Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres - Arquivo Escolar

Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres
Armando Machado
Índice
Introdução 2
1. Primeiras no ções básicas e primeiros axiomas
5
2. Axioma de separação do plano 14
3. Ângulos 20
4. Triângulos 36
5. Isometrias e Aplicações 64
6. Quadriláteros e Paralelogramos 77
7. Paralelismo e o Axioma das Paralelas 85
8. Teorema de Thales e semelhança 96
9. Outros resultados sobre isometrias; Translações e vectores 105
10. Ângulo de vectores, ortogonalidade, produto interno 133
11. Geometria da Circunferência 150
Apêndice 1. As funções trigonométricas dos Analistas 161
Novembro de 2005
–1–

Introdução
Este texto é um ensaio de desenvolvimento da Geometria Euclidiana,
do ponto de vista axiomático, tendo em vista chegar a uma definição dos
vectores livres e ao estudo das suas propriedades algébricas. A via axiomática
seguida é a introduzida por Moïse, E. E., Elementary Geometry from an
Advanced Standpoint, Addison-Wesley, 1990, e que se caracteriza pela
introdução de axiomas métricos para os comprimentos e os ângulos (o axioma da
régua e o do transferidor), baseados no preconhecimento das propriedades dos
números reais.
Também baseados na via seguida por Moïse, existem pelo menos mais
dois textos em língua portuguesa, o livro de Paulo Ventura Araújo, Curso de
Geometria, publicado pela Gradiva em 1998, e o de A. J. Franco Oliveira,
Geometria Euclidiana, publicado pela Universidade Aberta em 1995. O nosso
texto difere destes em vários pontos. Em primeiro lugar é bastante menos
ambicioso, tendo como objectivo essencial chegar à noção de vector livre e a
algumas aplicações dos vectores livres à Geometria. Em segundo lugar é
bastante mais detalhado nas demonstrações e nas referências a resultados
anteriores. Esta segunda característica torna-o mais pesado e, eventualmente,
aborrecido, se for estudado na forma tradicional de um texto impresso, mas
poderá ser útil se, como temos em vista, ele for utilizado no monitor do
computador, como ficheiro pdf, com as referências associadas a “links” que
enviam, com possibilidade de retorno à origem, para os resultados citados.
Destacamos a seguir alguns pontos em que a nossa opção foi diferente
da tomada por Moïse e pelos autores portugueses atrás referidos.
Relativamente aos axiomas métricos, pareceu-nos pouco natural
(apesar de perfeitamente legítimo do ponto de vista formal) ser dada como noção
primitiva uma função distância que associa a cada par de pontos do espaço um
número real. A existência de uma tal função distância privilegiada corresponde à
ideia de uma unidade de medida dada a priori, quando é certo que a nossa
experiência geométrica nos diz que uma tal unidade não existe. Preferimos assim
tomar, em vez disso, como noção primitiva um conjunto “completo” de funções
distância, cada uma múltipla de qualquer outra, correspondendo às diferentes
unidades de medida que é possível escolher. Se é verdade que disso resultou
uma ligeira complicação para alguns enunciados, pareceu-nos ter ganho alguma
coisa na compreensão geométrica do espaço e, mais geralmente com o
estabelecimento de relações com a problemática dos diferentes tipos de grandeza
em Física. Em particular um comprimento não é um número real mas uma
família de números reais indexada no conjunto das funções distância, família que
deve verificar uma condição de homogeneidade natural, e torna-se evidente que
nunca pode ter significado geométrico, por exemplo, um resultado que afirme a
–2–

igualdade de um comprimento com um produto de dois comprimentos. A partir
de certa altura torna-se naturalmente conveniente, para não cair em exageros de
formalismo, pressupor a fixação de uma função distância, por exemplo quando
se discute o produto interno de dois vectores, mas pensamos que nessa altura já
será claro para o leitor como se poderia proceder se se fizesse questão de não
fixar uma tal unidade de medida.
Escolhemos enunciar o axioma de separação do plano através da
exigência de que uma certa relação no complementar duma recta num plano é de
equivalência e tem duas classes de equivalência, que vão ser os semiplanos
abertos. Esse enunciado pareceu-nos preferível àquele que afirma que o
complementar referido é união de dois convexos verificando uma certa condição
e que são então os semiplanos abertos, por este último escamotear a necessidade
de justificar que uma tal decomposição é única. Também constatámos que o
resultado correspondente para a separação do espaço por um plano é um teorema
e não necessita assim de ser tomado como um novo axioma.
Preferimos definir ângulo como um conjunto de duas semirrectas com
a mesma origem, contidas em rectas distintas, em vez da união dessas
semirrectas. Evitámos assim a necessidade de mostrar que os lados dum ângulo
são semirrectas bem definidas. Dentro do mesmo espírito, preferimos definir
triângulo como um triplo ordenado de três pontos não colineares, o que nos
permite simplificar o enunciado dos resultados envolvendo a congruência de
triângulos.
Relativamente aos axiomas de medida dos ângulos, preferimos utilizar
como unidade de medida o ângulo recto, em vez do grau. Se é verdade que o
mais cómodo a prazo seria utilizar desdo o início o radiano, partindo do número
1 definido de forma analítica, isso pareceu-nos pouco natural, tal como nos
pareceu a utilização do grau. Constatámos também que um dos axiomas sobre a
medição dos ângulos, aquele que afirma que a soma das medidas de dois ângulos
adjacentes é igual a dois rectos, é de facto um teorema.
Apresentamos um estudo elementar das isometrias, definidas numa
recta, num plano ou no espaço, e de algumas das suas propriedades, sem
preocupações de fazer a classificação destas. Como exemplos fundamentais,
começamos por apresentar as inversões, relativamente a um ponto, a uma recta
ou a um plano, e utilizamo-las no estudo da perpendicularidade entre uma recta e
um plano.
As translações são definidas como as isometrias que se podem obter
como compostas de duas inversões pontuais e as suas propriedades fundamentais
são estabelecidas, em particular a de uma translação ficar bem definida quando
se dá arbitrariamente a imagem de um ponto do espaço e o facto de o conjunto
das translações ser um grupo comutativo relativamente à operação de
composição. Os vectores livres são identificados com as translações e não
definidos como classes de equivalência de segmentos orientados, embora a
posteriori a relação entre os dois modos de aproximação a esta noção fique clara
–3–

e seja o espírito da segunda aproximação aquele que está presente quando se
define o produto de um vector por um núero real. Em particular o vector EF é
Ä
definido como a única translação que aplica E em F,
nomeadamente a composta
da inversão relativamente a E seguida da inversão relativamente ao ponto médio
do par ÐEß FÑ.
São estudadas as propriedades de espaço vectorial nos vectores
livres e os subespaços vectoriais próprios e diferentes de Ö!× são identificados
como as rectas e os planos vectoriais. O prodto interno de vectores é definido,
primeiro para vectores colineares e depois para vectores arbitrários, utilizando
nesse caso a projecção ortogonal do segundo vector sobre a recta vectorial
definida pelo primeiro, sendo provada a comutatividade e as propriedades de
bilinearidade.
O cosseno, primeiro de um par de vectores não nulos, e depois de um
ângulo, é definido a partir do produto interno, o que leva a alguma simplificação
na discussão da questão do sinal. O seno é definido a partir do cosseno e são
estabelecidas as fórmulas para o cosseno da soma de dois ângulos e, a partir
desta, para o cosseno da metade de um ângulo. Essa fórmulas são utilizadas, em
particular para relacionar as funções trigonométricas assim definidas com as
definidas de modo analítico. Uma das definições analíticas das funções
trigonométricas é apresentada num apêndice.
Referimos enfim que este trabalho necessitaria de uma revisão mais
cuidada se o objectivo fosse o de uma publicação mais formal. Em particular
temos a consciência de que algumas notações alternativas são introduzidas, sem
que venham a ser utilizadas no seguimento, e que alguma propriedades técnicas
são estabelecidas sem que a sua utilidade se viesse a confirmar posteriormente.
–4–

1. Primeiras noções básicas e primeiros axiomas.
1.1 (Primeiras noções primitivas) Supomos dados, como noções
primitivas, um
conjunto X, cujos elementos T são chamados pontos,
um conjunto e de
partes de X, cujos elementos < são chamados rectas,
um conjunto c de partes
de X , cujos elementos ! são chamados planos,
e um conjunto Y de aplicações
.À X ‚ X Ä Ò!ß_Ò, cujos elementos são chamados funções distância,
supondo-se verificados os axiomas que iremos descrevendo a seguir:
1.2 (Definições) Um conjunto (ou família) de pontos diz-se colinear
(respectivamente complanar ) se existir uma recta

1.6 (Resultados de existência)
a) Para cada T− X, existe uma recta §!. Mais uma vez pelo axioma b) em 1.3,
podemos considerar a única
recta

que contém T e U, segue-se que TßUßV são não colineares e portanto, pelo
axioma d) em 1.3 , vinha ! œ " .
1.8 (Outras formas de “definir” um plano)
a) Se

