Met 3431 Statistikk Kapittel 6

1 Section 6-2: Standard normalfordelingen
2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen
3 Section 6-4: Observator fordeling
4 Section 6-5: Sentralgrenseteoremet

Oversikt Kapittel 6

Kontinuerlige tilfeldige variable
Kontinuerlige vs. diskrete variable
I forrige kapittel handlet det om diskrete tilfeldige variable.
F.eks.
Hvor mye du får når du triller en terning
Antall suksesser i en binomisk forsøksrekke - binomial
fordelingen
I kapittel 6 handler det om tilfeldige variable som er
kontinuerlige. F.eks.
Vekten til en tilfeldig valgt pasient
Lønna til en tilfeldig valgt innbygger

Normalfordelingen
Normalfordelingen
Sannsynlighetstettheten:
f (x) = 1
σ √ 2π exp(x − µ
σ )2

Men hvorfor er normalfordelingen viktig?
Normalfordelingen
Mange typer målinger fordeler seg som denne kurven
Høyden på mennesker
IQ er normalfordelt med µ = 100 og σ 2 = 10 2
Summen av tilfeldigheter er normalfordelt: sentralgrenseteorem

Tetthetskurven (eng: density curve)
Grafen til sannsynlighetstettheten
Krav:
1 Totale areal under grafen er 1
2 Kurven må ligge over x-aksen
Areal ↔ Sannsynlighet
Figur: 6-3. Uniform tetthet.

Standard normalfordelingen
Kjennetegn ved standard
normalfordeling
Klokkeformet og
symmetrisk
Gjennomsnittet: µ = 0
Standardavviket: σ = 1

Finne arealet under grafen
Arealet under standard normalfordeling
Viktig å kunne finne arealet til et område under grafen.
Slike areal tolkes som sannsynligheter
Bruk tabell A-2

Termometer- eksempel 1
Example
Du produserer termometere. Termometrene viser litt forskjellige
temperaturer pga. tilfeldig variasjon. Ved 0℃:
Gjennomnsittlig viser termometrene µ = 0℃
Standardavviket er σ =1℃
Hva er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt termometer viser
mindre enn 1.58℃ når temperaturen faktisk er 0℃?
Svar:
Tabell A-2 gir at
sannsynligheten er
0.9429

Termometer- eksempel 2
Example
Ved 0℃:
Gjennomnsittlig viser termometrene µ = 0℃
Standardavviket er σ =1℃
Hva er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt termometer viser mer
enn −1.23℃ når temperaturen faktisk er 0℃?
Svar:
89.07 % av
termometrene viser mer
enn −1.23℃ ved 0℃

Termometer- eksempel 3
Example
Et termometer velges tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at det
viser mellom −2.00℃ og 1.50℃?
Svar:
Sannsynligheten er
0.9104

Figure 6-10
th
Finne z-verdien
Finne z-verdi som passer til en sannsynlighet
Vi snur problemet på hodet: Hvilken z-verdi gjør at
arealet/sannsynligheten til høyre er 0.05?
Finding z Scores
When Given Probabilities
5% or 0.05
Svar:
z = 1.645
(z verdien blir positiv)

Finne z-verdien
Finne z-verdi som passer til en sannsynlighet
Hvilke z-verdier gjør at 95% av arealet ligger mellom dem?
Svar:
z = ±1.96

Samme varians σ 2 = 1
1
0,56
0,48
N(-1,1)
0,4
N(0,1)
N(2,1)
0,32
0,24
1 x ∼ N(0, 1)
2 x ∼ N(2, 1)
3 x ∼ N(−1, 1)
0,16
0,08
-5 -2,5 0 2,5 5
-0,08

-0,1
1
Samme µ, men forskjellig varians σ 2
0,8
0,7
N(0,0.25)
0,6
N(0,1)
0,5
0,4
0,3
1 x ∼ N(0, 1)
2 x ∼ N(0, 4)
3 x ∼ N(0, 0.25)
N(0,4)
0,2
0,1
-5 -2,5 0 2,5 5

Mange typer normalfordelinger
Normalfordelinger
Standard normalfordelingen er bare ett eksempel på
normalfordeling, N(0, 1)
For hver µ-verdi og σ-verdi så finnes det en egen
normalfordeling, N(µ, σ)
Omregne til z
Hovedpoenget er at vi kan standardiser enhver normalfordelt verdi
til en standard normalfordelt z-verdi, og så bruke tabell A-2:
z = x − µ
σ

Omregne til standard normalfordeling
Converting to a Standard
Normal Distribution
z =
x – µ
!
Figur: OmregneFigure en x-verdi 6-12til en z-verdi
Copyright © 2007 Pearson Education, Inc Publishing as Pearson Addison-Wesley.
Slide

Å regne ut z-verdien
Enhver normalfordelt variabel kan standariseres
Anta at x er normalfordelt med µ = 45 og σ = 3
En x-verdien lik 39 vil ha standardisert z-verdi
z =
39 − 45
3
= −2
Alle normalfordelte variabler x kan standardiseres til z
Dermed trenger vi bare sannsynlighetstabeller for z! (tabell
A-2)

Vekteksempel 1
Example
Anta at vekten på menn er normalfordelt
Gjennomsnitt µ = 172 pounds
Standardavvik på σ = 29 pounds.
Example - cont
Sannsynligheten for at tilfeldig mann veier mindre enn 174 pounds?
µ = 172
! = 29
z =
174 – 172
29
= 0.07
Sannsynlighet:

Vekteksempel 2
Example
Gjennomsnitt µ = 172 pounds
Standardavvik på σ = 29 pounds.
Hvilken vekt skiller de 0.5% tyngste fra de 99.5% letteste?
Svar
x = 172+2.575·29
x = 246.675

