Vektorer och kinematik - Fysik

Vektorer och kinematik 1 – 4enhetsvektorer längs x- ochy-axeln respektive.Varje vektor kan i allmänhet skrivas somA = A x î + A y ĵ + A zˆkdär ˆk är enhetsvektorn längs z-axeln ˆk =(0, 0, 1). Nu är î · ĵ =cos(π/2) = 0, î · ˆk =0etc, dvs vi får av detta skalärprodukten avtvå vektorerA·B=(A x î+A y ĵ+A zˆk)·(Bx î++B y ĵ+B zˆk)=Ax B x +A y B y +A z B zMed hjälp av basvektorer kan vi ocksåberäkna vektorprodukten. Vi harî × ĵĵ × ˆkˆk × îoch î × î = 0 etc, dvs= ˆk= î= ĵA × B =(A x î+A y ĵ+A zˆk)×(Bx î++B y ĵ+B zˆk)=(Ay B z −A z B y )î++(A z B x −A x B z )ĵ+(A x B y −A y B x )ˆkDetta kan även skrivas som en determinant∣ î ĵ ˆk ∣∣∣∣∣∣A × B =A x A y A z∣ B x B y B zNågraandraräkneregler för vektorer vilkaman enkelt kan härleda ärA · (B + C) = A· B + A· CA×(B +C) = A× B +A×C(A× B)· C = A·(B ×C)=(C×A)·B1.5 LägevektorAnledningen till att vi inför vektorer är attdessa är medlen för att beskriva rörelselagar.Med hjälp av vektorer kan vi beskrivaläget och rörelsen för en partikel i det tredimensionellarummet.För att beskriva läget av en punkt i rummetinför vi ett koordinatsystem. Läget av puktenP ges av de tre koordinaterna (x, y, z). Enförflyttning från en punkt P 1 till en punkt P 2ges av vektornd = (x 2 ,y 2 ,z 2 )−(x 1 ,y 1 ,z 1 )== (x 2 −x 1 ,y 2 −y 1 ,z 2 −z 1 )vi ser att d bara beror på skillnaden i slut ochbegynnelselägena.Det är möjligt att beskriva läget avpunkten P med hjälp av en vektor frånorigo till P enligt figuren nedan, dvsxz6P (x(t),y(t),z(t)) 3 r(t)-yr =(x, y, z)=xî+yĵ+zˆkdär r är lägevektorn för punkten. Observeraatt r beror på valet av koordinatsystem. Förtvå olika koordinatsystem har vi sambandetr ′ = r − Rdär r ′ = (x ′ ,y ′ ,z ′ ), och R är vektorn frånorigo för det oprimade till origo för det primadesystemet. En förflyttning d påverkasinte av valet av koordinatsystem tyd = r 2 − r 1 =(r ′ 2+R)−(r ′ 1+R)=r ′ 2−r ′ 11.6 Hastighet och acceleration(Kinematik)För att beskriva rörelsen av en partikel införvi ett koordinatsystem och en lägevektor rfrån origo till partikeln enligt ovan, därr(t) =x(t)î+y(t)ĵ+z(t)ˆk1.6.1 Rörelse i en dimensionLåt oss först betrakta rörelse i en dimensiondvsr(t) =x(t)î