1.12 (Mudança de sistema de coordenadas I) Sejam 0À< Ä ‘ um . -sistema
de coordenadas. Tem-se então:
a) Se - − ‘ Ï Ö!× , então a bijecção 1À < Ä ‘ definida por 1ÐT Ñ œ -0ÐT Ñ é
um Ðl-l .Ñ-sistema
de coordenadas com a mesma origem. Em particular, para
cada s.− Y,
a recta < admite um s.
-sistema de coordenadas.
b) Se + − ‘ , então a bijecção 2À < Ä ‘ definida por 2ÐTÑ œ 0ÐTÑ + é um
"
. -sistema de coordenadas com origem 0 Ð+Ñ.
Dem: a) De ser 0ÐSÑ œ ! , sai ainda 1ÐSÑ œ ! e vemos que
l1ÐUÑ 1ÐT Ñl œ l-Ð0ÐUÑ 0ÐT Ñl l-ll0ÐUÑ 0ÐT Ñl œ l-l .ÐT ß UÑ.
A última afirmação resulta de que qualquer s.−Y é da forma -. , para algum
-!.
" "
b) Tem-se 2Ð0 Ð+ÑÑ œ 0Ð0 Ð+ÑÑ + œ ! e
l2ÐUÑ2ÐTÑlœl0ÐUÑ+0ÐTÑ+lœl0ÐUÑ0ÐTÑlœ.ÐTßUÑ.
1.13 (Lema) Seja :‘ À Ä ‘ uma aplicação tal que : Ð!Ñ œ ! e que, quaisquer
que sejam Bß C − ‘ , l: ÐBÑ : ÐCÑl œ lB Cl. Tem-se então que ou : œ M. ‘
ou : œM.‘ .
Dem: Para cada B−‘ , vem
l: ÐBÑlœl: ÐBÑ: Ð!ÑlœlB!lœlBl,
e portanto, ou : ÐBÑœB ou : ÐBÑœB. É claro que, para Bœ! tem-se
simultaneamente : ÐBÑ œ B e : ÐBÑ œ B, pelo que, se não fosse : œ M.‘
nem : œM. ‘ , existiam BÁ! e CÁ! tais que : ÐBÑœB e : ÐCÑœC.
Podíamos então escrever
lBClœl: ÐBÑ: ÐCÑlœlBCl,
portanto, ou BCœBCou BCœCB; no primeiro caso vinha Cœ!
e no segundo vinha Bœ! , pelo que, em ambos os casos, chegámos a um
absurdo.
1.14 (Mudança de sistema de coordenadas II) Sejam

Tem-se :Ð!Ñ œ ! e
l ÐBÑ ÐCÑl œ l0Ð0 s " B
Ð ÑÑ + s " C
: :
0Ð0 Ð ÑÑ +l œ
-w -w
œ l0Ð0 s " B
Ð ÑÑ s " C B C
0Ð0 Ð ÑÑl œ s " "
.Ð0 Ð Ñß 0 Ð ÑÑ œ
-w -w -w -w
w " B " C w B C
œ - .Ð0 Ð Ñß0 Ð ÑÑ œ - l
-w -w -w -w
lœlBCl.
Podemos assim concluir, pelo lema precedente, que, ou : œM.‘ , ou
w
: œM. ‘. No primeiro caso, pondo -œ-, vem, para cada T −< ,
w
considerando Bœ-0ÐTÑ,
-0ÐTÑœBœ: ÐBÑœ0ÐTÑ+ s ,
isto é, s
w
0ÐTÑœ -0ÐTÑ+ . No segundo caso, pondo - œ - , vem, para cada
w
T−< , considerando Bœ-0ÐTÑ,
-0ÐT Ñ œ B œ : ÐBÑ œ s0ÐT
Ñ + ,
isto é, s0ÐTÑœ -0ÐTÑ+ . Tem-se assim, em ambos os casos, s0ÐTÑœ
w
-0ÐTÑ + , com l-l œ - , e portanto s.
œ l-l . . Quanto à unicidade, se for
s0ÐTÑœ-0ÐTÑ + T + œ s "
, para todo o , tem-se necessariamente 0Ð0 Ð!ÑÑ
e, escolhendo T tal que 0ÐTÑ Á ! , tem-se necessariamente - œ .
0ÐTÑ+ s
1.15 Sejam

de coordenadas 0À< Ä ‘ , vem, para cada TßU − < , T Ÿ U Í
0ÐTÑŸ 0ÐUÑ.
Existem então em < duas, e só duas, ordens lineares Ÿ e Ÿ , uma oposta da
w
w
outra, isto é, com T Ÿ UÍUŸT.
Dem: Fixado um sistema de coordenadas 0À< Ä ‘ , podemos definir uma
ordem total Ÿ em < por transporte da ordem total usual de ‘ , isto é, pondo
TŸUÍ0ÐTÑŸ0ÐUÑ. Considerando o novo sistema de coordenadas
w
0À < Ä ‘ (cf. 1.12),
obtemos, a partir dele uma nova ordem linear Ÿ ,
para a qual se tem
w
T Ÿ U Í 0ÐT Ñ Ÿ 0ÐUÑ Í 0ÐUÑ Ÿ 0ÐT Ñ Í U Ÿ T ,
sendo assim a ordem inversa da primeira. Sendo agora s 0À< Ä ‘ um sistema
de coordenadas arbitrário, sabemos, por 1.14, que existe - − ‘ Ï Ö!× e + − ‘
tais que s0ÐTÑœ
-0ÐTÑ+ . Tem-se então, se - ! ,
s0ÐTÑŸs0ÐUÑÍ0ÐTÑŸ 0ÐUÑÍT Ÿ U
e, se -! ,
s0ÐTÑŸs 0ÐUÑÍ0ÐUÑŸ0ÐTÑÍ U Ÿ T,
pelo que, em qualquer caso, a ordem linear associada a s0
é a ordem Ÿ ou a
sua oposta.
1.17 (Propriedades das ordens lineares) Por definição,
uma ordem linear de
uma recta < é isomorfa à ordem usual de ‘ e, consequentemente, goza das
propriedades que aquela tem. Por exemplo, fixada uma ordem linear de < :
a) Para cada T−< , existe UßV−< com UTe TV;
b) Dados TßU−< , com T ÁU, existe V−< tal que T VU.
1.18 (Definições) a) Dados TßU − com T Á U, notamos TU, ou TUa única
Ç
X
recta < tal que TßU − < .
b) Dados TßU − X com T Á U,
podemos considerar a única ordem linear na
recta

V−< tais que TŸV e o conjunto < dos V−< tais que VŸT(a
primeira
é a associada a essa ordem linear e a segunda a associada à ordem linear
oposta) 2. Dado U−< com T ÁU, a semi-recta TU
Û é a única semirrecta de
< que contém U.
b) Dada uma recta < e um ponto T − < , a intersecção das duas semirrectas de
< de origem T é o conjunto ÖT× e a sua união é < .
c) Um mesmo conjunto não pode ser semirrecta de mais que uma recta e a
origem de uma semirrecta é um elemento bem definido.
d) Se < é uma semirrecta de origem S e se . − Y é uma função
distância,
então, para cada + ! em ‘ , existe um, e um só, T −< tal que
.ÐSßTÑ œ + . Além disso, dados TßU −< ,
tem-se T −ÒSßUÓse,
e só se
.ÐSßTÑ Ÿ .ÐSßUÑ. Dem: As conclusões de a) e de b) resultam imediatamente das definições. O
facto de um mesmo conjunto não poder ser semirrecta de mais que uma recta
resulta de que uma semirrecta tem pelo menos dois pontos. O facto de a
origem de uma semirrecta ser um elemento bem definido vem de que, fixada
uma ordem linear na recta correspondente, ou a origem é um elemento
mínimo da semirrecta e esta não tem máximo, ou a origem é um elemento
máximo da semirrecta e esta não tem mínimo. Quanto a d), tendo em conta a
alínea a) de 1.12 , podemos fixar um . -sistema de coordenadas 0À< Ä ‘ da
recta < que contém < e então, substituindo eventualmente 0 por 0 , < é
formado pelos pontos U−< tais que 0ÐUÑ 0ÐSÑ . Considerando em < a
ordem linear determinada por 0 (cf. 1.16),
o único ponto T nas condições
"
pedidas é 0 Ð0ÐSÑ +Ñ e tem-se T − ÒSß UÓ se, e só se, 0ÐT Ñ Ÿ 0ÐUÑ se,
e só se, .ÐSß T Ñ œ 0ÐT Ñ 0ÐSÑ Ÿ 0ÐUÑ 0ÐSÑ œ .ÐSß UÑ.
1.20 (Propriedades dos segmentos de recta) a) Dada uma recta < e TßU − <
com TÁU,
tem-se
Û Û
ÒT ß UÓ œ ÒUß T Ó œ T U UT .
b) Tem-se TßU −ÒTßUÓ,
em particular um segmento de recta está contido
numa única recta.
c) Fixada uma ordem linear da recta TU, tem-se que, ou T é o mínimo do
segmento ÒT ß UÓ e U é o seu máximo, ou T é o máximo do segmento ÒT ß UÓ
e U é o seu mínimo. Em particular, as extremidades dum segmento de recta
são pontos bem definidos, embora não esteja bem definido qual a
“extremidade esquerda” e qual a “extremidade direita”.
d) Dada uma recta

