GEOMETRIA B´ASICA - Arquivo Escolar

GEOMETRIA BÁSICA
Lucía Fernández Suárez (luciafsrc@gmail.com)
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Conteúdo
I. A axiomática da Geometria 5
1 Os axiomas de incidência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Os axiomas de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Axiomas de congruência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Medida e Axiomas de continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 O axioma das paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II. O plano euclidiano 49
1 Um modelo analítico do plano euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2 Triângulos e quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Construções geométricas com régua e compasso . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
III. Isometrias 97
1 Isometrias na geometria absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2 Isometrias do plano euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
IV. Introdução ao plano hiperbólico 121
1 Inversões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2 Modelo de Poincaré do plano hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3

Notas:
• Estes apontamentos foram preparados para uma disciplina semestral denominada “Geometria
II” dedicada à geometria euclideana, na antiga Licenciatura em Ensino da Matemática
da Universidade do Minho (plano anterior a Bolonha). Dois docentes da UM
tiveram o azar de leccionar esta disciplina sendo eu a responsável: o António Veloso da
Costa e a Ana Cristina Castro Ferreira. É graças a eles que estes apontamentos contêm
muitíssimos menos erros do que teriam sem a sua colaboração. Obrigada!
• O primeiro capítulo é um resumo das excelentes notas da Ana Maria do Vale [1] embora
seja pouco respeituoso com a fonte e com a axiomática original de Hilbert [7]. Alterei
os axiomas do grupo III, relativos à congruência de segmentos e ângulos, com o objetivo
de dedicar menos tempo às verificações preliminares e chegar rapidamente aos resultados
”geométricos” (critérios de congruência de triângulos, caracterizações da bissectriz e da
mediatriz ...). As alterações podem parecer à primeira vista pouco significativas (estão
indicadas no texto) mas são um sacrilegio do ponto de vista axiomático pois incluem
propriedades redundantes. A minha desculpa para estas alterações é o desejo de conseguir
tempo para ensinar aos alunos geometria básica pois percebi que conceitos como
medianas, ortocentro, reflexões, rotações ... lhes eram completamente alheios. Essa é
a matéria apresentada nos capítulos 2 e 3: triângulos, circunferências, isometrias ... O
capítulo 4 é uma brevíssima introdução ao plano hiperbólico.
4

I. A axiomática da Geometria
Os Elementos de Euclides são a primeira obra matemática grega de importância de que temos
conhecimento, escrita por volta do século III a.c. Compõe-se de 13 livros, sendo os quatro
primeiros e o sexto dedicados à Geometria Elementar. A obra começa com uma lista de
definições, seguida de cinco axiomas e cinco postulados a partir dos quais se deduzem logicamente
os restantes resultados. Do ponto de vista da matemática moderna, Os Elementos de
Euclides apresentam certos problemas de rigor: definições sem sentido, axiomas usados implicitamente
mas não formulados explicitamente ... No entanto, possuiam já uma estrutura
dedutiva muito aperfeiçõada e não podemos esquecer que foi escrito há mais de 2000 anos!
Actualmente existem várias axiomatizações rigorosas da chamada Geometria Euclidiana,
isto é, sistemas axiomáticos que permitem provar os resultados dos Elementos de Euclides. A
axiomática mais conhecida deve-se a Hilbert e é formada por 20 axiomas dividos em quatro
grupos (incidência, ordem, congruência e continuidade) e por mais um último axioma que é
equivalente ao famoso V Postulado de Euclides.
Neste capítulo apresentam-se os conceitos básicos da teoria axiomática da Geometria, numa
versão simplificada da axiomática de Hilbert. Nas primeiras três secções estudaremos os axiomasdeincidência,
ordem, congruênciaecontinuidadeeasconsequênciaslógicasdestesaxiomas.
Os resultados assim obtidos, sem usar o V Postulado, são chamados resultados da geometria
absoluta. Na última secção encontram-se os princípios gerais das geometrias euclidiana e
hiperbólica, isto é, as geometrias obtidas se adicionarmos, respectivamente, o V Postulado de
Euclides ou a sua negação, o denominado Axioma das Paralelas de Lobachevsky.
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1 Os axiomas de incidência
Definição . 1.1 Plano de incidência
Um plano de incidência é uma estrutura da forma G = (P, L,I) onde:
1. P é um conjunto não vazio chamado suporte de G, a cujos elementos chamamos pontos
(de G);
2. L é um conjunto, a cujos elementos chamamos rectas (de G);
3. P ∩ L = ∅ (pontos e rectas são coisas distintas);
4. I é uma relação de P para L, isto é, I ⊆ P × L, chamada relação de incidência de
pontos com rectas. Isto é, se P ∈ P e r ∈ L tais que (P,r) ∈ I dizemos que o ponto P e a
recta r incidem.
Exemplos . 1.2
1. O plano de incidência G = (P, L,I) onde:
P = {A,B,C,D} L = {a,b,c,d} I = {(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b)}
d
A
2. O plano de incidência G = (P, L,I) onde:
c
a
b
B
C
P = R 2 L = {Rectas vectoriais de R 2 }
e como relação de incidência a relação de pertença usual. Este plano de incidência chamase
o plano vectorial real.
3. O plano de incidência G = (P, L,I) onde:
P = R 2 L = {Rectas afins de R 2 }
e como relação de incidência a relação de pertença usual. Este plano de incidência chamase
o plano afim real.
4. O plano de incidência G = (P, L,I) onde:
P = {Rectas vectoriais de R 3 } L = {Planos vectoriais de R 3 }
e como relação de incidência a relação de inclusão. Este plano de incidência chama-se o
plano projectivo real.
6
D

I. Axiomas de incidência.
I-1 Para quaisquer dois pontos A e B, existe uma e uma só recta que incide com A e B.
I-2 Toda recta incide, pelo menos, com dois pontos.
I-3 Existem, pelo menos, três pontos não incidentes com a mesma recta.
Definição . 1.3 Pontos colineares, rectas paralelas
• Num plano de incidência, chamamos pontos colineares aos pontos que incidem na mesma
recta.
• Num plano de incidência, dizemos que duas rectas são paralelas quando são iguais ou
quando não existir nenhum ponto que incida com ambas duas.
Note-se que o axioma I-1 significa que dois pontos são sempre colineares e o axioma I-3 que
existem três pontos não colineares. O axioma I-1 também implica que dois pontos A e B
determinam uma única recta, assim, dados A e B designar-se-á frequentemente por < A,B >
a única recta que incide em A e em B.
Proposição 1.4 Consequências dos axiomas de incidência
Num plano de incidência que verifica o grupo I de axiomas:
1. Duas rectas distintas incidem num único ponto ou são paralelas;
2. Existem pelo menos duas rectas;
3. Para toda recta existe, pelo menos, um ponto não incidente com ela. Em particular,
dados dois pontos existe um terceiro não colinear com eles;
4. Para todo ponto existe, pelo menos, uma recta não incidente com ele;
5. Dadas duas rectas, existe uma outra recta não paralela a nenhuma das anteriores.
Exemplos . 1.5
1. A figura seguinte representa um plano de incidência com 7 pontos e 7 rectas que verifica
o grupo I de axiomas.
2. O planos afim real e o plano projectivo real verificam o grupo I de axiomas. O plano
vectorial não verificaI-1, mas verificaI-2eI-3. Finalmente, oprimeiroplano de incidência
desses exemplos verifica I-3, mas não I-1 nem I-2.
7

3. O plano de incidência cujos pontos são os pontos da esfera de R 3 de raio 1 e cujas rectas
são os círculos máximos não verifica o axioma I-1.
4. O semi-plano de Poincaré
Considere um plano de incidência cujos pontos são os pontos do semi-plano H de R 2 com
segundacoordenadaestritamentepositiva, cujasrectassãoaintersecçãocomHdasrectas
afins de equação x = a (rectas afins verticais) e a intersecção com H das circunferências
cujo centro se situa no eixo dos xx. A relação de incidência é a relação usual de pertença.
Este plano de incidência, chamado semi-plano de Poincaré, verifica o grupo I de axiomas.
5. O Disco de Poincaré
Outro plano de incidência que verifica o grupo I de axiomas é o círculo de Poincaré.
Neste plano, o conjunto P de pontos é o interior ω do disco unitário U de R 2 (disco de
centro (0,0) e raio 1); o conjunto de rectas L é formado pelos diâmetros da circunferência
unidade (sem os extremos) e a intersecção com ω das circunferências de R 2 ortogonais a
U. A relação de incidência é a relação usual de pertença.
Salienta-se que, neste plano de incidência e no anterior, fixado um ponto P e uma recta
r não incidentes, existem infinitas rectas incidentes em P paralelas à recta r.
6. A figura seguinte que representa um plano de incidência com 6 pontos, 15 rectas cada
uma delas incidente em dois pontos. Este plano de incidência também verifica o grupo I
de axiomas.
7. O plano de incidência G = (P, L,I) em que P é o interior do círculo de R 2 de centro
(0,0) e raio 1, e as rectas são as cordas abertas (sem extremos) do círculo também verifica
o grupo I de axiomas.
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Exercícios . 1.6
1. Enuncie os axiomas de incidência usando a linguagem lógica.
2. Considere-se o plano de incidência afim G = (P,L,I) onde:
P = R 2 L = { Rectas afins de R 2 }
e como relação de incidência a relação de pertença usual. (Recorde-se que uma recta afim de R 2
é um subconjunto definido por uma equação cartesiana ax+by +c = 0, com (a,b)=/ (0,0))
(a) Mostre que este plano verifica os axiomas de incidência.
(b) Qual a condição nas equações cartesianas para duas rectas serem paralelas? Determine a
equação cartesiana da recta incidente num ponto M = (m1,m2) e paralela à recta definida
por ax+by +c = 0.
3. Considere o plano de incidência G = (PL,I) onde:
• P = R 2 ;
• L é o conjunto das circunferências em R 2 de raio 1, isto é, uma “recta” deste plano é uma
circunferência C (a,b) de raio 1 centrada num ponto (a,b) ∈ R 2 ;
• a relação de incidência é definida como: um “ponto” M incide numa “recta” C (a,b) quando
o ponto for o centro da circunferência, isto é, M = (a,b).
Analise se este plano verifica cada um dos axiomas de incidência. Comente a afirmação: “neste
plano de incidência duas rectas distintas são sempre paralelas”.
4. Prove a proposição 1.4
A partir de agora chamaremos plano apenas aos planos de incidência
que verificam os axiomas I-1, I-2 e I-3.
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2 Os axiomas de ordem
Definição . 2.1 Relação “estar entre”
Seja G = (P, L,I) um plano. Chamaremos relação “estar entre” a uma relação ternária no
conjunto de pontos P, isto é, a um subconjunto O ⊂ P × P × P. Dizemos que um ponto C
está entre o ponto A e o ponto B e escrevemos A−C −B se se verificar (A,C,B) ∈ O.
II. Axiomas de ordem.
II-1 Se C está entre A e B, então A, B e C são três pontos distintos incidentes numa mesma
recta e C está entre B e A.
II-2 (II Postulado de Euclides) Dados A e C existe sempre um ponto B sobre a recta < A,C >
tal que C está entre A e B.
A
C
B
II-3 Dados três pontos quaisquer de uma recta, não há mais do que um deles entre os outros
dois.
II-4 (Axioma de Pasch) Sejam A, B e C três pontos não incidentes com uma recta e r uma recta
do plano que não incide com nenhum desses pontos. Se a recta r incide num ponto entre A e
B, então incide também num ponto entre A e C ou num ponto entre B e C.
A
Definição . 2.2 Segmento, recta suporte
B
Seja G = (P, L,I) um plano munido de uma relação “estar entre” O que verifica o grupo II de
axiomas. Sejam A e B dois pontos do plano de incidência.
• Chamamos segmento de extremos A e B e designamos por AB ao conjunto formado por
A, B e os pontos do plano que estão entre A e B. Isto é:
AB = {A,B}∪{C ∈ P : (A,C,B) ∈ O} = {A,B}∪{C ∈ P : A−C −B}
• Se A=/ B recta < A,B > diz-se recta suporte do segmento AB.
• Dizemos que uma recta e um segmento se intersectam se existir um e um só ponto do
segmento que incide na recta.
10
C

Proposição 2.3 Rectas e segmentos
Seja G = (P, L,I) um plano munido de uma relação “estar entre” O que verifica o grupo II
de axiomas. Então:
1. AB = BA, para todos os pontos A e B do plano;
2. Se A=/ B, todos os pontos do segmento AB incidem na recta suporte < A,B >;
3. Se A, B e C são pontos não colineares então AB ∩BC = {B}.
Definição . 2.4 Figuras
Seja G = (P, L,I) um plano munido de uma relação “estar entre” O que verifica o grupo II de
axiomas.
• Sejam A, B e C três pontos do plano não colineares. Chamamos triângulo e designamos
por △ABC o subconjunto de P:
△ABC = AB ∪BC ∪CA
Os pontos A B e C são chamados vértices do triângulo e os segmentos AB, BC e CA
lados do triângulo
C
A B
• Sejam A, B, C e D pontos do plano tais que no conjunto {A,B,C,D} não há três pontos
colineares. Chamamos quadrângulo ou quadrilátero não degenerado e designamos por
ABCD o subconjunto de P:
ABCD = AB ∪BC ∪CD ∪DA
Os pontos A B, C e D são chamados vértices do quadrilátero e os segmentos AB, BC,
CD e DA lados do quadrilátero.
A
A
B
D
C
Dizemos ainda que os lados AB e CD e os lados BC e DA são lados opostos no
quadrilátero e que os segmentos AC e BD são as diagonais do quadrilátero.
• Um quadrilátero não degenerado ABCD diz-se quadrilátero convexo se as diagonais
AC e BD se intersectam (figura à esquerda).
11
D
C
B

Teorema 2.5 Consequências dos axiomas de incidência e ordem
Seja G = (P, L,I) um plano munido de uma relação “estar entre” O que verifica o grupo II
de axiomas.
1. Dados dois pontos A e B distintos há um ponto C entre A e B.
2. De três pontos incidentes com uma recta tem-se obrigatoriamente que um e um só está
entre os outros dois.
3. Se uma recta incide num lado de um triângulo e não incide com nenhum vértice intersecta
um e um só dos outros lados.
4. (Lema fundamental sobre segmentos.)
Se C está entre A e B então
AC ∩CB = {C} e AB = AC ∪CB.
5. Qualquer segmento contém uma infinidade de pontos.
(Demonstração)
1. Considere um ponto P não incidente em < A,B > e defina depois R e E usando o axioma
II-2 e C usando o axioma de Pasch.
R
A
P
C
2. Suponha que A não está entre B e C, e que C não está entre A e B. Considerem-se D
não incidente na recta < A,B > e G ponto tal que D está entre B e G. Aplique o axioma
de Pasch aos triângulos adequados para definir un ponto E entre G e C e um ponto F
entre A e G. De novo, pelo axioma de Pasch, D está entre A e E e entre C e F e então
B está entre A e C.
G
B
F E
D
E
A B C
12

3. Designemos por ∆ABC o triângulo e por r a recta. Suponha-se que existem P ∈ AB,
Q ∈ BC e R ∈ CA incidentes em r.
A
P
B
R
Q
Aplicando o axioma de Pasch ao triângulo △QRC e à recta < A,B > obtemos que P
não está entre R e Q. De maneira análoga, aplicando esse axioma ao triângulo △PBQ
e à recta < A,C > obtemos que R não está entre P e Q, e aplicando-o a △APR e a
< B,C > obtemos que Q não está entre R e Q.
4. Este“lema”aparentementeinofensivoescondedefactoumasériederesultadosintermédios.
Primeiro resultado: Se C está entre A e B e M está entre A e C, então C está entre
M e B.
A
L
T
M
R
K
C
(a) Considera-se um ponto K não incidente na recta < A,B > e um ponto L tal que K
fica entre L e B.
(b) Como A não está entre C e B, mas K está entre L e B, aplicando o axioma de Pasch
ao triângulo △LBC, a recta < A,K > intersecta o segmento LC num ponto T.
(c) Note-se que, como C está entre A e B, e L não está entre K e B, aplicando o
axioma de Pasch ao triângulo △AKB e a recta < C,L >, deduzimos que esse ponto
T também está entre A e K.
(d) Como C não está entre A e M, mas T está entre A e K, aplicando o axioma de
Pasch ao triângulo △AKM, a recta < C,L > intersecta o segmento MK num ponto
R.
(e) Como R está entre K e M, mas L não está entre K e B, aplicando o axioma de
Pasch ao triângulo △MKB, obtemos que a recta < R,L > intersecta o segmento
MB.
(f) Tem-se que < R,L >=< C,L >, e assim, o ponto de interseção de < R,L > com
MB é o ponto C.
13
C
B

Segundo resultado: Se C está entre A e B e M está entre A e C, então M está entre
A e B.
A
M
L
K
C
Q
(a) Consideramos um ponto K não incidente na recta < A,C > e um ponto L tal que
K está entre L e C.
(b) Como M não está entre C e B (pelo resultado anterior sabe-se que C ∈ BM),
mas K está entre L e C, aplicando o axioma de Pasch ao triângulo △CLB, a recta
< M,K > intersecta o segmento LB num ponto Q.
(c) Por outro lado, como M está entre A e C, e K está entre L e C, aplicando a alínea
3 ao triângulo △ALC, tem-se que a recta < M,K > não intersecta o segmento AL.
(d) Se a recta < M,K > não intersecta o segmento AL, mas intersecta o segmento LB,
pelo axioma de Pasch aplicado ao triângulo △ALB, tem-se que < M,K > intersecta
o segmento AB. O ponto de intersecção é M e assim M ∈ AB.
Note-se que, por simetria, tem-se também que, se C está entre A e B, e M está entre C
e B, então M não está entre A e C, e assim
AC ∩CB = {C}
E também, por simetria, se C está entre A e B e M está entre C e B tem-se que M está
entre A e B e assim
AC ∪CB ⊂ AB
Terceiro resultado: Sejam M e C entre A e B. Se M está entre C e B tem-se que
B
M ∈ CB ⊂ AC ∪CB
Podemos então supor que M não está entre entre C e B e usar uma construção análoga
à anterior para verificar que M encontra-se então, obrigatoriamente, entre A e C, pelo
que
M ∈ AC ⊂ AC ∪CB
donde
AB ⊂ AC ∪CB.
5. Prova-se por redução ao absurdo supondo que existe um número finito de pontos incidentes
no segmento.
14

Exemplo . 2.6 Relação “estar entre” no plano afim real
No plano afim real (cf 1.2), a seguinte relação “estar entre” verifica o grupo II de axiomas:
“dados A, B e C, dizemos que C está entre A e B se −→
AC = λ −→
AB com λ ∈]0,1[”
Se A e B são dois pontos de R 2 , o segmento AB é o conjunto:
AB = {A+λ −→
AB : λ ∈ [0,1]} = {(1−λ)A+λB : λ ∈ [0,1]}
A partir de agora, chamaremos plano apenas aos planos de incidência
que verificam os grupos de axiomas I e II.
Definição . 2.7 Incidir na mesma semi-recta, incidir no mesmo semi-plano
1. Seja r uma recta incidente num ponto O. Dizemos que dois pontos P e R incidentes em
r e distintos de O incidem na mesma semi-recta de r com origem O se P = R ou se
O∈/ PR.
P ′
O
P
R
O∈/ PR
O ∈ PP ′
2. Seja r uma recta do plano de incidência. Dados R e P pontos do plano não incidentes
em r, dizemos que R e P incidem no mesmo semi-plano definido por r se P = R ou se r
não intersectar o segmento PR.
Proposição 2.8
P
R
1. Fixadas uma recta r e um ponto O incidente em r, a relação “incidir na mesma semi-recta
de r com origem O” é uma relação de equivalência no conjunto dos pontos incidentes em
r, distintos de O, que define apenas duas classes de equivalência.
2. Fixada uma recta r do plano, a relação “incidir no mesmo semi-plano definido por r” é
uma relação de equivalência no conjunto dos pontos do plano não incidentes em r que
define apenas duas classes de equivalência.
15
P ′
r

(Demonstração)
1. A relação é reflexiva por definição e simétrica por 2.3.
Para verificar a transitividade, use o lema fundamental.
Finalmente, note-se que existem B e B ′ tais que O ∈ BB ′ . Usando o lema fundamental,
se X é um ponto da recta, tem-se uma e uma só das possibilidades seguintes: incide na
mesma semi-recta de origem O que B ou X incide na um ponto mesma semi-recta de
origem O que B ′ )
2. De novo, a reflexividade e simetria são directas.
A transitividade deduz-se do axioma de Pasch, se os pontos formam triângulo, ou do lema
fundamental, se os pontos são colineares.
Finalmente, note-se que existem P e P ′ não incidentes em r tais que a recta r intersecta
o segmento PP ′ . Se R for um ponto do plano não incidente em r, usando o lema fundamental
ou a alínea 3 do teorema 2.5, tem-se uma e uma só das possibilidades seguintes:
r intersecta PR ou r intersecta P ′ R.
Definição . 2.9 Semi-rectas, semi-planos
1. Sejam r uma recta e O um ponto incidente em r. Chamamos semi-recta definida em
r de origem O a cada uma das duas classes de equivalência para a relação definida em
2.7, alínea 1. Dado um ponto P distinto de O, designar-se-á por [O,P > a classe de
equivalência de P e diremos que [O,P > é a semi-recta de origem O incidente em P.
O
Para simplificar as notações e se não houver ambiguidade, as duas classes de equivalência
definidas numa recta r por um ponto O designar-se-ão as vezes por r+ e r−. Diremos que
r+ e r− são semi-rectas opostas e que a recta r é a recta suporte das semi-rectas.
r+
2. Seja r uma recta do plano. Chamamos semi-plano definido por r a cada uma das duas
classes de equivalência para a relação definida em 2.7, alínea 2. Dado um ponto P não
incidente em r, designar-se-á por HP a classe de equivalência de P e diremos que HP é
o semiplano definido por r que incide em P.
16
O
P
r+
r−

Proposição 2.10 Incidência de semi-rectas e semi-planos
Sejam h e r duas rectas distintas do plano incidentes num ponto O. Dois pontos A e A ′ de r,
distintos de O, incidem na mesma semi-recta definida em r de origem O se e só se incidem no
mesmo semi-plano definido por h.
r−
O
A
A ′
r+
h O
r− A
Poroutraspalavras, nascondiçõesdaproposição, ospontos incidentesnumasemi-rectaincidem
no mesmo semi-plano e os pontos incidentes em semi-rectas opostas incidem em semi-planos
opostos.
(Demonstração)
r e h distintas portanto o único ponto que poderia incidir em AA ′ e h é precisamente O. Aplicar
II-3 e < A,A ′ > =/ h.
Definição . 2.11 Ângulo
Sejam r e r ′ duas rectas distintas incidentes num ponto O, P e P ′ dois pontos distintos de O e
incidentes, respectivamente, em r e r ′ . Chamamos ângulo definido por P, O e P ′ e designamos
por ∠POP ′ à intersecção do semiplano definido por r que incide em P ′ e o semiplano definido
por r ′ que incide em P.
Note-se que esta definição é simétrica em relação ao P e P ′ , isto é,
r
r ′
O
P ′
P
∠POP ′ = ∠P ′ OP.
Proposição 2.12 Sejam r e r ′ duas rectas distintas incidentes num ponto O. Sejam P e R
dois pontos incidentes em r, P ′ e R ′ dois pontos incidentes em r ′ tais que P e R estão na
mesma semi-recta definida por O e P ′ e R ′ estão na mesma semi-recta definida por O, então:
r
(Demonstração)
Directa a partir da proposição 2.10.
r ′
∠POP ′ = ∠ROR ′
O
17
R ′
P
P ′
R
A ′
r+
h

Definição . 2.13 Ângulo de duas semi-rectas
Dadas duas semi-rectas h+ e r+ de origem um ponto O, com suportes distintos, definimos o
ângulo formado por h+ e r+ e designamos por ∠{h+,k+} como
∠{h+,k+} = ∠POP ′
sendo P, P ′ , pontos quaisquer das semi-rectas h+ e k+, respectivamente.
O
P
h+
P
′ k+
Os pontos de ∠{h+,k+} são chamados pontos interiores ao ângulo.
Nota . 2.14
Os ângulos que foram definidos aqui (ângulos geométricos) são subconjuntos do conjunto P
de pontos do plano. Note-se que não são considerados como ângulos geométricos os “ângulos
rasos”, só ângulos entre semi-rectas com suportes distintos.
Definição . 2.15 Ângulos suplementares, ângulos verticalmente opostos
• Dado um ângulo ∠{h+,k+}, chama-se ângulo suplementar de ∠{h+,k+} ao ângulo formado
por uma das semi-rectas do ângulo ∠{h+,k+} e a semi-recta oposta à outra recta.
Por definição, qualquer ângulo ∠{h+,k+} tem dois ângulos suplementares: ∠{h+,k−} e
∠{h−,k+}.
k−
h−
• Dado um ângulo ∠{h+,k+}, chama-se ângulo verticalmente oposto ao ângulo formado
pelas semi-rectas opostas a h+ e k+, ∠{h−,k−}.
k−
h−
18
h+
h+
k+
k+

Proposição 2.16 Ângulos e semi-rectas
Sejam h+ e k+ duas semi-rectas de origem O, com suportes distintos, h e k, respectivamente.
1. Um ponto P do plano, não incidente em h ou k, é interior a um e um só dos seguintes
ângulos:
∠{h+,k+} ∠{h−,k+} ∠{h+,k−} ∠{h−,k−}
k−
h−
O
2. Se um ponto P é interior ao ângulo ∠{h+,k+}, todos os pontos da semi-recta r+ de
origem O e incidente em P são interiores ao dito ângulo.
O
P
3. Se uma semi-recta com origem O é interior ao ângulo ∠{h+,k+}, a semi-recta oposta é
interior ao ângulo verticalmente oposto ∠{h−,k−}.
k−
r−
h−
O
4. Se uma semi-recta r+, com suporte r e origem O, é interior ao ângulo ∠{h+,k+}, as
semi-rectas h+ e k− incidem no mesmo semi-plano definido por r.
5. Se uma semi-recta r+, com suporte r e origem O, é interior ao ângulo ∠{h+,k+}, as
semi-rectas h+ e k+ incidem em semi-planos opostos definidos por r.
19
h+
h+
k+
k+
h+
k+
r+

(Demonstração)
1. Directa da definição.
2. Directa a partir da proposição 2.10.
3. Directa a partir da proposição 2.10.
4. Como r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+}, as semi-rectas r+ e k+ incidem no mesmo semiplano
definido por h e assim r+ e k− incidem em semi-planos opostos definidos por h.
Portanto, dados dois pontos S ∈ k− e R ∈ r+, distintos de O, a recta h intersecta o
segmento SR num ponto T.
k−
S
h+
T
R
O
k+
Note-se que o segmento TR não intersecta a recta k (se intersectar seria no ponto S e
S∈/ TR) e portanto T e R incidem no mesmo semi-plano definido por k. Como R ∈ r+,
e r+ e h+ incidem no mesmo semi-plano definido por k, obtém-se que T incide, de facto,
na semi-recta h+. Recorde-se que R∈/ ST, por tanto S e T incidem no mesmo semi-plano
definido por r, e assim, k− e h+ incidem no mesmo semi-plano definido por k.
5. Directa a partir da alínea anterior e da proposição 2.10.
Exercícios . 2.17
1. Complete as demonstrações das proposições e teoremas enunciados.
2. As semi-rectas são conjuntos infinitos?
3. Prove que as diagonais de um quadrilátero convexo se intersectam num único ponto.
4. Prove que a relação “estar entre” no plano afim real definida em 2.6 verifica efectivamente o grupo
II de axiomas.
5. Prove a seguinte caracterização de paralelismo
Duas rectas distintas são paralelas se e só se todos os pontos incidentes numa delas incidem no
mesmo semi-plano definido pela outra.
6. Seja r uma recta de um plano de incidência que verifica os grupos de axiomas I e II. Sejam O e I
dois pontos distintos e incidentes com r e r+ a semi-recta de origem O e incidente em I. Sejam
X e Y pontos incidentes com a recta r
• se X ∈ r+ ou X = O e Y ∈ r− ou Y = 0, dizemos que Y é menor o igual que X;
• se X,Y ∈ r+ e Y ∈ OX dizemos que Y é menor o igual que X;
• se X,Y ∈ r− e X ∈ OY dizemos que Y é menor o igual que X.
Prove que esta relação “menor ou igual” é uma relação de ordem total no conjunto dos pontos
incidentes com r.
20
r+

