PDF-fil

MM06 forelæsninger, 27/4-2005.
Isolerede singulariteter.
Definition. Hvis en funktion f er holomorf i en udprikket cirkelskive
D ′ (z 0 , r), så siges f at have en isoleret singularitet i z 0 , og
z 0 kaldes en isoleret singularitet for f.
Eksempel. Funktionerne
exp(1/z),
har alle isolerede singulariteter i 0.
sin z
z , cos z
z ,
1

Singulariteters type.
Antag at f er holomorf i D ′ (z 0 , ρ). Med andre ord er f holomorf
i ringområdet
{z ∈ C | 0 < |z − z 0 | < ρ} = D ′ (z 0 , ρ).
Ifølge Sætning 10.2 har f så en entydig Laurentrække fremstilling:
∞∑
f(z) = a n (z − z 0 ) n , (z ∈ D ′ (z 0 , ρ)),
n=−∞
hvor koefficienterne a n , n ∈ Z, er bestemt ved formlerne
a n = 1
2πr n ∫ 2π
for et vilkårligt r i ]0, ρ[.
0
f(z 0 + re iθ )e −inθ dθ,
Heraf følger umiddelbart Cauchy’s formler:
|a n | ≤ 1 ∫ 2π ∣
∣f(z
2πr n 0 + re iθ )e −inθ∣ ∣ dθ
≤ 1
r n
0
max |f(z 0 + re iθ )|,
θ∈[0,2π]
(n ∈ Z, r ∈ ]0, ρ[).
Singulariteten z 0 kan nu have én af følgende tre forskellige typer:
2

(I) z 0 kaldes en hævelig singularitet for f, hvis
a n = 0, for alle n ≤ −1.
(II) z 0 kaldes en pol af orden k for f, hvis
a −k ≠ 0, og a n = 0 for alle n < −k.
(III) z 0 kaldes en væsentlig singularitet for f, hvis
a n ≠ 0, for uendeligt mange n i Z \ N 0 .
Hævelige singulariteter
Hvis f har en hævelig singularitet i z 0 har vi fremstillingen:
∞∑
f(z) = a n (z − z 0 ) n , (z ∈ D ′ (z 0 , ρ)),
n=0
og det fremgår at f kan udvides til en holomorf funktion på hele
D(z 0 , ρ), hvis vi sætter
(og det er eneste mulighed!).
f(z 0 ) = a 0 ,
Eksempel. Funktionen sin z
z
har en hævelig singularitet i 0:
sin z
= 1 ∞∑
(−1) n z 2n+1
z z (2n + 1)! = 1 − 1 3! z2 + 1 5! z4 − · · · .
n=0
Sætning 11.1. Antag at f er holomorf i D ′ (z 0 , ρ), og at
M :=
sup |f(z)| < ∞.
z∈D ′ (z 0 ,ρ)
Så har f en hævelig singularitet i z 0 .
3

Poler.
Hvis f har en pol af orden k i z 0 , har vi fremstillingen:
f(z) =
a −k
(z−z 0 ) k +
a −k+1
(z−z 0 ) k−1 + · · · +
for alle z i D ′ (z 0 , ρ). Sætter vi
a −1
(z−z 0 ) + a 0 + a 1 (z − z 0 ) + · · ·
g(z) = a −k + a −k+1 (z − z 0 ) + · · · + a 0 (z − z 0 ) k + · · ·
∞∑
= a n−k (z − z 0 ) n ,
n=0
har vi fremstillingen
f(z) =
g(z)
(z − z 0 ) k, (z ∈ D′ (z 0 , ρ)), (1)
hvor g er holomorf i D(z 0 , ρ) og g(z 0 ) ≠ 0. Hvis omvendt f har
fremstillingen (1) for et g med disse egenskaber, så er z 0 en pol af
orden k for f.
Definition. En pol af orden 1 kaldes for en simpel pol.
Eksempel. Funktionen cos z
z
har en simpel pol i 0:
cos z
= 1 ∞∑ (−1) n z 2n
= 1 z z (2n)! z − z 2 + z3
4! − · · · .
n=0
4