f) Dados Vß W − ÒTß UÓ, tem-se ÒVß WÓ § ÒTß UÓ.
Û Û Û
g) Se V−TU, com VÁT, então TU= TV.
Û Û
h) Dados T Á Ue V −ÒTßUÓ, com V Á U, tem-se VU § TU.
i) Dado V − ÒT ß UÓ, tem-se ÒT ß UÓ œ ÒT ß VÓ ÒVß UÓ, com ÒT ß VÓ ÒVß UÓ
œÖV×Þ
Dem: Trata-se de consequências imediatas das definições.
1.21 Dados T ß Uß Vß W − X,
tem-se lT Ul œ lVWl se, e só se, existe uma
fun ção-distância s.− Y tal que s.ÐTßUÑœ.ÐVßWÑ s . Mais geralmente, tem-se
lTUl Ÿ lVWl (no sentido de ser .ÐTß UÑ Ÿ .ÐVß WÑ , para cada . ) se, e só se,
existe uma fun ção-distância s.− Y tal que s.ÐTßUÑŸ.ÐVßWÑ s e, dado
+ ! , tem-se lTUlœ+lVWl (no sentido de ser .ÐTßUÑœ+.ÐVßWÑ,
para
cada . ) se, e só se, existe uma fun ção-distância s. − Y tal que s.ÐTßUÑ
œ +
s .ÐVß WÑ.
Dem: Trata-se de consequências imediatas de, dadas duas funções-distância
.ß s. − Y, existir uma constante - ! tal que s.
œ -. .
1.22 (Congruência de pares de pontos) Dados TßUßVßW− X,
diz-se que os
pares ordenados ÐTß UÑ e ÐVß WÑ são congruentes se se tem lTUl œ lVWl.
1.23 Tendo em conta a definição de congruência e a propriedade 1.11,
é
imediato que a relação de congruência entre pares ordenados de pontos de X
é uma relação de equivalência e que ÐT ß UÑ e ÐUß T Ñ são sempre
congruentes. Tendo em conta o mesmo axioma, vemos também que se tem
lTTlœ ! (no sentido de se tratar da família constante com todos os termos
! ) 3 e que ÐTßUÑ é congruente a ÐVßVÑ se, e só se, T œ U.
1.24 Diz-se que dois segmentos de recta ÒT ß UÓ e ÒUß VÓ são congruentes se os
pares de pontos ÐT ß UÑ e ÐUß VÑ forem congruentes.
Repare-se que esta definição faz sentido uma vez que, como vimos, um
segmento de recta determina o conjunto das suas extremidades e que ÐT ß UÑ
e ÐUß T Ñ são congruentes.
1.25 (As funções-distância restritas a uma recta) Sejam .− Y e

a) em 1.9, tal como o facto de se ter lT Ul lT Vl lVUl se for
.ÐTß UÑ .ÐTß VÑ .ÐVß UÑ , para algum . − Y. Consideremos então,
para fixar ideias, um . -sistema de coordenadas de < , 0À< Ä ‘ tal que
0ÐTÑœ! e 0ÐUÑœ" (cf. 1.15).
Se V−ÒTßUÓ , tem-se !Ÿ0ÐVÑŸ" , e
então
.ÐT ß UÑ œ " œ 0ÐVÑ Ð" 0ÐVÑÑ œ .ÐT ß VÑ .ÐVß UÑ.
Por outro lado, se V Â ÒT ß UÓ, ou 0ÐVÑ " , ou 0ÐVÑ ! . No primeiro caso
tem-se
.ÐTßUÑœ"0ÐVÑœ.ÐTßVÑŸ.ÐTßVÑ.ÐVßUÑ,
e, no segundo caso, tem-se
.ÐTßUÑœ""0ÐVÑœ.ÐVßUÑŸ.ÐTßVÑ.ÐVßUÑ.
1.26 (O ponto médio de um segmento) Sejam

tem-se Q−ÒTßUÓ.
Em particular, pelo resultado precedente, tem-se
lT Ul œ lT Ql lQUl œ #lQT l,
"
#
portanto lQTlœ lTUl.
2. Axioma de separação do plano.
2.1 (A relação segmental) Seja V um subconjunto de X.
Definimos então uma
relação µ em V (a que damos o nome de relação segmental em V)
4,
pondo
TµUÍÒTßUÓ§V (cf. a alínea c) de 1.18).
Esta relação é trivialmente reflexiva e simétrica (lembrar que ÒT ß T Ó œ ÖT × e
que ÒT ß UÓ œ ÒUß T Ó)
mas só em casos particulares será uma relação de
equivalência.
2.2 Dizemos que um conjunto V § X é convexo se a relação segmental em V for
a relação universal, isto é, se, quaisquer que sejam TßU − V,
tem-se
ÒT ß UÓ § V.
Repare-se que, para verificar que um conjunto V é convexo basta trivialmente
verificar que, para TÁUem V, tem-se ÒTßUÓ§ V.
2.3 (Propriedades dos conjuntos convexos)
a) O espaço todo X, o vazio g e um conjunto unitário ÖT× são conjuntos
convexos.
b) Uma intersecção arbitrária de conjuntos convexos é um conjunto convexo.
c) Um plano ! − c é um conjunto convexo.
d) Uma recta

tem-se ÒT ß UÓ § < . As alíneas e) e f) resultam das alíneas homónimas da
propriedade 1.20.
2.4 Dizemos que um conjunto V § X é cónico relativamente a um ponto T − X
Û
se se tem T −V e, para todo o U−V com UÁT, TU§ V.
2.5 (Propriedades dos conjuntos cónicos)
a) Dado T−X, o espaço todo X e o conjunto unitário ÖT× são cónicos
relativamente a T .
b) Uma intersecção arbitrária de conjuntos cónicos relativamente a T é um
conjunto cónico relativamente a T .
c) Um plano ! é um conjunto cónico relativamente a qualquer ponto T−!
.
d) Uma recta < é um conjunto cónico relativamente a qualquer ponto T − < .
Û
e) Uma semirrecta TUé um conjunto cónico relativamente a T.
Dem: Trata-se de consequências imediatas das definições se recordarmos,
para a alínea c), que dado UÁTem ! , a recta TUestá
contida em ! .
2.6 (Quando a relação segmental é de equivalência) Seja V § X um conjunto
cuja relação segmental associada seja de equivalência. Tem-se então que as
correspondentes classes de equivalência são conjuntos convexos.
Dem: Basta atender a que, se TßU − V estão numa mesma classe de
equivalência, tem-se T µ U, portanto ÒTßUÓ§ V e então ÒTßUÓtambém
está
contido na classe de equivalência, visto que, para cada V−ÒTßUÓ,
tem-se
ÒT ß VÓ § ÒT ß UÓ § V (cf. a alínea f) de 1.20), e portanto T µ V.
2.7 (Teorema de separação da recta) Sejam

Chamamos semiplanos de ! com bordo < aos subconjuntos de !
! œÐ! Ï

ÒGß EÓ contenha um ponto T − ! , então existe um plano " § X,
contendo os
três pontos e tal que " ! seja uma recta < . Para justificar esta afirmação,
separamos os casos em que Eß Fß G não são colineares e em que o são. No
primeiro caso tomamos para " o único plano que contém os pontos Eß Fß G,
reparando que " Á ! e que " ! contém o ponto T (cf. a alínea d) de 1.7).
No segundo caso consideramos a única recta = que contém os três pontos
(uma tal recta contém necessariamente T, que é distinto de EßFßG),
tomamos uma recta arbirária < de ! tal que T − < e tomamos para " o único
plano que contém as rectas < e = (cf. a alínea b) de 1.8).
3) Mostremos agora que a relação segmental µ é uma relação de equivalência
em X Ï! . Sejam então EßFßG −X Ï! tais que EµF e F µG e
tentemos provar que EµG.
Suponhamos, por absurdo, que isso não
acontecia, e portanto que existia T−ÒEßGÓ! . Como vimos em 2), existe
um plano " contendo os três pontos e tal que " ! seja uma recta < e, tendo
em conta o que vimos em " ) vem, para a relação segmental em " Ï< , E µ F,
FµGe EµÎG,
o que é absurdo, tendo em conta 2.8.
4) Mostremos agora que µ admite pelo menos duas classes de equivalência.
Consideremos então E−X Ï! arbitrário e T − ! arbitrário. Sendo = a recta
que contém E e T , fixemos a ordem linear de = para a qual E T e
reparemos que =! œÖT× . Seja enfim F−= tal que T F.
Tem-se assim
F−X Ï! e T−! ÒEßFÓ, o que mostra que não se tem EµF.
5) Mostremos enfim que µ não pode ter mais que duas classes de
equivalência, isto é, que, se Eß Fß G − X Ï ! são tais que E µ / F e F µ / G,
então EµG.
Para isso, tendo em conta o que vimos em 2), consideramos
um plano " contendo os três pontos e tal que " ! seja uma recta < e, tendo
em conta o que vimos em " ) vemos que, para a relação segmental em " Ï< ,
tem-se ainda EµF / e FµG / donde, por 2.8,
EµG e portanto também
EµG para a relação segmental em X Ï!
, tendo em conta o que vimos em
1).
2.12 (Semiplanos e semirrectas) Sejam ! um plano e