3 Axiomas de congruência
Considere-se um plano de incidência que verifique os axiomas dos grupos I e II e tal que estão
definidas duas relações de equivalência 1 , chamadas relações de congruência e designadas por
≡, no conjunto dos segmentos do plano e no conjunto dos ângulos do plano.
III. Axiomas de congruência.
III-1 (Transporte de segmentos) Sejam A e B dois pontos incidentes numa recta r; e seja A ′
um ponto incidente numa recta r ′ não necessariamente distinta de r. Então, em qualquer das
semi-rectas definidas em r ′ pelo ponto A ′ existe um e um só ponto B ′ tal que o segmento AB é
congruente com o segmento A ′ B ′ .
A
′′
B
B ′ 2 A ′ B ′ 1
′′ ′′
r
III-2 (Soma de segmentos) Sejam A, B, C, A ′ , B ′ e C ′ tais que B está entre A e C e B ′ está
entre A ′ e C ′ . Se AB ≡ A ′ B ′ e BC ≡ B ′ C ′ então AC ≡ A ′ C ′
A
′′
B
′
C
A ′ B ′ C ′
′′ ′
III-3 (Transporte de ângulos) Consideremos um ângulo ∠{h+,k+}, uma recta r, um dos semiplanos
H definido por r, um ponto O ′ de r e finalmente uma das semi-rectas r+ definidas em r
por O ′ , Então, existe no semi-plano fixado uma e uma só semi-recta m+ de origem O ′ tal que
∠{h+,k+} ≡ ∠{r+,m+} e tal que os pontos de ∠{r+,m+} incidem no semi-plano fixado.
O
h+
k+
O
′
1 Na axiomática de Hilbert NÃO é exigido que sejam relações de equivalência [7], prova-se posteriormente.
21
r+
m+
m ′ +
r ′

III. Axiomas de congruência.
III-4 Sejam A, B e C três pontos não colineares e A ′ , B ′ e C ′ três pontos também não colineares.
Se AB ≡ A ′ B ′ , AC ≡ A ′ C ′ e ∠CAB ≡ ∠C ′ A ′ B ′ , tem-se
B
A
∠ABC ≡ ∠A ′ B ′ C ′
C
e ∠BCA ≡ ∠B ′ C ′ A ′
Nota . 3.1
Note-se que, num plano de incidência que verifique os axiomas I, II e III se tem:
1. Dados três pontos A, B1 e B2 do plano, se AB1 ≡ AB2 e B1 e B2 incidem na mesma
semi-recta de origem A, então B1 = B2 (axioma III-1)
2. Dados quatro pontos A, B, C1 e C2, se ∠C1AB ≡ ∠C2AB e C1 e C2 incidem no mesmo
semi-plano definido pela recta < A,B >, então A, C1 e C2 são colineares e incidem na
mesma semi-recta de origem A(axioma III-3)
A partir de agora, chamaremos plano aos planos de incidência que
verificam os grupos de axiomas I, II e III.
Proposição . 3.2 Diferença de segmentos
Sejam A, B e C três pontos tais que B está entre A e C e outros três pontos A ′ , B ′ e C ′ tais
que B ′ e C ′ estão numa semi-recta de origem A ′ . Se AB ≡ A ′ B ′ e AC ≡ A ′ C ′ , então B ′ está
entre A ′ e C ′ e BC ≡ B ′ C ′
(Demonstração)
Considerar o ponto C ′′ na semi-recta oposta à semi-recta de origem B ′ e incidente em A ′
que verifica BC ≡ B ′ C ′′ . Por III-2 tem-se que AC ≡ A ′ C ′′ , e como AC ≡ A ′ C ′ obtemos
A ′ C ′ ≡ A ′ C ′′ . Como C ′ e C ′′ incidem na mesma semi-recta de origem A ′ tem-se que C ′ =C ′′ .
22
C ′
B ′
−
A ′

Definição . 3.3 Ângulos internos de um triângulo
Seja ∆ABC um triângulo. Os ângulos ∠ABC, ∠BCA e ∠CAB são chamados ângulos internos
do triângulo.
A
B
C
Definição . 3.4 Congruência de triângulos
Dizemos que dois triângulos ∆ABC e ∆A ′ B ′ C ′ são congruentes quando são congruentes os
lados e os ângulos internos, isto é,
AB ≡ A ′ B ′ BC ≡ B ′ C ′ CA ≡ C ′ A ′
∠ABC ≡ ∠A ′ B ′ C ′ ∠BCA ≡ ∠B ′ C ′ A ′ ∠CAB ≡ ∠C ′ A ′ B ′
Se ∆ABC e ∆A ′ B ′ C ′ forem congruentes, escrevemos ∆ABC ≡ ∆A ′ B ′ C ′ .
B
A
C
Teorema . 3.5 Critérios de congruência de triângulos
Sejam ∆ABC, ∆A ′ B ′ C ′ dois triângulos.
1. Caso LAL (lado, ângulo, lado)
C ′
B ′
Se AB ≡ A ′ B ′ , AC ≡ A ′ C ′ e ∠CAB ≡ ∠C ′ A ′ B ′ , os triângulos ∆ABC e ∆A ′ B ′ C ′ são
congruentes.
B
A
C
23
C ′
B ′
−
−
A ′
A ′

2. Caso ALA (ângulo, lado, ângulo)
Se ∠CAB ≡ ∠C ′ A ′ B ′ , ∠ABC ≡ ∠A ′ B ′ C ′ e AB ≡ A ′ B ′ , os triângulos ∆ABC e
∆A ′ B ′ C ′ são congruentes.
B
(Demonstração)
A
1. (Critério LAL)
C
Sejam △ABC e △A ′ B ′ C ′ nas condicções indicadas. Pelo axioma III-4 tem-se que
Só falta provar que BC ≡ B ′ C ′ .
B
B1
A
∠ABC ≡ ∠A ′ B ′ C ′
C
C ′
B ′
A ′
e ∠BCA ≡ ∠B ′ C ′ A ′
C ′
B ′
Considere-se, aplicando III-1, um ponto B1 na semi-recta de origem C e incidente em B
tal que B1C ≡ B ′ C ′ .
Aplicando o axioma III-4 aos triângulos △AB1C e △A ′ B ′ C ′ obtemos
∠AB1C ≡ ∠A ′ B ′ C ′
−
A ′
∠B1AC ≡ ∠B ′ A ′ C ′
donde ∠BAC ≡ ∠B1AC. Como B e B1 incidem na mesma semi-recta de origem C, B
e B1 incidem no mesmo semi-plano definido por < A,C > (proposição 2.10). Aplicando
III-3, deduz-se que B e B1 incidem na mesma-semi recta de origem A. B1 incide então
em < A,B > e em < B,C > logo B1 = B.
24

2. (Critério ALA)
Sejam △ABC e △A ′ B ′ C ′ nas condições indicadas. Considere-se, usando III-1, um ponto
C1 na semi-recta de origem A e incidente em C tal que
B
A
C1
C
AC1 ≡ A ′ C ′
C ′
B ′
Aplicando o critério LAL, tem-se que os triângulos △ABC1 e △A ′ B ′ C ′ são congruentes,
em particular
∠ABC1 ≡ ∠A ′ B ′ C ′
donde ∠ABC1 ≡ ∠ABC. Por argumentos análogos à alínea anterior, tem-se que C1 e C
incidem na mesma semi-recta de origem B. Assim C1 incide em < B,C > e em < A,C >
logo C1 = C.
Teorema 3.6 A congruência respeita a diferença de ângulos
Sejam h+, r+ e k+ (respectivamente h ′ +, r ′ +, k ′ +) três semi-rectas de origem O (respectivamente
O ′ ) com suportes distintos e tais que os pontos incidentes na semirecta r+ são interiores ao
ângulo ∠{k+,h+}. Suponha-se ainda que h ′ + e r ′ + incidem no mesmo semi-plano definido por
k ′ . Se
∠{k+,r+} ≡ ∠{k ′ +,r ′ +} e ∠{k+,h+} ≡ ∠{k ′ +,h ′ +}
então r ′ + é interior ao ângulo ∠{k ′ +,h ′ +} e
O
h+
r+
−
∠{r+,h+} ≡ ∠{r ′ +,h ′ +}
k+
25
O ′
A ′
h ′ +
r ′ +
k ′ +

(Demonstração)
Considere-se um ponto A na semi-recta h+, um ponto B na semi-recta k+, um ponto A ′ na
semi-recta h ′ + e um ponto B ′ na semi-recta k ′ + tais que OA ≡ O ′ A ′′ e OB ≡ O ′ B ′ .
O
Note-se que, por LAL,
A
B
h+
r+
k+
O
′
△OAB ≡ △O ′ A ′ B ′
O teorema deduz-se directamente dos lemas indicados de seguida, cuja demonstração será
indicada ao final:
Lema I Existe um ponto R incidente no segmento AB e na semi-recta r+
Lema II Existe um ponto R ′ incidente no segmento A ′ B ′ e tal que
△ORB ≡ △O ′ R ′ B ′
Lema III O ponto R ′ incide na semi-recta r ′ +
O
A
R
B
Observe-se que, pelo lema III
e, pelo lema II, como
obtemos
h+
r+
k+
A
′
B ′
h ′ +
r ′ +
k ′ +
e △ORA ≡ △O ′ R ′ A ′
O
′
∠{r ′ +,h ′ +} = ∠R ′ O ′ B ′ ,
∠R ′ O ′ A ′ ≡ ∠ROA
∠{r ′ +h ′ +} ≡ ∠{r+h+}
Note-se que r ′ + é interior ao ângulo ∠{k ′ +,h ′ +} porque R ′ é interior a esse ângulo (lema II) e
podemos aplicar a proposição 2.16.
26
A
′
B ′
R ′
h ′ +
r ′ +
k ′ +

Provemos agora os resultados anunciados:
• Lema I:
O
A
R
B
h+
r+
k+
As semi-rectas h+ e k+ incidem em semi-planos opostos definidos por r (proposição 2.16)
e portanto existe R incidente em r tal que R ∈ AB. Tem-se então que R e A incidem no
mesmo semiplano definido por k e que R e B incidem no mesmo semi-plano definido por
h. O ponto P é interior ao triângulo logo P ∈ r+ (pela proposição 2.16 não pode incidir
em r−).
• Lema II:
O
A
R
B
h+
r+
k+
Seja R ′ o ponto na semi-recta de origem B ′ e incidente em A ′ que verifica RB ≡ R ′ B ′ .
Usando a proposição 3.2, sabemos que R ′ está entre A ′ e B ′ e que A ′ R ′ ≡ AR. R ′ e A ′
incidem assim na mesma semi-recta de origem B ′ e tem-se
O
′
A
′
B ′
R ′
∠O ′ B ′ R ′ ≡ ∠O ′ B ′ A ′ ≡ ∠OBA ≡ ∠OBR
Como R ′ e B ′ incidem na mesma semi-recta de origem A ′ , tem-se
∠O ′ A ′ R ′ ≡ ∠O ′ A ′ B ′ ≡ ∠OAB ≡ ∠OAR
Aplicando o critério LAL aos triângulos △O ′ B ′ R ′ e △OBR e aos triângulos △O ′ A ′ R ′ e
△OAR obtemos
• Lema III:
△ORB ≡ △O ′ R ′ B ′
h ′ +
r ′ +
e △ORA ≡ △O ′ R ′ A ′
A semi-recta r ′ + e o ponto R ′ incidem no mesmo semi-plano definido por k e então, por
III-3, a semi-recta de origem O ′ e incidente em R ′ é igual à semi-recta r ′ +, logo R ′ ∈ r ′ +.
27
k ′ +

Corolário 3.7 A congruência respeita a soma de ângulos
Sejam h+, r+ e k+ (respectivamente h ′ +, r ′ +, k ′ +) três semi-rectas de origem O (respectivamente
O ′ ) com suportes distintos e tais que os pontos incidentes na semirecta r+ (respectivamente na
semirecta r ′ +) são interiores ao ângulo ∠{h+,k+} (respectivamente ao ângulo ∠{h ′ +,k ′ +}).
Então:
O
r+
h+
k+
∠{h+,r+} ≡ ∠{h ′ +,r ′ +}
∠{r+,k+} ≡ ∠{r ′ +,k ′ +}
O
′
=⇒ ∠{h+,k+} ≡ ∠{h ′ +,k ′ +}
(Demonstração)
Considere-se, usando III-3, uma semi-recta h ′′ + incidente no mesmo semi-plano definido por k ′
que r ′ + e tal que
∠{h+,k+} ≡ ∠{h ′′ +,k ′ +}
Aplica-se o teorema 3.6 e o axioma III-3 para deduzir que h ′ + = h ′′ +.
Proposição 3.8 Se dois ângulos são congruentes qualquer dos suplementares de um deles é
congruente com qualquer dos suplementares do outro. Em particular, dois ângulos verticalmente
opostos são congruentes.
(Demonstração)
Sejam h+, r+ semi-rectas de origem O e h ′ + e r ′ + semi-rectas de origem O ′ tais que
∠{h+,r+} ≡ ∠{h ′ +,r ′ +}
Considerem-se pontos A ∈ r+, A ′ ∈ r ′ +, B ∈ h+, B ′ ∈ h ′ +, C ∈ r− e C ′ ∈ r− tais que
C
O
OA ≡ O ′ A ′ OB ≡ O ′ B ′ OC ≡ O ′ C ′
B
A
h+
r+
Usando o critério LAL, obtemos que △ABO ≡ △A ′ B ′ O ′ , em particular ∠OAB ≡ ∠O ′ A ′ B ′ e
AB ≡ A ′ B ′ . Aplicando o axioma III-2 e o critério LAL obtemos então que △CAB ≡ △C ′ A ′ B ′ ,
e, de novo por LAL, que △COB ≡ △C ′ O ′ B ′ , donde
C ′
O ′
∠{r−,h+} ≡ ∠COB ≡ ∠C ′ O ′ B ′ ≡ ∠{r ′ −,h ′ +}
28
B
′
A ′
r ′ +
h ′ +
k ′ +
h ′ +
r ′ +

Definição . 3.9 Ângulos rectos, rectas perpendiculares
• Dizemosqueumânguloérectosefôrcongruentecomqualquerumdosseussuplementares.
• Dizemos que duas rectas sâo perpendiculares se incidem num ponto O e se o ângulo de
vértice O e cujos lados têm como suporte essas rectas é recto.
Atenção! Note-se que noção de ângulo recto está bem definida por causa da proposição
3.8. Ainda, da proposição 3.8, podemos concluir que se um ângulo for congruente com um
ângulo recto então é recto. Mas ainda não foi provado que dois ângulos rectos quaisquer são
congruentes.
Proposição 3.10 Consequências dos axiomas de incidência, ordem e congruência
1. (O teorema do triângulo isósceles )
Num triângulo ∆ABC tem se AC ≡ BC se e só se ∠ABC ≡ ∠CAB.
C
′′
′′
B
A
⇐⇒
2. (Existência de ângulos rectos e perpendicular)
C
Seja r uma recta e P um ponto do plano. Existe uma recta perpendicular a r e incidente
em P. Em particular, existem ângulos rectos.
3. (O IV Postulado de Euclides) Todos os ângulos rectos são congruentes.
4. (Unicidade da perpendicular) Seja r uma recta e P um ponto do plano. Existe uma única
recta perpendicular a r e incidente em P.
5. (Caso LLL de congruência de triângulos)
Se AB ≡ A ′ B ′ , BC ≡ B ′ C ′ e CA ≡ C ′ A ′ , os triângulos ∆ABC e ∆A ′ B ′ C ′ são congruentes.
B
A
C
29
C ′
B ′
−
A ′
B
A

(Demonstração)
1. (O teorema do triângulo isósceles )
Num triângulo ∆ABC tem se AC ≡ BC se e só se ∠ABC ≡ ∠CAB.
C
′′
′′
B
A
⇐⇒
C
Aplicar o critério LAL aos triângulos △BCA e △ACB. Para o recíproco, aplicar o
critério ALA aos triângulos △BCA e △ACB.
2. (Existência de ângulos rectos e perpendicular)
Suponha-se, em primeiro lugar, que o ponto P não incide na recta r e considerem-se O e
A pontos incidentes em r. Usando o axioma III-3 e o axioma III-1, podemos definir um
ponto Q, no semi-plano oposto definido por r e incidente em P, tal que
r
∠POA ≡ ∠AOQ e OP ≡ OQ
O
P
A
Q
′
Seja A ′ o ponto de incidência do segmento PQ com a recta r. Há duas possibilidades:
A ′ = O ou A ′ =/ O. No primeiro caso, os pontos P, O e Q são colineares e então a recta
< P,Q > é perpendicular a r. No segundo caso podemos aplicar LAL para deduzir que
△POA ′ ≡ △QOA ′ (se A ′ incidir na semi-recta oposta ao ponto A aplica-se a proposição
3.8) donde ∠PA ′ O ≡ ∠QA ′ O e por tanto ∠PA ′ O é recto.
Finalmente, se P incidir na recta r, podemos considerar um ponto P ′ não incidente em r
e usar o raciocínio anterior para construir uma perpendicular a r incidente em P ′ . Pelo
axioma III-3 e pela proposição 3.8, existirá uma perpendicular a r em P.
30
A
B
A

3. (O IV Postulado de Euclides)
Suponha-se que existem semi-rectas h+, r+, h ′ +, r ′ + tais que ∠{h+,r+} e ∠{h ′ +,r ′ +}
são rectos. Pelo axioma III-1, existe uma semi-recta h ′′ + no semi-plano definido por r e
incidente em h+ tal que
∠{h ′′ +,r+} ≡ ∠{h ′ +,r ′ +}
É preciso provar que h ′′ + = h+ e assim
∠{h+,r+} = ∠{h ′′ +,r+} ≡ ∠{h ′ +,r ′ +}
Podemos supor as semi-rectas h+ e r+ no mesmo semi-plano definido por h ′′ .
A
′′
h ′′ +
C ′
O
Seja O a origem destas semi-rectas, por III-1, existe um ponto A na semi-recta r− e um
ponto B na semi-recta r+ tais que OB ≡ OA. Fixado C ∈ h+, existe um ponto C ′
incidente na semi-recta h ′′ + e no segmento AC (proposição 2.16 e consequências). Note-se
que C e C ′ incidem no mesmo semi-plano definido por r.
Como ∠C ′ OB é recto, aplicando LAL obtemos △AOC ′ ≡ △C ′ OB. Analogamente, como
∠COB é recto, obtemos que △AOC ≡ △COB. Em particular
C
h+
′′
B
∠C ′ AO ≡ ∠C ′ BO ∠CAO ≡ CBO
Mas C ′ e C incidem na mesma-semirecta de origem A donde ∠CAO = ∠C ′ AO e assim
∠C ′ BO ≡ ∠CBO
Pelo axioma III-3, C e C ′ incidem também na mesma semi-recta de origem B. Em
particular, C ′ incide na recta < A,C > e na recta < B,C > donde C = C ′ e assim
h+ = h ′′ +
31
r+

4. (Unicidade da perpendicular por um ponto dado)
Sejam r uma recta e P um ponto do plano. Se P incidir em r, pelo axioma III-3 e a
alínea anterior, existe uma única perpendicular a r incidente em P.
Suponhamos que P não incide na recta r e que existem duas perpendiculares a r, s e s ′ ,
incidentes em P. Sejam K e K ′ os pontos de incidência de s e s ′ , respectivamente, com
r. Seja A um ponto da recta r tal que K ∈ AK ′ .
A
s ′ s
P
−
=
K
=
P
′′
K ′
Definimos dois pontos P ′ ,P ′′ , incidentes, respectivamente, nas semi-rectas de origem K ′
e K opostas a P e verificando PK ′ ≡ K ′ P ′′ e PK ≡ KP ′ . É preciso provar que P′ = P ′′ .
Note-se que, pelo critério LAL, tem-se
Em particular
△APK ′ ≡ △AP ′ K ′
−
P′
e △APK ≡ △AP ′′ K
AP ′ ≡ AP ≡ AP ′′
Por outro lado, P ′ e P ′′ incidem no mesmo semi-plano definido por r e verificam
∠P ′′ AK ′ ≡ ∠PAK ′ ≡ PAK ≡ P ′ AK
portanto, por III-3, P ′ e P ′′ incidem na mesma semi-recta de origem A e por III-1 tem-se
P ′ = P ′′ .
32
r

5. (Caso LLL de congruência de triângulos)
Se AB ≡ A ′ B ′ , BC ≡ B ′ C ′ e CA ≡ C ′ A ′ , os triângulos ∆ABC e ∆A ′ B ′ C ′ são congruentes.
B
A
A ′′
C
C ′
B ′
Define-se um ponto A ′′ no semi-plano definido por < B,C >, oposto ao ponto A e tal
que △A ′′ BC ≡ △A ′ B ′ C ′ (usar axiomas III-3 e III-1 e o critério LAL). Seja K o ponto
de incidência do segmento AA ′′ a recta < B,C >. Os triângulos △ABA ′′ e △ACA ′′ são
isósceles, donde
∠BAK ≡ ∠BA ′′ K ∠KAC ≡ ∠KA ′′ C
Note-se que há duas possibilidades: o ponto K incide no segmento BC ou K não incide
no segmento BC.
B
A
K
A ′′
C
No primeiro caso, usando a proposição 3.7 obtemos que ∠BAC ≡ BA ′′ C e então, pelo
critério ALA, obtemos
△ABC ≡ △A ′′ BC ≡ △A ′ B ′ C ′
A
K
No segundo caso, podemos supor B ∈ KC e aplicar então o corolário 3.6.
33
A ′′
B
−
A ′
C

Definição . 3.11 Comparação de segmentos e de ângulos
• Sejam AB e CD dois segmentos de um plano. Seja B1 o ponto incidente na semi-recta
de origem C e incidente em C que verifica AB ≡ CB1. Dizemos que o segmento AB é
menor que o segmento CD e escrevemos AB < CD se B1 está entre C e D.
A B C B1 D
• Sejam ∠{h+,k+} e ∠{m+,n+} dois ângulos do plano. Seja ˜ k+ a semi-recta incidente no
mesmo semi- plano definido por m que n+ que verifica
∠{h+,k+} ≡ ∠{m+, ˜ k+}
Dizemos que o ângulo ∠{h+,k+} é menor que o ângulo ∠{m+,n+} e escrevemos
se ˜ k+ é interior ao ângulo ∠{m+,n+}
k+
∠{h+,k+} < ∠{m+,n+}
h+
Teorema 3.12 Propriedades da comparação de segmentos e de ângulos.
1. Sejam AB, A ′ B ′ , CD e C ′ D ′ segmentos do plano tais que AB ≡ A ′ B ′ e CD ≡ C ′ D ′ . Se
AB < CD então A ′ B ′ < C ′ D ′ .
2. Sejam ∠{h+,k+}, ∠{h ′ +,k ′ +}, ∠{m+,n+} e ∠{m ′ +,n ′ +} ângulos do plano tais que
∠{h+,k+} ≡ ∠{h ′ +,k ′ +} ∠{m+,n+} ≡ ∠{m ′ +,n ′ +}.
Se ∠{h+,k+} < ∠{m+,n+} então ∠{h ′ +,k ′ +} < ∠{m ′ +,n ′ +}.
3. Sejam AB e CD dois segmentos do plano. Tem-se uma e uma só das seguintes possibilidades:
AB < CD AB ≡ CD CD < AB
4. Sejam ∠{h+,k+} e ∠{m+,n+} dois ângulos do plano. Tem-se uma e uma só das
seguintes possibilidades:
∠{h+,k+} < ∠{m+,n+} ∠{h+,k+} ≡ ∠{m+,n+} ∠{m+,n+} < ∠{h+,k+}
5. As relações definidas são transitivas.
34
n+
˜k+
m+

(Demonstração)
1. Sejam B1 e B ′ 1 os pontos nas semi-rectas de origem C e C′ incidentes nos pontos D e D ′ ,
respectivamente, que verificam
Note-se que, como AB ≡ A ′ B ′ tem-se
AB ≡ CB1 e A ′ B ′ ≡ C ′ B ′ 1
CB1 ≡ C ′ B ′ 1
Por hipótese CD ≡ C ′ D ′ e B1 entre C e D. Pela proposição 3.2, tem-se que B ′ 1 está
entre C ′ e D ′ , logo A ′ B ′ < C ′ D ′ .
A B C B1 D
A
′ B ′ C D ′
B ′ 1
2. Sejam ˜ k+ e ˜ k ′ + as semi-rectas nos semi-planos definidos por m e m ′ incidentes em n+ e
n ′ +, respectivamente, que verificam
∠{m+, ˜ k+} ≡ ∠{h+,k+} e ∠{m ′ +, ˜ k ′ +} ≡ ∠{h ′ +,k ′ +}
k+
k ′ +
h+
h ′ +
Note-se que ∠{m+, ˜ k+} ≡ ∠{m ′ +, ˜ k ′ +} e, por hipótese, que ˜ k+ é interior ao ângulo
∠{m+,n+}.
O resultado deduz-se do teorema 3.6.
35
n+
n ′ +
˜k+
˜k ′ +
m+
m ′ +

3. Seja B1 o ponto na semi-recta de origem C tal que AB ≡ CB1. Suponhamos que não se
tem AB ≡ CD nem AB < CD. Por hipótese, o ponto B1 não pertence ao segmento CD.
Tem-se que D está entre C e B1.
A B C D B1
A D1 B C D
Considere-seopontoD1 incidentenasemi-rectadeorigemAeincidenteemB queverifica
AD1 ≡ CD. Pela proposição 3.2, D1 está entre A e B e portanto
CD < AB
4. Suponha-se que ∠{h+,k+} não é menor nem congruente com o ângulo ∠{m+,n+}. Seja
˜k+ asemi-rectanosemi-plano definido por meincidente em n+ queverifica∠{m+, ˜ k+} ≡
∠{h+,k+}. Nas hipóteses indicadas, pela proposição 2.16, a semi-recta n+ deve ser
interior ao ângulo ∠{m+, ˜ k+}.
k+
ñ+
h+
Considere-se então, no semi-plano definido por h e incidente em k+, a semi-recta ñ+ que
verifica
∠{h+,ñ+} ≡ ∠{m+,n+}
Usando o lema 3.6, obtem-se que ñ+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+} donde
∠{m+,n+} < ∠{h+,k+}
5. Aplicar a proposição 3.2 e lema fundamental para a comparação de segmentos. Usar o
lema 3.6 para a comparação de ângulos.
Nota . 3.13
A partir do teorema anterior, se AB < CD, tem-se também AB < DC, BA < CD ... já que
AB ≡ BA, CD ≡ DC ... Note-se que estes resultados não eram, a priori, evidentes, pois na
definição da comparação é feita uma construção que passa por uma determinada ”escolha” dos
pontos. E analogamente para os ângulos ...
36
˜k+
n+
m+

