บทที่2

บทที่ 2ระบบเชิงเสนที่ไมเเปรเปลี่ยนตามเวลาที่ตอเนื่องทางเวลาระบบเชิงเสนที่ไมแปรเปลี่ยนตามเวลา (LTI : linear time-invariant) หรือระบบ LTI คือระบบที่มีคุณสมบัติทั้งเชิงเสนและไมแปรเปลี่ยนตามเวลา ในทางปฏิบัติระบบ LTI นิยมนํามาใชในการตั้งสมมุติฐานของปรากฏการณตางๆ เพื่อศึกษาความสัมพันธระหวางสัญญาณอินพุตและสัญญาณเอาตพุตของระบบ ดังนั้นความเขาใจในระบบ LTI จึงชวยทําใหสามารถวิเคราะหสัญญาณและระบบงายขึ้น ทั้งนี้เปนเพราะวาระบบ LTIมีคุณสมบัติที่สําคัญคือ สัญญาณเอาตพุตมีคาเทากับผลลัพธที่ไดจากการทําคอนโวลูชัน (convolution) ระหวางสัญญาณอินพุตและผลตอบสนองอิมพัลส (impulse response) ของระบบ ดังนั้นถาทราบผลตอบสนองอิมพัลสของระบบ LTI ก็ทําใหสามารถคํานวณหาสัญญาณเอาตพุตของระบบเมื่อสัญญาณอินพุตเปนสัญญาณใดๆไดโดยงายในบทนี้จะพิจารณาเฉพาะระบบ LTI ที่ตอเนื่องทางเวลา (continuous-time LTI system) ซึ่งหมายถึงระบบ LTI ที่มีสัญญาณอินพุต, ผลตอบสนองอิมพัลส, และสัญญาณเอาตพุต เปนสัญญาณที่ตอเนื่องทางเวลาโดยจะเนนในเรื่องการอธิบายพื้นฐานทางคณิตศาสตรตางๆ ที่จําเปนสําหรับการวิเคราะหระบบ LTIที่ตอเนื่องทางเวลา เชน คุณสมบัติของระบบ LTI, ผลตอบสนองอิมพัลส, คอนโวลูชัน, และสหสัมพันธเปนตน รวมทั้งอธิบายการแสดงความสัมพันธระหวางสัญญาณอินพุตและสัญญาณเอาตพุตในรูปของสมการเชิงอนุพันธดวย สําหรับพื้นฐานทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับระบบ LTI ที่ไมตอเนื่องทางเวลา (discrete-timeLTI system) จะอธิบายในบทที่ 3 สวนผูสนใจที่ตองการศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมของเนื้อหาในบทนี้สามารถคนควาไดจาก [1, 3 – 5]

2-3เมื่อ ˆx () t คือคาประมาณของสัญญาณ x( t ) สมการ (2.2) แสดงใหเห็นวาเมื่อ Δ มีคาเขาใกลคาศูนยมากเทาใด ก็จะทําให ˆx () t มีคาใกลเคียงกับ x( t ) มากขึ้นเทานั้น เพราะฉะนั้นจึงสรุปไดวา∞⎧xt xk t kΔ→0⎩k=−∞() = lim ⎨ ∑ ( Δ) δΔ( − Δ)Δ⎬(2.3)จากทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส [4] ปริพันธคาจริง (real integral) ของฟงกชันจริงสามารถนิยามในรูปลิมิตของผลรวมbb / ε⎫⎭∫ g() t dt = lim ∑ g( kε ) ε(2.4)aε → 0k = a/εโดยที่ ε คือสวนที่นอยมากๆ ของตัวแปร t ดังนั้นจากสมการ (2.3) เมื่อ Δ → 0 สัญญาณ δ Δ () t จะเปลี่ยนเปนสัญญาณอิมพัลสหนึ่งหนวย δ () t และเครื่องหมายผลรวมก็จะเปลี่ยนเปนเครื่องหมายปริพันธซึ่งหมายความวาสัญญาณ x()t สามารถแสดงใหอยูในรูปของฟงกชันอิมพัลสหนึ่งหนวยไดคือ2.2 ปริพันธคอนโวลูชัน∞() = ∫ ( τ ) δ ( −τ)τ(2.5)x t x t d−∞กําหนดให ht () คือผลตอบสนองอิมพัลสหนึ่งหนวย (unit impulse response) หรือที่เรียกวา “ผลตอบสนองอิมพัลส” ของระบบ LTI ที่ตอเนื่องทางเวลา (หรือเขียนเปนสัญลักษณคือ T) ซึ่งก็คือสัญญาณเอาตพุตของระบบเมื่อสัญญาณอินพุตเปนสัญญาณอิมพัลสหนึ่งหนวย δ ( t)นั่นคือ( ) T ⎡δ( t)⎤(2.6)ht= ⎣ ⎦ดังนั้นในกรณีที่สัญญาณอินพุตคือ x()t จะไดวาสัญญาณเอาตพุตหรือผลตอบสนองของระบบมีคาเทากับ( ) T ⎡x( t)⎤(2.7)y tแทนคา x()t จากสมการ (2.5) ลงในสมการ (2.7) จะไดy t∞⎡x t d⎣−∞เนื่องจากระบบนี้เปนระบบ LTI ดังนั้น= ⎣ ⎦⎤() = T ⎢∫( τ ) δ ( −τ)τ⎥= ∫ x( τ ) T ⎡⎣δ ( t−τ)⎤⎦dτ(2.8)⎦∞−∞