TW, tem-se ÒVßWÓ§ ! Î ! Ï< , uma vez que T−ÒVßWÓ ! , portanto V ! µÎW,
o que implica que W−Ð! Ï

ser o outro semiplano de ! de bordo < resulta de que, também pela alínea a)
de 2.12, os pontos de = distintos de T estão em ! Ï< œ Ð! Ï

Ð! Ï

origem ou vértice do ângulo e que as semirrectas < e = são as suas
extremidades.
3.2 Dado um ângulo Ö< ß = × , existe um único plano ! que contém < e = (a
que damos o nome de plano do ângulo)
e esse plano contém mesmo as rectas
< e = correspondentes às semirrectas.
Dem: Uma vez que uma semirrecta contém sempre mais que um ponto,
resulta de 1.4 que qualquer plano que contenha < e = contém também < e
= . Mas < e = são rectas concorrentes e portanto, pela alínea b) de 1.8,
existe
um único plano ! contendo < e = , esse plano contendo, em particular,

acontece com cada um dos semiplanos considerados. O facto de o sector
angular ter intersecção vazia com, por exemplo, o conjunto < ÏÖS× vem de
que, por 2.12,
este conjunto está contido no semiplano aberto distinto do que
contém U , e portanto não intersecta =U. Û
3.5 (Intersecção de um sector angular com uma recta) Nas condições
anteriores, notando ! o plano que contém o sector angular nÖ< ß = ×
:
a) Sejam T −= , com T ÁS, e U−< , com UÁS . Sendo >œTU§ ! ,
tem-se que >nÖ< ß= לÒTßUÓ , >< œÖU× e >= œÖT× . Em
particular, >nÖ< ß= × tem pontos que não estão em < nem em = Þ
b) Seja >§ ! uma recta com S−> . Tem-se então que ou >nÖ< ß= ל
ÖS× , ou > nÖ< ß = ×
é uma semirrecta de > com origem S.
c) Seja V−nÖ< ß= × tal que VÂ< e VÂ= .
Quaisquer que sejam a
recta >§ ! com V−> e a ordem linear de > , existem EßF−>nÖ< ß= ×
tais que EVF.
Û Û Û Û
Dem: a) Tendo em conta a alínea a) de 2.12 , >=UœTU, tal como >=œÖT× , pelo que podemos concluir que
Û Û Û Û
>nÖ< ß= ל>ÐnÖ< ß= ×ÁÖS×
e escolhamos VÁS em
>nÖ< ß= × . Se V−< ou V−= ,
tem-se >œ< ou >œ= , respectivamente,
pelo que resulta de 3.4 que >nÖ< ß= × é < ou = ,
respectivamente,
portanto uma semirrecta de > de origem S.
Vejamos enfim o que
sucede VÂ< e VÂ= . Mais uma vez por 3.4,
VÂ< e VÂ= , pelo que
resulta da alínea a) de 2.12 que, com T e U escolhidos nas condições da a),
Û Û Û
>=Usão ambos iguais à semirrecta SV de > , e portanto também
Û Û Û
>nÖ< ß= ל>Ð=U. Sejam Eo maior dos pontos E e E e F o menor dos pontos F e
ww F . Tem-se assim que EßF − > são tais que E V F e o facto de se ter
w ww w ww
Û Û
E − ÒE ß VÓ ÒE ß VÓ e F − ÒVß F Ó ÒVß F Ó e de os semiplanos

Em primeiro lugar o vértice S,
origem comum das semirrectas, fica
determinado pelo conjunto nÖ< ß = ×
. De facto S é o único ponto
V−nÖ< ß= × que tem a propriedade de qualquer recta >§ ! contendo V
intersectar nÖ< ß = ×
em ÖV× ou numa semirecta de > de origem V.
Com
efeito, pela alínea b), o ponto S tem essa propriedade, pela alínea a) qualquer
ponto V de < ou de = distinto de S não a verifica, por existir uma recta
>§ ! contendo Vque intersectada com nÖ< ß= ×
é igual a um segmento de
recta, tendo V como uma das extremidades, e, pela alínea c), qualquer ponto
V de nÖ< ß= × que não pertença a < nem a = também não a verifica, visto
que, para qualquer recta >§ ! , com V−> , VnÖ< ß= ×
não é uma semirrecta
de origem V, por conter pontos menores e pontos maiores que V.
O raciocínio feito atrás mostra também que os pontos de V de < =
distintos de S ficam determinados pelo conjunto nÖ< ß= ×
: São,
nomeadamente, os pontos V−nÖ< ß= ×
com a propriedade de, para
alguma recta >§ ! com V−> , o conjunto >nÖ< ß= ×
ser um segmento
de recta com V como uma das extermidades.
Por fim, as próprias semirrectas < e = que constituem o ângulo, ficam
determinadas pelo conjunto nÖ< ß = ×
, por se tratar das duas semirrectas de
origem S que contêm algum ponto de < = distinto de S.
3.7 (Ângulos adjacentes e verticalmente opostos) Sejam ! um plano e
Ö< ß = × um ângulo de vértice S contido em ! . Sendo < e = as rectas que
contêm as semirrectas < e = , respectivamente, e sendo < e = as
semirrectas opostas, chamamos ângulos adjacentes do ângulo Ö< ß = ×
aos
ângulos Ö< ß = × e Ö< ß = ×
, que têm uma semirrecta comum e a outra
semirrecta oposta, e ângulo verticalmente oposto do ângulo Ö< ß = ×
ao
ângulo Ö< ß = × , definido pelas duas semirrectas opostas.
3.8 (O plano em quatro partes) Nas condições
anteriores:
a) O plano ! é a união dos quatro sectores angulares nÖ< ß = × , nÖ< ß = ×
,
nÖ< ß = × e nÖ< ß = ×
.
b) A intersecção nÖ< ß = × nÖ< ß = ×
dos sectores angulares correspon-
dentes a ângulos adjacentes é a semirrecta comum

× nÖ> ß = ×
nÖ< ß > × nÖ> ß = × œ >
.
d) tem-se < § nÖ> ß = × e = § nÖ< ß > ×
.
Dem: a) Tendo em conta 3.4, tem-se mesmo VÂ< e VÂ= e daqui resulta
que a recta > é distinta de < e de = . O facto de ser > œ >nÖ< ß= ×
resulta
da alínea b) de 3.5. Fixemos pontos T−= ÏÖS× e U−< ÏÖS× . Consi-
deremos em < , = e > as ordens lineares para as quais S U, S T e
w w w
SV, respectivamente e fixemos pontos U −< , T −= e V −> tais que
w w w
U S, T S e V S.
R'
P'
Q'
O
– 24–
Q
P
r+
R
s
+
t +

Ûw
Tendo em conta a alínea a) de 2.12 , , pelo que podemos concluir que T e U pertencem a semiplanos
abertos distintos de ! de bordo > . Mais uma vez pelo mesmo resultado que
Û
temos vindo a aplicar, a semirrecta < œ SU está contida num dos
Û
semiplanos de ! de bordo > e a semirrecta = œ ST no outro semiplano de !
com o mesmo bordo.
ww ww
b) Uma vez que T e U são elementos de = e de < ,
respectivamente, que
ww ww
não pertencem a > , o que vimos em a) implica que T e U pertencem a
ww ww
semiplanos abertos de ! de bordo > distintos, pelo que ÒT ßU Ó intersecta >
num ponto V . O facto os sectores angulares serem convexos implica que
ww
ww ww
V − >nÖ< ß= × que, pela alínea b) de 3.5,
uma vez que contém V Á S,
Û
é uma semirrecta de > de origem S, e portanto é a semirrecta SV œ > .
O
ww ww ww
facto de se ter > ÒT ßU Ó œ ÖV × vem de que se tem mesmo
ww ww ww ww ww
>T U œ ÖV × por as rectas >/T U serem distintas (por exemplo,
ww T Â > porque > Á = ).
c) Fixemos pontos T−= ÏÖS× e U−< ÏÖS× . Tendo em conta b),
podemos considerar W−> ÒTßUÓ. Vem WÁS (senão TßSßUeram
colineares e seria uma das rectas < e = , ao
contrário do que vimos em a)).
O
– 25–
Q
S
P
R
r+
s+
t+