Definição . 3.14 Ângulos agudos, obtusos
Um ângulo diz-se obtuso se for maior que o seu suplementar. Um ângulo diz-se agudo se for
menor que o seu suplementar.
Proposição . 3.15
Um ângulo obtuso é maior que um ângulo recto. Um ângulo agudo é menor que um ângulo
recto.
(Demonstração)
Seja ∠{h+,k+} um ângulo obtuso, isto é
∠{h−,k+} < ∠{h+,k+}
Seja m+ a semi-recta no semi-plano definido por h e incidente em k+ tal que ∠{h+,m+} é
recto.
h−
m+ k+
Se ∠{h+,k+} < ∠{h+,m+} tem-se que k+ é interior ao ângulo ∠{h+,m+} e portanto m+
é interior ao ângulo ∠{h−,k+} donde
h+
∠{h−,m+} < ∠{h−,k+}
Mas, como ∠{h+,m+} ≡ ∠{h−,m+} tem-se também
∠{h+,k+} < ∠{h+,m+} ≡ ∠{h−,m+}
donde ∠{h+,k+} < ∠{h−,k+} (absurdo).
A demonstração da segunda afirmação é análoga (note-se que são recíprocas uma da outra)
Definição . 3.16 Ângulo exterior de um triângulo
Seja△ABC umtriângulodoplano. Osângulossuplementaresaosângulosinternosdotriângulo
são chamados ângulos exteriores do triângulo.
A
C
Teorema 3.17 O Teorema do ângulo exterior
Seja △ABC um triângulo do plano. Cada ângulo exterior é maior que os ângulos interiores
que não lhe são suplementares.
37
B

A
C
(Demonstração)
Seja △ABC um triângulo. Suponha-se que o ângulo exterior em A é menor ou congruente
ao ângulo interior em C. Usando o axioma III-3 e a proposição 2.16 existe um ponto B1 no
segmento AB tal que o ângulo ∠B1CA é congruente com o ângulo exterior em A.
D
A
C
Considere-se o ponto D, incidente na semi-recta de origem A oposta à semi-recta incidente em
B e B1, um ponto D tal que DA ≡ B1C Pelo critério LAL, tem-se
B
B1
△DAC ≡ △B1CA
emparticular∠CAB1 ≡ ∠ACD. Como∠CAB1 e∠CAD sãosuplementares, obtem-se(axioma
III-3) que ∠ACD e ∠ACB1 são suplementares, donde D incide na recta < C,B1 > (absurdo).
Teorema 3.18 Seja △ABC um triângulo. Se AB < AC então o ângulo interior em C é
menor que o ângulo interior em B. Em particular, em todo triângulo, ao maior lado opõe-se
o maior ângulo.
(Demonstração)
Seja △ABC um triângulo. Vamos provar que, se AB < AC, então o ângulo interior em C é
menor que o ângulo interior em B.
A
B
Considere-se o ponto B ′ , na semi-recta de origem A e incidente em C que verifica AB ≡ AB ′ .
Como AB é menor que AC, tem-se que B ′ está entre A e C e então
B ′
∠B ′ BA < ∠CBA
38
B
C

O triângulo △BAB ′ é, por construção, isósceles, por tanto ∠B ′ BA ≡ ∠BB ′ A. Pelo teorema
do ângulo exterior obtem-se que
∠BCB ′ < ∠BB ′ A < ∠CBA
Definição . 3.19 Ponto médio, Bissectriz interior
• Sejam A e B pontos distintos do plano. Um ponto C diz-se ponto médio do segmento
AB se C está entre A e B e verifica
AC ≡ CB
• Sejam h+ e k+ duas semi-rectas de origem O. Uma semi-recta r+ de origem O diz-se
bissectriz interior do ângulo ∠{h+,k+} se r+ for interior ao ângulo e verificar
∠{h+,r+} ≡ ∠{r+,k+}
Proposição 3.20 Existe e é único o ponto médio de um segmento. Existe e é única a bissectriz
interior de um ângulo.
(Demonstração)
1. Existência e unicidade do ponto médio.
Sejam A e B pontos distintos do plano. Considere-se um ponto P não incidente na recta
< A,B >. Defina-se, usandoosaxiomasIII-3eIII-1, umpontoP ′ , nosemi-planodefinido
por < A,B > oposto ao incidente em P que verifique
∠PAB ≡ ∠ABP ′
AP ≡ P ′ B
Seja C o ponto de incidência do segmento PP ′ com a recta < A,B >.
A
C
P ′
Verifiquemos que, se C está entre A e B, então C é o ponto médio.
Aplicando o critério LAL deduz-se que
P
B
△PAB ≡ △P ′ BA
em particular, ∠BAP ′ ≡ ∠PBA e AP ′ ≡ BP. Aplicando o criério LLL obtem-se que
△APP ′ ≡ △BP ′ P ∠PAP ′ ≡ ∠PBP ′ e então, pelo critério ALA , tem-se que
△APC ≡ △BP ′ C
39

donde AC ≡ CB.
Só falta verificar que C está efectivamente entre A e B. Vamos provar que as condições
C = B ou B entre C e A levam ao absurdo (os casos C = A ou A entre C e B são
análogos).
A
P
B = C
P′
Se C = B, aplicando o teorema do ângulo exterior, vem que ∠P ′ BA > ∠PAB (absurdo
∠P ′ BA ≡ ∠PAB)
Se B estiver entre C e A aplicando o teorema do ângulo exterior, obter-se-ia que
A
∠ABP ′ > ∠BCP ′ > ∠CAP = ∠BAP
(absurdo, ∠ABP ′ e ∠BAP são congruentes). Se M e M ′ são pontos médios de AB
podemos usar o lema fundamental sobre segmentos e a comparação de segmentos para
verificar que a única possibilidade é AM ≡ AM ′ donde (III-1) M = M ′ .
2. Existência e unicidade da bissectriz interior
Sejam h+ e k+ duas semi-rectas de origem O. Considerem-se pontos A ∈ h+ e B ∈ k+
verificando
OA ≡ OB
A
C
B
k+
h+
Seja C o ponto médio do segmento AB. Pelo critério LLL, △OAC ≡ △OBC e portanto
a semi-recta de origem O e incidente em C é a bissectriz interior do ângulo ∠{h+,k+}.
A unicidade deduz-se da unicidade do ponto médio.
40
B
P
C
P′

Teorema . 3.21 Paralelas na geometria absoluta
1. Se r e r ′ são perpendiculares a uma terceira recta s, então r e r ′ são paralelas.
2. Dado um ponto P não incidente numa recta r, existe pelo menos uma recta r ′ incidente
em P e paralela a r.
3. Sejam r e r ′ duas rectas distintas incidentes numa terceira recta s em pontos O e O ′
respectivamente. Considerem-se r+ e r ′ − as semirectas de origem O e O ′ , com suporte r
e r ′ , respectivamente, situadas em semiplanos opostos definidos por s. Sejam sO e sO ′ as
semirectas de origem O e O ′ que não incidem O ′ e O, respectivamente.
r
r ′
sO ′
r ′ +
O
′
O
Se os ângulos ∠{sO,r+} e ∠{sO ′,r′ +} são congruentes, as rectas r e r ′ são paralelas.
Atenção ...
• o teorema anterior justifica a existência de paralela, NÃO a unicidade;
• o teorema afirma que, se duas rectas formam com uma terceira ângulos correspondentes
congruentes, as duas rectas são paralelas mas NÃO assegura o recíproco!!!!!
• por exemplo, se r e r ′ são paralelas, e s e r são perpendiculares, NÃO foi provado que s
e r ′ também são perpendiculares!!!!
41
sO
r+

Exercícios . 3.22
1. Prove os resultados desta secção.
2. (Primeira caracterização da bissectriz)
Sejam h+, k+ semi-rectas de origem O com suportes distintos e r+ uma semi-recta de origem O
interior ao ângulo ∠{h+,k+}. Considerem-se um ponto C de r+ e a recta s perpendicular a r
incidente em C. Suponhamos que existem A e B, incidentes na perpendicular s e nas semi-rectas
h+ e k+. Então C é o ponto médio entre A e B se e só se r+ é a bissectriz interior do ângulo.
O
A
C
B
k+
h+
Nota A condição exigida de que s incida num ponto A de h+ e num ponto B de k+ é necessária.
Existem modelos de plano que verifica os axiomas de incidência, ordem e congruência, onde a
perpendicular a bissectriz nem sempre intersecta as semi-rectas que definem o ângulo.
3. Sejam h+,k+ semi-rectas de origem O de suportes distintos, r+ a bissectriz interior do ângulo
∠{h+,k+}. Prove que ∠{h+,r+} é sempre menor que um ângulo recto. Por outras palavras, se
um ângulo é bissector de outro, então é um ângulo agudo.
k+
m+
O
(Sugestão: considere a semi-recta m+, incidente no mesmo semi-plano definido por k que r+ e
h+, tal que ∠{k+,m+} é recto. Assuma que m+ é interior ao ângulo ∠{k+,r+} e, usando a
transitividade e o facto que r+ e h+ são então interiores ao ângulo recto ∠{m+,k−}, chegue a um
absurdo)
42
r+
h+
k−

4. (Congruência de triângulos rectângulos)
Um triângulo △ABC diz-se triângulo rectângulo quando algum dos seus ângulos internos é recto.
Sejam △ABC e △A ′ B ′ C ′ triângulos rectângulos com ∠BAC e ∠B ′ A ′ C ′ rectos.
Prove que, se AB ≡ A ′ B ′ e BC ≡ B ′ C ′ , então △ABC ≡ △A ′ B ′ C ′ .
Note-se que este resultado NÃO É o critério LAL!!!
C ′′
A
C
B
A ′
C ′
(Sugestão: supor que A ′ C ′ < AC e considerar, na semi-recta de origem A e incidente em C, o
ponto C ′′ tal que AC ′′ ≡ A ′ C ′ . O triângulo △CC ′′ B resulta ser isósceles. Aplicar o teorema do
triângulo exterior para chegar a um absurdo)
5. (Outro critério de congruência de triângulos)
Sejam △ABC e △A ′ B ′ C ′ dois triângulos do plano. Prove que, se AB ≡ A ′ B ′ , ∠BAC ≡ ∠B ′ A ′ C ′
e ∠BCA ≡ ∠B ′ C ′ A ′ , então △ABC ≡ △A ′ B ′ C ′ .
Note-se que este resultado NÃO É o critério ALA!!!
C ′′
A
C
B
A ′
C ′
(Sugestão: Supor que A ′ C ′ < AC e considerar o ponto C ′′ entre A e C tal que AC ′′ ≡ A ′ C ′ .
Aplicar LAL para obter △C ′′ AB ≡ △C ′ A ′ B ′ e depois, usando o teorema do ângulo exterior,
chegar a um absurdo)
6. (Segunda caracterização da bissectriz)
Sejam h+ e k+ duas semi-rectas de origem O, R um ponto interior ao ângulo ∠{h+,k+}. Definemse
os pontos A e B que são, respectivamente, os pés das perpendiculares 2 a h e k incidentes em
R. Prove que R incide na bissectriz interior do ângulo ∠{h+,k+} se e só se A ∈ h+, B ∈ k+ e
AR ≡ BR
O
A
B
h+
R
k+
(Sugestão: se R incidir na bissectriz interior, usar o teorema do ângulo exterior e o exercício 3 para
2 Sejam r é uma recta, P um ponto do plano e s a perpendicular a r incidente em P. O ponto de incidência
de r e s chama-se o pé da perpendicular do ponto P na recta r
43
B ′
B ′

obter que A ∈ h+ e B ∈ k+. Aplicar de seguida o segundo critério de congruência de triângulos
rectângulos. Para o recíproco, aplicar o primeiro critério.)
7. Mediatriz de um segmento
SejamAeB doispontosdistintosdoplano. ChamamosmediatrizdosegmentoAB àperpendicular
à recta < A,B > incidente no ponto médio entre A e B. Prove que um ponto do plano M incide
na mediatriz de um segmento se e só se AM ≡ BM.
8. O plano racional
Estude se o plano Q×Q satisfaz os axiomas de incidência, ordem e congruência relativamente às
relações de incidência, ordem e congruência análogas às de R×R.
Ajuda: uma segmento com extremos racionais pode ter declive ou comprimento não racional ...
44

4 Medida e Axiomas de continuidade
Definição . 4.1 Medida de segmentos
SejaS oconjuntodesegmentosdoplano. Umamedida de segmentoséumaaplicaçãoµ : S −→ R +
tal que
1. Se AB e CD são segmentos do plano, tem-se AB ≡ CD se só se µ(AB) = µ(CD).
2. Se B está entre A e C então µ(AC) = µ(AB)+µ(BC).
3. há um segmento previamente fixado o que se atribui medida igual à unidade.
Definição . 4.2 Medida de ângulos
SejaAoconjuntodeângulosdoplano. Umamedida de ânguloséumaaplicaçãom∠ : A −→ R +
tal que
1. Se ∠{h+,k+} e ∠{m+,k+} são ângulos do plano,
∠{h+,k+} ≡ ∠{m+,n+} ⇐⇒ m∠{h+,k+} = m∠{m+,n+}
2. Se h+, r+ e k+ são semi-rectas de origem O tais que r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+},
então
m∠{h+,k+} = m∠{h+,r+}+m∠{r+,k+}
3. um ângulo recto tem por medida um número real positivo, previamente fixado.
Exercício . 4.3 Congruência de segmentos no plano afim real
Recorde-se que, no plano afim real, foi definida uma relação “estar entre” que verifica os axiomas de
ordem (exemplo 2.6). Dados A e B pontos do plano, define-se o comprimento do segmento AB e
designa-se como AB por
AB := (b1 −a1) 2 +(b2 −a2) 2
onde A = (a1,a2) e B = (b1,b2). Dois segmentos AB e CD dizem-se congruentes quando tiverem o
mesmo comprimento, isto é, quando AB = CD.
1. Sejam A e B pontos do plano afim real. Verifique que um ponto C incide na semi-recta de origem
A incidente em B se e só se C = A+λ −→
AB com λ > 0.
O vector −→
AB diz-se um vector director da semi-recta de origem A e incidente em B. Note-se que um ponto C incide
então na semi-recta oposta à semi-recta incidente em B quando C = A + λ −→
AB com λ < 0 ou, equivalentemente,
quando C = A + λ ′ (− −→
AB) com λ ′ > 0, assim − −→
AB é um vector director da semi-recta de origem B oposta à
incidente em B.
2. Prove que existe um ponto I, na semi-recta de origem A e incidente em B, tal que AI = 1
3. Prove que a relação de congruência definida nos segmentos do plano afim real verifica os axiomas
III-1 e III-2 de congruência.
4. O comprimento de um segmento é uma medida de segmentos?
45

IV Axiomas de continuidade.
IV-1 (O Axioma de Arquimedes) Sejam r uma recta e (An)n uma sucessão de pontos incidentes
em r tais que An+1 está entre An+2 e An e A0A1 ≡ AnAn+1 para todo o n ∈ N. Então, para
todo B incidente em na semi-recta de origem A0 incidente em An, existe k tal que B está entre
A0 e Ak.
A0
A1
A2 ···
An
An+1 ···
B Ak
IV-2 (O Axioma de Cantor) Sejam r uma recta, (An)n e (Bn)n duas sucessões de pontos incidentes
em r tais que, para todos os n,k ∈ N, o ponto Bn+1 está entre Ak e Bn e o ponto An+1
está entre An e Bk. A intersecção
n AnBn contém um segmento ou é um e um só ponto.
A1
A2 ···
An Bn ···
Nota . 4.4
Os axiomas de congruência III permitem construir, por recorrência, uma sucesão de pontos que
verifique as condições iniciais do axioma de Arquimedes, isto é, uma uma sucesão de pontos
(An)n incidentes numa recta r tal que
A0A1 ≡ AnAn+1
Teorema . 4.5 Existência de medidas de segmentos e ângulos
Num plano verificando os grupos de axiomas I, II, III e o axioma IV-1 existe uma medida de
segmentos e existe uma medida de ângulos.
Terminamos esta secção enunciando o chamado Teorema Fundamental da Geometria Absoluta.
Teorema . 4.6 O Teorema Fundamental da Geometria Absoluta
Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é inferior ou igual a soma das
medidas de 2 rectos.
Exercícios . 4.7
1. Considere-se um plano verificando os grupos de axiomas I, II, III e IV e A o conjunto de ângulos
do plano. Prove que se existir uma medida m∠ : A −→ R + , dado k ∈ R + é possível definir uma
medida m∠ ′ : A −→ R + tal que a medida do ângulo recto seja precisamente k.
2. O plano afim real R×R verifica os axiomas de continuidade?
46
B2
B1

5 O axioma das paralelas
Durante séculos, os matemáticos pensaram que o V Postulado de Eclides era na realidade
um teorema e tentaram prova-lo a partir dos outros axiomas e postulados. Existem inúmeras
demonstrações falsas, muitas de elas obtidas usando resultados “evidentes” que resultavam ser,
de facto, enunciados equivalentes ao tal V Postulado.
O V Postulado de Euclides :
– sejam r e s duas recta incidentes no mesmo plano, intersectadas por uma recta t em pontos
R e S respectivamente. Fixemos os pontos S1 e R1 incidentes com s e r respectivamente e no
mesmo semiplano definido por t. Suponhamos que os ângulos ∠R1RS e ∠RSS1 têm soma das
medidas inferior a 2 rectos. Então as rectas r e s incidem num ponto desse semiplano.
t
R
R1
S S1
Apresentamos de seguida alguns dos enunciados equivalentes ao V Postulado:
• Existe um triângulo em que a soma das medidas dos ângulos internos é igual a dois rectos;
• Em qualquer triângulo a soma das medidas dos ângulos internos é igual a dois rectos;
• Existem três pontos equidistantes de uma recta pertencentes a um dos semi-planos
definido pela recta e que são colineares;
• Há um ponto P e uma recta r não incidentes tais que não há mais do que uma recta
incidente com P e paralela a r.
• (Axioma das paralelas de Playfair) Dados um ponto P e uma recta s quaisquer não
incidente em P não existe mais do que uma recta incidente com P e paralela a s;
• Duas rectas paralelas a uma terceira são paralelas entre si;
• Por um ponto interior de um ângulo incide sempre uma recta que intersecta ambos os
lados do triângulo
Só no século XIX, a partir dos trabalhos de Bolay e de Lobachevsky, ficou definitivamente
estabelecido que o V Postulado era independente dos outros e que era preciso considera-lo para
conseguir os resultados de Euclides.
47
r
s

Actualmente, chama-se geometria euclideana à geometria definida axiomaticamente pelos
grupos de axiomas I-II-III-IV (axiomas da Geometria Absoluta) mais qualquer um dos enunciados
anteriores, equivalentes ao V postulado de Euclides. Chama-se geometria hiperbólica à
geometria constituida pelos resultados que dependem logicamente dos axiomas da Geometria
Absoluta e do axioma das paralelas de Lobastchevsky:
“ Há um ponto P e uma recta r nao incidentes, tais que existe mais do que uma recta
incidente com P e paralela a r.”
O modelo básico do plano euclidiano é o plano real R 2 com a estrutura bem conhecida.
Modelos do plano hiperbólico são, por exemplo, os planos 5 e 7 de 1.5.
Atenção !! Existem noções na geometria hiperbólica definidas na geometria absoluta como
paralelismo, equidistância ... que aparecem com distintas propriedades às da geometria euclideana,
se calhar um bocadinho longe da nossa intuição geométrica. Por exemplo, na geometria
hiperbólica ...
• dada uma recta, não existe uma outra recta equidistante dessa;
• para dois triângulos serem congruentes basta que o sejam os ângulos;
• a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre inferior a dois rectos;
• há três pontos não incidentes numa recta que não definem nenhuma circunferência;
• a relação de paralelismo não é uma relação de equivalência no conjunto das rectas...
Exercícios . 5.1
1. Verifique que o plano 6 de 1.5 não verifica o axioma das paralelas de Playfair.
hiperbólico segundo a nossa definição?
2. O plano afim real R×R verifica o axioma de paralelas de Playfair?
48
É um plano

II. O Plano Euclidiano
1 Um modelo analítico do plano euclidiano
Um plano euclidiano é um plano de incidência que verifica os axiomas de incidência, ordem,
congruência, continuidade e o V Postulado de Euclides. O modelo básico de plano de incidência
euclidiano (P, L,I) é o plano afim real:
• os pontos são os pontos de R 2 , P = R 2 ;
• as rectas (os elementos de L), são as rectas afins de R 2 , isto é, subconjuntos r de R 2 do
tipo:
r = {(x,y) ∈ R : ax+by +k = 0}
onde (a,b)=/ (0,0)
• a relação de incidência é a relação usual de pertença, i.e., um ponto M = (x,y) incide
em r se e só se ax+by +k = 0.
• a relação “estar entre” define-se do seguinte modo:
sejam A e B pontos do plano R2 , dizemos que um ponto C do plano está entre A e B se
existir λ ∈]0,1[ tal que:
−→
AC = λ −→
AB
A
• a relação de congruência de segmentos define-se do modo seguinte:
C
B
Dados A e B, pontos de R 2 definimos o comprimento do segmento AB e denotamos por
AB como
AB := (a1 −b1) 2 +(a2 −b2) 2
se A = (a1,a2) e B = (b1,b2). Dados A, B, A ′ e B ′ pontos de R 2 , dizemos que os
segmentos AB e A ′ B ′ são congruentes quando tiverem o mesmo comprimento, AB =
A ′ B ′ .
49

Note-se que para completar o nosso modelo analítico do plano euclidiano precisamos de
definir a congruência de ângulos e verificar os axiomas de incidência, ordem, congruência,
continuidade e o V Postulado de Euclides (ou um enunciado equivalente, como o axioma das
paralelas de Playfair).
Acongruênciadeângulosdefinir-se-áapartirdochamadocossenodeumângulogeométrico.
Este cosseno, por sua vez, é definido usando o produto escalar usual, designado por ·, e a norma
euclidiana,designadapor·. Nofinaldasecçãolembram-seaspropriedadesbásicasdoproduto
escalar usual e da norma euclidiana.
De facto, a norma euclidiana já foi implicitamente usada na definição de comprimento AB de
um segmento AB:
AB := (a1 −b1) 2 +(a2 −b2) 2 = −→
AB
Proposição . 1.1 Seja h+ uma semi-recta de origem O. Existe um único vector u ∈ R2 verificando:
1. u = 1;
2. um ponto P incide em h+ se e só se −→
OP = λu λ ∈ R + .
(Demonstração)
Seja P0 um ponto fixado da semi-recta h+. No exercício 4.3 verificou-se que um ponto P incide
em h+ se e só se −→ −−→
OP = µ OP0 com µ ∈ R + .
−−→
OP0
Considere-se o vector u :=
−−→
OP0 .
Se P incidir em h+ então −→ µ
OP = λu com λ =
−−→
OP0 ∈ R+ . Reciprocamente, se −→
OP = λu,
com λ ∈ R + , tem-se que −→ −−→
OP = µ OP0 com µ = λ −−→
OP0 ∈ R + e portanto P incide em h+.
Sejam u e u ′ verificando as condições 1 e 2. O ponto P0 incide em h+ por tanto
com λ,λ ′ ∈ R + . Em particular
donde u = u ′ .
−−→
OP0 = λu e
−−→
OP0 = λ = λ ′
−−→
OP0 = λ ′ u ′
Definição . 1.2 Vector director unitário de uma semi-recta
Seja h+ uma semi-recta de origem O. O vector u nas condições da proposição anterior diz-se
vector director unitário da semi-recta h+.
Note-se que, se u é o vector director unitário da semi-recta h+, então −u é o vector director
unitário da semi-recta oposta h−.
50

Definição . 1.3 Cosseno do ângulo entre semi-rectas
Sejam h+ e k+ semirectas de origem O e vectores directores unitários respectivos v e w. Definimos
o cosseno do ângulo ∠{h+,k+} como
cos∠{h+,k+} = v·w
Definição . 1.4 Congruência de ângulos
Dizemos que dois ângulos são congruentes quando o cosseno for igual.
Nota 1.5 Cosseno de um ângulo ∠POR
Sejam P, O e R três pontos do plano não colineares. O cosseno do ângulo ∠POR é o escalar:
cos∠POR =
−→
OP · −→
OR
−→ −→
OP OR Estudamos de seguida algumas propriedades do cosseno de ângulos.
Proposição 1.6 Propriedades do cosseno de ângulos
Sejam h+ e k+ semi-rectas de origem O. Tem-se
1. −1 < cos∠{h+,k+} < 1;
2. cos∠{h+,k+} = −cos∠{h+,k−}, em particular, um ângulo ∠{h+,k+} é recto se e só se
cos{h+,k+} = 0;
3. se r+ é uma semi-recta de origem O interior ao ângulo ∠{h+,k+} então
(Demonstração)
O
h+
cos∠{h+,k+} < cos∠{h+,r+}
r+
k+
1. Deduz-se da desigualdade de Cauchy-Schwarz.
2. Sejam u e v os vectores directores unitários de h+ e k+, respectivamente. O vector −v
é então o vector director de k−. Tem-se
cos∠{h+,k+} = u·v e cos∠{h+,k−} = u·(−v) = −(u·v)
O ângulo ∠{h+,k+} é recto se e só se ∠{h+,k+} e ∠{h+,k−} são congruentes, isto é, se
e só se
cos∠{h+,k+} = cos∠{h+,k−}
donde u·v = 0.
51

3. Sejam u, v e w os vectores directores unitários das semi-rectas h+, r+ e k+, respectivamente.
Se a semi-recta r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+} tem-se que
com λ,µ ∈ R + (exercícios 1.16).
v = λu+µw
Seja K = cos∠{h+,k+} = u·w. Pelas propriedades do produto escalar, como u e w são
vectores unitários,
É preciso provar então que
cos{h+,r+} = u·v = u·(λu+µw) = λ+µK
λ+µK > K (∗)
Note-se que, como v é um vector unitário, os escalares positivos λ e µ verificam ainda
1 = v 2 = v·v = λ 2 +µ 2 +2λµK (1)
Considerem-se separadamente os casos 0 < K < 1 e −1 < K < 0
(se K = 0 a desigualdade (*) é directa já que λ > 0).
Se 0 < K < 1, tem-se, em particular, que µ < 1 (desigualdade (1)) Assim,usando ainda
(1),
λ+µK > K ⇔ (λ+µK) 2 > K 2
⇔ λ 2 +µ 2 K 2 +2λµK > K 2
⇔ 1−µ 2 +µ 2 K 2 > K 2
⇔ 1−µ 2 > (1−µ 2 )K 2
Se −1 < K < 0, podemos supor µ > 1 e λ+µK < 0.
(Se µ ≤ 1 ou λ+µK ≥ 0 a desigualdade (*) é directa)
Usando argumentos análogos aos anteriores obtemos
Teorema 1.7 Teorema dos cossenos
Seja △ABC um triângulo do plano. Verifica-se
λ+µK > K ⇔ (λ+µK) 2 < K 2
⇔ λ 2 +µ 2 K 2 +2λµK < K 2
⇔ 1−µ 2 +µ 2 K 2 < K 2
⇔ 1−µ 2 < (1−µ 2 )K 2
BC 2 = AB 2 +AC 2 −2(AB)(AC)cos∠BAC
(Demonstração)
Directa, usando que −→
BC = −→
BA+ −→
AC e as propriedades do produto escalar.
52

Corolário 1.8 O Teorema de Pitágoras
Seja △ABC um triângulo do plano. O ângulo ∠BAC é recto se e só se
(Demonstração)
BC 2 = AB 2 +AC 2
Directa, recorde-se que o ângulo ∠BAC é recto se e só se cos∠BAC = 0.
Teorema . 1.9
O plano R 2 verifica os axiomas de incidência, ordem, continuidade, congruência, continuidade
e o axioma das paralelas de Playfair.
Este teorema foi provado quasi na totalidade nos exercícios do capítulo anterior. O esquema
de demonstração dos axiomas III-3 e III-4 apresenta-se nos exercícios.
Em resumo
ATENÇÃO!!!!
O plano R 2 é um modelo analítico do plano euclidiano
O “cosseno” do ângulo definido por duas semi-rectas é simplesmente um número real associado
a cada ângulo geométrico do plano, ou seja, se A designa o conjunto de ângulos do plano, cos
é uma aplicação
cos : A −→]−1,1[
e NÃO a função real de variável real chamada cosseno. Existe, obviamente, uma ligação
entre estas duas aplicações, que podemos estabelecer usando a função trigonométrica inversa
arco-cosseno.
Como a imagem de cos está contida no intervalo [-1,1], podemos compor esta aplicação com
a função bijectiva arco-cosseno
arccos : [−1,1] −→ [0,π]
e associar a cada ângulo ∠{h+,k+} do plano um único real α ∈]0,π[ que verifica:
(Eis a relação entre os dois “cossenos”!!!)
cos∠{h+,k+} = cosα
53