Sætning. Antag at f er holomorf i D ′ (z 0 , ρ), og at k ∈ N.
(i) Hvis grænseværdien
∣
lim ∣(z − z0 ) k f(z) ∣ z→z 0
så har f en pol af orden k i z 0 .
eksisterer i ]0, ∞[,
(ii) Hvis f har et nulpunkt (en pol) af orden k i z 0 , så har 1/f en
pol (et nulpunkt) af orden k i z 0 .
Væsentlige singulariteter
Eksempel. Funktionen f(z) = exp(1/z) har en væsentlig singularitet
i 0:
∞∑ z −n ∑−1
z n
exp(1/z) = =
n! (−n)! + 1,
for alle z i C \ {0}.
n=0
Det er ikke svært at eftervise at
n=−∞
∀ɛ > 0: f(D ′ (0, ɛ)) = C \ {0}.
Sætning 11.2 (Picards Sætning). Antag at f er holomorf i
D ′ (z 0 , ρ). Hvis f har en væsentlig singularitet i z 0 , så gælder for
ethvert ɛ i ]0, ρ[ at f(D ′ (z 0 , ɛ)) er hele C eller C fraregnet et enkelt
punkt.
Sætning 11.3 (Casorati-Weierstrass Sætning). Antag at
f er holomorf i D ′ (z 0 , ρ). Hvis f har en væsentlig singularitet i z 0 ,
så gælder for ethvert ɛ i ]0, ρ[ at f(D ′ (z 0 , ɛ)) er en tæt delmængde
af C.
5

Meromorfe funktioner.
Definition. Lad Ω være et område i C. En funktion f siges da
at være meromorf i Ω, hvis ethvert punkt z 0 i Ω opfylder én af
følgende to betingelser
(a) der findes r > 0 således at D(z 0 , r) ⊆ Ω, og f er holomorf i
D(z 0 , r).
(b) der findes r > 0 således at D(z 0 , r) ⊆ Ω, f er holomorf i
D ′ (z 0 , r), og z 0 er en pol for f.
Mængden af poler for f betegnes med P f .
Bemærkninger. Lad f være en meromorf funktion i området
Ω.
(i) Polmængden P f har ingen limes-punkter i Ω, idet et limespunkt
for P f ikke kan opfylde hverken (a) eller (b) i definitionen
ovenfor. Specielt er P f en lukket delmængde af Ω.
(ii) Polmængden P f består af isolerede punkter og er tællelig. Thi
enhver kompakt delmængde af Ω kan ifølge (i) højst indeholde
endeligt mange punkter fra P f .
(iii) Den åbne mængde Ω \ P f er et område i C.
6

Kvotienter af holomorfe funktioner.
Lad h, g : Ω → C være holomorfe funktioner definerede i området
Ω, og antag at h ikke er identisk 0. Betragt mængden
N h = {z ∈ Ω | h(z) = 0},
og husk at N h ikke har nogen limespunkter i Ω, således at N h
består af tælleligt mange isolerede punkter.
For ethvert z i Ω sætter vi
{
0, hvis h(z) ≠ 0,
deg h (z) =
k, hvis z er et nulpunkt af orden k for h.
Tilsvarende defineres deg g (z), hvis g ikke er identisk 0.
Sætning. Ved udtrykket
f(z) = g(z)
h(z) ,
fastlægges en meromorf funktion i Ω. Mere præcist gælder, når g
ikke er identisk 0,
• Hvis z 0 ∈ N h , og deg g (z 0 ) > deg h (z 0 ), så har f en hævelig
singularitet i z 0 , og z 0 er et nulpunkt af orden deg g (z 0 ) −
deg h (z 0 ) for f.
• Hvis z 0 ∈ N h , og deg g (z 0 ) = deg h (z 0 ), så har f en hævelig
singularitet i z 0 , og f(z 0 ) ≠ 0.
• Hvis z ∈ N h , og deg g (z 0 ) < deg h (z 0 ), så har f en pol af orden
deg h (z 0 ) − deg g (z 0 ) i z 0 .
7