia2
2(x 2 +a 2 ) 3 2
• B-felt i senter av N sirkulære vindinger: B x = µ0NI
2a
• B-felt inni leder med radius R: B = µ0I r
2π R 2
• B-felt inni leder med radius R: µ0I
2πr
• B-felt inni spole med n vindinger per lengdeenhet: B = µ 0 nI
• B-felt utenfor spole: B=0
• B-felt utenfor en ringformet spole: B = µ0NI
2πr
• B-felt utenfor ringformet spole: 0
Kapittel 29 - Elektromagnetisk induksjon
• Elektromotorisk spenning som følge av bevegelse av leder: ε = vBL
• Elektromotorisk spenning til lukket leder: ε = ∮ (⃗v × ⃗ B) · d ⃗ l
• Forytningsstrøm: i D = ɛ dφ E
dt
• Generalisert Amperes lov: ∮ ⃗ B · d ⃗ l = µo (i C + i D )
• Maxwells ligninger:
1. φ E = ∮ E ⃗ · dA ⃗ =
Q encl
ɛ 0
- Gauss lov for E
2. ∮ B ⃗ · dA ⃗ = 0 - Gauss lov for B
3. ∮ ⃗ B · d ⃗ l = µ0 I encl = µ 0
(i C + ɛ 0
dφ E
dt
4. ε = ∮ ⃗ E · d ⃗ l = −
dφ B
dt
Kapittel 30 - Induktans
- Faradays lov
)
encl
- Amperes lov
= µ0II′
2πr
. De tiltrekkes altså når strømretningene er rettet
• Felles indusert elektromotorisk spenning: ɛ 1 = −M di2
dt
og ɛ 2 = −M di1
dt
Hvor den felles induktansen M er:M = N2φ B2
i 1
= N1φ B1
i 2
• Selv-induktans: L = Nφ B
i
• Selvindusert elektromotorisk spenning: ε = −L di
dt
• En induktor er et element i en krets som er laget for å ha en bestemt induktans

• Energi lagret i en induktor: U = ∫ I
0 idi = 1 2 LI2
• Magnetisk energitetthet i vakuum: u = B2
2µ 0
• Magnetisk energitetthet i materiale: u = B2
2µ
• En induktor brukes for å hindre raske endringer i strømstyrke i en krets. Den lagrer energi som sendes ut i kretsen når strømmen
synker slik at endringen minker. Den lagrer energi når strømmen øker.
• R-L-krets er en krets bestående av resistor og induktor
• Tidskonstant for en R-L-krets: τ = L R
• Når strømmen blir skrudd av, synker den ikke rett til null, den avtar med i = I 0 e − R L t
• En krets bestående av en induktor og en kondensator kalles L-C-krets
√
1
• Vinkelossilasjonsfrekvens i en L-C-krets: ω =
LC
√
• underdempet L-R-C-krets i serie: ω ′ =
Kapittel 31 - Vekselstrøm
• Vekselstrøm:
1
LC − R2
4L 2
v = V cos ωt - v=øyeblikksspenningen, ω=vinkelfrekvensen, V=spenningsamplitude
i = I cos ωt - i=øyeblikksstrømmen, ω=vinkelfrekvensen, I=strømamplitude
• Root-mean-square-verdi til en sinus-strøm: I rms = 1 √
2
, V rms = 1 √
2
• I en krets med kun en induktans, vil strømmen og spenningen være ortogonalt på hverandre
• Induktiv reaktans til en induktor: X L = ωL
• Spenningsamplitude over en induktor ved vekselstrøm: V L = IX L
• Kapasitiv reaktans: X C =
I
ωC
• Spenningsamplitude over en kondensator ved vekselstrøm: V C = IX C
• Spenningen og strømmen er proporsjonale i en resistans, hvor det er null faseforskjell
• Spenningen og strømmen i en induktor er ikke proporsjonale.(På grunn av faseforskyvning)
• Spenningsamplituden i en vekselstrøm-krets: V = IZ, Z er impedansen
• Impedans i en L-R-C-kobling i serie: Z = √ √
R 2 + (X L − X C ) 2 = R 2 + [ωL − ( 1
ωC )]2 , R = resistans, X L = induktans, X C =
kapasitans
• Fasevinkel for en L-R-C-krets: tan φ = ωL− 1
ωC
R
• Gjennomsnittelig eekt inn i en generell vekselspenning-krets: P av = 1 2 V I cos φ = V rmsi rms cos φ
• Terminalspenning i transformator: V2
V 1
= N2
N 1
• Strøm i transformator: V 1 I 1 = V 2 I 2
Kapittel 32 - Elektromagnetiske bølger
• Elektromagnestisk bølge i vakuum: E = cB
• Elemtromagnetisk bølge i vakuum: B = ɛ 0 µ 0 cE
• Lysretningen er i retningen til ⃗ E × ⃗ B
• Bølgefunksjoner på vektorform:
⃗ E(x, t) = ĵE max cos(kx − ωt)
⃗ B(x, t) = ˆkB max cos(kx − ωt)
• Lysfart i dielectric: v = 1 √ ɛµ
= 1 √ KKm
1
√ ɛ0µ 0
=
c √ KKm
, hvor K er dielektrisk konstant og K m er relativ permeabilitet
• Poynting-vektor: S ⃗ = 1 ⃗
µ 0
E × B ⃗
√
• Intensitet til sinus-bølge i vakuum: I = S av = EmaxBmax
2µ 0
= E2 max
2µ = 1 ɛ0
0c 2 µ 0
Emax 2 = 1 2 ɛ 0Emax
2
• 1 dp
A dt = S EB
c µ 0c