A função composta
A cos
−→]−1,1[ arccos
−→ ]0,π[
permite identificar cada classe de ângulos congruentes do plano com um escalar α ∈]0,π[. De
facto, esta aplicação é uma medida no conjunto de ângulos.
(Nofinaldasecção,nanota1.15,lembram-seaspropriedadesbásicasdasfunçõestrigonométricas
e trigonométricas inversas)
Proposição 1.10 Medida de ângulos
A aplicação m∠ : A −→]0,π[ definida pela composta m∠ := arccos ◦ cos verifica:
1. dois ângulos ∠{h+,k+} e ∠{m+,n+} são congruentes se e só se
2. se r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+} então
m∠{h+,k+} = m∠{m+,n+};
m∠{h+,k+} = m∠{h+,r+}+m∠{r+,k+};
3. um ângulo é recto se e só se a medida for π/2;
4. a soma das medidas de dois ângulos suplementares é π.
Em particular, m∠ é uma medida de ângulos.
(Demonstração)
As propriedades 1, 3 e 4 são directas a partir da proposição 1.6 e das propriedades da função
arco-cosseno (consultar nota 1.15).
Sejam h+, k+ e r+ semi-rectas de origem O tais que r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+}.
Pela proposição 1.6, tem-se que
−1 < cos∠{h+,k+} < cos∠{h+,r+} < 1
e então, como o arco-cosseno é uma função decrescente
π > m∠{h+,k+} > m∠{h+,r+} > 0
54

Designemos
α = m∠{h+,r+} β = m∠{r+,k+} γ = m∠{h+,k+}
Como α < γ, tem-se 0 < γ −α < π e então
γ = α+β ⇐⇒ β = γ −α ⇐⇒ cosβ = cos(γ −α)
O
β
γ
α
Sejam u,v e w os vectores unitários respectivos das semi-rectas h+, r+ e k+. Note-se que,
α,β,γ ∈]0,π[ e verificam
cosα = cos{h+,r+} = u·v
k+
r+
h+
cosβ = cos{r+,k+} = v·w
cosγ = cos{h+,k+} = u·w
Como r+ é interior ao ângulo ∠{h+,k+} existem λ,µ ∈ R + tais que v = λu+µw. Tem-se
1 = v·v = λ 2 +µ 2 +2λµcosγ
cosβ = v·w = λcosγ +µ
cosα = u·v = λ+µcosγ
Usando a primeira e a terceira igualdade podemos deduzir
sinα = 1−cos 2 α = 1−µ 2 cos 2 γ −λ 2 −2λµcosγ = µ( 1−cos 2 γ)
E tem-se também sinγ = 1−cos 2 γ. Usando a conhecidas fórmulas trigonométricas e os
resultados anteriores obtem-se:
cos(γ −α) = cosγcosα+sinγsinα = cosγ(λ+µcosγ)+µ(1−cos 2 γ) = µ+λcosγ = cosβ
Definição . 1.11 Medida de ângulos
Sejamh+ ek+ duas semi-rectasdeorigemO comvectoresdirectoresunitáriosvew. Definimos
a medida do ângulo ∠{h+,k+}, e designamos por m∠{h+,k+} como :
m∠{h+,k+} = arccos(v·w)
55

O Teorema indicado de seguida é o recíproco (válido unicamente na geometria euclidiana) do
teorema 3.21 sobre as paralelas na geometria absoluta.
Teorema 1.12 Paralelismo na geometria euclideana
1. A relação de paralelismo é uma relação de equivalência no conjunto das rectas;
2. Sejam r e r ′ duas rectas distintas de um plano euclideano incidentes numa terceira recta
s em pontos O e O ′ respectivamente. Considerem-se r+ e r ′ − as semirectas de origem O e
O ′ , com suporte r e r ′ , respectivamente, situadas em semiplanos opostos definidos por s.
Sejam sO e sO ′ as semirectas de origem O e O′ que não incidem O ′ e O, respectivamente.
r
r ′
sO ′
r ′ +
O ′
Então, se as rectas r e r ′ são paralelas, os ângulos ∠{sO,r+} e ∠{sO ′,r′ −} são congruentes;
3. Sejam r e r ′ duas rectas paralelas. Uma recta s é perpendicular a r se e só se é perpendicular
a r ′ .
(Demonstração)
1. A reflexividade e simetria são directas da definição de paralelismo (o problema na geometria
absoluta está na transitividade) Sejam r ′ e r ′′ paralelas a uma recta r. Se r ′ e r ′′
não são paralelas entre si, existe um ponto P incidente em r ′ e r ′′ . Assim, existem duas
rectas incidentes em P e paralelas a r (absurdo).
2. Sejam r e r ′ paralelas. Usando o axioma III-3, podemos definir uma semi-recta r ′′ + com
origem o ponto O ′ , incidente no semi-plano definido por s oposto ao incidente em r+, e tal
que ∠{r ′′ +,sO ′} ≡ ∠{sO,r+}. Pelo teorema 3.21 (capítulo I), a recta r ′′ é então paralela
a recta r e incide em O ′ . Usando o axioma de Playfair, r ′′ = r ′ e assim r ′ e r formam
ângulos correspondentes iguais.
3. Sejam r e r ′ rectas paralelas, e s uma perpendicular a r no ponto O. Note-se que r ′ e
s não são paralelas, pois, pela alínea 1, se fossem, ter-se-ia que s é paralela também a r
(absurdo). Seja O ′ o ponto de incidência de r ′ e s. Pelo alínea anterior, como r e r ′ são
paralelas, os ângulos correspondentes são congruentes e portanto, s é perpendicular a r ′ .
56
O
sO
r+

Nota 1.13 Geometria Analítica em R 2
• Equações das rectas afins
A equação ax+by+k = 0 diz-se uma equação cartesiana da recta afim r e a recta vectorial
ax+by = 0 diz-se recta vectorial associada a r. Se P = (p1,p2) é um ponto incidente em r e
v = (v1,v2) é um vector gerador da recta vectorial associada a r, a expressão r ≡ P+ < v >
diz-se uma equação vectorial de r. Um ponto M = (x,y) incide em r se e só se existir λ ∈ R
tal que: x = p1 +λv1
y = p2 +λv2
Estas equações são chamadas equações paramétricas da recta r.
• Paralelismo em R 2
Duas rectas de equações cartesianas ax+by +k = 0 e a ′ x+b ′ y +k ′ = 0 são paralelas se e
só se (a,b) e (a ′ ,b ′ ) são proporcionais. Usando as equações vectoriais, as rectas r ≡ P+ < v >
e r ′ = P ′ + < v ′ > são paralelas se só se v e v ′ são proporcionais.
• Recta incidente em dois pontos
Sejam A = (a1,a2) e B = (b1,b2) dois pontos distintos de R 2 . A recta r,
r ≡ A+ < −→
AB >= (a1,a2)+ < (b1 −a1,b2 −a2) >
ou, equivalentemente, a recta r definida pela equação cartesiana
x−a1 y −a2
det = 0
incide em A e em B.
b1 −a1 b2 −a2
Nota 1.14 Produto escalar e norma usual em R 2
No plano vectorial real R 2 recorde-se que o produto escalar usual ou produto interno usual,
designado por · é a aplicação (R 2 ) × (R 2 ) −→ R definida por v · w = v1w1 + v2w2, sendo
v,w ∈ R 2 , v = (v1,v2) e w = (w1,w2).
Dados u,v, e w vectores de R 2 tem-se:
1. (u+v)·w = u·w+v·w;
2. u·(v+w) = u·v+u·w;
3. u·(λw) = λ(u·w) = (λu)·w;
4. v·w = w·v;
5. v·v ≥ 0;
6. se u·v = 0, ∀v ∈ R 2 , então u = 0.
57

Recorde-se ainda que o produto interno num espaço vectorial permite definir uma norma.
No plano vectorial real R 2 munido do produto interno usual define-se a norma de um vector
v ∈ R 2 , que se designa por v como v = √ v·v. A norma verifica:
1. v ≥ 0;
2. v = 0 se e só se v = 0;
3. λv| = |λ|v;
4. |v·w| ≤ v w (desigualdade de Cauchy-Schwarz) e tem-se a igualdade se e só se v e
w são proporcionais;
5. v+w ≤ v+w (desigualdade triangular) e tem-se a igualdade se e só se v = λw
com λ ≥ 0
Nota 1.15 Trigonometria
Assumimos 3 a existência de uma função chamada cosseno que a cada número real α faz
corresponder um valor de [−1,1]. Lembramos de seguida as propriedades principais desta
função real cosseno e de outra função real, chamada seno, estreitamente ligada à anterior.
As funções definidas em R com contradomínio [−1,1], que chamamos cosseno e seno, e designamos
por cos e sin, respectivamente, verificam as seguintes propriedades:
1. A função cos é par, periódica de período 2π e admite derivadas de qualquer ordem em
qualquer ponto do domínio.
2. A função sin é ímpar, periódica de período 2π e admite derivadas de qualquer ordem em
qualquer ponto do domínio.
3. (Identidade Fundamental) sin 2 α+cos 2 α = 1 ∀α ∈ R
Verifica-se também que, dados a, b ∈ R tais que a 2 +b 2 = 1, existe um único α ∈ [0,2π[
tal que a = cosα e b = sinα.
4. (Formulário de trigonometria.)
⎧
⎨
⎩
sin(α+β) = sinαcosβ +cosαsinβ
cos(α+β) = cosαcosβ −sinαsinβ
∀α,β ∈ R
3 Existem várias definições “formais”das funções trigonométricas seno ecosseno: como uma sériedepotências,
como solução de certa equação diferencial, como a inversa de certa função integral. Também se deveria definir
formalmente o número real π. Tudo isto se pode encontrar nos livros de análise real!
58

⎧
sin(−α) = −sinα cos(−α) = cosα
⎪⎨
⎪⎩
sin( π
−α) = cosα cos(π −α) = sinα
2 2
sin(α+ π π
) = cosα cos(α+ ) = −sinα
2 2
sin(α+π) = −sin(α) cos(α+π) = −cosα
∀α ∈ R
5. A restrição da função cosseno ao intervalo [0,π] é uma função injectiva de contradomínio
[−1,1] cuja função inversa denominamos arco-cosseno e designamos por arccos.
6. arccosx+arccos(−x) = π, para todo x ∈ [−1,1].
Exercícios . 1.16
1. Caracterização analítica de semi-planos e ângulos
(a) Prove que, dados dois pontos P e P ′ não incidentes numa recta r, o ponto P ′ incide no
mesmo semiplano que P se e só se P ′ = A + λ −→ −→
AB + µ AP, com µ > 0, e A e B pontos
distintos de r.
(b) Sejam A, B e C pontos do plano. Prove que um ponto M é interior ângulo ∠BAC se e só
se M = A+λ −→ −→
AB +µ AC, com λ > 0 e ν > 0.
2. O Axioma III-3
(a) Seja −→ u um vector unitário do plano. Prove que, dado a ∈ [−1,1], existem unicamente dois
vectores unitários w e w ′ tais que u·w = u·w ′ = a.
(b) Seja P um ponto incidente numa semirecta h+ de origem O tal que OP = 1 (Existe
tal ponto?) Dado a ∈] − 1,1[, w e w ′ vectores verificando a condição da alínea anterior,
considere os pontos R e R ′ definidos por R = O+w e R = O+w ′ . Qual o valor do cosseno
dos ângulos ∠ROP e ∠ROP ′ ?
(c) Deduza o axioma de congruência III-3.
3. O Axioma III-4
(a) Sejam A, B e C três pontos não colineares do plano. Designamos por a = BC, b = AC e
c = AB. Use o teorema dos cossenos para provar que
cos∠ABC = c b
−
a a cos∠CAB
Qual o resultado análogo que determina cos∠BCA?
(b) Deduza o axioma de congruência III-4 (Sugestão: a alínea anterior indica que os cossenos
dos ângulos de um triângulo ficam determinados a partir do comprimento de dois lados
adjacentes e o cosseno do ângulo desse vértice ...)
59

4. Caracterização analítica da mediatriz de um segmento e dos semi-planos por ela definidos
Sejam A e A ′ dois pontos distintos.
(a) Verifique analíticamente que existe um único ponto P colinear com A e A ′ verificando
AP = A ′ P (que é o ponto médio entre A e A ′ );
(b) Verifique analíticamente que dado λ > 0 existem exactamente dois pontos P1 e P2, colineares
com A e A ′ , tais que APi = λA ′ Pi, um deles interior ao segmento e outro exterior.
(c) Prove que se P incide na mediatriz m do segmento AA ′ se e só se AP = A ′ P.
P
M
A A′
(Sugestão: aplicar LAL, teorema do triângulo isósceles ...)
(d) Prove que P incide no semi-plano definido por m incidente em A ′ se e só se AP > A ′ P.
(Sugestão: considerar os triângulos △PMA e △PMA ′ , com M o ponto médio entre A e A ′ ,
usar o teorema dos cossenos ...)
60

2 Triângulos e quadriláteros
No plano euclideano R 2 :
• Dados A, B e C três pontos não colineares, recorde-se que chamamos triângulo e designamos
por ∆ABC ao subconjunto de R 2
∆ABC = AB ∪BC ∪CA
Os pontos A B e C são chamados vértices do triângulo, os segmentos AB, BC e CA lados
do triângulo e os ângulos ∠BCA, ∠ABC e ∠CAB ângulos interiores do triângulo. Os suplementares
de um ângulo interno são chamados ângulos exteriores do triângulo.
B
AB
A
BC
AC
C
• Um triângulo diz-se isósceles quando tiver dois lados congruentes ou, equivalentemente,
dois ângulos. Um triângulo diz-se equilátero quando tiver os três lados congruentes.
B
Proposição . 2.1 Desigualdade triangular e existência de triângulos
1. Se A, B e C formam um triângulo então:
com AB = c, BC = a e CA = b.
A
a+b > c, b+c > a e c < a+b
2. Se a, b e c são três reais positivos tais que a+b > c, b+c > a e c < a+b então existe
um triângulo △ABC tal que AB = c, BC = a e CA = b.
(Demonstração)
1. Directa da desigualdade triangular verificada pelo norma usual de R 2 .
2. O objetivo é construir um triângulo cujos lados tenham as medidas exigidas. Observe-se
que, pelo teorema dos cossenos, o cosseno do ângulo no vértice A deve ser igual a
b 2 +c 2 −a 2
2bc
Em particular este quociente deve estar entre -1 e 1. As desigualdades indicadas asseguram
esta condição:
61
C

Como a < b+c então a2 < b2 +c2 +2bc donde −1 = −2bc
2bc < b2 +c2 −a2 . Suponha-se
2bc
que b > c (o caso c < b é análogo), como 0 < b−c < (a+c)−c tem-se b2 +c2 −2bc < a2 donde
b2 +c2 −a2 Considere-se então α = b2 +c 2 −a 2
2bc
< 2bc
= 1
2bc
que verifica −1 < α < 1. Podemos então definir o
2bc
triângulo A = (0,0), C = (b,0) e B = (cα,c √ 1−α 2 ) e tem-se que AB = c, AC = b e
BC = a.
A = (0,0)
B = (cα,c √ 1−α 2 )
c a
b
C = (b,0)
Note-se que a existência de UM triângulo nessas condições permite assegurar (usando os
axiomasdecongruênciaeocritérioLAL)aexistênciadeumtriângulo△A ′ B ′ C ′ quaisquer
que sejam os pontos A ′ e B ′ verificando A ′ B ′ = c.
Teorema 2.2 A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é π.
(Demonstração)
Seja r ′ a recta paralela à recta < B,C > e incidente em A.
B ′
B
A
C ′
C
Considerem-se os pontos C ′ e B ′ incidentes em r ′ e tais que C ′ incide no semi-plano definido
por < A,B > incidente em C e B ′ incide no semi-plano definido por < A,C > incidente em
B. Pelo teorema 1.12, tem-se as congruências
∠C ′ AC ≡ ∠ACB e ∠B ′ AB ≡ ∠ABC
Aplicando as propriedades da medida de ângulos obtemos
m∠ABC +m∠BCA+m∠CAB = π
62

Definição . 2.3 Triângulos semelhantes
Dois triângulos são semelhantes quando os ângulos internos são congruentes dois a dois.
Em particular, dois triângulos congruentes são sempre semelhantes.
B
A
C
B
Proposição . 2.4 Critério LAL para triângulos semelhantes
Sejam △ABC e △A ′ B ′ C ′ dois triângulos tais que
∠CAB ≡ ∠C ′ A ′ B ′
e
A
AB
A ′ B
AC
= ′ A ′ = λ
C ′
Então tem-se também que BC
B ′ C ′ = λ e os triângulos △ABC e △A′ B ′ C ′ são semelhantes.
(Demonstração)
Usar o teorema dos cossenos.
Corolário . 2.5 Teorema de Tales4 Sejam r e m duas rectas do plano incidentes num ponto A, s e s ′ duas rectas do plano incidentes
em r e m, respectivamente em pontos B, C, B ′ e C ′ , com ∠BAC e ∠B ′ AC ′ são iguais ou
verticalmente opostos. Então
A B
as rectas s e s ′ são paralelas se e só se AB′
AB
s
C
C ′
s ′
m
B
′
r
s
B
C
= AC′
AC .
C
C ′
A
B ′
4 Tales de Mileto foi um filósofo e matemático da Antiga Grécia (640-546 a.C.). Este teorema, apesar de ser
usualmente designado por Teorema de Tales, era na verdade conhecido anteriormente pelos egípcios.
63
s ′
r
m

(Demonstração)
Se AB′
AB
= AC′
AC os triângulos △ABC e △AB′ C ′ são semelhantes (proposição 2.4). Os ângulos
∠AB ′ C ′ e ∠ABC são então congruentes e portanto < B,C > e < B ′ ,C ′ > são paralelas
(teorema 3.22 do capítulo anterior).
Reciprocamente, suponham-se < B,C > e < B ′ C, ′ > paralelas. Podemos definir o ponto C ′′
na semi-recta de origem A incidente em C ′ que verifica
C
A B
C ′′
C ′
B
′
AC AB
=
AC ′′ AB ′
B
C
C
′′
A
B ′
As rectas < B,C > e < B ′ ,C ′′ > são paralelas (parte anterior do corolário) mas, por
hipótese, < B ′ ,C ′ > é paralela a < B,C > e incide em B ′ logo < B ′ ,C ′ >=< B ′ ,C ′′ > e
portanto C ′ = C ′′ .
Teorema . 2.6 Caraterizações de triângulos semelhantes
Sejam ∆ABC e ∆A ′ B ′ C ′ dois triângulos de R2 . Há equivalência entre:
1. ∆ABC e ∆A ′ B ′ C ′ são semelhantes
2. ∆ABC e ∆A ′ B ′ C ′ têm dois pares de ângulos congruentes
3. AB
A ′ B
(Demonstração)
AC
= ′ A ′ BC
=
C ′ B ′ C ′
(1. ⇒ 2.) directa.
(2. ⇒ 3.) Suponha-se que ∠CAB ≡ ∠C ′ A ′ B ′ e ∠ABC ≡ ∠A ′ B ′ C ′ . Definam-se os pontos
B ′′ e C ′′ nas semi-rectas de origem A e incidentes em B e C respectivamente, que verificam
AB ′′ ≡ A ′ B ′ e AC ′′ ≡ A ′ C ′ .
C
A B
C ′′
B
′′
64
A
′
C ′
B
′
C
′

Pelo critério LAL, os triângulos △AB ′′ C ′′ e △A ′ B ′ C ′ são congruentes e portanto
∠ABC ≡ ∠A ′ B ′ C ′ ≡ ∠AB ′′ C ′′
Como os ângulos correspondentes são congruentes, as rectas < C,B > e < C ′′ ,B ′′ > são
paralelas donde (teorema de Tales)
AC AB
=
AC ′′ AB ′′
E, usando a proposição 2.4, obtemos que
BC
B ′′ AC
=
C ′′ AC ′′
Note-se que A ′ B ′ = AB ′′ , A ′ C ′ = AC ′′ e C ′ B ′ = C ′′ B ′′ portanto
AC
A ′ C
AB
= ′ A ′ BC
=
B ′ B ′ C ′
(3. ⇒ 1.) Directa, a partir do teorema dos cossenos.
Quadriláteros
Recorde-se que, se A, B, C e D são pontos do plano tais que no conjunto {A,B,C,D} não
há três pontos colineares, chamamos quadrângulo ou quadrilátero não degenerado e designamos
por ABCD o subconjunto de P:
ABCD = AB ∪BC ∪CD ∪DA
Os pontos A B, C e D são chamados vértices do quadrilátero, os segmentos AB, BC, CD e
DA lados do quadrilátero, os segmentos AC e BD as diagonais do quadrilátero.
Recorde-se ainda que um quadrilátero não degenerado ABCD diz-se quadrilátero convexo
se as diagonais AC e BD se intersectam. Nos quadriláteros convexos, os ângulos ∠DAB,
∠ABC, ∠BCD e ∠CDA são chamados ângulos internos do quadrilátero. Num quadrilátero
convexo, os pares de ângulos ∠DAB e ∠BCD, ∠ABC e ∠CDA, são ditos ângulos opostos e
os pares de ângulos não opostos são ditos ângulos adjacentes.
D
A
65
B
C

• Um quadrilátero convexo diz-se paralelogramo quando os ângulos opostos são congruentes.
• Um quadrilátero convexo diz-se rectângulo quando os ângulos internos são rectos.
• Um quadrilátero convexo diz-se losango quando todos os lados são congruentes.
′′ ′′
′′
′′
• Um quadrilátero losango e rectângulo diz-se quadrado, isto é, um quadrilátero com todos
os lados congruentes e todos os ângulos rectos.
=
Proposição 2.7 Propriedades básicas dos quadriláteros
′′
′′
=
1. A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 2π. Em particular,
num paralelogramo, os ângulos adjacentes são suplementares (isto é, a soma das
medidas é π).
2. (Primeira caracterização de paralelogramo)
Um quadrilátero não degenerado ABCD é um paralelogramo se e só se
< A,B > / < C,D > e < B,C > / < D,A >
66

3. (Segunda caracterização de paralelogramo)
Um quadrilátero convexo é um paralelogramo se e só se os lados opostos são congruentes.
Em particular, um losango é sempre um paralelogramo.
4. (Terceira caracterização de paralelogramo)
Um quadrilátero não degenerado ABCD é um paralelogramo se e só se as diagonais
AC e BD incidem no ponto médio, isto é, AC e BD incidem num ponto M que é ponto
médio entre A e C e ponto médio entre B e D.
5. (Teorema de Varignon)
Os pontos médios de um quadrilátero convexo formam um paralelogramo.
(Demonstração)
1. Seja ABCD um quadrilátero convexo. Se se considerar os triângulos ∠ABD e ∠BCD,
verifica-se que D é interior ao ângulo ∠ABC e que B é interior ao ângulo ∠ADC portanto
m∠ABC = m∠ABD +m∠DBC e m∠ADC = m∠BDA+m∠CDB
D
A
O resultado deduz-se então das igualdades
m∠ABD +m∠BDA+m∠DAB = π e m∠DBC +m∠BCD +m∠CDB = π
67
B
C

2. Primeira caracterização de paralelogramo
Suponha-se ABCD um paralelogramo, por razões análogas à alínea anterior tem-se que
Sejam
Note-se que
m∠ABC = m∠ABD +m∠DBC e m∠CDA = m∠BDA+m∠CDB
α = m∠DAB = m∠BCA β = m∠ABC = m∠CDA
β1 = m∠ABD β2 = m∠DBC δ1 = m∠CDB δ2 = m∠BDA
D
δ2
δ1
A
α
α
C
β1 β2
β = β1 +β2 = δ1 +δ2, α+β1 +δ2 = π e α+β2 +δ1 = π
donde β1 = δ1 e β2 = δ2. Pelo teorema 3.22 do capítulo anterior,
< A,B > / < D,C > e < B,C > / < A,D >
Reciprocamente, se A, B, C e D verificam as condições do enunciado, usando a caracterização
de paralelismo do capítulo anterior (exercício 2.17, alínea 5) obtemos que o
quadrilátero ABCD é convexo. Os ângulos opostos são congruentes como consequência
da caracterização das paralelas na geometria euclidiana (teorema 1.12).
3. Segunda caracterização de paralelogramo.
Seja ABCD um paralelogramo. Usando as notações da alínea anterior, como β1 = δ1,
β2 = δ2 e BD é um lado comum, os triângulos △ABD e △CDB são congruentes (critério
ALA) donde AB ≡ CD e DA ≡ CB.
Reciprocamente, usando o critério LLL, tem-se que △ABD ≡ △CDB donde
∠DAB ≡ ∠BCD, ∠ABD ≡ ∠CDB e ∠ADB ≡ ∠CBD
Como o quadrilátero é convexo,
m∠ABC = m∠ABD +m∠DBC e m∠ADC = m∠ADB +m∠CDB
e então também se verifica
B
∠ABC ≡ ∠ADC
Em resumo, ∠DAB ≡ ∠BCD e ∠ABC ≡ ∠ADC, portanto ABCD é um paralelogramo.
68

4. Terceira caracterização de paralelogramo.
Sejam ABCD um paralelogramo e M o ponto de intersecção das diagonais AC e BD.
Usando as notações e os resultados das alíneas anteriores tem-se
β1 = m∠ABM = m∠MDC β2 = m∠CBM = m∠MDA
De maneira análoga, se definirmos α1 = m∠DAM e α2 = m∠MAB tem-se também
α1 = m∠BCM e α2 = m∠MCD
D
β2
β1
A
α2
α1
M
α1
α2
C
β1 β2
Usando a alínea anterior e o critério ALA deduz-se
△ABM ≡ △CDM e △ADM ≡ △CBM
Em particular, AM ≡ CM e DM ≡ BM.
Reciprocamente, seja ABCD um quadrilátero não degenerado tais que AC e BD incidem
no ponto médio M. O quadrilátero ABCD é então um quadrilátero convexo.
Note-se que os ângulos ∠AMB e ∠CMD são verticalmente opostos e portanto congruentes
(e análogamente os ângulos ∠BMC e ∠DMA). Usando o critério LAL, deduzem-se
as congruências:
△AMB ≡ △CMD e △BMC ≡ △DMA
Em particular, AB ≡ DC e BC ≡ AD. Pelo segundo critério, o quadrilátero convexo
ABCD é um paralelogramo.
5. O Teorema de Varignon.
Seja ABCD um quadrilátero convexo. Considerem-se A ′ , B ′ , C ′ e D ′ os pontos médios
dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente.
A
A ′
D
D ′
C ′
O quadrilátero A ′ B ′ C ′ D ′ é não degenerado por ser ABCD não degenerado e convexo.
Usando o Teorema de Tales tem-se
B
B
B
C
′
< D ′ ,A ′ > / < D,B > / < C ′ ,B ′ > e < A ′ ,B ′ > / < A,C > / < D ′ ,C ′ >
E o teorema de Varignon deduz-se assim da primeira caracterização de paralelogramo.
69

