Fx. “en normalfordelt obs. række” m. kendt varians

Tema
Model og modelkontrol
( Fx. “en normalfordelt obs. række” m. kendt varians)
Estimation af parametre. Fordeling.
(Fx. ¯x . → µ)
Hypotese og test. Teststørrelse.
(Fx. H 0 : µ = µ 0 )
konfidensintervaller
Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i BG.
– p. 1/??

Model
M : X i ∼ N(µ,σ 2 ) for i = 1,...,n hvor µ ∈ R og σ 2 > 0 er
ukendte.
(“En normalfordelt observationsrække”).
Kontrolleres ved et fraktildiagram.
Tidligere antog vi at σ 2 er kendt.
I Ex. 3.1 kan µ fortolkes som middel-diameteren
fratrukket 5160 micrometer; σ 2 modellerer variationen.
– p. 2/??

Estimation
Vi benytter
¯x . → µ
s 2 → σ 2
hvor
s 2 = 1
n−1
∑ n
i=1 (x i − ¯x . ) 2 .
– p. 3/??

Estimation
Vi benytter
¯x . → µ
s 2 → σ 2
hvor
s 2 = 1
n−1
∑ n
i=1 (x i − ¯x . ) 2 .
Vi kalder s 2 for det middelværdirette variansskøn, jvf.
senere.
– p. 3/??

Fordelingerne
¯X . ∼ N(µ, σ2
n )
1
n − 1
n∑
(X i − ¯X . ) 2 ∼ σ 2 χ 2 (n − 1)/(n − 1)
i=1
og disse stokastiske variable er uafhængige.
Specielt er
E 1
n − 1
V ar
n∑
(X i − ¯X . ) 2 = σ 2
i=1
1
n − 1
n∑
(X i − ¯X . ) 2 = 2σ 4 /(n − 1)
i=1
– p. 4/??

Huskeregel
1
n − 1
n∑
(x i − ¯x . ) 2 ∼∼ σ 2 χ 2 (n − 1)/(n − 1) .
i=1
Hvorfor n − 1?
n er antallet af observationer
1 svarer til at vi skal estimere een parameter (nemlig µ) i
middelværdien.
Dvs. n − 1 er antallet af observationer minus antallet af
ukendte parametre i middelværdien.
– p. 5/??

Hypotese og test
Test: H 0 : µ = µ 0 . (I Ex. 3.1 er µ 0 = 40).
Når vi kender σ 2 benyttes
som teststørrelse.
u(x) = ¯x . − µ
√ 0
σ 2
n
– p. 6/??

Hypotese og test
Test: H 0 : µ = µ 0 . (I Ex. 3.1 er µ 0 = 40).
Når vi kender σ 2 benyttes
som teststørrelse.
u(x) = ¯x . − µ
√ 0
σ 2
n
Her kender vi ikke σ 2 så i stedet benyttes det
middelværdirette variansskøn. Dvs
t(x) = ¯x . − µ
√ 0
s 2
n
– p. 6/??

Hypotese og test - fortsat
Som tidligere har vi, at numerisk store værdier er kritiske for
H 0 .
På tavlen vises: t(x) ∼∼ t(n − 1).
– p. 7/??

Hypotese og test - fortsat
Som tidligere har vi, at numerisk store værdier er kritiske for
H 0 .
På tavlen vises: t(x) ∼∼ t(n − 1).
Dermed er
p obs (x) = 2(1 − F t(n−1) (|t(x)|)) .
I Ex. 3.1 kan vi stadig acceptere H 0 .
– p. 7/??

Konfidensinterval for µ
Antag: niveauet er α. Hypotese H 0 : µ = µ 0 .
Dvs. H 0 accepteres hviss
p obs (x) = 2(1 − F t(n−1) (|t(x)|)) ≥ α
som er ækvivalent med
F t(n−1) (|t(x)|) ≤ 1 − α/2 .
– p. 8/??

Konfidensinterval for µ - fortsat
Dette er ækvivalent med
|t(x)| ≤ (F t(n−1) ) −1 (1 − α/2) = t 1−α/2 (n − 1).
– p. 9/??

Konfidensinterval for µ - fortsat
Dette er ækvivalent med
|t(x)| ≤ (F t(n−1) ) −1 (1 − α/2) = t 1−α/2 (n − 1).
Altså: H 0 accepteres hviss µ 0 tilhører intervallet med
grænser
√
¯x . ± t 1−α/2 (n − 1) s 2 /n .
– p. 9/??

(1 − α)-konfidensintervallet for µ
Er intervallet bestående af de µ 0 for hvilke hypotesen
µ = µ 0 accepteres.
– p. 10/??

