tillegg - Universitetet i Tromsø

Forelesningsnotater i matematikk.Multiple egenverdier. Side 1Multiple egenverdier.I dette notatet skal vi se på et par eksempler der vi får sammenfallende egenverdier i 3×3-matriser.Eksempel 1: Finn egenverdier og egenvektorer til matrisen⎡ 3 −3 2 ⎤A =⎢1 5 2⎥⎢− −⎥⎢⎣−1 3 0 ⎥⎦Løsning: Vi starter med å finne egenverdiene. Her ”fusker” jeg, og benytter dataverktøy. Jegfår da at matrisen har to egenverdier, λ1= 2 og λ2= 4 .Vi får mer informasjon dersom vi bruker Scientific Notebook. Etter å ha tastet inn matrisen,bruker jeg kommandoenCompute >> Matrices >> Characteristic Polynomog deretterFår da:Compute >> Factor.characteristic polynomial: X³ - 8X² +20X -16 = (X - 4)(X - 2)².Vi ser at når det karakteristiske polynomet settes lik null, får vi to sammenfallende egenverdierλ1 = λ2 = 2 og en tredje egenverdi λ3= 4.Mens vi er i gang med Scientific Notebook, finner vi også egenvektorene:Compute >> Matrices >> Eigenvectors.Programmet gir da ut⎧− ⎡ 2⎤ ⎡3⎤⎫ ⎧− ⎡ 1⎤⎫⎪eigenvectors:⎢0⎥,⎢1⎥⎪ ⎪2,⎢ ⎪1⎥⎨ 4.⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎬↔⎨⎢ ⎥⎬↔⎪⎢ 1 ⎥ ⎢0⎥⎪ ⎪⎢ 1 ⎥⎪⎩⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎭ ⎩⎣ ⎦⎭Dette viser at den doble egenverdien λ1 = λ2 = 2 har to egenvektorer, mens egenverdienλ3= 4 her en egenvektor. Disse egenvektorene er lineært uavhengige (fordi determinanten tilden matrisen som har egenvektorene som kolonnevektorer har verdi forskjellig fra null).Matrisen har altså tre lineært uavhengige egenvektorer.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2008.

Forelesningsnotater i matematikk.Multiple egenverdier. Side 2La oss se hvordan vi kan finne dette for hand. Vi starter pent og forsiktig med egenvektorentilknyttet λ3= 4:( 3−4)x1− 3x2 + 2x3 = 0 −x1− 3x2 + 2x3= 0− 1x ( )1+ 5−4 x2 − 2x3 = 0 ⇔ − x1+ x2 − 2x3= 0− 1x + 3x + ( 0− 4)x = 0 − x + 3x − 4x= 01 2 3 1 2 3Nå er alt klart til en Gauss-eliminasjon. Vi multipliserer øverste likning med -1 og legger tilde to neste:−x − 3x + 2x = 0 −x − 3x + 2x= 01 2 3 1 2 30x + 4x − 4x = 0 ⇔ 0x + x − x = 01 2 3 1 2 30x + 6x − 6x = 0 0x + 0x + 0x= 01 2 3 1 2 3Av den nederste likningen ser vi at vi kan velge en av de ukjente fritt. Vi velger x3 = t3, og fårda av den midterste likningen atx2 = x3 = t3.Dette setter vi inn i den øverste likningen:x1 =− 3x2 + 2x3 =− 3t3 + 2t3=−t3.Dermed har jeg funnet egenvektoren tilknyttet λ3= 4:⎡−1⎤v3= t⎢31⎥. ⎢ ⎥⎢⎣1 ⎥⎦Det blir mer spennende når vi skal finne egenvektoren(e) tilknyttet λ1 = λ2 = 2 :( 3−2)x1− 3x2 + 2x3 = 0 x1− 3x2 + 2x3= 0− 1x ( )1+ 5−2 x2 − 2x3 = 0 ⇔ − x1+ 3x2− 2x3 = 0− 1x + 3x + ( 0− 2)x = 0 − x + 3x − 2x= 01 2 3 1 2 3Gauss-eliminasjon rensker nå godt opp. Vi får:x − 3x + 2x= 01 2 30x + 0x + 0x= 01 2 30x + 0x + 0x= 01 2 3De to nederste likningene viser vi at vi kan velge to av de ukjente fritt. Vi kan for eksempelvelge x2= 0 og x3 = t1. Da får vi av den øverste likningen:Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2008.