Suponhamos agora que \−nÖ< ß> ×
, com \ÁS.
Tem-se então que a
Û w
semirrecta S\ intersecta ÒUß WÓ num ponto \ , que não é mais do que a
intersecção das rectas S\ e UT;
com efeito, isso é evidente nos casos em
w w
que \−< (então \ œU ) e em que \−> (então \ œW)
e, caso
contrário, temos uma consequência de b). Resulta daqui que se tem
w \ −ÒUßTÓœUT nÖ< ß= × (cf. a alínea a) de 3.5)
e daqui resulta que
Û w
\−nÖ< ß= × , uma vez que \−S\ e nÖ< ß= ×
é cónico relativamente
a S.
Û
Por simetria dos papéis de < e = , se \−nÖ= ß> ×
, com \ÁS, então S\
intersecta ÒT ß WÓ num ponto \ , que não é mais do que a intersecção das
w
rectas S\ e UT , e tem-se também \ − nÖ< ß = ×
.
O que vimos nos dois parágrafos anteriores, mostra que se \ÁS e
w
\−nÖ< ß> ×nÖ= ß> ×
, então a intersecção \ das rectas S\ e UTé
Û
simultaneamente a intersecção de S\ com ÒUß WÓ e com ÒTß WÓ,
sendo assim
w
Û
\ œ W , portanto \ − SW œ > .
Uma vez que S pertence a todos os sectores angulares envolvidos e à
semirrecta > , o que vimos até agora mostra que nÖ< ß> × § nÖ< ß= ×
,
que nÖ= ß > × § nÖ< ß = × , donde
nÖ< ß > × nÖ> ß = × § nÖ< ß = ×
e que nÖ< ß > × nÖ> ß = × § > ,
e podemos dizer que se tem mesmo
nÖ< ß > × nÖ> ß = × œ > , uma vez que > está contido nos dois sectores
angulares nÖ< ß > × e nÖ> ß = ×
.
Resta-nos mostrar que nÖ< ß = × § nÖ< ß > × nÖ> ß = ×
, para o que
consideramos \−nÖ< ß= ×
, que podemos já supor distinto de S.
Tem-se
Û w
então que a semirrecta S\ intersecta ÒUß T Ó num ponto \ , que não é mais
do que a intersecção das rectas S\ e UT;
com efeito, isso é evidente nos
w w
casos em que \−< (então \ œU ) e em que \−= (então \ œT)
e,
caso contrário, temos uma consequência de b). Uma vez que ÒUß T Ó œ
w w
ÒUß WÓ ÒWß T Ó , tem-se \ − ÒUß WÓ œ UW nÖ< ß > ×
ou \ − ÒWß T Ó œ
w w
WT nÖ> ß = × , em particular \ − nÖ< ß > × ou \ − nÖ> ß = ×
(cf. a
alínea a) de 3.5 ) e daqui resulta que \−nÖ< ß> × ou \−nÖ> ß= ×
, uma
Û w
vez que \−S\ e os sectores angulares são cónicos relativamente a S.
d) Uma vez que a semirrecta < está contida num dos semiplanos de ! tendo
> como bordo e a semirrecta = está contida no outro semiplano de ! com o
mesmo bordo e uma vez que, por 2.12 , a semirrecta = está contida no
semiplano de ! de bordo > distinto do que contém a semirrecta =,
segue-se
que < § >=
Û
. Por outro lado o facto de se ter > § nÖ< ß= × § =< Û
implica que =< Û œ=>
Û
, e portanto < §=>
Û
.
Tem-se assim
< § >=
Û
=>
Û
œ nÖ> ß= ×
e a outra inclusão resulta da simetria dos papéis de < e = .
– 26–

3.10 (Corolário) Seja Ö< ß = × um ângulo de vértice S contido no plano ! . Seja
V−nÖ< ß= × com VÂ< e VÂ= e consideremos a recta >œSV§ ! e
Û
a semirrecta > œ SV de > . Tem-se então que a recta > é distinta de < e = e:
a) as semirrectas < e = estão contidas no mesmo semiplano de ! de bordo
>.
b) Se U − < Ï ÖS× , então U − nÖ= ß > × e U Â = > , e portanto
nÖ= ß > × œ nÖ= ß < × nÖ< ß > ×
nÖ= ß < × nÖ< ß < × œ <
.
P'
Q'
R
t +
O
Dem: a) Aplicando a alínea a) de 3.9 às semirrectas < e = ,
concluímos que
a recta > é distinta das rectas < e = , que a semirrecta como bordo e a semirrecta =está
contida no outro
semiplano de ! com o mesmo bordo. Basta agora reparamos que, pala alínea
a) de 2.12, a semirecta = está contida no semiplano de ! de bordo > distinto
daquele que contém = , e portanto no mesmo que contém a semirrecta < .
b) Pela conclusão de a), tem-se ><
Û
œ >=
Û
, e portanto, por ser U − ><
Û
,
vem
também U−>=
Û
. Por outro lado, por hipótese, V−nÖ< ß= ק=< Û
,
pelo
que =< Û œ=>
Û
, donde, por ser U−=< Û
, vem também U−=>
Û
.
Tem-se
assim U−>=
Û
=>
Û
œnÖ= ß> × e o facto de ser UÂ= > vem de que
UÂ= e UÂ> , por a recta < ser distinta das rectas = e > . O resto da conclusão
de b) resulta agora da alínea c) de 3.9.
3.11 (Relação de ordem total nas semirrectas) Seja = uma semirrecta de
origem S e contida num plano ! e escolhamos um dos semiplanos ! de !
cujo bordo é a recta = que contém =.
Fica então definida uma ordem total no
conjunto das semirrectas < de origem S contidas em ! e com recta
continente

£ < Í nÖ= ß> × § nÖ= ß< × Í > § nÖ= ß< × Í > § קnÖ= ß< × , então > §nÖ= ß< ×
e, recipro-
camente, se > § nÖ= ß< × , ou > œ < ,
caso em que se tem trivialmente
nÖ= ß> קnÖ= ß< × , ou > Á< e então, aplicando 3.9 depois de
escolher V em > ÏÖS× , concluímos que
nÖ< ß = × œ nÖ< ß > × nÖ> ß = × ,
em particular nÖ= ß > × § nÖ= ß < ×
. Ficou assim provada a segunda
equivalência no enunciado. A terceira equivalência do enunciado é uma
consequência de que nÖ= ß < × œ § ! œ =< Û
.
A definição da relação £ implica trivialmente que ela é transitiva e que
verifica < £ < , para cada < . Por outro lado, se > £ < e < £ > ,
podemos concluir que nÖ= ß> קnÖ= ß< × e portanto, por 3.6,
< œ> .
Consideremos enfim < e > tais que não se tenha > £ < .
Tem-se assim
> § Î § § Á< (porque > § Á= (porque >Á= ). Podemos então
aplicar 3.10, depois de escolher V em > ÏÖS× , para deduzir que
nÖ= ß > × œ nÖ= ß < × nÖ< ß > × ,
em particular nÖ= ß< קnÖ= ß> × , ou seja, < £> .
3.12 (Corolário) Nas condições
anteriores, se notarmos £ a relação de ordem
w
total que se obtém no mesmo conjunto de semirrectas de origem S quando se
utiliza a semirrecta = no lugar de = , tem-se
w
> £ < Í < £ >
(as ordens totais são opostas uma da outra).
Dem: Por simetria dos papéis das semirrectas = e = ,
basta mostrarmos que,
w se > £ < , então < £ > . Ora, isso é evidente se > œ < e caso contrário,
vem > § § Î § œ < )
e
portanto não é > £ < , sendo assim < £ > .
3.13 (Os intervalos para a relação £ ) Seja = uma semirrecta de origem S e
contida num plano ! e escolhamos um dos semiplanos ! de ! cujo bordo é
a recta = que contém =e
consideremos a correspondente ordem total
definida em 3.11 no conjunto das semirrectas de origem S contidas em ! e
de recta continente distinta de = . Sejam, no referido conjunto, > £ < ,
com
> Á < . Seja ? uma semirrecta de origem S contida em ! e de recta
continente distinta de = . Tem-se então que ? § nÖ> ß< ×
se, e só se,
> £ ? £ < .
– 28–

O
Dem: Tem-se > § nÖ= ß< × , com > distinto de = e de < pelo que,
tendo em conta a alínea c) de 3.9,
nÖ= ß < × œ nÖ= ß > × nÖ> ß < ×
nÖ= ß > × nÖ> ß < × œ >
.
Resulta daqui que, se ? £ > e ? Á > , tem-se ? § nÖ= ß> ×
e portanto
? § Î nÖ> ß< × e que, se > £ ? £ < , tem-se ? § nÖ= ß< ×
e, por
outro lado, ? œ> ou ? §nÖ= Î ß> × , donde ? §nÖ> ß< ×
. Por fim, se
w
< £ ? e < Á ? ,
tem-se, para a ordem oposta £ que, por 312 Þ é a assow
w
ciada à semirrecta = , ? £ < £ > donde, como vimos atrás,
? § Î nÖ< ß> × .
3.14 (Os sectores angulares são “angularmente convexos”) Consideremos um
ângulo Ö< ß = × de vértice S contido no plano ! e sejam > Á ? duas
semirrectas de origem S contidas no sector angular nÖ< ß= × . Tem-se então
– 29–
u+
s
+
nÖ> ß ? × § nÖ< ß = × .
r
+
t+
Dem: Examinemos os diferentes casos possíveis:
1) Suponhamos que cada uma das semirrectas > e ? é igual a alguma das
semirrectas < e = .
Uma vez que, em cada caso, temos pares de semirrectas
distintas, tem-se então mesmo nÖ> ß ? × œ nÖ< ß = × .
O
2) Suponhamos que uma das semirrectas e é igual a alguma das
> ?
u+
s
+
t+
r
+