(1 − α)-konfidensintervallet for µ
Er intervallet bestående af de µ 0 for hvilke hypotesen
µ = µ 0 accepteres.
Dvs. jvf. ovenfor har (1 − α)-konfidensintervallet grænser
√
¯x . ± t 1−α/2 (n − 1) s 2 /n .
Specielt har 95%-konfidensintervallet grænser givet ved
√
¯x . ± t 0.975 (n − 1) s 2 /n .
(se (3.22) side 63 i BG).
– p. 10/??

Konfidensinterval - bemærkninger
Løst skrevet består 95%-konfidensintervallet af de
værdier af den ukendte parameter som vi kan tro på på
baggrund af data.
I BG, side 62, er det vist, at sandsynligheden for at µ
tilhører 95%-konfidensintervallet er 95%.
Læs selv om konfidensinterval for µ når σ 2 er kendt.
(Side 62).
– p. 11/??

Test i variansen
Model: En normalfordelt observationsrække - ukendt
varians.
Variansskønnet i Ex. 3.1 er
s 2 = 53.31 ∼∼ σ 2 χ 2 (n − 1)/(n − 1).
H 0 : σ 2 = σ 2 0 (I Ex. 3.1 er σ2 0 = 100). – p. 12/??

Test i variansen - fortsat
Hvis H 0 er sand, vil vi forvente at s 2 /σ 2 0
er tæt på 1.
Derfor er både store og små værdier af s 2 /σ0 2
H 0 .
kritiske for
– p. 13/??

Test i variansen - fortsat
I eksemplet er s 2 /σ0 2 = 05331 og sandsynligheden for at
få en mindre observation er
F χ2 (39)/39(0.5331) = 0.00743.
Hvordan defineres de “mere kritiske store værdier”????
– p. 14/??

Test i variansen - fortsat
I eksemplet er s 2 /σ0 2 = 05331 og sandsynligheden for at
få en mindre observation er
F χ2 (39)/39(0.5331) = 0.00743.
Hvordan defineres de “mere kritiske store værdier”????
Løsning: Der ganges med 2;
Dvs. testsandsynligheden er
p obs (x) = 2 · 0.00743 = 0.0148.
Dermed forkastes H 0 i Ex. 3.1!
– p. 14/??

Test i variansen - fortsat
Se (3.12) i BG for den generelle formel for
testsandsynligheden.
Se (3.14) i BG for formlen for konfidensintervallet. (f er
antallet af frihedsgrader for variansskønnet; her
f = n − 1).
– p. 15/??

Beregningsformler:
x . kaldes ofte for S (summen);
Lad SSD = ∑ n
i=1 (x i − ¯x . ) 2
(Sum of Squares of Deviations).
Lad USS = ∑ n
i=1 x2 i
(Uncorrected Sum of Squares)
– p. 16/??

Beregningsformler:
x . kaldes ofte for S (summen);
Lad SSD = ∑ n
i=1 (x i − ¯x . ) 2
(Sum of Squares of Deviations).
Lad USS = ∑ n
i=1 x2 i
(Uncorrected Sum of Squares)
Da gælder
SSD = USS − S2
n
og dermed
s 2 = 1
n−1
(USS −
S2
n ). – p. 16/??

Intro til Std Error
t-teststørrelsen for H 0 : µ = µ 0 er
hvor ¯x . → µ.
Nævneren
t(x) = ¯x . − µ
√ 0
s 2
n
√
s 2
er den estimerede spredning på estimatet ¯x . for µ og
betegnes
Std Error eller Std Error(¯x . ).
n
– p. 17/??

Intro til Std Error - fortsat
Strukturen af t-teststørrelsen er derfor
t(x) = estimat − µ 0
Std Error
og 95%-konfidensintervallet har grænser
estimat ± t 0.025 (f) Std Error .
hvor f er frihedsgraderne for variansskønnet; her f = n − 1.
Ovenstående er nyttigt at vide, bl.a. når man skal aflæse
udskrifter fra statistiske programpakker.
– p. 18/??

F -fordelingen - side 166
Lad Z i ∼ χ 2 (f i )/f i for i = 1, 2 være uafhængige. Tænk på Z i
som et variansskøn.
Definer
F = Z 1
Z 2
Vi siger, at F er F -fordelt med f 1 frihedsgrader i tælleren og
f 2 frihedsgrader i nævneren.
Skrives F ∼ F(f 1 ,f 2 ).
– p. 19/??

F -fordelingen - fortsat
Bemærk at
t ∼ t(f) ⇒ t 2 ∼ F(1,f)
Vigtig formel i forbindelse med tabelopslag:
F F(f1 ,f 2 )(x) = 1 − F F(f2 ,f 1 )( 1 x ) . – p. 20/??