Forelesningsnotater i matematikk.Multiple egenverdier. Side 3x1 = 3x2 − 2x3 = 0− 2t1=−2t 1.Dermed har jeg funnet en egenvektor tilknyttet λ1= 2 :⎡−2⎤v1= t⎢10⎥. ⎢ ⎥⎢⎣1 ⎥⎦Men vi kunne også valgt x2 = t2og x3= 0 . Da får vi av den øverste likningen:x1 = 3x2 − 2x3 = 3t2− 0= 3t 2.Dermed har jeg funnet en annen egenvektor tilknyttet λ2= 2 :⎡3⎤v2= t⎢21⎥. ⎢ ⎥⎢⎣0⎥⎦Begge disse egenvektorene stemmer med resultatene fra Scientific Notebook.Eksempel 2: Finn egenverdier og egenvektorer til matrisen⎡ 1 2 2⎤A =⎢0 2 1⎥⎢ ⎥⎢⎣−1 2 2⎥⎦Også her bruker jeg dataverktøy til å finne egenverdiene. Jeg får da to egenverdier, λ1= 2 ogλ2= 1. Som før bruker jeg nå Scientific Notebook til å skaffe meg mer informasjon:Compute >> Matrices >> Characteristic Polynomog deretterFår da:Compute >> Factor.characteristic polynomial: X³-5X²+8X-4= (X-1)(X-2)²Dette viser at matrisen har to sammenfallende egenverdier λ1 = λ2 = 2 og en tredje egenverdiλ3= 1. Så finner vi egenvektorene:Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2008.

Compute >> Matrices >> Eigenvectors.Programmet gir da ut⎧− ⎡ 1⎤⎫ ⎧⎡2⎤⎫⎪eigenvectors:⎢1⎥⎪ ⎪1,⎢ ⎪1⎥⎨ − ⎬↔ ⎨ ⎬↔ 2.⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪⎢ 1 ⎥⎪ ⎪⎢0⎥⎪⎩⎣ ⎦⎭ ⎩⎣ ⎦⎭Forelesningsnotater i matematikk.Multiple egenverdier. Side 4Dette viser at den doble egenverdien λ1 = λ2 = 2 kun har en egenvektor.Dette må vi undersøke nærmere. Jeg nøyer meg nå med å beregne egenvektoren tilknyttetλ = λ = for hand (den andre egenvektoren kan du finne selv):1 22( 1− 2)x1+ 2x2 + 2x3 = 0 − x1+ 2x2 + 2x3= 00x ( )2+ 2− 2 x2 + 1x3 = 0 ⇔ 0x2 + 0x2 + x3= 0− 1x + 2x + ( 2− 2)x = 0 − x + 2x + 0x= 01 2 3 1 2 3Nå gir den midterste likningen at x3= 0 . Når dette settes inn i den øverste likningen, ser vi atøverste og nederste likning blir like:− x1+ 2x2 = 0 ⇔ x1= 2x 2.Nå kan vi velge x2fritt, og velger x2 = t2. Da blir egenvektoren⎡2⎤v2= t⎢21⎥. ⎢ ⎥⎢⎣0⎥⎦Og flere egenvektorer er det ikke tilknyttet egenverdien λ1 = λ2 = 2 .Nå fins det situasjoner der vi er ”nødt” til å ha n lineært uavhengige egenvektorer til en n× n-matrise. Det er utarbeidet prosedyrer for hvordan vi kan finne ekstra vektorer som kan fungeresom ”generaliserte egenvektorer” dersom vi kommer ut for den situasjonen som i eksempel 2ovenfor. Vi skal ikke gå inn på disse prosedyrene her.Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2008.