3 Circunferências
Definição . 3.1 Circunferências, cordas, diâmetros, tangentes
Seja O um ponto do plano euclideano e λ um número real possitivo. Chamamos circunferência
de centro O e raio λ ao conjunto C de pontos do plano:
C = {A ∈ R 2 : AO = λ}
Sejam C uma circunferência de centro O e raio λ, λ ∈ R + .
• Chamamos corda da circunferência C a todo segmento cujos extremos sejam pontos de C.
• Chamamos diâmetros da circunferência àquelas cordas que incidem no centro da circunferência.
Os extremos dos diâmetros são chamados pontos diametralmente opostos da
circunferência.
• Seja A um ponto de uma circunferência C. Dizemos que uma recta r é tangente à circunferência
C no ponto A se o único ponto de incidência de r e C é o A.
• Sejam A e B pontos de uma circunferência C com centro O, não diametralmente opostos.
Oarco menordeextremosAeB definidonacircunferênciaéosubconjuntodeC designado
por AB e definido como:
AB = {A,B}∪{C ∈ C : C é interior ao ângulo ∠AOB}
O conjunto dos pontos de C, junto com A e B, que não pertencem ao arco menor diz-se
arco maior de extremos A e B.
r
A
O
70

Proposição . 3.2 Propriedades básicas das circunferências
Seja C uma circunferência de centro O e raio λ.
1. Se A é um ponto de C existe um único ponto A ′ de C colinear com O e A e verifica-se
que O é o ponto médio entre A e A ′ .
Por outras palavras, fixado um ponto da circunferência A, existe um único ponto A ′
diametralmente oposto, existe um único diâmetro incidente em A e o centro da circunferência
é o ponto médio entre dois pontos diametralmente opostos.
2. Se A e B são dois pontos não diametralmente opostos de C, o triângulo ∆AOB é isósceles
e então
∠BAO ≡ ∠ABO
3. Uma circunferência e uma recta incidem, no máximo, em dois pontos. Isto é, não existem
três pontos colineares numa circunferência.
4. Seja AB uma corda de C que não é diâmetro. Dado um ponto M ∈ AB, M é o ponto
médio entre A e B se e só se as rectas < O,M > e < A,B > são perpendiculares.
A
M
O
5. Sejam A e A ′ pontos diametralmente opostos de C, e B um ponto não colinear com os
anteriores. Se ∠ABA ′ for recto então B incide em C.
71
B

6. Sejam A e A ′ pontos diametralmente opostos da circunferência C e B outro ponto de C
distinto dos anteriores. Então
m∠ABA ′ = π
e m∠BOA
2
′ = 2m∠BAA ′ .
A
B
O A’
Note-se que a primeira afirmação é o recíproco da alínea anterior.
7. O ângulo do centro é duplo do ângulo na circunferência
Sejam B e C pontos não diametralmente opostos de uma circunferência de centro O.
Seja A um ponto da circunferência não interior ao ângulo ∠BOC. Então:
m∠BOC = 2m∠BAC.
8. Seja A um ponto da circunferência interior ao ângulo ∠BOC. Então
m∠BOC = 2π −2m∠BAC.
72
A
O
B
A’

9. Descrição analítica das circunferências
Seja C uma circunferência de centro O = (ω1,ω2) e C raio λ. C é dada analíticamente
por
C = {(x,y) ∈ R 2 : (x−ω1) 2 +(y −ω2) 2 = λ 2 }
A aplicação contínua 5 ω : R −→ R 2 definida por
verifica:
ω(t) = (λ(cos2πt)+ω1,λ(sin2πt)+ω2)
(a) ω(t) = ω(t ′ ) se e só se t−t ′ = k, com k ∈ Z;
(b) ω(R) = C (o conjunto imagem é a circunferência C).
(Demonstração)
1. SejaA ′ opontonasemi-rectadeorigemO opostaàincidenteemAqueverificaA ′ O = AO.
Por construção, A ′ incide em C e O é o ponto médio entre A e A ′ .
Suponha-se que existe B na circunferência C, colinear com O e A. Note-se que OA =
OB = λ. Há três posibilidades, O ∈ AB, A ∈ OB ou B ∈ OA.
Se O ∈ AB tem-se que B incide na semi-recta com origem O oposta à incidente em A e
verifica OB = OA, portanto B = A ′ .
Se A ∈ OB tem-se OB = OA + AB, donde OB > OA (absurdo). Se B ∈ OA tem-se
OA = OB +BA donde OA > OB (absurdo).
2. Se A e B não são diametralmente opostos então O,A e B não são colineares (alínea
anterior) e pode-se considerar o triângulo △AOB que verifica OB = λ = OA. Assim,
OA ≡ OB e △AOB é isósceles.
5 De facto trata-se de uma aplicação analítica.
73

3. Suponham-se A, B e C pontos incidentes em C e incidentes numa recta r. Pela alínea 1
podemos supor o centro O não incidente em r e considerar então os triângulos isósceles
r
△AOB △AOC △BOC
A
Suponha-se que B ∈ AC (os outros casos são análogos). Tem-se
O
B
∠BAO = ∠CAO e ∠BCO = ∠ACO
Usando a transitividade da congruência e o facto dos triângulos considerados serem
isósceles, obtém-se
∠CBO ≡ ∠BCO ≡ ∠BAO ≡ ∠ABO
Como ∠CBO ≡ ∠ABO, estes ângulos são rectos. Ter-se-ia então que as rectas < O,A >,
< O,B > e < O,C > são três rectas perpendiculares a r e incidentes em O (absurdo).
4. Note-se que o triângulo △AOB é isósceles.
Se M for o ponto médio entre A e B, aplicando LAL obtemos a congruência △AMO ≡
△BMO.
A
M
O
Em particular, como ∠AMO ≡ ∠BMO, estes ângulos são rectos e < M,O > é perpendicular
a < A,B >. O reciproco é directo por causa da unicidade da perpendicular.
74
B
C
r

5. Seja B um ponto não tal que ∠ABA ′ é recto. Considere-se o ponto médio M do segmento
AB.
B
A
M
O
Se se aplicar o teorema de Tales aos triângulos △AMO e △ABA ′ obtem-se
A ′
< M,O > / < B,A ′ >
Como∠ABA ′ érecto,pelaspropriedadesdoparalelismonageometriaeuclidiana(teorema
1.12) o ângulo ∠OMA também é recto. Usando o critério LAL obtemos então
△BMO ≡ △AMO
Em particular OB ≡ OA donde OB = λ e portanto B ∈ C.
6. Recorde-se que O pertence ao segmento AA ′ , portanto ∠BAO = ∠BAA ′ e O é interior
ao ângulo ∠ABA ′ .
A
B
O A’
Seja α = m∠BAO = m∠BAA ′ . Como △AOB é isósceles
A
m∠ABO = α
donde m∠AOB = π −2α. Os ângulos ∠AOB e ∠BOA ′ são suplementares e então
m∠BOA ′ = 2α
Mas △BOA ′ também é isósceles donde m∠OBA ′ = m∠OA ′ B. Assim
π = m∠A ′ OB +m∠OBA ′ +m∠BA ′ O = 2α+2m∠OBA ′
donde m∠OBA ′ = π
−α e então
2
m∠ABA ′ = m∠ABO +m∠OBA ′ = π
2
75
O
B
A’

7. Considerar o ponto A ′ diametralmente oposto de A. Aplicar a alínea anterior e as propriedades
da medida de ângulos considerando separadamente os dois casos seguintes: A ′
é interior ao ângulo ∠BOC ou A ′ não é interior ao ângulo ∠BOC.
8. Considerar o ponto A ′ diametralmente oposto a A, que não é interior ao ângulo ∠BOC.
Usar argumentos análogos à alínea anterior.
9. Directa.
Definição . 3.3 Mediatriz de um segmento
Chamamos mediatriz de um segmento AB a recta perpendicular ao segmento que incide no
ponto médio entre A e B.
Teorema . 3.4 Circuncentro de um triângulo
Seja ∆ABC um triângulo do plano.
1. As três mediatrizes dos lados do triângulo incidem num ponto chamado circuncentro do
triângulo.
2. A circunferência de centro o circuncentro O e raio OA incide também nos pontos B e C
e diz-se circunferência circunscrita ao triângulo ou também, que o triângulo está inscrito
na circunferência.
A
B
O
(Demonstração)
Sejam rC e rB as mediatrizes dos lados AB e AC, respectivamente. Se rC e rB fossem paralelas,
ter-se-ia que as rectas < A,B > e < A,C > são paralelas (absurdo). Sejam O o ponto de
intersecção dessas mediatrizes rC e rB e A ′ o ponto médio entre B e C. Usar o critério LAL
para provar que OB ≡ OA ≡ OC e o critério LLL para provar que ∠OA ′ C é recto. Assim,
< O,A ′ > é a mediatriz de BC.
Corolário . 3.5 Se duas circunferências se intersectam em três ou mais pontos então são
iguais.
76
C

Definição . 3.6 Medianas
Num triângulo do plano euclidiano, as rectas incidentes num vértice e no ponto médio do lado
oposto são chamadas medianas do triângulo.
Teorema . 3.7 Baricentro
As três medianas de um triângulo incidem num ponto chamado baricentro ou centro de gravidade
do triângulo.
(Demonstração)
Sejam A ′ o ponto médio de BC e B ′ o ponto médio de AC.
A
G
B
B’
A’
Os segmentos AA ′ e BB ′ intersectam-se num ponto G (como A ′ ∈ BC, o ponto A ′ é interior
ao ângulo ∠BAC etc ...).
Considere-se o ponto T tal que B seja o ponto médio entre A e T. Pelo Teorema de Tales
< T,C > e < B,B ′ > são paralelas. Se P é o ponto de incidência de < T,C > com a recta
< A,A ′ >, de novo por Tales, verifica-se que G é o ponto médio entre P e A. E, ainda por
Tales, tem-se que A ′ é o ponto médio entre G e P (por ser ponto médio entre B e C). Em
resumo
AA ′ = AG+GA ′ = AG+ 1
2
T
C
P
1 3
GP = AG+ AG =
2 2 AG
donde AG = 2
3 AA′ .
Se considerarmos agora o ponto de intersecção G ′ das medianas AA ′ e CC ′ , usando um
raciocínio exactamente análogo, obter-se-ia que AG ′ = 2
3 AA′ donde G = G ′ .
Nota . 3.8
Salienta-se que o baricentro G situa-se em cada uma das medianas a um terço da distância do
ponto médio e dois terços do vértice. Usando a notação vectorial
−→
AG = 2−−→
AA
3
′ −−→ ′ 1−−→
A G = A
3
′ A
77

Definição . 3.9 Alturas
Num triângulo do plano euclidiano, as rectas incidentes num vértice e perpendiculares ao lado
oposto são chamadas alturas do triângulo.
Note-se que, se um triângulo for equilátero, as alturas são precisamente as mediatrizes
no lado oposto e portanto incidem num ponto (o circuncentro). Em geral, as alturas de um
triângulo incidem sempre num ponto chamado ortocentro. Provamos de seguida o caso em que
o triângulo não é equilátero.
Teorema . 3.10 Ortocentro e a recta de Euler
Num triângulo não equilátero do plano euclideano, as três alturas incidem num ponto, chamado
ortocentro do triângulo, colinear com o baricentro e o circuncentro. A recta determinada pelo
baricentro, circuncentro e ortocentro é chamada recta de Euler.
(Demonstração)
A
H
G
B
O
Sejam △ABC um triângulo, A ′ , B ′ e C ′ os pontos médios de BC, CA e BA, respectivamente,
G o baricentro e O o circuncentro. Saliente-se que um triângulo é equilátero se e só se O = G
(exercício) e portanto podemos supor que O=/ G e considerar a recta de Euler e =< O,G >.
Define-se o ponto H na recta e tal que −−→
GH = −2 −→
GO, ou equivalentemente, o ponto H na
semi-recta com origem G oposta a O tal que GH = 2GO. Note-se que, por construção, H
incide na recta de Euler e.
Considere-se hA a altura incidente no vértice A. Se A = H, então o ponto H incide na
altura hA, podemos supor então A=/ H. Neste caso, como o baricentro G está entre A e A ′ e
verifica GA = 2GA ′ , tem-se também que A ′ =/ O.
ComoGA = 2GA ′ eGH = 2GO,asrectas< H,A >e< O,A ′ >sãoparalelas,peloteorema
de Tales. Mas < O,A ′ > é a mediatriz no lado BC, portanto < H,A > é perpendicular ao lado
BC eassim< H,A >= hA. Emparticular, H incideemhA. Comosmesmosargumentosobterse-ia
que o ponto definido H incide em hB e hC, alturas nos vértices B e C respectivamente.
78
A’
C

Teorema . 3.11 O círculo dos nove pontos
Dado um triângulo do plano euclidiano tem-se que os pontos médios dos lados, os pés das alturas
do triângulo e os pontos médios entre os vértices e o ortocentro incidem numa circunferência
chamada circunferência de Feuerbach ou circunferência dos nove pontos.
(Demonstração)
Seja △ABC um triângulo, considerem-se
– A ′ , B ′ e C ′ os pontos médios de BC, CA e BA, respectivamente;
– hA, hB e hC as alturas do triângulo nos vértices A, B e C, respectivamente;
– D, E e F os pés das alturas hA, hB e hC, respectivamente;
– H o ortocentro do triângulo;
– A ′′ , B ′′ e C ′′ os pontos médios entre o ortocentro H e os vértices A, B e C, respectivamente.
Note-sequeospontosindicadosanteriormentenãosãonecessáriamentetodosdistintos. Analisarse-ão
separadamente dois casos, o triângulo ser rectângulo ou não.
O triângulo △ABC é rectângulo, com ∠CAB recto, se e só se se verificam as condições
equivalentes seguintes:
(i) A = H; (ii) E = F; (iii) C ′ = B ′′ ; (iv) C ′′ = B ′ .
Em particular, se △ABC é rectângulo, com ∠CAB recto, tem-se A = H = E = F = A ′′ .
(Resultados análogos aparecem quando o triângulo for rectângulo em ∠ABC ou em ∠BCA. )
B ′′ = C ′
A = H = E = F = A ′′
B
D
A ′
B ′ = C ′′
Suponha-se então que △ABC é rectângulo, com ∠CAB recto e considere-se C a circunferência
do plano que tem AA ′ como diâmetro (é a circunferência centrada no ponto médio
entre A e A ′ com raio AA′
2 ).
79
C

Usando o teorema de Tales obtemos < C ′ ,A ′ > / < A,C ′′ > e < C ′ ,A > / < C ′′ ,A ′ >
e portanto C ′ A ′ C ′′ A é um paralelogramo com ∠C ′ AC ′′ recto, ou seja C ′ A ′ C ′′ A é um
rectângulo. Os ângulos ∠A ′ C ′ A e ∠A ′ C ′′ A são rectos e aplicando a alínea 5 da proposição
2.8 obtemos que C ′′ e C ′ incidem em C. Também, como ∠ADA ′ é recto (D é o pé da altura
no vértice A), pela mesma propriedade, D incide na circunferência C.
Suponha-se agora que o triângulo △ABC não é rectângulo, e considerem-se os quadriláteros
A ′ C ′ A ′′ C ′′
A
A’’
D
A ′ B ′ A ′′ B ′′
C’
B’ F
O
C
C’’
A’
B ′ C ′ B ′′ C ′′
Como C ′ é o ponto médio entre A e B, e A ′′ é o ponto médio entre A e H, pelo teorema de
Tales, obtem-se
< C ′ ,A ′′ > / < H,B >= hB
Analogamente, como A ′ é o ponto médio entre B e C, e C ′′ é o ponto médio entre C e H,
obtemos
< A ′ ,C ′′ > / < H,B >= hB
Em resumo < A ′ ,C ′′ > / < C ′ ,A ′′ > /hB. Com argumentos análogos obtém-se também
< A ′ ,C ′ > / < C,A > / < A ′′ ,C ′′ >
e então A ′ C ′ A ′′ C ′′ é um paralelogramo. Como os lados A ′ C ′ e A ′′ C ′′ são paralelos a < A,C >
e os lados C ′′ A ′ e A ′′ C ′ são paralelos à altura hB =< H,B > deduz-se que A ′ C ′ A ′′ C ′′ é, de
facto, um rectângulo.
Se considerarmos então a circunferência C que possui C ′ C ′′ como diâmetro, obtemos (alínea
5, da proposição 2.8) que A ′ e A ′′ incidem em C, verificando-se ainda que A ′ A ′′ é um diâmetro
de C (o ponto médio de A ′ A ′′ coincide com o ponto médio de C ′ C ′′ , que é o centro de C).
Poroutrolado, ∠A ′′ DA ′ érecto(D éopédaalturaemA)eentãoD incidenacircunferência
com diâmetro A ′ A ′′ , isto é, C.
Comargumentostotalmenteanálogos, obter-se-áqueB ′ eB ′′ incidemnacircunferênciacom
diâmetro C ′ C ′′ , isto é C, verificando-se também que B ′ B ′′ é um diâmetro de C. E, finalmente,
E e F incidem nessa circunferência por serem ∠B ′ EB ′′ e ∠C ′ FC ′′ rectos.
80
E
B’’
B

Proposição . 3.12 Sobre as tangentes à circunferência
Seja C uma circunferência de centro O. Então:
1. Uma recta r é tangente a C no ponto A se e só se r incide em A e as rectas < A,O >
e r são perpendiculares. Em particular, deduzimos que a tangente a uma circunferência
num ponto existe e é única.
2. Sejam r e r ′ tangentes a C em pontos A e A ′ respectivamente. A e A ′ são pontos diametralmente
opostos se e só se r e r ′ são paralelas.
3. Sejam rA e rB tangentes a C em pontos A e B respectivamente. Se A e B não são
pontos diametralmente opostos de C, rA e rB incidem num ponto P tal que semi-recta
com origem P e incidente em O bissecta o ângulo ∠APB e o ângulo ∠AOB.
(Demonstração)
1. Seja r uma recta tangente a C no ponto A. Suponha-se que r e < O,A > não são
perpendiculares e considere-se o ponto P, pé da perpendicular a r incidente em O. Notese
que O∈/ r (se O ∈ r o ponto diametralmente oposto a A, A ′ incidiria em r e r não seria
tangente) e podemos assim considerar o triângulo rectângulo △POA. Seja B o ponto na
semi-recta com origem P oposta a A e tal que BP ≡ PA. Os triângulos △PAO e △PBO
são congruentes (LAL) donde AO ≡ BO e então B incide em C e em r (absurdo).
Reciprocamente, seja A um ponto de C e r a recta perpendicular a < A,O > e incidente
em A. Suponha-se que existe um outro ponto B incidente em r e em C. Tem-se que
△BAO é um triângulo isósceles com dois ângulos rectos (absurdo).
81

2. Se A e A ′ são diametralmente opostos, < O,A >=< O,A ′ > e as tangentes são paralelas
pelo teorema 3.21 do primeiro capítulo. Reciprocamente, se as tangentes são paralelas,
pelo teorema 1.12, < O,A > e < O,A ′ > são paralelas e obtemos A = A ′ ou A e A ′
diametralmente opostos.
3. Os triângulos △POB e △POA são congruentes (critério de congruência de triângulos
rectângulos). Assim
∠BPO ≡ ∠APO e ∠BOP ≡ ∠AOP
Teorema . 3.13 Incentro e excentros: círculos inscritos e excritos num triângulo
Num triângulo ∆ABC, sejam a+, b+, c+ semi-rectas tais que:
(i) a+, b+, c+ são bissectrizes interiores dos ângulos internos em A, B e C, respectivamente,
do triângulo;
ou
(ii) a+ é bissectriz do ângulo interno em A, b+ e c+ são bissectrizes dos ângulos externos
em B e C (verticalmente opostos aos definidos por A), respectivamente, ;
então, as três semi-rectas a+, b+ e c+ incidem num ponto que é o centro de uma circunferência
tangente às rectas < A,B >, < B,C > e < C,A >.
O ponto de incidência das três bissectrizes interiores é chamado incentro do triângulo. O
ponto de incidência de uma bissectriz interior e duas exteriores é chamado um excentro do
triângulo. Note-se que o teorema implica a existência de um incentro I e três excentros Ia,
Ib, Ic, isto é, a existência de três circunferencias exteriores tangentes ao triângulo, chamadas
circuferências excritas e uma circunferência interior tangente ao triângulo, chamada circunferência
inscrita.
82

(Demonstração)
No primeiro caso, sejam a+ e b+ as bissectrizes interiores dos ângulos ∠CAB e ∠ABC. Estas
semi-rectas incidem num ponto I pelo V Postulado de Euclides (as rectas a e b formam com
< A,B > ângulos cuja soma é menor que π no semi-plano onde incidem a+ e b+), ponto I que
verifica ainda ser interior ao ângulo ∠BCA.
A
b+
C1
B
I
A1
B1
Se se considerarem os pés A1, B1e C1 das perpendiculares em I aos lados BC, AC e AB
verifica-se (segunda caracterização da bissectriz)
A1I ≡ C1I (b+ bissectriz em B)
B1I ≡ C1I (a+ bissectriz em A)
E então B1I ≡ A1I e a semi-recta com origem C e incidente em I é a bissectriz interior de
∠BCA, isto é c+.
Seja C a circunferência com cenro I e incidente em A1, B1 e C1. Como, por definição
desses pontos, as rectas < I,A1 > e < B,C > são perpendiculares (respectivamente, as rectas
< I,B1 > e < A,C > e as rectas < I,C1 > e < A,B >), a circunferência C é tangente ao
triângulo nos pontos A1, B1 e C1 (proposição anterior)
O outro caso (uma bissectriz interior e duas exteriores) é análogo.
83
C

Definição . 3.14 Circunferências tangentes e secantes.
Duas circunferências dizem-se tangentes se incidem num único ponto. Duas circunferências
dizem-se secantes se incidem em dois pontos.
Recorde-se que duas circunferências distintas incidem, no máximo, em dois pontos.
Teorema . 3.15 Caracterização das circunferências tangentes
Sejam C e C ′ duas circunferências com centros O e O ′ , respectivamente, e raios r e r ′ respectivamente.
As circunferências C e C ′ são tangentes se e só se se verifica alguma das igualdades
seguintes:
d = r +r ′
r = d+r ′
r ′ = d+r
com d = OO ′ , ou, equivalentemente, se se verifica d 2 = (r ±r ′ ) 2 .
(Demonstração)
Se C e C ′ são tangentes em P então O, P e O ′ devem sem colineares (se não fossem o ponto P ′
simétrico de P em relação à recta < O,O ′ > incidiria nas duas circunferências). Os três casos
possíveis O ∈ O ′ P, O ′ ∈ OP ou P ∈ OO ′ implicam as igualdades possíveis. Reciprocamente,
se se verificar alguma dessas três igualdades, é possível definir um único ponto incidindo em C
e C ′
O
O’
P
Por exemplo, se d = r + r ′ , considera-se um ponto P entre O e O ′ que verifique OP = r.
Note-se que, se existir um outro ponto P ′ incidindo em C e C ′ , ter-se-ia OP ′ = r, O ′ P ′ = r ′ e
como OO ′ = OP ′ +P ′ O ′ , o ponto P ′ está obrigatoriamente entre O e O ′ e assim P = P ′ .
Teorema . 3.16 Teorema das duas circunferências ou da continuidade circular
Sejam C e C ′ duas circunferências com centros O e O ′ , respectivamente, e raios r e r ′ respectivamente.
As circunferências C e C ′ são secantes se e só se se verificam as três condições
seguintes:
com d = OO ′ .
(Demonstração)
d < r +r ′ , r < d+r ′
O
P
O’
r ′ < d+r
Se C e C ′ são secantes num ponto P ter-se-á (desigualdade triangular)
d ≤ r +r ′
r ≤ d+r ′
r ′ ≤ d+r
E estas desigualdades devem ser estritas para as circunferências não serem tangentes (resultado
anterior).
84

O
P
r r’
P’
d
Reciprocamente, as três desigualdades estritas asseguram a existência (proposição 2.1) de um
pontoP, queformacomO eO ′ umtriânguloverificandoOP = r eO ′ P = r ′ , ouseja, asseguram
a existência de um ponto P ∈ C ∩C ′ . Se se considerar o ponto P ′ , reflexão de P em relação à
recta < O,O ′ > tem-se que P ′ verifica OP ′ = OP = r e O ′ P ′ = r ′ , com P=/ P ′ logo P ′ ∈ C∩C ′ .
Note-se que C e C ′ são obrigatoriamente circunferências distintas porque d = OO ′ =/ 0.
Proposição . 3.17 Proposição 1 de Euclides
Fixado um segmento AB existe um triângulo equilátero de lado AB.
(Demonstração)
Considerem-se as circunferências C e C ′ centradas nos pontos A e B com raio AB. Pelo teorema
3.16, C e C ′ incidem em dois pontos P e P ′ e os triângulos △ABP e △ABP ′ são equiláteros.
A construção geométrica é indicada na figura:
P
A B
Saliente-se que a demonstração deste resultado, nos Elementos, apresenta um “erro básico”:
Euclidesnãojustificaofactodasduascircunferênciasseintersectarem. Etrata-sedeumdetalhe
importante: é necessário assumir os axiomas de continuidade para justificar este passo.
85
O’

Proposição . 3.18 O Teorema das Duas Tangentes
Sejam C uma circunferência de centro O e raio r e P um ponto exterior a uma circunferência
(isto é, OP > r). Existem exactamente duas tangentes à circunferência C incidentes em P.
(Demonstração)
Sejam M o ponto médio entre O e P e C ′ a circunferência centrada em M e raio MP. Pelo
teorema da continuidade circular, C e C ′ são secantes em pontos R e R ′ . Note-se que OP é um
diâmetro da circunferência C ′ e portanto os ângulos ∠ORP e ∠OR ′ P são rectos.
O
M
Definição . 3.19 Circunferências ortogonais
Duas circunferências C, C ′ são ortogonais num ponto P ∈ C ∩C ′ se as tangentes em P a C e C ′
são perpendiculares.
Proposição . 3.20 Caracterização de circunferências ortogonais
Sejam C e C ′ duas circunferências de centros O, O ′ e raios r e r ′ . C e C ′ são ortogonais se e
só se
d 2 = r 2 +(r ′ ) 2
com d = OO ′ .
86
P

(Demonstração)
Se C e C ′ são ortogonais em P então o triângulo de vértices α, α ′ e P é rectângulo e o resultado
deduz-se do Teorema de Pitágoras. Reciprocamente, se d 2 = r 2 + (r ′ ) 2 o teorema sobre a
continuidade circular assegura que C e C ′ são secantes em dois pontos P e P ′ . Pelo recíproco do
Teorema de Pitágoras, cada um dos dois pontos de intersecção forma um triângulo é rectângulo
com os centros O e O ′ das circunferências.
Proposição . 3.21 Tangentes e cordas
Seja C uma circunferência do plano euclidiano, AB uma corda de C e m a mediatriz desta
corda. Designamos por HA e HB os semi-planos definidos por m e incidentes em A e B,
respectivamente. Definem-se os conjuntos
CA := C ∩HA CB := C ∩HB
Dado um ponto P ∈ C designar-se-á por tP a tangente a C em P.
1. Se P=/ A,B, então tP não intersecta nenhuma corda de C.
2. P incide na mediatriz m se e só se tp/ < A,B >;
3. Se P incide no semi-plano HB então
(a) a tangente tP intersecta a recta < A,B > num ponto Q desse semi-plano HB,
(b) o ponto Q verifica
m
(Demonstração)
tp
P
∠QPB ≡ ∠PAB
O
Q
1. Aplica-se o teorema de Pitágoras duas vezes: se M está numa corda então OM < r, se
M incide numa tangente, com M=/ P, então OM > r.
87
B
A

