Funktion af flere variable

Punktet a kaldes et globalt maksimumspunkt for f , hvis f (x) f (a) foralle x. Mindsteværdien for f er værdien af f i et globalt minimumspunkt. Størsteværdien for f er værdien af f i et globalt maksimumspunkt.1.5 Ekstremum for funktion af én variabel: Sætninger IEkstremum for funktion af én variabel: Sætninger I En kontinuert funktion antager på et lukket og begrænset interval enstørste- og en mindsteværdi. Hvis f er differentiabel i det indre punkt c og hvis f har lokalt ekstremumi c, så gælder, at f 0 (c) = 0. Definition: Hvis f 0 (c) = 0 vil c blive kaldt et stationært punkt for f . Sætning 2 side 218: Ekstremumspunkterne for f på intervallet I = [a, b]findes blandt1. Stationære punkter for f . (Critical points)2. Punkter hvor f ikke er differentiabel. (Singular points)3. Endepunkterne for intervallet I.1.6 Ekstremum for funktion af én variabel: Sætninger IIEkstremum for funktion af én variabel: Sætninger II Sætning 6 side 226. Lad x 0 være et stationært punkt for f . Antag, atf 00 (x 0 ) eksisterer. Så gælder:1. Hvis f 00 (x 0 ) < 0 så er x 0 et egentligt lokalt maksimumspunkt for f .2. Hvis f 00 (x 0 ) > 0 så er x 0 et egentligt lokalt minimumspunkt for f . Bevis:f 00 f(x 0 ) = 0 (x 0 + h) f 0 (x 0 ) flim= 0 (x 0 + h)limh!0 hh!0 h Så f 00 (x 0 ) < 0 betyder, at for jhj lille nok gælderf 0 (x 0 + h)h< 1 2 f 00 (x 0 ) < 0 For h > 0 betyder dette, at f 0 (x 0 + h) < 0 og for h < 0 betyder det, at f 0 (x 0 + h) > 0. Men så må x 0 være et maksimumspunkt.3