semirrectas < e = e a outra não é. Por simetria dos papéis de > e ? e por
simetria dos papéis de < e = , podemos já supor que > œ < e que ? é
distinto de < e de = . Resulta então de 3.9 que
nÖ< ß = × œ nÖ< ß ? × nÖ? ß = × ,
em particular, nÖ> ß ? × œ nÖ< ß ? × § nÖ< ß = ×Þ
3) Suponhamos que ambas as semirrectas > e ? são distintas das
semirrectas < e = . Consideremos no plano ! que contém Ö< ß= ×
o
semiplano ! Û
œ=< e a correspondente ordem total £ associada à
semirrecta = (cf. 3.11).
Por simetria dos papéis das semirrectas > e ? ,
podemos já supor que se tem > £ ? . Tem-se então > § nÖ= ß? ×
pelo
que, aplicando duas vezes 3.9,
obtemos
nÖ= ß < × œ nÖ= ß ? × nÖ? ß < ×
œ
œ nÖ= ß > × nÖ> ß ? × nÖ? ß < ×
,
em particular nÖ> ß ? × § nÖ< ß = × .
3.15 (O plano em três partes) Seja Ö< ß = × um ângulo de vértice S contido no
plano ! . Seja V−nÖ< ß= × com VÂ< e VÂ= e consideremos a recta
Û
>œSV§ ! e a semirrecta > œSV de > . Tem-se então que a recta > é
distinta de < e = e:
a) Escolhendo T−= ÏÖS× e U−< ÏÖS× , tem-se T−nÖ> ß< ×
,
U−nÖ= ß> × , com T e U não pertencentes a nenhuma das semirrectas < ,
= e > .
t+
R O
– 30–
Q
P
r+
s+
b) A semirrecta < está contida num dos semiplanos de ! de bordo > e a
semirrecta = está contida no outro semi-plano de ! com o mesmo bordo.
c) Tem-se
! œ nÖ< ß = × nÖ= ß > × nÖ> ß < ×
,
nÖ< ß = × nÖ= ß > × œ = ,
nÖ= ß > × nÖ> ß < × œ > ,
nÖ> ß < × nÖ< ß = × œ < .
Dem: a) e b) O facto de a recta > ser distinta de < e = resulta de aplicar 3.9
às

semirrectas < e = . Tendo em conta 3.9,
para as semirrectas < e = ,
a
semirrecta < está contida num dos semiplanos de ! de bordo > e a
semirrecta = está contida no outro semiplano de ! com o mesmo bordo.
Daqui resulta, tendo em conta a alínea a) de 2.12 , que a semirrecta < está
contida no mesmo semiplano de ! de bordo > que a semirrecta =e
a
semirrecta = está contida no mesmo semiplano de ! de bordo > que a
semirrecta < . Em particular U−>=
Û
e T −><
Û
.
Por outro lado, como
V−nÖ< ß= ק § ,
uma vez que, por as rectas serem distintas, T Â < e
TÂ>. Analogamente (ou por simetria dos papéis) se verifica que
U−nÖ= ß> × e U não pertence a nenhuma das semirrectas < , = e > .
c) Aplicando 3.10 , primeiro a < e a = , e depois a < e a = ,
deduzimos que
nÖ= ß > × œ nÖ= ß < × nÖ< ß > ×
,
nÖ< ß > × œ nÖ< ß = × nÖ= ß > × ,
com nÖ= ß < × nÖ< ß > × œ < e nÖ< ß = × nÖ= ß > × œ = .
Aplican-
do 3.9 a < e a = , vem
nÖ< ß = × œ nÖ< ß > × nÖ> ß = × ,
com nÖ< ß > × nÖ> ß = × œ > . Tendo agora em conta 3.8,
vem
! œ nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß = ×
œ
œ nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß > × nÖ> ß = ×
œ
œ nÖ< ß = × nÖ< ß = × nÖ> ß = × nÖ< ß = × nÖ< ß > ל
œ nÖ< ß = × nÖ< ß > × nÖ= ß > × .
Podemos agora escrever
(*) nÖ= ß > × nÖ> ß < ×
œ
œ ÐnÖ= ß < × nÖ< ß > ×Ñ ÐnÖ< ß = × nÖ= ß > ×Ñ
œ
œ ÐnÖ= ß < × nÖ< ß = ×Ñ ÐnÖ= ß < × nÖ= ß > ×Ñ
ÐnÖ< ß> ×nÖ< ß= ×ÑÐnÖ< ß> ×nÖ= ß> ×Ñ.
Tendo em conta 3.8, tem-se nÖ= ß < × nÖ< ß = ×
œ ÖS× e, aplicando 3.9
a < e a = , vem nÖ< ß> ×nÖ= ß> × œ > . Tendo em conta 3.9,
aplicado
a < e a = , e 3.8,
vem
nÖ= ß < × nÖ= ß > × § nÖ= ß < × nÖ< ß = × œ < ,
onde nÖ= ß > × < § nÖ= ß > × nÖ< ß > × œ > ,
o que, por ser
< > œ ÖS× , implica que nÖ= ß < × nÖ= ß > ×
œ ÖS× . Analogamente (ou
por simetria dos papéis de < e = ), nÖ< ß > × nÖ< ß = ×
œ ÖS× . Da
igualdade (*) acima deduzimos assim que nÖ= ß > × nÖ> ß < × œ > .
As
outras igualdades na alínea c) do enunciado, envolvendo intersecções,
– 31–

esultam da simetria dos papéis de < , = e > ,
tendo em conta o que vimos
em a).
3.16 (Nova noção primitiva) Supomos dada uma aplicação
do conjunto dos
ângulos no conjunto Ó!ß#Ò§ ‘ , que a cada ângulo Ö< ß= ×
associa um
número real do intervalo Ó!ß #Ò, chamado amplitude do ângulo e notado
8
.( Ö< ß = × ). Dizemos que dois ângulos são congruentes quando têm a
mesma amplitude.
3.17 (Axiomas angulares)
a) Sejam ! um plano, < uma semirrecta de ! de origem S e ! um dos
semiplanos de ! cujo bordo é a recta < que contém < .
Para cada ) − Ó!ß #Ò,
existe uma, e uma só, semirrecta = de ! , de origem S e com recta = distinta
de < , tal que = § ! e que . ÐÖ< ß = ×Ñ œ ) .
s +
s' +
O
b) Seja Ö< ß = × um ângulo de vértice S dum plano ! e seja > uma
semirrecta de origem S contida no sector angular nÖ< ß= × e distinta de <
e de =.
Tem-se então que
O
θ
θ' θ+θ'
8 A escolha do intervalo tem algo de arbitário e corresponde, intuitivamente, a dizer
Ó!ß #Ò
que estamos a tomar o ângulo recto como unidade de medida.
– 32–
3/2
3/2
r
+
α
α
+
-
s+
t
+
r
+

. ÐÖ< ß = ×Ñœ. ÐÖ< ß > ×Ñ. ÐÖ> ß = ×Ñ,
em particular . ÐÖ< ß > ×Ñ . ÐÖ< ß = ×Ñ e . ÐÖ> ß = ×Ñ . ÐÖ< ß = ×Ñ.
3.18 (Ordem e amplitude) Sejam ! um plano, < uma semirrecta de ! de
origem S e ! um dos semiplanos de ! cujo bordo é a recta < que contém
< . Sejam = e > duas semirrectas de ! de origem S,
ambas contidas em !
e cujas rectas associadas = e > são ambas diferentes de < . Tem-se então que
> § nÖ< ß= × (ou seja, > £ = ,
para a relação de ordem definida em 3.11,
a partir da semirrecta < ) se, e só se, . ÐÖ< ß > ×Ñ Ÿ . ÐÖ< ß = ×Ñ.
Dem: O axioma b) em 3.17 garante que, se > § nÖ< ß= × e > Á = ,
então
. ÐÖ< ß> ×Ñ . ÐÖ< ß= ×Ñ (tem-se > Á < uma vez que, por hipótese,
>Á< ). Por outro lado, se > œ= , tem-se, evidentemente, . ÐÖ< ß> ×Ñœ
.ÐÖ< ß = ×Ñ . Resta-nos mostrar que, supondo > § Î nÖ< ß = ×
, tem-se
. ÐÖ< ß> ×Ñ . ÐÖ< ß= ×Ñ.
Ora isso resulta do que vimos no início, uma vez
que, não sendo > £ = , tem-se, por 3.11, = £ > e = Á > .
3.19 (Teorema dos ângulos adjacentes) Dados dois ângulos adjacentes
Ö< ß = × e Ö< ß = ×
, de origem S e contidos no plano ! , tem-se
. ÐÖ< ß= ×Ñ. ÐÖ< ß= ×Ñ œ # .
Dem: Seja ! o semiplano de ! de bordo < que contém = e notemos £ a
relação de ordem total definida em 3.11 , a partir da semirecta e ? de origem S,
contidas em ! e de
rectas associadas distintas de < , tais que . ÐÖ< ß > ×Ñ œ & e . ÐÖ< ß ? ×Ñ
œ
#&.
u+
r-
– 33–
s+
t+
O r
+
Tendo em conta 318 Þ , tem-se > £ = £ ? , com > distinto de = e =
distinto de ? , em particular > §nÖ< ß= × e = §nÖ< ß? ×
e, tendo em
conta 3.13, = § nÖ> ß? ×
. Vem, para a ordem total oposta, que, por 3.12,
w w
é a definida pela semirrecta < , ? £ = £ > , portanto ? § nÖ< ß= × e