2. Se P incide na mediatriz m, tem-se m =< O,P > e portanto m é perpendicular a tp.
Como m é perpendicular a < A,B > deduz-se que < A,B > /tP. Reciprocamente, se
tp/ < A,B > enão < O,P > é perpendicular a < A,B > e então < O,P > é a mediatriz
de AB.
3. Note-seque, pelaalíneaanterior, seP nãoincidenamediatriz, atangente emP intersecta
obrigatoriamente a recta < A,B > num ponto Q (que sempre será exterior ao segmento
AB pela primeira alínea).
(a) Consideram-se dois casos: a tangente tP paralela a m ou tP não paralela a m. Se
tP é paralela a m então todos os pontos de tP incidem no mesmo semi-plano que P
e B e assim Q incide em HB.
Se a tangente tP não é paralela a m, seja P ′ o ponto de incidência de m e tP. O
triângulo ∠P ′ PO é rectângulo em P portanto m∠PP ′ O < π/2. Pelo V Postulado,
as rectas tP e < A,B > incidem no semi-plano onde a soma dos ângulo seja inferior
a π que é HB.
(b) Note-se que os pontos interiores do ângulo ∠POB são interiores ao semi-plano HB
e portanto A não é interior ao ângulo ∠POB.
m
tp
P
α
O
Q
B
Se α = m∠BPO, como △POB é isósceles, obtemos que m∠POB = π − 2α. Finalmente,
usando o teorema do ângulo ao centro e o facto de tP e < O,P > serem
perpendiculares obtemos:
m∠PAB = π π
−α m∠QPB =
2 2 −α
88
A

Teorema . 3.22 Circunferências de Apolonio
Sejam A e A ′ dois pontos distintos do plano euclidiano, e λ um real positivo, λ=/ 1. O conjunto
C(A,A ′ ,λ) = {P ∈ R 2 : AP = λA ′ P}
é uma circunferência com centro um ponto O exterior ao segmento AA ′ e raio r verificando:
OA = λ 2 OA ′
r 2 = OA·OA ′
(Demonstração)
Seja P um ponto do conjunto C(A,A ′ ,λ), não colinear com A e A ′ . Considere-se C a
circunferência incidente em P, A e A ′ . Note-se que P não incide na mediatriz m de AA ′ e
portanto existe um ponto O intersecção da tangente a C em P e a recta < A,A ′ >. Se P incide
no mesmo semi-plano definido por m que A ′ , então A ′ está entre A e O e ∠OPA ′ ≡ ∠PAA ′ .
Como o ângulo ∠POA é comum, os triângulos △OA ′ P e △OPA são semelhantes e tem-se
OP OP PA
= =
OA ′ OA A ′ P
donde OA = λ 2 OA ′ e OP 2 = OA·OA ′ . Note-se que a condicção OA = λ 2 OA ′ determina um
único ponto O exterior ao segmento AA ′ (c.f. exercícios ??). E como ela é verificada por O
é independente do ponto P escolhido tem-se que o ponto O obtido por este procedimento é
sempre o mesmo.
Reciprocamente, seja P um ponto incidente na circunferência centrada em O de raio r, nas
condicções do enunciado. Como
OP OA
=
OA ′ OP
e A e A ′ incidem na mesma semi-recta de origem O, tem-se que ∠POA ≡ ∠A ′ OP. Pelo critério
LAL de triângulos semelhantes, △POA e △A ′ OP são semelhantes, logo
Note-se que, pelas hipóteses,
donde
AP
A ′ P
OP OA
= =
OA ′ OP
OP OA
· = λ2
OA ′ OP
OP OA AP
= =
OA ′ OP A ′ P
89
= λ
= λ

Algumas circunferências de Apolónio nos pontos A e A ′
A
90
A’

Exercícios . 3.23
1. Complete as demonstrações dos resultados enunciados.
2. Dê um exemplo analítico (isto é, com coordenadas para os vértices dos triângulos) de dois
triângulos semelhantes mas não congruentes.
3. Prove que um triângulo é equilátero se e só se os três ângulos internos são congruentes. (Usar
teorema do triângulo isósceles)
4. Sejam Q ′ , Q, P, P ′ pontos distintos de uma circunferência tais que Q, P incidem no mesmo
semi-plano definido por Q ′ e P ′ . Prove que ∠P ′ QQ ′ ≡ ∠P ′ PQ ′ .
Q’
P’
Q
5. Dado um rectângulo construa, justificando, uma circunferência circunscrita (isto é, uma circunferência
que passa pelos vêrtices do rectângulo).
6. Prove que se um quadrilátero está inscrito numa circunferência, isto é, os vértices do quadrilátero
são pontos da circunferência, os ângulos em vértices opostos são suplementares. Deduza que os
únicos paralelogramos inscritos em circunferências são os rectângulos.
P
O quadrilátero da direita pode estar inscrito nalguma circunferência? Justifique a sua resposta.
7. Se ∆ABC for um triângulo equilátero, qual a relação entre alturas, medianas, mediatrizes e
bissectrizes?
8. Considere o triângulo △ABC do plano euclidiano R 2
A = (0,0) B = (4,0) C = (3,2)
Determine analiticamente as medianas, mediatrizes, alturas, bissectrizes, baricentro, circuncentro,
ortocentro e incentro. Qual a equação da circunferência circunscrita e da circunferência inscrita?
91

4 Construções geométricas com régua e compasso
Costumam chamar-se construções geometricas euclidianas àquelas efectuadas com régua e compasso
6 . Eis alguns problemas típicos sobre construções com régua e compasso:
1. DadoumsegmentoAB épossívelconstruir,comréguaecompasso,umtriânguloequilátero
com base o segmento AB?
2. Dado um segmento AB é possível construir, com régua e compasso, um heptágono
equilátero com base o segmento AB?
3. Dado um polígono é possível construir, com régua e compasso, um segmento cujo comprimento
seja igual ao perímetro do polígono?
4. Dada uma circunferência com raio AB é possível construir, com régua e compasso, um
segmento cujo comprimento seja igual ao perímetro dessa circunferência?
Asconstruçõesqueresolvemaprimeiraeaterceiraquestãosãomuitosimples. Porexemplo,
a construção do triângulo equilátero a partir da base (proposição 1 do livro I dos Elementos de
Euclides!) consiste usar o compasso para traçar duas circunferência com centros A e B e raio
AB. E a construção do segmento cujo comprimento seja igual ao perímetro de um polígono
dado é igualmente simples: basta usar o compasso para trasladar a uma recta os segmentos
que formam os lados do polígono.
D
A
B
C A1 B1 C1 D1 A2
6 Note-se que, nos Elementos de Euclides, o compasso usado é ligeiramente diferente do actual: não permitia
transportar distâncias. É de salientar que ambas ferramentas, se associadas à régua, são geometricamente
equivalentes, isto é, permitem construir as mesmas figuras (equivalência provada na proposição 2 do livro I dos
Elementos.
92

Noentanto,osoutrosdoisproblemasformuladosnãotêmsolução... Construirumheptágono
regular a partir de um lado L permitiria construir uma circunferência de raio R circunscrita
ao heptágono regular, sendo que esses dois segmentos verificam a relação:
L = 2(sinπ/7)R.
Construir um segmento com o comprimento do perímetro de uma circunferência significa construir
a partir do diâmetro D um segmento S na proporção
S = πD.
Mas para um segmento poder construir-se com régua e compasso a partir de outro a proporção
entre eles não pode ser qualquer uma ... Mais precisamente:
1.
É possível construir um segmento em proporção racional p/q com o segmento inicial.
Para multiplicar o segmento por p basta usar p vezes o compasso com essa abertura. Para dividir um segmento AB
por q basta considerar um segmento auxiliar qualquer (AO), numa recta distinta, multiplicar o segmento auxiliar
por q e usar depois o teorema de Tales ...
A
O
2. Se existem segmentos em proporção λ, µ com o segmento inicial então é possível construir
segmentos nas proporções λ+µ, λ−µ (para λ > µ), λµ e λ −1 .
O segmento na proporção λ+µ é obviamente a adição dos segmentos dados e o segmento na proporção λ−µ é a
sustração. Para obter o produto, consideramos os segmentos AB, AC = µAB e AD = λAB colocados como indica
a figura seguinte. A paralela à recta BC passando por D determina o ponto M tal que AM = λµAB.
A
AB
B
µAB
λAB
C
93
D
B
M

Finalmente, para obter o segmento na proporção λ −1 , consideramos os segmentos considerando AB ∼ = AC e
AD = λAB colocados como indica a figura seguinte. Traçando primeiro a recta DC e de seguida a recta paralela
passando por B obtemos o ponto M tal que AM = λ −1 AB.
A
λ −1 AB
M
AB
AB
B
λAB
C
3. Se existe um segmento na proporção λ com o segmento inicial então é possível construir
um segmento na proporção √ λ.
D
Considerar os segmentos AB e AC = λAB colocados como indica a figura. Construir o ponto médio D entre B e C
e traçar a circunferência com diâmetro BC (que tem raio ( λ+1
)AB). O ponto M intersecção dessa circunferência
2
com a perpendicular passando por A verifica que AM = √ λAB.
√ λAB
M
B A
AB
( λ+1
2 )AB
D
λAB
4. As proporções obtidas pelos procedimentos anteriores são as únicas possíveis.
A ideia é simples: nas construções com régua e compasso um ponto novo só pode ser construído (a) como intersecção
de duas rectas que já existem, (b) como intersecção de uma recta e uma circunferência que já existem, (c) como
intersecção de duas circunferências que já existem. Se traduzimos estas propriedades geométricas à linguagem
algébrica, introduzindo coordenadas, obtemos que as coordenadas de um ponto novo são soluções de equações de
ordem 2 nas coordenadas que já existem. A formalização desta ideia para obter uma prova rigorosa precisa da
Teoria de corpos.
Por exemplo, são proporções construtíveis 3/5, √ 2, √ 3/2, 4√ 2, 1+√5 ...
2
94
C

A relação entre o lado L de um triângulo equilátero e o raio da circunferência circunscrita
é
√
3
L = 2Rsin(π/3) = 2R
2 = √ 3R
que é uma proporção construtível. No caso do heptágono regular, a relação é
L = 2Rsin(π/7)
e sin(π/7) não é constructível pelo que o heptágono regular não pode ser construído a partir
do lado usando régua e compasso. De facto, o teorema de Gauss-Wantzel diz-nos que
“ um polígono regular de n lados é constructível se e só se n = 2 k p1...ps, com pi
primos de Fermat diferentes”
Gauss provou que para esse valores de n os polígonos são constructíveis (condição suficiente)
e Pierre Wantzel que os outros não o são (condição necessária). Na realidade, o que
Wantzel provou em 1837 foi uma condição necessária (mas não suficiente) para um número ser
constructível:
Todo o número constructível x é raiz de um polinómio com coeficientes inteiros e o
grau do polinómio minimal admitindo x como raiz é uma potência de 2.
Esta condição permitiu dar uma resposta negativa aos conhecidíssimos Problemas Clássicos
da Geometria, propostos já pela geometria grega:
Trisecção de um ângulo Dividir um ângulo dado em três angulos iguais.
Em geral não é possível. Por exemplo, se se conseguisse trisectar com régua e compasso o ângulo π/3, isto é,
construir o ângulo π/9, então cos(π/9) seria constructível (e não é pelo teorema de Wantzel). Um exemplo de
ângulo que se pode trisecar é π (cosπ/3 = 1/2 que é obviamente constructível).
Duplicação do cubo Dado um cubo de lado L construir o lado do cubo com o dobro do
volume.
O lado do cubo D com o dobro do volume deve verificar D 3 = 2L 3 pelo que D = 3√ 2L e 3√ 2 não é constructível
(Wantzel).
Quadratura do círculo Dado um círculo de raio R construir um quadrado com a mesma
área.
O lado do quadrado L deve verificar L = √ πR. (Carl Louis Ferdinand von Lindemann provou que π era trascen-
dente em 1884).
Salienta-se que os dois primeiros problemas não tem solução usando régua e compasso
mas podem resolver-se facilmente admitindo outro tipo de instrumentos (como uma ”régua
marcada” ou neusis)
95

Exercícios . 4.1
Indique construções com régua e compasso que resolvam os problemas propostos, justificando a
construção sucintamente.
1. Fixada uma recta r e um ponto P, construir a perpendicular a r incidente em P.
2. Fixada uma recta r e um ponto P, construir a paralela a r incidente em P.
3. Construir a mediatriz e o ponto médio de um segmento AB.
4. Construir a bissectriz de um ângulo fixado ∠{h+,k+}.
5. Fixados dois pontos A e B, construir o ponto C, na semi-recta de origem A e incidente em B, tal
que AC = √ 2AB.
6. Fixados dois pontos A e B, construir o ponto C, na semi-recta de origem A e incidente em B, tal
que AC = λAB para os valores seguintes de λ: 3/5, √ 2, √ 3/2, 4√ 2, 1+√ 5
2
7. Construir quadrado com base AB.
8. Construir um hexágono regular com base AB (ajuda: cosπ/3 = 1/2)
9. Construir um pentágono regular com base AB (ajuda: consultar a proposição 11 do Livro IV dos
Elementos)
10. Construir um triângulo equilátero com a àrea igual à àrea de um quadrado dado.
96

III. Isometrias
1 Isometrias na geometria absoluta
Seja G = (P, L,I) um plano de incidência verificando os axiomas I, II, III e IV.
Definição . 1.1 Isometria
Uma isometria do plano é uma aplicação f : P −→ P que envia segmentos em segmentos
congruentes com os iniciais, isto é,
Exemplos . 1.2
AB ≡ f(A)f(B) ∀A,B ∈ P
Seja (R 2 , L,I) o modelo analítico usual do plano euclideano.
1. Fixado v ∈ R 2 , definimos τv : R 2 −→ R 2 como τv(A) = A+v, para cada A ∈ R 2 . Esta
aplicação é uma isometria chamada translação pelo vector v.
Note-se que, analiticamente, τv(x1,x2) = (x1 +v1,x2 +v2), se v = (v1,v2).
2. A aplicação definida por f(x1,x2) = (λx1,λx2), para λ=/ ±1 não é uma isometria.
3. A aplicação definida por f(x1,x2) = (−x1,−x2) é uma isometria. Em geral, aplicação
definida por f(x1,x2) = (−x1 + q1,−x2 + q2) é uma isometria do plano euclidiano que
admite um único ponto fixo Ω, isto é, um único ponto tal que f(Ω) = Ω (definido por
Ω = ( q1
2
q2
, )). Esta isometria é chamada simetria central com centro o ponto Ω
2
4. A aplicação definida por g(x1,x2) = (x2,x1) é uma isometria. Observe-se que o ponto A
e g(A) são simétricos em relação à recta r ≡ y −x = 0.
g(A)
A
97

Proposição . 1.3 Propriedades das isometrias
Seja f : P −→ P uma isometria. Então:
1. f é injectiva;
2. f preserva a relação “estar entre”, de facto, C está entre A e B se e só se f(C) está
entre f(A) e f(B);
3. f preserva colinearidade, semi-rectas e semi-planos;
4. Seja △ABC um triângulo, tem-se △ABC ≡ △f(A)f(B)f(C);
5. f preserva os ângulos;
6. f é sobrejectiva;
7. f preserva e o paralelismo.
(Demonstração)
1. Se A=/ B então AB ≡ AA pelo que f(A)f(B) ≡ f(A)f(A) e portanto f(A) = f(B).
2. Seja µ uma medida qualquer de segmentos. Recorde-se que um ponto C está entre A e
B se e só se µ(AB) = µ(AC) + µ(CB). Uma isometria f preserva qualquer medida de
segmentos(preservaacongruênciapordefinição)peloqueµ(f(A)f(B)) = µ(f(A)f(C))+
µ(f(C)f(B)) e portanto f(C) está entre f(A) e f(B).
3. Consequência da alínea anterior;
4. Se A, B e C não são colineares, f(A), f(B) e f(C) também formam triângulo. Aplicando
LLL obtem-se △ABC ≡ △f(A)f(B)f(C);
5. Pela alínea anterior, △ABC ≡ △f(A)f(B)f(C), donde ∠ABC ≡ ∠f(A)f(B)f(C).
6. Seja △ABC um triângulo fixado do plano e △f(A)f(B)f(C) o triângulo imagem. Seja
M um ponto qualquer do plano. Considerar-se-ão dois casos:
(a) M incide na recta < f(A),f(B) >;
(b) M não incide nessa recta.
Provar-se-á que em cada caso existe N ∈ P tal que f(N) = M.
(a) Suponha-se que M está na recta definida por f(A) e f(B). Se M está na mesma
semi-recta com origem f(A) passando por f(B) considere-se N na semi-recta com
origem A passando por B tal que AN ≡ f(A)M. Se M está na semi-recta oposta
considere-se N na semi-recta oposta. Por definição de isometria AN ≡ f(A)f(N) e
então o axioma III-1 assegura que f(N) = M.
98

(b) Se M não está na recta definida por f(A) e f(B) então está num dos semi-planos
definidos por essa recta. Se M está no mesmo semi-plano que f(C) então considerese
N, no semi-plano definido por < A,B > que contém C, tal que
∠BAN ≡ ∠f(B)f(A)M e AN ≡ f(A)M
Como uma isometria preserva os ângulos, pelo axioma III-3, obtemos f(N) = M.
Se M está no semi-plano oposto a f(C) considera-se N nas mesmas condições, no
semi-plano oposto a f(C).
A
C
B
N
f(A)
f(C)
f(B)
7. Sejam r e s duas rectas. Se f(r) e f(s) não são paralelas existe M incidente em f(r) e
f(s). Como f é bijectiva, o ponto N tal que f(N) = Ms incide em r e s e portanto r e
s não são paralelas.
Proposição . 1.4 O grupo de isometrias do plano
A inversa de uma isometria é uma isometria, a composta de duas isometrias é uma isometria.
Assim, o conjunto de isometrias de um é um grupo para a composição designado por Iso(P).
(Demonstração)
Directa
Definição . 1.5 Pontos fixos, rectas de pontos fixos, rectas globalmente invariantes
Sejam f : P −→ P uma isometria e r uma recta do plano,
• um ponto A diz-se ponto fixo de f se f(A) = A
• a recta r diz-se recta de pontos fixos de f se todos os pontos incidentes em r são fixos;
• a recta r diz-se recta globalmente invariante se para todo o ponto A incidente em r se
verifica que f(A) também é incidente em r.
99
M

Exemplos . 1.6
Seja (R2 , L,I) o modelo analítico usual do plano euclideano.
1. Seja t uma translação pelo vector v, com v=/ (0,0). Não existe nenhuma recta de pontos
fixos para t (de facto, não existe nenhum ponto fixo!!)
As rectas paralelas à direcção da translação, r = A+ < v > são globlamente invariantes.
2. Seja s a simetria central s(x1,x2) = (−x1,−x2). O único ponto fixo é a origem (0,0).
Esta isometria não possui nenhuma recta de pontos fixos mas todas as rectas que incidem
na origem são globalmente invariantes.
3. Seja σ a simetria definida por σ(x1,x2) = (x1,−x2). A recta x2 = 0 é uma recta de
pontos fixos. As rectas verticais x1 = k são rectas globalmente invariantes.
Teorema . 1.7 Pontos fixos das isometrias
Seja f uma isometria. Então:
1. se f fixar os pontos A e B, então f fixa todos os pontos da recta r =< A,B >;
2. se r for uma recta de pontos fixos para f então toda a perpendicular a r é uma recta
globalmente invariante;
3. se f fixar três pontos não colineares, f é a identidade.
Em conclusão, o conjunto de pontos fixos de uma isometria distinta da identidade, se for não
vazio, é um ponto ou uma recta.
(Demonstração)
1. Consequência de f preservar semi-rectas e a congruência de segmentos (aplicar III-1).
2. Se t for perpendicular a r no ponto P, como f preserva os ângulos, f(t) também é
perpendicular a f(r) no ponto f(P). Mas f(r) = r e f(P) = P porque r é uma recta
de pontos fixos e P incide em r. Assim, f(t) é a perpendicular a r incidindo em P e
portanto f(t) = t.
3. Consequência de f preservar semi-planos e congruência de ângulos (aplicar III-3).
Corolário . 1.8
Sejam f e g duas isometrias do plano tais que
f(A) = g(A) f(B) = g(B) f(C) = g(C)
para algum triângulo do plano △ABC. Então f = g
(Demonstração)
Considere-se a isometria composta h = f ◦g −1 . Tem-se que h fixa três pontos não colineares e
portanto h = Id donde f = g.
100

Definição . 1.9 Reflexões e rotações
• Uma isometria que fixa os pontos de uma recta r é chamada reflexão em r e designa-se
por σr. A recta r diz-se o eixo da reflexão σr.
• As isometrias com um único ponto fixo Ω são chamadas rotações. O ponto Ω diz-se
o centro da rotação. Por outro lado, convenciona-se que a identidade do plano é dita
rotação trivial.
Teorema . 1.10 Caracterização geométrica das reflexões
Seja σ uma reflexão do plano e r a recta de pontos fixos de σ. Para todo o ponto A do plano
não incidente em r verifica-se que r é a mediatriz do segmento Aσ(A).
σ(A)
A
r
Em particular uma reflexão em r, σr, é uma aplicação involutiva (isto é, σr ◦ σr = Id), que
permuta os semi-planos definidos por r e fixa os pontos da recta r.
(Demonstração)
Seja A um ponto do plano não incidente em r. Como σ só fixa os pontos de r e é bijectiva
tem-se que σ(A)=/ A e σ(A) não incide em r. Sejam t a recta perpendicular a r e incidente em
A e Ar o pé dessa perpendicular.
Peloteorema1.7, arectatéglobalmenteinvarianteeentãoσ(A)incideemt. Emparticular,
r é perpendicular a < A,σ(A) >. Como σ é uma isometria e Ar é um ponto fixo verifica-se
AAr ≡ σ(A)σ(Ar) = σ(A)Ar
Se A e σ(A) incidem na mesma semi-recta de origem Ar ter-se-ia que A = σ(A) (absurdo)
portantoAeσ(A) incidememsemi-rectasopostas comorigemAr, verificando-seAAr ≡ Aσ(A)
e Ar é o ponto médio entre Ar e σ(A).
Nota . 1.11
No teorema anterior é provado que se σ for uma reflexão então verifica a propriedade indicada.
Reciprocamente, podemos usar essa construcção para definir uma aplicação σ : P → P que
resulta ser uma isometria, obtendo assim que as reflexões existem ....
Para verificar que uma aplicação σ : P → P definida desse modo é efectivamente uma
isometria é preciso considerar dois pontos A,B do plano P e provar que
Analisam-se separadamente três casos:
AB = σr(A)σr(B) (∗)
101

1. A e B incidem na recta r. A igualdade (∗) é directa por serem A e B pontos fixos.
2. A incide em r (σr(A) = A) e B não incide. Consideram-se ainda dois casos:
(a) A é o pé da perpendicular a r e incidente em B. O ponto A é o ponto médio entre
B e σr(B) e a igualdade (∗) é directa.
(b) A não é o pé Br da perpendicular a r incidente em B. Podem-se considerar os
triângulos △ABrB e △ABrσr(B) e aplicar o critério LAL.
A
B
Br
σr(B)
3. A e B não incidem em r. Considerar ainda dois casos:
(a) A e B incidem na mesma perpendicular a r. Neste caso aplica-se a soma ou a
diferença de segmentos (segundo A e B incidam em semi-planos opostos ou não).
(b) A e B não incidem na mesma perpendicular a r definem-se Ar e Br os pés dessas
perpendiculares e comparam-se os triângulos △AArB e △σr(A)ArB usando as propriedades
da diferença ou a soma de ângulos segundo A e B incidem no mesmo
semi-plano definido por r ou em semi-planos opostos.
Ar
A
σ(A)
B
Br
σ(B)
102
Ar
σ(A)
A
B
Br
σ(B)

Teorema . 1.12
Sejam △ABC e △A ′ B ′ C ′ dois triângulos congruentes do plano. Existem três isometrias, σ1,
σ2 e σ3, com σi uma reflexão ou a identidade, tais que
(Demonstração)
A ′ = (σ3 ◦σ2 ◦σ1)(A) B ′ = (σ3 ◦σ2 ◦σ1)(B) C ′ = (σ3 ◦σ2 ◦σ1)(C)
Se A = A ′ considera-se σ1 = Id se A=/ A ′ considera-se σ1 como a reflexão na mediatriz de AA ′ .
Seja B1 = σ1(B). Se B1 = B ′ considera-se σ2 = Id, se B1=/ B ′ considera-se σ2 a reflexão na
bissectriz do ângulo ∠B1A ′ B ′ (ou na mediatriz do segmento B1B ′ se B1,A ′ ,B ′ são colineares)
Tem-se que σ2(σ1(A)) = A ′ e que σ2(σ1(B) = B ′ .
Finalmente, seja C2 = σ2(σ1(C)). Se C2 = C ′ considera-se σ3 = Id. Se C2=/ C ′ , define-se
σ3 como a reflexão na recta < A ′ ,B ′ >.
C
B
A
C2
A ′
Corolário . 1.13 Dados dois triângulos congruentes do plano euclideano △ABC e △A ′ B ′ C ′ ,
existe uma e uma só isometria f tal que f(A) = A ′ , f(B) = B ′ e f(C) = C ′ .
(Demonstração)
A existência deduz-se do teorema anterior, tomando f = σ3 ◦σ2 ◦σ1 e a unicidade do [?]
Corolário . 1.14 Estrutura geométrica do grupo de isometrias do plano Iso(P)
C ′
B1
Toda isometria do plano é composta de, no máximo, três reflexões.
Nota . 1.15
A decomposição de uma isometria como composta de, no máximo, três reflexões não é única.
103
C1
B′

2 Isometrias do plano euclideano
Seja (R 2 , L,I) o modelo analítico usual do plano euclideano. Pela secção anterior tem-se que:
• O conjunto de isometrias do plano Iso(R 2 ) é um grupo para a composição,
• O conjunto de pontos fixos de uma isometria de R 2 é vazio, um ponto ou uma recta.
• Dados dois triângulos congruentes existe uma e uma só isometria que transforma um no
outro.
• Toda a isometria de R 2 é composta de, no máximo, três reflexões.
Estudamos de seguida as particularidades das isometrias do plano euclideano.
Teorema . 2.1 Expressão analítica de uma isometria do plano euclideano
Seja f : R 2 −→ R 2 uma isometria do plano euclidiano R 2 . Existem a,b ∈ R, verificando
a 2 +b 2 = 1 tais que
com (q1,q2) ∈ R 2 .
f(x1,x2) = (q1 +ax1 −ǫbx2,q2 +bx1 +ǫax2) (ǫ = ±1)
O teorema anterior implica que, se f for uma isometria, então f admite uma representação
matricial:
y1 q1 a −ǫb x1
= +
b ǫa
onde (y1,y2) = f(x1,x2), ǫ = ±1 e a 2 +b 2 = 1.
Note-se que (q1,q2) é a imagem da origem O = (0,0).
(Demonstração)
y2
q2
Seja f uma isometria do plano euclideano. Pela proposição 1.3, as isometrias são aplicações
bijectivas que preservam a colinearidade e o paralelismo, ou seja, são um tipo particular de
aplicação afim 7 e portanto
x2
f(x1,x2) = (q1 +ax1 +cx2,q2 +bx1 +dx2)
com f((0,0)) = (q1,q2). Se considerarmos a translação t pelo vector (−q1,−q2) a isometria
composta g = t◦f verifica
g(x1,x2) = (ax1 +cx2,bx1 +dx2)
7 Teorema Fundamental da Geometria Afim (consultar [2])
104

ou seja, g é uma aplicação linear. Em particular, g é tal que g(0,0) = (0,0)
Provar-se-á de seguida que esta aplicação g verifica
com a 2 +b 2 = 1 e ǫ = ±1.
g(x1,x2) = (ax1 −ǫbx2,bx1 +ǫax2) (∗)
Suponha-se assim g uma isometria que verifica g(0,0) = (0,0), vamos provar que g tem a
expressão (∗).
Sejam E1 = (1,0) e E2 = (0,1), tem-se g(E1) = (a,b) e g(E2) = (c,d). Note-se que
e, analogamente, c 2 +d 2 = 1.
1 = OE1 = g(O)g(E1) = a 2 +b 2
O ângulo ∠E1OE2 é recto porque −−→
OE1 · −−→
OE2 = 0 e então, como g preserva ângulos,
∠g(E1)Og(E2) também é recto, logo
Em resumo
0 = −−−−→
Og(E1)· −−−−→
Og(E2) = (a,b)·(c,d) = ac+bd
a 2 +b 2 = 1 (1) c 2 +d 2 = 1 (2) ac+bd = 0 (3)
Se a=/ 0, isolando c em (3) obtem-se
Substituindo em (2) obtem-se
c = − bd
a
(4)
1 = b2d2 a2 +d2 = d 2
b2 +1 = d
a2 2
b2 +a2 a 2
= d2
a 2
donde |a| = |d|. Usando (4), se a = d tem-se c = −b e se a = −d tem-se c = b.
O caso a = 0 é directo, pois implica b = ±1 por (1) e d = −b por (3).
Definição . 2.2 Aplicação ortogonal associada a uma isometria
Seja f : R 2 −→ R 2 uma isometria do plano euclidiano definida analíticamente por
f(x1,x2) = (q1 +ax1 −ǫbx2,q2 +bx1 +ǫax2) (ǫ = ±1)
com (q1,q2) ∈ R 2 e a 2 +b 2 = 1. A aplicação linear −→ f definida por
−→ f (x1,x2) = (ax1 −ǫbx2,bx1 +ǫax2)
diz-se aplicação ortogonal associada à isometria f.
105