2-4สัญญาณและระบบ( − τ ) = T ⎡δ ( t−τ)⎤(2.9)htแทนคาสมการ (2.9) ลงในสมการ (2.8) จะได∞⎣⎦() = ∫ ( τ ) ( −τ)τ(2.10)y t x h t d−∞ซึ่งเปนการหาคาปริพันธของฟงกชัน x( τ ) h( t− τ ) สําหรับทุกคา τ โดยอาจพิจารณาวา ht ( − τ ) คือสัญญาณh( τ ) ที่ทําการพับสัญญาณแลวถูกหนวงเวลาเปนจํานวน t หนวย สมการ (2.10) จะเรียกกันทั่วไปวา“ปริพันธคอนโวลูชัน (convolution integral)” ซึ่งสามารถเขียนเปนสมการคณิตศาสตรไดคือ() = () ∗ () = ∫ ( τ ) ( −τ)τ(2.11)y t x t h t x h t dเมื่อ “∗ ” คือตัวดําเนินการคอนโวลูชัน (convolution operator) จากสมการ (2.11) เห็นไดวาระบบ LTI สามารถถูกกําหนดไดอยางสมบูรณดวยผลตอบสนองอิมพัลส ht ( ) ของระบบ กลาวคือถาทราบวา ht () คืออะไรก็สามารถหาสัญญาณเอาตพุตของระบบเมื่อสัญญาณอินพุตเปนสัญญาณใดๆ ไดโดยงายตัวอยางที่ 2.1 จงหาสัญญาณเอาตพุต y () t ของระบบ LTI เมื่อสัญญาณอินพุต x()t และผลตอบสนองอิมพัลส ht () ของระบบคือ⎧3, − 1 < t < 10, else∞−∞() = ⎨ และ ht ()⎩xt⎧2, 0 < t < 4= ⎨⎩ 0, elseวิธีทํา สัญญาณเอาตพุต y () t หาไดจากสมการ (2.11) โดยเมื่อพิจารณาสัญญาณ x( τ ) และ ht ( − τ ) ตามภาพที่ 2.2 จะพบวาการทําคอนโวลูชันสามารถแบงออกไดเปน 5 ชวงเวลาโดยมีรายละเอียดการคํานวณดังนี้ชวงเวลาที่ t

2-5x( τ )3ht ( )2-101τ0 4tt − 4t20( −τ)htt < −1τ2-4 0h( −τ)τt − 4t− 1< t < 1τt − 4t1< t < 3τt − 4t3< t < 5τt − 4tt > 5τภาพที่ 2.2 การกําหนดชวงของการทําคอนโวลูชันในตัวอยางที่ 2.1∞11() ( τ) ( τ) τ ( )( ) τ τ ( )∫ ∫y t = x h t− d = 3 2 d = 6 = 6 1+ 1 = 12τ−∞−1ชวงเวลาที่ 3< t < 5 เปนชวงเวลาที่สัญญาณ ht ( − τ ) เริ่มเคลื่อนที่ออกจากการทับซอนกับสัญญาณ x( τ )ทั้งหมด จนถึงชวงเวลาที่สัญญาณ ht ( − τ ) ทับซอนกับ x( τ ) ตัวสุดทาย ดังนั้น∞5=−1( ) ( )5() ( τ) ( τ) τ ( )( ) τ τ( )∫ ∫y t = x h t− d = 3 2 d = 6 = 6 5− t− 4 = 6 1−t−∞t−4τ =− t 4ชวงเวลาที่ t > 5 เปนชวงเวลาที่ไมมีสวนใดของสัญญาณ ht ( − τ ) และ x( τ ) มาทับซอนกัน ดังนั้น∞() = ( τ) ( − τ) τ = 0∫y t x h t d−∞

