tillegg - Universitetet i Tromsø

Compute >> Matrices >> Eigenvectors.Programmet gir da ut⎧− ⎡ 1⎤⎫ ⎧⎡2⎤⎫⎪eigenvectors:⎢1⎥⎪ ⎪1,⎢ ⎪1⎥⎨ − ⎬↔ ⎨ ⎬↔ 2.⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪⎢ 1 ⎥⎪ ⎪⎢0⎥⎪⎩⎣ ⎦⎭ ⎩⎣ ⎦⎭Forelesningsnotater i matematikk.Multiple egenverdier. Side 4Dette viser at den doble egenverdien λ1 = λ2 = 2 kun har en egenvektor.Dette må vi undersøke nærmere. Jeg nøyer meg nå med å beregne egenvektoren tilknyttetλ = λ = for hand (den andre egenvektoren kan du finne selv):1 22( 1− 2)x1+ 2x2 + 2x3 = 0 − x1+ 2x2 + 2x3= 00x ( )2+ 2− 2 x2 + 1x3 = 0 ⇔ 0x2 + 0x2 + x3= 0− 1x + 2x + ( 2− 2)x = 0 − x + 2x + 0x= 01 2 3 1 2 3Nå gir den midterste likningen at x3= 0 . Når dette settes inn i den øverste likningen, ser vi atøverste og nederste likning blir like:− x1+ 2x2 = 0 ⇔ x1= 2x 2.Nå kan vi velge x2fritt, og velger x2 = t2. Da blir egenvektoren⎡2⎤v2= t⎢21⎥. ⎢ ⎥⎢⎣0⎥⎦Og flere egenvektorer er det ikke tilknyttet egenverdien λ1 = λ2 = 2 .Nå fins det situasjoner der vi er ”nødt” til å ha n lineært uavhengige egenvektorer til en n× n-matrise. Det er utarbeidet prosedyrer for hvordan vi kan finne ekstra vektorer som kan fungeresom ”generaliserte egenvektorer” dersom vi kommer ut for den situasjonen som i eksempel 2ovenfor. Vi skal ikke gå inn på disse prosedyrene her.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2008.