Notas 2.3
1. Em álgebra linear, uma aplicação linear é dita ortogonal se preservar o produto interno.
Prova-se facilmente (consultar demonstração 2.1) que a expressão analítica de
uma aplicação ortogonal é precisamente
(ax1 −ǫbx2,bx1 +ǫax2) (ǫ = ±1)
coma 2 +b 2 = 1. OconjuntodeaplicaçõesortogonaisdeR 2 éumgrupoparaacomposição,
quecostumadesignar-seporO(R 2 ). Observe-seaindaqueumaaplicaçãoortogonaléuma
isometriaquefixaaorigemO = (0,0)eportantoO(R 2 )éumsubgrupodogrupoIso(R 2 ).
2. Na representação matricial de uma isometria do plano euclideano, como a 2 + b 2 = 1,
existe θ ∈ [0,2π[ tal que a = cosθ e b = sinθ e então
f(x1,x2) = (q1 +x1cosθ −ǫx2sinθ,q2 +x1sinθ +x2ǫcosθ)
Matricialmente, se f(x1,x2) = (y1,y2), podemos escrever
y1 q1 cosθ −ǫsinθ
= +
sinθ ǫcosθ
Exemplos . 2.4
y2
q2
x1
1. Representação matricial da translação pelo vector −→ v = (v1,v2),
y1 v1 1 0 x1
= +
0 1
y2
v2
x2
x2
(ǫ = ±1)
2. Representação matricial da simetria central de centro o ponto Ω = (w1,w2) :
y1
y2
2w1
=
2w2
y2
−1 0
+
0 −1
x1
3. Representação matricial da simetria em relação à recta y −x = 0
y1 0 0 1 x1
= +
0 1 0
4. A aplicação definida por h(x1,x2) = (x1,−x2) é uma isometria (note-se que os pontos A
e h(A) são simétricos em relação à recta horizontal y = 0, ou sejam, é a reflexão na recta
y = 0).
A representação matricial de h é
y1
=
y2
0
0
1 0
+
0 −1
106
x2
x1
x2
x2

5. A aplicação definida por m(x1,x2) = (−x2,−x1) é uma isometria. Note-se que os pontos
A e m(A) são simétricos em relação à recta y+x = 0 pelo que se trata da reflexão nessa
recta.
A representação matricial de m é
y1
=
y2
0
0
√
2
6. A aplicação ρ(x1,x2) = (3+
2 x1 −
A representação matricial de ρ é:
y1
y2
y2
=
3
−10
0 −1
+
−1 0
x1
x2
√
2
2 x2,−10+
√
2
2 x1
√
2
+
2 x2) é uma isometria.
√
2
+
7. A aplicação ρ ′ (x1,x2) = ( 1
2 x1
√
3
+
2 x2,−2+
A representação matricial de ρ ′ é:
1
y1
= + 2
0
−2
2 −
√ 2
2
√
2
√2 2
2
x1
x2
√ 3
2 x1 − 1
2 x2) é uma isometria.
√ 3
2
√ 3
2 −1
2
x1
Astranslaçõeseassimetriascentraisestãocaracterizadasgeometricamentepelapropriedade
seguinte:
Teorema . 2.5 Caracterização geométrica das translações e das simetrias centrais
Seja f uma isometria distinta da identidade. Então f é uma translação ou uma simetria central
se e só se
< A,B > / < f(A),f(B) > ∀A,B ∈ R 2 .
(Demonstração)
Usando as definições, obtem-se directamente que se f for uma translação verifica-se que −→
AB =
−−−−−−→
f(A)f(B) e se f for uma simetria central verifica-se que −→ −−−−−−→
AB = −f(A)f(B). Por tanto
< A,B > / < f(A),f(B) > .
Reciprocamente, se f é uma isometria que verifica esta propriedade então −→ f , a aplicação
ortogonal associada, verifica que para todo o vector −→ v existe λ tal que −→ f ( −→ v ) = λ −→ v , isto
é, todos os vectores são vectores próprios. Esta condição implica que −→ f é um múltiplo da
identidade, λId, mas, como é ortogonal, isto só é possível se λ = ±1.
107
x2

Teorema . 2.6 Expressão analítica de uma rotação do plano euclideano
Uma isometria f(x1,x2) = (q1+ax1−ǫbx2,q2+bx1+ǫax2) é uma rotação distinta da identidade
se e só se ǫ = 1 e θ = 0, isto é, se f admite uma expressão matricial do tipo:
y1 q1 cosθ −sinθ x1
= +
θ = 0
sinθ cosθ
y2
q2
(Demonstração) Se f é uma rotação distinta da identidade então f possui um único ponto fixo
Ω. Isto é, o sistema de equações
x1 = q1 +cosθx1 −ǫsinθx2
x2
x2 = q2 +sinθx1 +ǫcosθx2
tem solução única. Este sistema possui solução única se e só se
cosθ −1 −ǫsinθ
det
= (ǫ+1)−(ǫ+1)cosθ = 0
sinθ ǫcosθ −1
ou seja, se ǫ = 1.
Teorema . 2.7 Expressão analítica de uma reflexão do plano euclideano
Seja σ uma reflexão do plano euclideano na recta r.
1. Se r passa pela origem de coordenadas O = (0,0)) e u = (cosθ,sinθ) é um vector director
unitário de r então a representação matricial de f é dada por
y1 cos2θ sin2θ x1
=
sin2θ −cos2θ
y2
2. Se r não passa pela origem de coordenadas, sejam r0 a recta paralela a r e incidente na
origem O e P um ponto qualquer de r. Designemos por σ e σ0 as reflexões em r e r0, e
−→
OP e −OP, respectivamente. Verifica-se que
por t −→
OP e t − −→
OP as translações por −→
σ = t −→
OP ◦σ0 ◦t −→
−OP e a representação matricial de σ calcula-se então usando as representações matriciais de
σO e as translações escolhidas.
(Demonstração)
1. No primeiro caso, se r passa pela origem e u = (cosθ,sinθ) é um vector director unitário
de r, tem-se que o pé da perpendicular a r desde A = (x1,x2) é A ′ = (µcosθ,µsinθ),
com µ = x1cosθ + x2sinθ (o ponto A ′ incide em r pelo que verifica A ′ = µu e o
vector −−→
AA ′ deve ser perpendicular a u). A expressão matricial indicada obtem-se porque
σr(A) = A+2 −−→
AA ′ , aplicando as fórmulas do ângulo duplo.
2. Para provar a segunda afirmação usar a caracterização geométrica das translações para
provarqueoconjuntodepontosfixosdacomposiçãoindicadaéprecisamenter (eportanto
é a reflexão inicial σ).
108
x2

Teorema . 2.8 Estrutura algébrica de Iso(R2 )
1. A aplicação Ψ : Iso(R 2 ) −→ O(R 2 ) definida por Ψ(f) = −→ f é um epimorfismo de grupos
cujo núcleo é o conjunto das translações. Em particular o conjunto das translações é um
subgrupo invariante de Iso(R 2 ).
2. A aplicação composta det◦Ψ : Iso(R 2 ) −→ {1,−1} é um epimorfismo de grupos cujo
núcleo é
H = {f ∈ Iso(R 2 ) : f translação ou f rotação}
Em particular H é um subgrupo invariante de Iso(R 2 ) de indice 2.
(Demonstração)
1. Usando as representações matriciais obtém-se facilmente que a aplicação ortogonal associada
à composta de duas isometrias é a composta das aplicações ortogonais associadas
a cada uma delas (Ψ(f ◦g) = Ψ(f)◦Ψ(g). É um epimorfismo porque toda a aplicação
ortogonal é em particular uma isometria. Finalmente, o núcleo deste homomorfismo são
as isometrias cuja parte linear é a identidade, ou seja, as translações.
2. Uma aplicação ortogonal tem determinante 1 ou -1 (consultar representação matricial)
pelo que a restrição da aplicação determinante define um homomorfismo de grupos det :
O(R 2 ) → {1,−1}. O núcleo do homomorfismo de grupos definido pela composição
det◦Ψ : Iso(R 2 ) −→ O(R 2 ) −→ {1,−1}
é H (consultar representação matricial de uma isometria). Note-se que, pelo primeiro
teorema de isomorfismo,
Iso(R 2 )/H ∼ {−1,1}
Notas 2.9
e então H tem indice 2.
1. Uma consequência directa do teorema 2.1 é que toda a isometria é composta de uma
translação e uma aplicação ortogonal. É facil provar que essa decomposição é única: se
existirem t, t ′ translações e g e g ′ aplicações ortogonais tais que t◦g = t ′ ◦g ′ ter-se-ia
(t ′ ) −1 ◦t = g ′ ◦g −1
A composta g ′ ◦ g −1 é uma aplicação ortogonal, em particular, possui pelo menos um
ponto fixo (a origem!). A composta (t ′ ) −1 ◦t é uma translação e só possui pontos fixos
se verificar (t ′ ) −1 ◦t = Id. Assim t ′ = t e g ′ = g.
O teorema de estrutura anterior fornece mais informação sobre essa decomposição: a
inclusãodeO(R 2 )emIso(R 2 )éuminversoaesquerdadeΨ,peloqueIso(R 2 )éoproduto
semi-directo do subgrupo das translações com o subgrupo das aplicações ortogonais.
109

2. Se σ é uma reflexão do plano, como H é um subgrupo de indice 2, existem partições
Iso(R 2 ) = H ∪σH = H ∪Hσ
ondeσH eHσ designam asclassesaesquerdaedireitadeσ. Assim, paratodaaisometria
f∈/ H existem h,h ′ ∈ H tais que f = σ ◦ h e f = h ′ ◦ σ. Provar-se-á nos exercícios
que qualquer rotação e qualquer translação podem ser obtidas como composta de duas
reflexões. Obtem-se mais uma vez que toda a isometria é composta de, no máximo, três
reflexões, mas numa versão mais forte, já que podemos fixar uma das reflexões envolvidas.
Proposição . 2.10 Composta de uma reflexão e de uma translação em direcções paralelas
Sejam σr e τv uma reflexão numa recta r e uma translação pelo vector v, respectivamente, tais
que r e < v > são paralelas. Então:
• σr e τv comutam, ou seja, τvσr = σrτv;
• a isometria composta δ = τvσr (ou σrτv) não possui pontos fixos.
• a recta r é a única recta globalmente invariante.
(Demonstração) Exercícios 14 e 15.
r
v
A
σr(A)
τv(A)
δ(A)
Definição . 2.11 Reflexões deslizantes
Sejam σr uma reflexão numa recta r e τv uma translação do vector v tais que < v > e r são
paralelas. A isometria composta δr,v = σrτv diz-se uma reflexão deslizante de base r pelo vector
v.
Teorema . 2.12 Classificação das isometrias do plano euclideano
Toda a isometria do plano euclideano é uma translação, uma rotação, uma reflexão ou uma
reflexão deslizante.
(Demonstração) Toda a isometria do plano é composta de no máximo três reflexões. Nos exercícios
10, 11, 13, 18, 20, 22 e 16 são estudadas geometricamente as composições de duas e
três reflexões, em função da configuração geométrica das rectas base das reflexões. Alternativamente
é possível provar analiticamente, estudando os subespaços invariantes da aplicação
ortogonal associada.
110

Exercícios . 2.13
Se nada for dito em contrário o plano considerado é o plano euclideano usual,
(R 2 , L,I).
1. Indique, justificando pela definição, quais das seguintes aplicações são isometrias do
plano euclidiano.
(a) f(x1,x2) = (x1,x1 +x2);
(b) f(x1,x2) = (2−x2,1+x1);
(c) f(x1,x2) = (3x1,3x2);
(d) f(x1,x2) = (cosx1,cosx2);
(e) f(x1,x2) = (x 2 1 ,x2);
(f) f(x1,x2) = (−3−x2,1−x1).
Determine (calculando o conjunto dos pontos fixos) se alguma dessas isometrias é uma
rotação, uma reflexão ou uma translação.
2. Apresente exemplos de aplicações lineares que não sejam ortogonais e de aplicações afins
que não sejam isometrias. Apresente ainda uma isometria que não seja uma aplicação
ortogonal.
3. Determine as representações matriciais das isometrias seguintes:
(a) f(x1,x2) = (2+x1,3−x2);
√
2
(b) f(x1,x2) = (
2 x1
√
2
+
2 x2,
√
2
2 x1
√
2
−
2 x2);
(c) f(x1,x2) = (3−x1,2−x2);
√
2
(d) f(x1,x2) = (
2 x1
√
2
−
2 x2,
√
2
2 x1
√
2
+
2 x2);
√
3
(e) f(x1,x2) = (1+
2 x1 + 1 1
x2,
2 2 x1
√
3
−
2 x2).
Determine quais as rotações, as translações e as reflexões.
4. Indique a expressão matricial da reflexão na recta dos xx. Indique a expressão matricial
da reflexão na recta dos yy.
5. Indique a expressão analítica das reflexões nas rectas definidas pelas equações seguintes:
(a) −x+y = 0;
(b) 2x+y = 0;
(c) x−3y = 0;
(d) 2x−y = 0;
111

(e) −x+4y = 0.
6. Determine a expressão analítica de reflexão na recta r cuja equação é indicada de seguida:
(a) −x+y = 2;
(b) 2x+y = −1;
(c) x−3y = 1;
(d) 2x−y = 3;
(e) −x+4y = −8.
7. Indique a expressão analítica da reflexão deslizante de base r pelo vector v nos casos
seguintes:
(a) r é a recta de equação −x+y = 2 e v = (3,3);
(b) r é a recta de equação 2x+y = −1 e v = (2,−4).
8. Indique dois triângulos distintos e congruentes do plano. Determine a expressão analítica
da isometria que transforma um no outro.
9. Prove que a composta de duas translações é uma translação por um vector que se determinará.
Verifique também que a inversa de uma translação é uma translação por um
vector que se indicará. Comente a afirmação:
O conjunto das translações é um subgrupo abeliano do grupo de Isometrias Iso(R 2 )
10. Caracterização de translações
(a) Composta de duas reflexões em rectas paralelas
Sejam r e s duas rectas paralelas distintas, A um ponto qualquer de r. Prove que a
composta σsσr é a translação t pelo vector −→ v = −−−−→
Aσs(A).
r
s
A
σr(A)
σsσr(A)
B
σr(B)
σsσr(B)
Sugestão: considere, por exemplo, pontos A,B ∈ r e As o pé da perpendicular a s
incidente em A. Basta provar que
t(A) = σs(σr(A)) t(As) = σs(σr(As)) t(B) = σs(σr(B))
112

(b) Dado um vector −→ v , prove que existem rectas paralelas r e s (não necessariamente
únicas), perpendiculares à recta < −→ v > tais que a translação do vector −→ v é a
composta σsσr.
(Sugestão: exercício anterior)
11. Composta de três reflexões em rectas paralelas
(a) Sejam r uma recta do plano e −→ v um vector do plano tal que r e < −→ v > são perpendiculares.
Prove que τvσr é a reflexão na recta paralela a r incidente em A+1/2 −→ v ,
com A ∈ r qualquer. Determine também σrτv.
(b) Deduza que a composta de três reflexões em rectas paralelas é uma reflexão numa
recta paralela às anteriores a determinar.
12. Dadas duas reflexões σr e σs, com r e s paralelas, e uma recta l paralela às rectas r e s,
prove que existem e são únicas rectas r ′ e s ′ paralelas às anteriores e tais que
(Sugestão: lembre-se que σr = σ −1
r )
σsσr = σs ′σl = σlσr ′
13. Composta de duas reflexões em rectas perpendiculares
(a) Sejam σr, σs reflexões em rectas r e s, distintas e incidentes num ponto Ω. Prove
que σrσs = σsσr se e só se r e s são perpendiculares.
σsσr(A)
(b) Caracterização de simetrias centrais
σr(A)
Prove que uma isometria é uma simetria central se e só se é composta de duas
reflexões em rectas perpendiculares.
14. As reflexões deslizantes
Sejam σr e τv uma reflexão numa recta r e uma translação pelo vector v, respectivamente,
tais que r e < v > são paralelas.
(a) Seja A um ponto incidente em r. Indique σr ◦τv(A) e τv ◦σr(A).
113
A

(b) Sejam A um ponto não incidente em r, A ′ o pé da perpendicular a r incidente em
A. Prove que
σr ◦τv(A) = A+2 −−→
AA ′ +v
(Sugestão: considerar B = A+v e B ′ o pé da perpendicular a r incidente em B e
determinar os vectores −−→
A ′ B ′ e −−→
BB ′ )
(c) Deduza σr ◦τv = τv ◦σr.
Recorde-se que esta isometria δ diz-se reflexão deslizante de base r pelo vector v.
r
15. Propriedades das reflexões deslizantes
v
A
σr(A)
Seja δ a reflexão deslizante de base r pelo vector v.
(a) Prove que a recta r é globalmente invariante para δ.
τv(A)
δ(A)
(b) Se A∈/ r, prove que A e δ(A) incidem em semi-planos distintos. Deduza que δ não
possui pontos fixos.
(c) Seja s uma recta paralela a r, s=/ r. Verifique que δ(s) e s são paralelas e distintas.
(d) Seja s uma recta não paralela a r. Verifique que s não é globalmente invariante.
(Sugestão: considerar o ponto de incidência de s e r)
(e) Comente o enunciado a recta r é a única recta globalmente invariante para δ.
(f) Seja s uma recta perpendicular a r. Verifique que s e δ(s) são paralelas (e distintas).
(Sugestão: usar propriedades das translações e das reflexões)
16. Composta de uma reflexão e uma translação.
Sejam σ e t uma reflexão numa recta r e uma translação pelo vector v, respectivamente.
Sejam v1 v2 vectores tais que v = v1 +v2, < v1 > /r e < v2 > e r são perpendiculares.
Prove que a composta t◦σ é uma reflexão deslizante de base s pelo vector v1, com s a
recta paralela a r e incidente em A+1/2v2.
(Sugestão: decompor v = v1 +v2, e usar os exercícios 11 e 14.)
114

17. Sejam t uma translação de vector v e σ uma reflexão na recta r. Justifique sucintamente
os seguintes enunciados:
(a) Se < v > /r então t◦σ ◦t −1 = σ;
(b) Se < v > e r são perpendiculares então t◦σ◦t −1 é uma reflexão numa recta paralela
a r;
(c) Em geral, t◦σ ◦t −1 é uma reflexão numa recta paralela a r.
18. Composta de duas reflexões em rectas incidentes
Sejam r e s duas rectas do plano distintas e incidentes num ponto Ω.
(a) Seja A um ponto distinto de Ω. Prove que, se A ∈ r ou A ∈ s, então σr(A)=/ σs(A).
(b) Prove que para todo o ponto A, não incidente em r ou s, se verifica σr(A)=/ σs(A).
(Sugestão: supor que a igualdade se verifica e usar que r é a mediatriz de Aσr(A)
para obter uma contradição.)
(c) Deduzir que as aplicações compostas σr ◦σs e σs ◦σr são rotações com centro Ω.
(d) Deduza que, se ρ é uma rotação com centro Ω, então ρ −1 também é uma rotação
com centro Ω.
Em resumo, a composta de duas reflexões em rectas incidentes é uma rotação com centro
o ponto de incidência. Note-se que, a partir da demonstração do teorema 1, podemos
deduziroresultadorecíproco, istoé, queumarotaçãoésemprecompostadeduasreflexões
em rectas incidentes.
Nota: Uma rotação ρ com centro Ω = (w1,w2) verifica:
y1
y2
=
w1
w2
com ρ(x1,x2) = (y1,y2) e a 2 +b 2 = 1.
19. Composta de reflexões sucessivas
a −b
+
b a
x1 −w1
x2 −w2
Sejam r, s e t três rectas. Prove que σr ◦σs◦σt não é uma translação nem uma rotação.
Sejam r, s, t e l quatro rectas. Prove que σr◦σs◦σt◦σl é uma translação ou uma rotação.
Pode generalizar os resultados anteriores?
(Sugestão: considerar o homomorfismo de grupos Ψ : Iso(R 2 ) −→ {1,−1} definido no
teorema 3.21)
20. Composta de três reflexões em rectas incidentes.
Sejam r, s e t três rectas distintas e incidentes num ponto Ω.
(a) Justifique que σr ◦σs ◦σt é uma reflexão numa recta incidente em Ω.
115

(b) Deduzir que se ρΩ é uma rotação com centro Ω e r uma recta incidente em Ω então
σr ◦ρΩ é uma reflexão numa recta incidente em Ω
21. Representação das rotações
Seja ρ = σr ◦σs uma rotação com centro Ω (i.e. Ω = r∩s). Prove que para toda recta l
incidente em Ω existem e são únicas rectas r1 e s1 incidentes em Ω verificando
σr ◦σs = σr1 ◦σl = σl ◦σs1
22. Composta de três reflexões em rectas não incidentes e não paralelas duas a duas
Sejam r, s e t não incidentes e não paralelas duas a duas, isto é, r ∩s = P, com P∈/ t.
(a) Sejam Q o pé da perpendicular a t incidente em P e l essa perpendicular. Verifique
que existe σr1 incidente em P tal que
com SQ a simetria central em Q
σr ◦σs ◦σt = σr1 ◦SQ
(b) Seja m a recta paralela a r1 e incidente em Q e n a perpendicular a m incidente em
Q. Justifique
σr ◦σs ◦σt = σr1 ◦σm ◦σn
(c) Deduza que σr ◦σs ◦σt é uma reflexão deslizante.
23. Comente o enunciado:
Uma isometria do plano é uma translação, uma rotação, uma reflexão ou uma reflexão
deslizante.
24. Rotações equivalentes
Dizemos que duas rotações ρ e ρ ′ são equivalentes e escrevemos ρ ∼ ρ ′ quando existir uma
translação t tal que ρ ′ = t◦ρ.
(a) Prove que esta relação entre as rotações do plano é efectivamente uma relação de
equivalência.
(Sugestão: recorde as propriedades das translações do exercício 6)
(b) Prove que se ρ e ρ ′ são equivalentes e possuem o mesmo centro então ρ = ρ ′ .
Note-se que toda rotação é equivalente a uma rotação com centro na origem (trata-se de
facto da aplicação linear associada à rotação). Recorde-se que se ρ é uma rotação e −→ ρ a
aplicação ortogonal associada tem-se
y1
y2
=
w1
w2
a −b
+
b a
x1
x2
116
y ′ 1
y ′ 2
=
a −b
b a
x1
x2

com ρ(x1,x2) = (y1,y2), ρ ′ (x1,x2) = (y ′ 1 ,y′ 2 ) e a2 +b 2 = 1.
Assim, cada classe de equivalência é determinada por um número real θ, definido 8 a
menos 2kπ, que verifica cosθ = a e sinθ = b. As rotações dessa classe de equivalência
chamam-se rotações de ângulo orientado θ.
25. Determine a expressão analítica de:
(a) A rotação centrada na origem com ângulo orientado π/2;
(b) A rotação centrada no ponto (1,2) com ângulo orientado −π/3.
26. Determine o centro e o ângulo orientado θ ∈]0,2π[ das rotações definidas pelas expressões
matriciais:
27.
(a)
(b)
.
Ângulos orientados
y1
y2
=
y1
y2
0
1
=
√ √
2/2 − 2/2
+ √ √
2/2 2/2
√ 2/2 √ 2/2
− √ 2/2 √ 2/2
x1
x1
Considerem-se os pares ordenados (k+,h+)O com k+ e h+ semi-rectas do plano com
origem O. Dizemos que dois pares ordenados, (k+,h+)O e (k ′ +,h ′ ′ +)O são equivalentes se
existem rotações equivalentes ρ e ρ ′ tais que
ρ(k+) = h+ e ρ ′ (k ′ +) = h ′ +
(a) Verifique que se ρ(k+) = h+ então a origem de k+ e h+ é o centro da rotação ρ.
(b) Justifique que a relação definida é efectivamente uma relação de equivalência. Cada
classe do conjunto quociente diz-se um angulo orientado do plano.
(c) Justifique que se h+ e k+ são semi-rectas do plano com origens O e O ′ , respectivamente,
então (h+,h−)0 ∼ (k+,k−)O ′ (esta classe de equivalência é o chamado ângulo
raso) 9 .
(d) Verifique que, se h+ e k+ são semi-rectas com a mesma origem O, com suportes
distintos, então (h+,k+)O e (k+,h+)O nunca são equivalentes.
(Sugestão: por redução ao absurdo, considerar O a origem das semi-rectas, A ∈ h+
B ∈ k+ tais que AO = BO e provar que o ponto médio M entre A e B é ponto fixo
para a rotação ρ tal que ρ(k+) = h+).
8 O intervalo de definição de θ costuma ser ]0,2π[. Frequentemente convenciona-se considerar a identidade
uma rotação e então θ ∈ [0,2π[
9
Se se considerar a identidade uma rotação ter-se-ia que (h+,h+)O ∼ (k+,k+)O ′ e então esta classe de
equivalência define o ângulo nulo.
117
x2
x2

28. Ângulos geométricos versus ângulos orientados
(a) Seja ρ uma rotação do plano com centro Ω definida por
ρ(x1,x2) = (q1 +ax1 −bx2,q2 +bx1 +ax2)
Seja P um ponto do plano. Prove que −→
ΩP · −−−−→
Ωρ(P) = a.
(Recorde que ΩP = Ωρ(P)!!)
(b) Deduza que se (h+,k+)O e (h ′ +,k ′ ′ +)O representam o mesmo ângulo orientado então
∠{h+,k+} ≡ ∠{h ′ +,k ′ +}
(c) Prove que se ∠{h+,k+} é um ângulo com vértice O ′ existem semi-rectas u+ e v+
com origem no ponto O = (0,0) tais que
(h+,k+)O ′ ∼ (e+,u+)O (k+,h+)O ′ ∼ (e+,v+)O
com e+ a semi-recta horizontal positiva.
Note-se que as semi-rectas u+ e v+ incidem em semi-planos opostos definidos pelo
eixo horizontal. Se u+ incide no semi-plano com segunda coordenada positiva, o
ângulo (h+,k+) diz-se um ângulo orientado positivo (sentido contrário aos ponteiros
do relógio), caso contrário, diz-se ângulo orientado negativo .
29. Qual a imagem através de uma isometria f de uma circunferência C de centro O e raio
r? Qual a imagem da tangente a C num ponto A?
30. Homotetias
Uma homotetia é uma aplicação do tipo h(x1,x2) = (q1,q2) + λ(x1,x2), para λ ∈ R,
λ=/ 0.
Recorde-se que uma homotetia h é uma aplicação bijectiva, com um único ponto fixo
(chamado centro da homotetia) que preserva a colinearidade e o paralelismo. Seja h uma
homotetia de razão λ.
(a) Qual a aplicação inversa h −1 ?
(b) Verifique que h(A)h(B) = |λ|AB;
(c) Prove que h preserva ângulos;
(d) Mostre que se C é uma circunferência de centro O e raio r então h(C) é uma circunferência
de centro h(O) e raio |λ|;
(e) Mostre que se t é uma recta tangente a uma circunferência C num ponto A então
h(t) é tangente a h(C) no ponto h(A).
31. Determine as expressões matriciais das homotetias de centro Ω = (0,−3) e razões λ = −2
e λ ′ = 15. Determine também o centro e a razão da homotetia f(x,y) = (−2x,−2y+4).
118