Rekrutter 1
Example
Høyden på1
rekruttene er normalfordelt med µ = 179.5 og σ = 6.4.
Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig rekrutt er høyere enn 195
cm?
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
-3 -2 -1 0 1 2 3
1 Regn ut z-verdien til 1.95:
z = 195−179.5
6.4
= 2.42
2 Hva er sannsynligheten for at
z er større enn 2.42?
3 P(z > 2.42) = 1 − P(z < 2.42) =
0.0078 (Se Tabell A2)
4 Det er bare 0.78% sannsynlighet
for at en rekrutt er over 195 cm
-0,05

Rekrutter 2
Example
Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig rekrutt er høyere enn 175
cm?
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
1 z-verdien til 175:
z = 175−179.5
6.4
= −0.70
2 P(z > −0.70) =
1 − P(z < −0.70) =
1 − 0.242 = 0.758
3 75.8% sannsynlighet for at en
rekrutt er høyere enn 175cm
-2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4
-0,05

IQ
1
Example
IQ er normalfordelt med µ = 100 og σ = 10. Hva er
sannsynligheten for at en person har IQ over 115? Under 95?
-3 -2 -1 0 1 2 3
1 z-verdien til 115: z = 115−100
10
= 1.5
2 Tabell a2: P(z > 1.5) = 1 − P(z <
1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668
3 Sannsynligheten for at en person har IQ
over 115 er 6.7%
4 z-verdien til 95: z = 95−100
10
= −0.5
5 P(z < −0.5)i tabell A2
6 P(z < −0.5) = 0.3085
7 Det er 30.9% sannsynlighet for at en
person har IQ under 95

Fordelingen til en observator
Observatorfordeling (eng: sampling distribution)
I seksjon 6-4 handler det om å forstå at en observator er en tilfeldig
variabel. Den har derfor en sannsynlighetsfordeling. Denne kalles
observatorfordelingen .
Estimator
Ofte er en observator ment å skulle estimere en
populasjonsparameter. Da kalles observatoren for en estimator.
Example
Tenk deg at du tar mange stikkprøver, hver på størrelse n.
x er en estimator for µ
Denne estimatoren variererer fra stikkprøve til stikkprøve (eng:
sampling variability)

Forventningsrette estimatorer
Alle stikkprøver av
størrelse n = 2
Noen estimatorer er
forventningsrette
x
s 2
ˆp
Noen er ikke:
Median
Variasjonsbredde
s

Seksjon 6-5
Prosedyrene i denne seksjone er grunnlaget for å estimere
populasjonsparameter og for hypotesetesting.
Notasjon
µ x er gjennomsnittet til x
σ x er standardavviket til x
Sentralgrenseteoremet
Anta at vi har en stor stikkprøve av x-er fra en populasjon med
gjennomsnitt µ og standardavvik σ
Da vil gjennomsnittet x være normalfordelt med
µ x = µ, σ x = σ √ n

Sentralgrenseteoremet
Vi antar at:
1 Den tilfeldige variabelen x har gjennomsnitt µ og
standardavvik σ.
2 Man tar mange tilfeldige utvalg av størrelse n fra populasjonen
Da følger det at:
Sentralgrenseteoremet
1 Fordelingen til x blir mer og mer lik en normalfordeling når n
er vokser
2 Gjennomsnittet til x er µ
3 Standardavviket til x er σ/ √ n

Sentralgrenseteorem demo i JMP
JMP Demo
1 Åpne fila C:\Program Files \SAS \JMP \8 \Support Files
English \Sample Data
2 Velg Rows>Add rows og legg til 200 rader
Variabelen N = 50 inneholder en formel for gjennomsnittet av
n = 50 tilfeldige variable. Når vi adderer 200 rader, så simulerer vi
200 stikkprøver på størrelse n = 50.

Praktiske regler + Notasjon
Når kan vi stole på sentralgrenseteoremet?
1 Når stikkprøven er større enn n = 30
2 Hvis x’ene selv er normalfordelte, så gjelder
sentralgrenseteoremet for alle stikkprøvestørrelser.

Vekt igjen
Example
Anta at vekten på menn er normalfordelt
Finn:
Gjennomsnitt µ = 172 pounds
Standardavvik på σ = 29 pounds.
1 Sannsynligheten for at tilfeldig mann veier mer enn 175
pounds?
2 20 menn er tilfeldig utvalgt. Hva er sannsynligheten for at
deres gjennomsnittsvekt er mer enn 175 pounds?

a) if one man is randomly selected, find t
probability that his weight is greater th
175 lb.
Vekt igjen, spørsmål 1
z = 175 – 172 = 0.10
29
Figur: Sannsynligheten er 0.4602 for at en mann veier mer enn 175

) if 20 different men are randomly select
find the probability that their mean wei
greater than 172 lb.
Vekt igjen, spørsmål 2
z = 175 – 172 = 0.46
29
20
Figur: Sannsynligheten er 0.3228 for at 20 mann veier mer enn 175 i snitt
Copyright © 2007 Pearson Education, Inc Publishing as Pearson Addison-Wesley.

Vekt igjen, Oppsummering
Sannsynligheten for at 1 mann veier mer enn 175 er
P(x > 175) = 0.4602
Sannsynligheten for at 20 mann i snitt veier mer enn 175 er
P(x > 175) = 0.3228
Det er lettere for en enkelt mann å veie mer enn 175 enn det
er for 20 menn å veier mer enn 175 i snitt!

95%
Kritiske verdier
til 2.5%
95% ↔ 1.96
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.96 1.96

To viktige kritiske verdier
1
1
95% ↔ 1.96
90% ↔ 1.645
95%
90%
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.96 1.96
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1.645 1.645

Eksamen Met8006 20.12.05