? § nÖ< ß> × , em que ? além de ser distinto de = e de > ,
é também
distinto de < (por ter recta associada distinta de < ). Podemos assim aplicar o
axioma b) em 3.17 para garantir que
. ÐÖ< ß = ×Ñœ. ÐÖ< ß > ×Ñ. ÐÖ> ß = ×Ñœ& . ÐÖ> ß = ×Ñ,
. ÐÖ< ß = ×Ñœ. ÐÖ< ß ? ×Ñ. ÐÖ? ß = ×Ñ,
. ÐÖ< ß > ×Ñœ. ÐÖ< ß ? ×Ñ. ÐÖ? ß > ×Ñ,
# & œ . ÐÖ< ß ? ×Ñ
œ . ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ= ß ? ×Ñ,
. ÐÖ> ß? ×Ñ œ . ÐÖ> ß= ×Ñ. ÐÖ= ß? ×Ñ.
Resulta daqui que
. ÐÖ< ß= ×Ñ. ÐÖ< ß= ×Ñ . ÐÖ< ß= ×Ñ. ÐÖ? ß= ×Ñ
œ #&
e, por outro lado,
. ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ< ß = ×Ñœ
œ& . ÐÖ> ß= ×Ñ. ÐÖ< ß? ×Ñ. ÐÖ? ß= ×Ñœ
œ & . ÐÖ> ß ? ×Ñ. ÐÖ< ß ? ×Ñœ
œ & . ÐÖ< ß> ×Ñ Ÿ #&
.
Das desigualdades
# & Ÿ . ÐÖ< ß = ×Ñ . ÐÖ< ß = ×Ñ
Ÿ # &
e da arbitrariedade de & deduzimos finalmente que
. ÐÖ< ß= ×Ñ. ÐÖ< ß= ×Ñ œ # .
3.20 (Corolário) Dois ângulos verticalmente opostos têm a mesma amplitude.
Dem: Sendo Ö< ß = × e Ö< ß = ×
os ângulos verticalmente opostos, eles vão
ser ambos adjacentes do ângulo Ö< ß = × pelo que, pelo axioma b) em 3.17,
tem-se
. ÐÖ< ß= ×Ñ. ÐÖ< ß= ×Ñ
œ #
. ÐÖ< ß= ×Ñ. ÐÖ< ß= ×Ñ œ #
,
o que implica que . ÐÖ< ß= ×Ñ œ . ÐÖ< ß= ×Ñ.
3.21 (O ângulo recto) Dado um ângulo Ö< ß = × de vértice S num plano !,
diz-se que ele é recto se .ÐÖ< ß = ×Ñœ
" , que ele é agudo se
. ÐÖ< ß = ×Ñ " e que ele é obtuso se . ÐÖ< ß = ×Ñ
"Þ
3.22 Dados dois ângulos adjacentes Ö< ß = × e Ö< ß = ×
, tem-se que eles são
congruentes se, e só se, Ö< ß = × (e portanto Ö< ß = ×
) é recto. Caso
contrário, um é agudo e o outro é obtuso.
Dem: Trata-de de uma consequência imediata da igualdade
Ö< ß = × Ö< ß = × œ # .
– 34–

3.23 Sejam < e = duas rectas concorrentes. Sendo œSV§ ! e a semirrecta > œSV de > . Tem-se então que a recta > é
distinta de < e = e
. ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ= ß > ×Ñ. ÐÖ> ß < ×Ñ œ % .
Dem: Tem-se > § nÖ< ß= × œ ß = × œ >=
Û
=>
Û
e = § nÖ< ß > ×
œ
Û
><
Û
,
com as rectas todas distintas.
t+
R O
– 35–
Q
P
r+
s+
Deduzimos daqui, lembrando 2.12 , que > § =
Û
=>
Û
œnÖ> ß= × e que = §
Û
><
Û
œnÖ< ß> ×
. Tendo em
conta o axioma b) em 3.17,
podemos escrever
. ÐÖ< ß > ×Ñœ. ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ= ß > ×Ñ,
. ÐÖ= ß> ×Ñ œ . ÐÖ= ß< ×Ñ. ÐÖ< ß> ×Ñ,
. ÐÖ= ß < ×Ñ œ . ÐÖ= ß > ×Ñ . ÐÖ> ß < ×Ñ.
Tendo em conta 3.19,
tem-se
# œ . ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ< ß = ×Ñ,
# œ . ÐÖ= ß < ×Ñ . ÐÖ= ß < ×Ñ,
e daqui resulta que

% œ . ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ< ß = ×Ñ. ÐÖ= ß < ×Ñ. ÐÖ= ß < ×Ñœ
œ . ÐÖ< ß = ×Ñ . ÐÖ< ß = ×Ñ . ÐÖ= ß < ×Ñ . ÐÖ= ß > ×Ñ . ÐÖ> ß < ×Ñ
œ
œ . ÐÖ< ß = ×Ñ . ÐÖ< ß > ×Ñ . ÐÖ=
ß> ×Ñ,
como queríamos.
4. Triângulos.
4.1 Vamos chamar triângulo a um triplo ordenado ÐEßFßGÑ de pontos de X,
constituindo um conjunto não colinear (em particular todos distintos).
Chamamos plano continente do triângulo ao único plano ! que contém os
três pontos, vértices do triângulo aos pontos Eß Fß G,
lados do triângulo aos
pares ÐEßFÑ, ÐFßGÑ e ÐGßEÑ, ou aos segmentos de recta ÒEßFÓ, ÒFßGÓ e
ÒGß EÓ, contidos no plano continente ! , e ângulos (ou ângulos internos)
do
triângulo aos ângulos
w Û Û w Û Û w Û Û
FEG œ ÖEFß EG× , EFG œ ÖFEßFG× , FGE œ ÖGFß GE× ,
todos contidos no plano continente ! , e que, quando o triângulo estiver
w w w
implícito serão notados mais simplesmente por E , F e G , respectivamente.
4.2 Dado um triângulo ÐEßFßGÑ, a intersecção
dos seus sectores angulares
w w w Û Û Û
nE , nF e nG coincide com a intersecção dos semiplanos G ,
onde < œ FG , = œ EG e > œ EF.
A estas intersecções damos o nome de
segmento triangular associado a ÐEßFßGÑe notamo-lo ÒEßFßGÓ.
Este conjunto, também contido em !, admite também as “caracterizações
mistas”:
w Û
ÒEßFßGÓœnE GÞ
t
A
r
C
– 36–
s
B

Dem: Trata-se de uma consequência de se ter
w Û Û
nE œ >G =F ,
w Û Û
nF œ >G

nenhum dos lados.
Dem: Tendo em conta 4.4, tem-se H −ÒEßFßGÓ§nFEG.
Pela alínea b)
w
w w
de 3.5 tem-se que ?nE œ?nFEGé uma semirrecta de origem E
que, por conter o ponto H, tem que ser a semirrecta EH. Por outro lado, uma
Û
vez que as rectas ? e < são distintas, por < não conter E (senão = œ > ), elas
Û
são concorrentes com intersecção ÖH× pelo que, por 2.12,
? œEF,
visto que, por 4.5 , =ÒEßFßGÓœÒEßGÓ e >ÒEßFßGÓœÒEßFÓ.
Uma vez
Û Û
que \−nÖEGßEF× , deduzimos da alínea b) de 3.9 que ? intersecta o
segmento ÒFß GÓ num ponto H que terá que ser distinto de F e de G , por ?
ser distinta de = e de > . Mais uma vez por 4.5, \ − ?ÒEßFßGÓœÒEßHÓ.
4.7 (O triângulo é o envólucro convexo dos seus vértices) Sejam V § X um
conjunto convexo e Eß Fß G − V não colineares. Tem-se então
ÒEßFßGÓ§V.
Dem: Por definição de convexidade tem-se ÒEß FÓ § V, ÒFß GÓ § V
e
s
B

ÒGßEÓ§ V. Resta-nos verificar o que se passa com um ponto \ −ÒEßFßGÓ
que não pertence a nenhum dos lados do triângulo. Ora, por 4.6,
existe
H−ÒFßGÓ tal que \−ÒEßHÓpelo
que, por convexidade, tem-se
sucessivamente H− V e \−V.
4.8 (De um ponto interior para os três vértices) Sejam ÐEßFßGÑum
triângulo
e \ −ÒEßFßGÓ,
que não pertença a nenhum dos lados do triângulo.
Û Û Û
Consideremos as semirrectas ? œ \E, @ œ \F e A œ \G,
de origem
\ , e notemos ? , @ e A
as semirectas opostas. Tem-se então que as rectas
continentes ? , @ e A são todas distintas e
? § nÖ@ßA × , @ § nÖAß ? × , A § nÖ? ß@ ×
.
Dem: Para ver que as três rectas são distintas, basta, por simetria dos papéis
dos três pontos, mostrar que @ÁA. Ora, se fosse @œA , vinha \−FG,
donde \ − FG ÒEßFß GÓ œ ÒFß GÓ (cf. 4.5),
contra o que suposéramos.
Do mesmo modo, por simetria dos papéis dos três pontos, basta provarmos a
inclusão ? § nÖ@ ßA × .
t
u+
A
r
C
– 39–
w
+
X D
Tendo em conta 4.6 , a recta ?œE\ intersecta ÒFßGÓnum ponto H,
distinto
de F e G , e tem-se \ − ÒEßHÓ , com \ distinto de E e de H.
Uma vez que
Fß G − nÖ@ßA × e que um sector angular de vértice \ é convexo e cónico
relativamente a \ , concluímos que
Û
? œ \H § nÖ@ßA × œ @A Û
A@ Û
e portanto, por 2.12,
? § @A Û A@ Û
œ nÖ@ßA ×
.
s
B
v+