32. Semelhanças
Uma aplicação afim bijectiva f diz-se uma semelhança se f preserva os ângulos.
Seja f uma aplicação afim bijectiva e −→ f a aplicação linear associada (bijectiva). Recordese
que f = t◦ −→ f com t uma translação.
(a) Prove que f é uma semelhança se e só se −→ f é uma semelhança.
(b) Sejam g uma semelhança linear e O = (0,0) a origem. Considere-se um ponto A=/ O
e seja λ tal que Og(A) = λOA. Prove que, para todos A e B em R 2 tem-se
g(A)g(B) = λAB (∗)
(Sugestão: considerar primeiro pontos B não incidentes em < A,O > e aplicar os
critérios sobre triângulos semelhantes)
(c) Sejam g uma semelhança linear e λ o escalar que verifica (∗). Considere-se h a
homotetia vectorial (isto é, centrada na origem) com razão λ −1 . Determine
para todo A e B em R 2 .
h(g(A))h(g(B))
(d) Justifique sucintamente:
uma semelhança do plano é composta de uma isometria e uma homotetia.
119

120

IV. Introdução ao plano hiperbólico
1 Inversões
As inversões são um tipo de transformações do plano com belíssimas propriedades e inúmeras
aplicações em problemas geométricos (o problema de Steiner, o problema de Apolónio...) Nesta
secção serão apresentadas unicamente os conceitos básicos, necessários para definir o Disco de
Poincaré. O Disco de Poincaré é um modelo analítico do plano hiperbólico,isto é, um modelo
de plano de incidência que verifica os mesmos axiomas que o plano euclideano à excepção do
axioma das paralelas de Euclides.
Para facilitar este estudo, fazemos, de seguida, uma apresentação do plano R 2 através do
conjunto dos números complexos C.
Transformações geométricas básicas em C.
Recorde-se a identificação de R 2 com o corpo dos números complexos C, dada por
FACTOS E NOTAÇÕES
R 2 ≡ C
(a,b) ≡ a+ib.
• Se z = a+ib e z ′ = a ′ +ib ′ , com a,b,a ′ ,b ′ ∈ R, então z+z ′ identifica-se com (a+a ′ ,b+b ′ )
que é a soma dos vectores (a,b) e (a ′ ,b ′ ).
• Se z = a + ib, com a,b ∈ R, o conjugado z = a − ib identifica-se com (a,−b) que é
o simétrico em relação ao eixo dos xx do vector (a,b). Recorde-se que zz = a 2 + b 2 e
z +z = 2a são números reais.
• O módulo |z| é o comprimento do vector (a,b), recorde-se que verifica |z| 2 = zz.
• Sejam ρ um real positivo e z um número complexo, z = x1 + ix2, com x1,x2 ∈ R. O
complexo ρz identifica-se com o vector (ρx1,ρx2) e então é possível interpretar o produto
por um real positivo ρ como uma homotetia com centro na origem e razão ρ.
• Sejaa+ib, coma,b ∈ R, umcomplexodemódulo1, istoé, talquea 2 +b 2 = 1. Note-seque
existe θ ∈ R (único a menos de 2kπ) tal que a = cosθ e b = sinθ, isto é, e iθ = a+ib. Dado
121

z ∈ C, z = x1+ix2, com x1,x2 ∈ R, o produto e iθ z = (a+ib)z = ax1−bx2+i(ax2+bx1)
indentifica-se com o vector
(cosθx1 −sinθx2,cosθx2 +sinθx1)
que é a rotação do vector (x1,x2) pelo ângulo orientado θ com centro a origem.
θ
eθz
Por outras palavras: o produto por complexos e iθ (complexos de módulo 1) representa
rotações do plano de ângulo orientado θ com centro a origem.
• Em geral, se z é um complexo qualquer não nulo, tem-se que z = |z|e iθ (com e iθ = z
|z|
complexo de módulo 1). A multiplicação por z interpreta-se geometricamente como uma
rotação (multiplicação por e iθ ) seguida de uma homotetia de razão |z|.
• Uma isometria f do plano euclideano, f : R2 −→ R2 , representa-se matricialmente por:
y1
w1
x1
w1
y2
=
w2
a −ǫb
+
b ǫa
com ǫ = ±1, a 2 +b 2 = 1, x = (x1,x2) e f(x) = (y1,y2).
x2
z
=
w2
ax1 −ǫbx2
+
bx1 +ǫax2
Sejam z = x1 +ix2, w = w1 +iw2 e θ tal que e iθ = a+ib. Note-se que:
e iθ z = (a+ib)z = ax1 −bx2 +i(bx1 +ax2) (ǫ = 1)
e iθ z = (a+ib)z = ax1 +bx2 +i(bx1 −ax2) (ǫ = −1)
Assim, usando a identificação de R 2 com C podemos escrever
f(z) = w +e iθ z (ǫ = 1)
ou
f(z) = w +e iθ z (ǫ = −1)
A primeira representa uma rotação seguida de uma translação e a segunda representa
uma reflexão seguida de uma rotação seguida de uma translação.
122

• Uma semelhança f pode escrever-se como uma composta de uma isometria com uma
homotetia, logo f(z) = w ′ + λ(w + e iθ z) ou f(z) = w ′ + λ(w + e iθ z), com λ ∈ R.
Reciprocamente, se f(z) = w + αz ou f(z) = w + αz, com α,w ∈ C, α=/ 0, então f
é uma semelhança (a multiplicação por um complexos é uma rotação seguida de uma
homotetia!!!)
• Seja r um real positivo, a circunferência C de R 2 de centro (α1,α2) e raio r identifica-se
com o subconjunto de C:
sendo α = α1 +iα2.
C = {z ∈ C : |z −α| = r} = {z ∈ C : zz −αz −αz +αα = r 2 }
• As circunferências centradas na origem α = (0,0) são:
{z ∈ C : |z| = r} = {z ∈ C : zz = r 2 }
E a circunferência unitária de raio 1 e centrada na origem (0,0) (os complexos unitários!!!)
que designamos por U é:
U = {z ∈ C : |z| = 1} = {z ∈ C : zz = 1}
• A recta r de equação cartesiana ax+by +c = 0 identifica-se com o subconjunto de C:
r = {z ∈ C : αz +αz +c = 0}
com α = (a+ib)/2. Em particular, as rectas incidentes na origem são os conjuntos
r = {z ∈ C : αz +αz = 0}
• Uma circunferência C de centro α e raio r é ortogonal à circunferência unitária U se e só
se |α| 2 = 1+r 2 , e então
C = {z ∈ C : zz −αz −αz +1 = 0} (|α| > 1)
123

Definição . 1.1 Circunferências generalizadas
Sejam a e a ′ dois números complexos distintos, e λ um número real positivo. O conjunto:
C(a,a ′ ,λ) = {z ∈ C : |z −a| = λ|z −a ′ |}
diz-se uma circunferência generalizada definida pelos pontos a e a ′ e razão λ ou circunferência
de Apolónio para os pontos a e a ′ e razão λ.
λ = 2
λ|z −a ′ |
z
|z −a ′ |
a a′
Se A e A ′ são dois pontos do plano R 2 , correspondentes aos números complexos a, a ′ e
P é o ponto correspondente com z, como |z − a| = PA as circunferências generalizadas são
efectivamente as circunferências de Apolónio introduzidas no segundo capítulo:
e então:
{P ∈ R 2 : AP = λAP ′ }
• Se λ = 1, C é a mediatriz do segmento de extremos a e a ′ ;
• Se λ=/ 1, C é uma circunferência de centro O e raio r, r > 0, tais que
1. O verifica |O −a| = λ 2 |O −a ′ |;
2. r é tal que r 2 = |O −a||O −a ′ |.
Reciprocamente, para toda a recta r ou toda a circunferência C de C existem números complexos
distintos a e a ′ (e não únicos) e um real positivo λ tais que a circuferência generalizada
C(a,a ′ ,λ) é a recta r ou a circunferência C.
124

Exemplos . 1.2
1. Se α = 0, α ′ = λ = 1 tem-se
C(0,1,1) = {z ∈ C : |z| = |z −1|} = {z ∈ C : z +z −1 = 0}
Note-se que considerando z = x+iy a circunferência generalizada C(0,1,1) é a recta de
equação cartesiana x = 1/2.
2. Se α = 0, α ′ = 1 e λ = √ 2 tem-se
C(0,1, √ 2) = {z ∈ C : |z| = √ 2|z −1|} = {z ∈ C : zz −2(z +z)+2 = 0}
Note-se que considerando z = x+iy a circunferência generalizada C(0,1, √ 2) é a circunferência
de equação x 2 +y 2 −4x+2 = 0.
3. Se α = 0, α ′ = 1 e λ = 2 tem-se
C(0,1,2) = {z ∈ C : |z| = 2|z −1|} = {z ∈ C : 3zz −4(z +z)+4 = 0}
Note-se que considerando z = x + iy a circunferência generalizada C(0,1,2) é a circunferência
de equação 3x 2 +3y 2 −8x+4 = 0.
Convenciona-seque, seacircunferênciageneralizadaforumarectaeuclidianar entãoatangente
num ponto P é precisamente a própia recta r. Assim, podemos dizer que duas circunferências
generalizadas são ortogonais num ponto P se as tangentes em P são perpendiculares.
Definição . 1.3 Inversão na circunferência unitária
Seja C ∗ = C − {0}. Chamamos inversão na circunferência unitária e designamos por I à
aplicação I : C ∗ −→ C ∗ definida por
I(z) = 1
z
= z
|z| 2
Proposição . 1.4 Propriedades da inversão na circunferência unitária
Sejam I : C ∗ −→ C ∗ a inversão na circunferência unitária U e O a origem. Tem-se
1. I é uma transformação bijectiva e involutiva (I 2 = Id);
2. I(z) é o único ponto da semirecta de origem O e incidente em z que verifica |z||I(z)| = 1;
3. I fixa os pontos da circunferência unitária U;
4. I intercâmbia as regiões:
{z ∈ C ∗ : |z| > 1} {z ∈ C ∗ : |z| < 1}
125

5. I transforma circunferências generalizadas em circunferências generalizadas. Em particular,
se C := C(a,a ′ ,λ), com a,a ′ =/ 0, então
com λ ′ = λ |a′ |
|a| .
I(C) = C(I(a),I(a ′ ),λ ′ )
6. I intercâmbia os conjuntos:
{circunferências que incidem na origem} ←→ {rectas que não incidem na origem}
7. I deixa (globalmente) invariantes as circunferências generalizadas ortogonais a U, isto
é, deixa globlamente invariantes as rectas incidentes na origem e as circunferências euclidianas
ortogonais a U.
126

(Demonstração)
1. Directa a partir da definição de I.
2. A primeira parte é directa. Reciprocamente, se ω incide na mesma semi-recta com origem
O que z tem-se ω = λz com λ ∈ R, λ > 0. Se |ω| = 1
= λ|z| então
|z|
donde ω = I(z).
3. Directa (se z ∈ U tem-se |z| = 1 e I(z) = z.
4. Deduz-se da segunda alínea.
λ = 1
|z| 2
5. Prova-se de seguida o caso indicado, os outros são análogos e ficam como exercício.
Suponham-se a e a ′ distintos de 0. Note-se que z=/ 0.
z ∈ C(a,a ′ ,1) ⇐⇒ |z −a| = λ|z −a ′
| ⇐⇒
za(1 1
−
a z )
= λ
a′ z( 1 1
−
a ′ z )
⇐⇒ |z| |a|
1 1
−
a z
= λ|z| |a′
|
1 1
−
a ′ z
⇐⇒
⇐⇒
1 1
−
a z
= λ|a′
|
1 1
|a| −
a ′ z
⇐⇒ I(z) ∈ C
Saliente-se que I é uma aplicação involutiva e portanto sobrejectiva.
6. Note-se que C = C(a,a ′ ,λ) incide na origem se e só se |a| = λ|a ′ |.
1 1
−
a z
= λ|a′
|
1 1
|a| −
a ′ z
I(a),I(a ′ ),λ |a′
|
|a|
Se C = C(a,a ′ ,λ) é uma circunferência (euclidiana) e incide na origem tem-se |a| = |a ′ |λ,
com λ=/ 1 logo |a|=/ |a ′ |. Pela alínea anterior I(C) = C(I(a),I(a ′ ),λ ′ ) com λ ′ = λ |a′ |
|a| .
Assim
λ ′ = λ |a′ |
|a| = 1 |I(a)|=/ |I(a′ )| (Note-se que |I(a)| = 1
|a| e |I(a′ )| = 1
|a ′ | ).
Se C = (a,a ′ ,λ) é uma recta não incidente na origem, pela proposição anterior, temse
λ = 1 e |a|=/ |a ′ |, assim I(C) é a circunferência generalizada C(I(a),I(a ′ ),λ ′ ) com
λ ′ = |a′ |
=/ 1. Tem-se
|a|
λ ′ |I(a ′ )| = |a′ |
|a|
1
|a ′ |
1 1
= = = |I(a)|
|a| |a|
e portanto C(I(a),I(a ′ ),λ ′ ) é uma circunferência que incide na origem.
127

7. Seja r uma recta incidente na origem definida por uma equação αz+αz = 0. Se z ∈ C∗ ,
tem-se
αz +αz = 0 ⇐⇒ zz(α 1
z +α1 ) = 0 ⇐⇒ αI(z)+αI(z) = 0
z
Se C é uma circunferência ortogonal a U o resultado prova-se de maneira análoga (exercício).
Definição . 1.5 Inversão numa circuferência genérica
Seja C uma circunferência de centro α e raio r. Chamamos inversão em C e designamos por IC
à aplicação:
IC : C−{α} −→ C−{α}
definida por:
IC(z) = α+ r2
z −α .
Nota . 1.6
A esfera de Riemann
O palco ideal para trabalhar com inversões não é o plano C mas sim a chamada esfera de
Riemann que consiste em alargar C adicionando um ponto no infinito: C∪{∞}. Na esfera de
Riemann não é preciso retirar pontos ao domínio da inversão pois podemos definir
I(α) = ∞ e I(∞) = α.
Como o objetivo desta secção é introduzir as ferramentas necessárias para obter um modelo
do plano hiperbólico não vamos aprofondar no estudo da Esfera de Riemann, embora seja um
objeto omnipresente em Geometria, Topologia, Análisis Complexa ...
Proposição . 1.7 Decomposição de uma inversão
Sejam C uma circunferência com centro α e raio r e IC a inversão em C. Tem-se:
IC = tα ◦h r 2 ◦I ◦t−α
onde tα e t−α designam translações por α e −α, respectivamente, h r 2 a homotetia centrada em
0 e razão r 2 e I a inversão na circunferência unitária.
(Demonstração)
Directa.
t−α
C\{α} −→ C\{0} −→ C\{0}
z −→ z −α −→
1
z −α
I
128
h r 2
−→ C\{0}
−→ r2
z −α
tα
−→ C\{α}
−→ α+ r2
z −α

Corolário . 1.8 Propriedades das inversões
Sejam C uma circunferência com centro α e raio r e IC a inversão em C.
1. IC é uma transformação bijectiva e involutiva;
2. IC(z) é o único ponto da semirecta de origem α e incidente em z que verifica
3. I fixa os pontos de C;
4. I intercâmbia as regiões:
|z −α||I(z)−α| = r 2 ;
{z ∈ C\{α} : |z −α| > r} {z ∈ C\{α} : |z −α| < r}
5. I transforma circunferências generalizadas em circunferências generalizadas.
6. I intercâmbia os conjuntos:
{circunferências que incidem em α} ←→ {rectas que não incidem em α}
7. I deixa (globalmente) invariantes as circunferências generalizadas ortogonais a C.
(Demonstração)
Directa a partir da decomposição das inversões.
Nota 1.9 Transformações conformes.
As inversões do plano verificam uma propriedade muito importante: preservam os ângulos.
Este tipo de transformações costumam chamar-se transformações conformes. Outros exemplos
de transformações conformes são as isometrias e as semelhanças. As aplicações constantes ou
as aplicações afins do tipo f(x,y) = (ax,by) com a=/ b não são aplicações conformes.
A prova deste resultado, que precisa de uma definição correcta de ângulo entre curvas, pode
ser encontrada em [9] (página 217).
129

Nota 1.10 Construção geométrica das inversões
Seja C uma circunferência de centro O e raio r.
.
• SejaAumpontointeriordacircunferência, istoé, AO < r, distintodocentroO. Definemse
mA a recta perpendicular ao raio OA incidente em A e P e P ′ a intersecção desta recta
mA com a circunferência. Tem-se que as tangentes tP e t ′ P incidem num ponto A′ na
recta < O,A >.
• Seja A ′ um ponto exterior da circunferência, isto é, A ′ O > r. A ′ incide em duas tangentes
à circunferência e sejam P e P ′ os pontos de tangência. Define-se A o ponto de incidência
da recta < P,P ′ > com a recta < A ′ ,O >.
Os pontos A e A ′ são inversivos para a circunferência C, isto é, A e A ′ verificam
OA·OA ′ = r 2
O
(A demostração baseia-se no facto dos triângulos △OAP e △OPA ′ serem semelhantes.)
A
130
P
P’
A’

Nota 1.11 Centros de circunferências ortogonais
Seja C uma circunferência, A um ponto interior e C ′ uma circunferência ortogonal a C passando
por A. Como a inversão em C deixa globalmente invariante as circunferências ortogonais, o
inverso A ′ de A pertence também a C ′ .
C
A
C ′
Obtemos então que o centro de toda a circunferência ortogonal a C que passa por um ponto
dado A pertence a mediatriz do segmento AA ′ , com A ′ o inverso de A relativamente a C.
E então, dados dois pontos A e B interiores a uma circunferência C, não incidentes no
mesmo diâmetro, existe uma e uma só circunferência ortogonal a C passando por A e B cujo
centro é o ponto de intersecção das mediatrizes dos segmentos AA ′ e BB ′ , com A ′ e B ′ os
pontos inversivos de A e B, respectivamente.
C
A
B
C ′
131
A′
A′
B ′

Exercícios . 1.12
1. Qual o complexo α de módulo 1 tal que a multiplicação por α representa a rotação de
ângulo π/4? E π? E −π/6? Qual a transformação geométrica que representa o produto
pelo complexo α = 1/2+i √ 3/2?
2. Dado z ∈ C, interprete geometricamente (a) 2+e iπ/3 z, (b) i+e iπ/2 z, (c) (−2+i5)z. São
isometrias? Admitem representação matricial se identificarmos C com R 2 ?
3. A inversão na circunferência unitária é uma isometria?
4. Seja I a inversão na circunferência unitária. Prove que:
(a) Se C := C(a,0,λ), com a=/ 0 então I(C) é a circunferência com centro I(a) e raio
R = λ
|a| .
(b) Se C := C(0,a ′ ,λ), então I(C) é uma circunferência centrada em I(a ′ ) e raio R =
(λ|a ′ |) −1 .
(c) Determine os conjuntos C(a,0,1) e C(0,a ′ 1,1). Quais os conjuntos imagens?
5. Sejam hλ e hα,λ as homotetias de razão λ com centro a origem e α, respectivamente.
Prove que
hα,λ = tα ◦hλ ◦t−α
6. Prove que a aplicação composta de duas inversões em circunferências C, C ′ do mesmo
centro α e raios r e r ′ é uma homotetia10
r
de centro α e razão
r ′
2 .
7. Prove que a composta de uma inversão numa circunferência C de centro Ω e raio r com
uma homotetia de centro Ω e razão λ é a inversão pela circunferência de centro Ω e raio
√ λr.
10 Formalmente, é a restrição de uma homotetia a R 2 −{α}.
132

2 Modelo de Poincaré do plano hiperbólico
Sejam U a circunferência unitária e Ω o interior de U, isto é,
ω = {z ∈ C : |z| = 1}
Ω = {z ∈ C : |z| < 1}.
Um modelo do plano de incidência hiperbólico, chamado o círculo de Poincaré, consiste em:
• pontos do plano hiperbólico: pontos do interior da circunferência unitária Ω;
• rectas hiperbólicas : a intersecção com Ω das rectas vectoriais e das circunferências de C
ortogonais a ω;
• relação de incidência: a relação usual de pertença.
133

• relação “estar entre”: cada recta hiperbólica é homeomorfa à recta real R e usando
esse homeomorfismo podemos transladar a noção “estar entre” na recta real às rectas
hiperbólicas e obter segmentos hiperbólicos, semi-rectas hiperbólicas ...
• relação de congruência de segmentos e ângulos: pode ser definida introduzindo uma
medida de distâncias e de ângulos no plano hiperbólico. A distância hiperbólica ρ, dados
z1,z2 ∈ ω é definida por
ρ(z1,z2) = tanh −1 | z1 −z2
|
1−z1z2
com tanh a tangente hiperbólica. A medida de ângulos define-se a partir da congruência
usual dos ângulos do plano euclideano, usando as tangentes às rectas hiperbólicas.
Nota: Alternativamente podemos indicar quais são as isometrias do plano hiperbólico.
Observe-se que, se especificamos o “grupo de isometrias”, dois segmentos podem ser ditos
congruentes se e só se existe uma isometria que transforma um no outro. Ao final desta
secção são apresentadas as isometrias hiperbólicas do disco de Poincaré.
Notas . 2.1
1. A definição de congruência de ângulos é feita a partir da congruência usual de ângulos
no plano euclidiano. Por esta razão, este modelo é um dos chamados modelos conformes
134

do plano hiperbólico, isto é, um modelo em que a noção de ângulo em Ω coincide com
a noção de ângulo usual. Existem outros modelos do plano hiperbólico não conformes,
onde a definição de ângulo é menos intuitiva.
2. Esteplanodeincidênciaverificaosaxiomasdecontinuidadeporquecadarectahiperbólica
é homeomorfa à recta real e a noção “estar entre” foi definida usando esses homeomorfismos.
3. Neste plano de incidência, por um ponto exterior a uma recta incidem infinitas paralelas
(Axioma das paralelas de Lobachevsky).
Descrição das rectas “hiperbólicas”.
Uma recta hiperbólica neste modelo é a intersecção de Ω com uma recta incidente na origem
ou a intersecção de Ω com uma circunferência ortogonal à circunferência unitária.
A equação de uma circunferência ortogonal à U é:
C = {z ∈ C : zz −αz −αz +1 = 0} |α| > 1
Recorde-se que a reflexão numa recta vectorial r admite uma expressão do tipo
f(z) = e i2θ z
com (cosθ,sinθ) um vector director unitário da recta vectorial. O conjunto de pontos fixos de
f, ou seja, a recta r é definido assim como
com γ = cosθ +isinθ.
γ 2 z = z
Em resumo, as rectas m do plano hiperbólico são um dos dois conjuntos seguintes:
m = Ω∩C = {z ∈ C : |z| < 1 e zz −αz −αz +1 = 0} |α| > 1
m = {z ∈ C : |z| < 1 e γ 2 z = z} |γ| = 1
Recorde-se que uma isometria de um plano na geometria absoluta é composto de, no
máximo, três reflexões. As aplicações que fazem o papel das reflexões, no caso hiperbólico,
serão as inversões nas circunferências ortogonais a U e as reflexões nas rectas incidentes na
origem.
135

Reflexões em rectas hiperbólicas
Uma reflexão numa recta hiperbólica é:
• a reflexão usual na recta r, se a recta hiperbólica é uma recta vectorial r;
• a inversão pela circunferência C, se a recta hiperbólica é uma circunferência C ortogonal
à circunferência unitária U.
σ(M)
Descrição analítica das reflexões hiperbólicas
r
I(M)
• Uma inversão IC por uma circunferência C com centro α e ortogonal à circunferência
unitária U está definida por:
IC(z) = α+ |α|2 −1
z −α
C
M
= αz −1
z −α
|α| > 1
• Uma reflexão numa recta vectorial de equação γ 2 z = z está definida por
σr(z) = γ 2 z
Usando a medida de segmentos e ângulos hiperbólicos é possível provar que estas aplicações
são efectivamente as reflexões do modelo indicado (tal como foram definidas na secção sobre
isometriasnageometriaabsoluta). Naabordagemalternativa,emqueacongruênciaédefinidaa
partir do grupo de isometrias, é preciso confirmar que as reflexões hiperbólicas (as “candidatas”
a reflexões hiperbólicas para ser precisos) são, efectivamente, aplicações do disco de Poincaré.
Proposição . 2.2
1. Se r é uma recta vectorial, σr a reflexão em r e z ∈ Ω então σr(z) ∈ Ω;
2. Se C é uma circunferência ortogonal a U, então o centro α de C é exterior a U e portanto a
inversãopelacircunferênciaC estádefinidaparatodooz ∈ Ωverificándo-sequeIC(z) ∈ Ω
136

O conjunto de reflexões hiperbólicas não é um grupo para a composição. A composta de
duas reflexões hiperbólicas pode não ser uma reflexão hiperbólica:
It(Is(A))
A
It(Is(B))
Is(B)
B
Is(A)
Analiticamente é facil verificar que tais compostas são aplicações do tipo
f(z) =
az +b
cz +d
com a, b, c e d verificando certas condições:
s
t
ou f(z) =
az +b
cz +d
Teorema . 2.3 Caracterização da composição de reflexões hiperbólicas.
Uma transformação f do tipo
f(z) =
az +b
cz +d
é composta de reflexões hiperbólicas se e só se
com |k| = 1 e |b| < |a|.
Exemplos . 2.4
az +b
f(z) = k
bz +a
ou f(z) =
az +b
cz +d
az +b
ou f(z) = k
bz +a
As rotações centradas na origem, as reflexões por rectas que incidem na origem e as inversões
por circunferências ortogonais à circunferência unitária ω são transformações hiperbólicas.
137

Definição . 2.5 Isometrias hiperbólicas
Uma aplicação f : Ω → Ω do tipo
az +b
f(z) = k
bz +a
az +b
ou f(z) = k
bz +a
com |k| = 1 e |b| < |a|, diz-se uma isometria hiperbólica.
Notas . 2.6
1. A composta de duas transformações hiperbólicas é uma transformação hiperbólica, assim
comoainversadeumatransformaçãohiperbólica(estruturadegrupoparaacomposição).
2. As transformações do tipo
f(z) =
az +b
cz +d
ou f(z) =
az +b
cz +d
são chamadas transformações de Moebius generalizadas. Estas transformações verificam
propriedadesparecidasàsinversõesereflexões: transformamcircunferênciasgeneralizadas
emcircunferênciasgeneralizadas, preservamângulos.... Masatenção, nemtodasastransformações
de Moebius são aplicações de Ω em Ω, de facto, só aquelas que caracterizamos
como composição de reflexões hiperbólicas é que preservam Ω.
Podemos então definir agora dois segmentos congruentes como dois segmentos hiperbólicos
tais que existe uma isometria hiperbólica que transforma um no outro. A noção de segmentos
congruentes no plano hiperbólico difere bastante da euclideana ...
It(Is(A))
A
It(Is(B))
138
B

O plano hiperbólico partilha com o plano euclideano todas as propriedades da geometria
absoluta mas, ao introduzir a negação do V Postulado e considerar infinitas paralelas por um
ponto exterior a uma recta, obtemos resultados bem diferentes:
• Existem triângulos cuja medida dos ângulos internos é inferior a dois rectos;
• A noção de paralelismo entre rectas não é transitiva,
• Dois triângulos são congruentes se e só se são semelhantes,
• ...
Por exemplo, eis um mosaico
do disco de Poincaré usando anjos e demónios congruentes ...
139

140

Bibliografia
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de Matemática, Universidade do Minho.
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141