2-6สัญญาณและระบบττx( τ ) h( −1− τ ) x( τ ) h( 0 − τ ) x( τ ) h( 2 − τ ) x( τ ) h( 4 − τ ) x( τ ) h( 5 −τ)ττy( t)ภาพที่ 2.3 ตัวอยางการทําคอนโวลูชันระหวาง x( τ ) และ h( t−τ )เพราะฉะนั้นสัญญาณเอาตพุตของระบบ LTI มีคาเทากับ()y t⎧0, t 5ภาพที่ 2.3 แสดงรายละเอียดการทําคอนโวลูชันระหวาง x( τ ) และ ht ( − τ ) เมื่อ 1,0, 2, 4,SCILAB: (ภาพที่ 2.3)-->function [y] = Xt(t) //ฟงกชันยอยสําหรับสัญญาณ x( t )--> y = zeros(1,length(t));--> index = find((t>-1)&(t y(index) = 3;-->endfunction-->function [y] = Ht(t) //ฟงกชันยอยสําหรับสัญญาณ h( t )--> y = zeros(1,length(t));--> index = find((t>0)&(t y(index) = 2;-->endfunction-->Step = 0.01; Range_Tau = -2:Step:5; Range_t = -3:Step:6;tt = − และ 5

2-7-->for i = 1:length(Range_t)--> t = Range_t(i);--> Yt(i) = sum(Xt(Range_Tau).*Ht(t - Range_Tau))*Step; //ปริพันธคอนโวลูชัน-->end-->plot(Range_t, Yt);ตัวอยางที่ 2.2 จงหาสัญญาณเอาตพุต y( t ) ของระบบ LTI เมื่อสัญญาณอินพุต x()t และผลตอบสนองอิมพัลส ht () ของระบบคือ−αt() = ( ) และ ht ( ) = ut ( )x t e u tสําหรับ α > 0 โดยที่ u( t ) คือสัญญาณขั้นบันไดหนึ่งหนวยวิธีทํา สัญญาณเอาตพุต y()t หาไดจากสมการ (2.11) โดยเมื่อพิจารณาสัญญาณ x( τ ) และ ht ( − τ ) ตามภาพที่ 2.4 จะพบวาการทําคอนโวลูชันสามารถแบงออกไดเปน 2 ชวงเวลา คือ เมื่อ t > 0 และ t < 0 โดยมีรายละเอียดการคํานวณดังนี้ชวงเวลาที่ t < 0 เปนชวงเวลาที่ไมมีสวนใดของสัญญาณ ht ( − τ ) ทับซอนกับสัญญาณ x( τ ) (ดูภาพที่ 2.5)ดังนั้นผลลัพธที่ไดจากการทําคอนโวลูชันในชวงเวลานี้จะมีคาเปนคาศูนย นั่นคือ∞−ατ() = ∫ ( τ) ( − τ) τ = 0 สําหรับ t < 0y t e u u t d−∞ชวงเวลาที่ t > 0 เปนชวงเวลาที่สัญญาณ ht ( − τ ) ทับซอนกับสัญญาณ x( τ ) บางสวน (ดูภาพที่ 2.5) ดังนั้นสัญญาณเอาตพุต y()t หาไดจาก∞−ατe 1y t e u u t d e d 1 e−αα−ατ −ατ −αt() = ∫ ( τ) ( − τ) τ = ∫ τ = = ( − )−∞ 0 τ = 0เพราะฉะนั้นสัญญาณเอาตพุตของระบบ LTI นี้สําหรับทุกคา t คือ1 1ty t e u tαt−α() = ( − ) ()ตัวอยางที่ 2.3 กําหนดให T คือเลขจํานวนจริง จงหาสัญญาณเอาตพุต y( t ) ของระบบ LTI เมื่อสัญญาณอินพุต x()t และผลตอบสนองอิมพัลส ht ( ) ของระบบคือ⎧t, 0< t < 2T0, else() = ⎨ และ ht ()⎩xtt⎧1, 0 < t < T= ⎨⎩ 0, else