4.9 (Rectas que passam por um ponto interior) Sejam ÐEßFßGÑum
triângulo
e \ −ÒEßFßGÓ , que não pertença a nenhum dos lados do triângulo. Sejam !
o plano que contém Eß Fß G e B uma recta tal que \ − B § ! . Tem-se então:
a) Se E−B, então Bintersecta ÒFßGÓnum ponto distinto de Fe de G;
b) Se F−B, então Bintersecta ÒGßEÓnum ponto distinto de Ge de E;
c) Se G−B, então Bintersecta ÒEßFÓnum ponto distinto de Ee de F;
d) Se nenhum dos pontos Eß Fß G pertence a B, então B intersecta dois, e só
dois, dos três lados ÒFß GÓ, ÒGß EÓ e ÒEß FÓ.
t
u+
A
r
C
– 40–
w
+
X D
Dem: A conclusão de a) está contida em 4.6 e as conclusões de b) e c)
resultam de a) por simetria dos papéis dos vértices. Suponhamos que se
verifica a hipótese em d) e utilizemos 4.8,
assim como as respectivas notações.
Sendo Buma das semirrectas de B de origem \ , a alínea c) de 3.15
garante-nos que se verifica uma das três condições B § nÖ@ßA ×
,
B § nÖAß? × e B § nÖ? ß@ ×
e concluímos então, da alínea b) de 3.9
que B, e portanto B,
intersecta um dos três segmentos ÒFß GÓ, ÒGß EÓ e
ÒEß FÓ. O facto de B intersectar então dois, e só dois, destes segmentos já foi
provado no teorema de Pasch ( 2.17).
4.10 (O segmento triangular determina o conjunto dos vértices) Seja
ÐEßFßGÑ um triângulo e seja ! o único plano que contém o segmento
triangular ÒEßFßGÓ (o único que contém os três vértices) . Tem-se então:
a) Existe uma recta ?§ ! tal que ?ÒEßFßGÓœÖE× .
b) Qualquer que seja \ −ÒEßFßGÓ, distinto de E, de F e de G,
e qualquer
que seja a recta ? com \ −? , ?ÒEßFßGÓtem
mais que um elemento.
Em particular, se dois triângulos têm o mesmo sector triangular, então têm o
mesmo conjunto de vértices.
Û Û
Dem: a) Notando EF œ < e EG œ = escolhamos V − nÖ< ß = ×
tal que
VÂ< e VÂ= (por exemplo, por 3.4 e pela alínea a) de 3.5).
Sendo
Û
? œ EF , vem ? distinta de < e de = e ? § nÖ< ß= × œ

?nÖ< ß= לÖE× , e portanto também ?ÒEßFßGÓœÖE× .
b1) Suponhamos que \ pertence a um dos lados ÒEß FÓ, ÒFß GÓ e ÒGß EÓ mas
não coincide com nenhum dos vértices Eß Fß G.
Suponhamos, para fixar
ideias, que \−ÒEßFÓ , e seja ?§ ! uma recta com \−? . Se algum dos
vértices EßFßG pertence a ? , então ?ÒEßFßGÓ , contendo \ e esse
vértice, tem mais que um elemento. Caso contrário, o teorema de Pasch (cf.
2.17) garante que ? intersecta algum dos lados ÒFßGÓ ou ÒGßEÓ e portanto,
mais uma vez, ?ÒEßFßGÓtem
mais que um elemento.
b2) Suponhamos que \ −ÒEßFßGÓ mas \ não pertence a nenhum dos
lados ÒEß FÓ, ÒFß GÓ e ÒGß EÓ . Se ? é uma recta de ! com \ − ? , a recta ?
está nas condições de alguma das alíneas a) a d) de 4.9,
em qualquer caso
?ÒEßFßGÓ tem mais que um elemento.
4.11 (Triângulos congruentes) Diz-se que dois triângulos ÐEßFßGÑ e
w w w w w w
ÐE ßFßG Ñ são congruentes,
e escreve-se ÐEßFßGѸÐEßFßG Ñ,
se os
w w
lados e os ângulos “homólogos” são congruentes, isto é, se lEFl œ lE ß F l,
w w w w w w w w
lFGl œ lF ß G l, lGEl œ lG E lß . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ, . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ e
w w . ÐG Ñ œ . ÐG Ñ.
C
B
A
A'
4.12 (Nota trivial de utilização frequente) Se ÐEßEßEÑ " # $ e ÐEßEßEÑ
" # $ e
w w w
uma permutação de Ö"ß #ß $× , então ÐE" ß E# ß E$ Ñ e ÐE" ß E# ß E$ Ñ são con-
w w w
gruentes se, e só se, ÐE5Ð"Ñ ßE5Ð#Ñ ßE5Ð$Ñ Ñ e ÐE5Ð"Ñ ßE5Ð#Ñ ßE5Ð$ÑÑ são
congruentes.
w w w
4.13 (O Axioma LAL) Sejam ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ dois triângulos tais que
w w w w w w
lEFl œ lE F l, lEGl œ lE G l e . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ (dois lados e o ângulo por
eles formado). Tem-se então que os triângulos são congruentes, isto é, tem-se
w w w w w w
também lFGl œ lF G l, . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ e . ÐG Ñ œ . ÐG Ñ.
w w w w
4.14 (Lema L AL) Sejam ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ dois triângulos tais que
w w w w w w
lEFl lE F l, lEGl œ lE G l e . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ.
Tem-se então
w w . ÐG Ñ . ÐG Ñ.
B'
– 41–
C'
w w w 5 é

C
B
B'
A'
A
ww ww w w Dem: Seja F − ÒEß FÓ tal que lEF l œ lE F l (cf. a alínea d) de 1.19).
C
B
B"
B'
A'
A
ww ww
Pelo mesmo resultado, tem-se F Á F e F Á E. Uma vez que EßFßG são
não colineares, G não pertence à recta EF œ EF , o que mostra que
ww
Eß F G ww também são não colineares. Tendo em conta a convexidade dos
ww Û Û
ww
sectores angulares, tem-se F − nÖGEßGF× , com F não pertencente às
Û Û
semirrectas GE e GF (por EßFßG não serem colineares). Uma vez que os
sectores angulares são cónicos relativamente ao seu vértice, resulta assim do
Û Û Û Ûww
axioma b) em 3.17 que . ÐÖGEßGF×Ñ . ÐÖGEßGF ×Ñ.
Mas o axioma
ww w w w
LAL (cf. 4.13) garante que os triângulos ÐEßF ßGÑ e ÐEßFßG Ñ são
concgruentes, e portanto, em particular
w Û Ûww Û Û w
. ÐG Ñœ. ÐÖGEßGF ×Ñ. ÐÖGEßGF×Ñœ. ÐGÑ
4.15 (Teorema ALA) Sejam ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ dois triângulos tais que
w w w w w w
lEGl œ lE G l, . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ e . ÐG Ñ œ . ÐG Ñ (um lado e os dois
ângulos adjacentes). Tem-se então que os dois triângulos são congruentes.
Dem: Tendo em conta o axioma LAL (cf. 4.13),
o resultado ficará provado
w w
se verificarmos que lEFl œ lE F l.
Ora, se isso não acontecesse, ou
w w w w
lEFl lE F l ou lEFl lE F l e, nesse caso, ter-se-ia respectivamente,
– 42–
w w w
C'
C'

w w w w
tendo em conta o lema 4.14 , . ÐG Ñ . ÐG Ñ ou . ÐG Ñ . ÐG Ñ,
w w contrariando a hipótese . ÐG Ñ œ . ÐG Ñ.
4.16 (Corolário) Se ÐEßFßGÑé um triângulo, tem-se lEFlœlGFl se, e só se,
w w
. ÐE Ñ œ . ÐG Ñ (dois lados são congruentes se, e só se, os ângulos opostos o
forem).
Dem: Se lEFl œ lGFl, resulta do axioma LAL que os triângulos ÐEßFß GÑ
w w
e ÐGßFßEÑsão congruentes, em particular . ÐE Ñœ . ÐG Ñ.
Reciprocamente,
w w
se . ÐE Ñ œ . ÐG Ñ, resulta do teorema ALA que os triângulos ÐEß Fß GÑ e
ÐGßFßEÑsão congruentes, em particular lEFlœlGFl.
4.17 (Defnição) Um triângulo ÐEßFßGÑ diz-se isósceles em F se verifica as
duas condições equivalentes no corolário precedente. Ele diz-se equilátero se
for isósceles nos três vértices, isto é, se verifica qualquer das seguintes
w w w
propriedades equivalentes: lEFl œ lFGl œ lGEl, . ÐE Ñ œ . ÐF Ñ œ . ÐG Ñ.
Ele diz-se escaleno se não for isósceles em nenhum dos vértices.
4.18 Dado um triângulo ÐEßFßGÑ, chamam-se ângulos externos ao ângulos
w w w
adjacentes a cada um dos ângulos E , F e G .
Existem assim seis ângulos externos, dois correspondentes a cada vértice e os
ângulos externos correspondentes a um mesmo vértice são verticalmente
opostos, em particular com a mesma amplitude. Aliás, tendo em conta 3.19,
a
amplitude dos ângulos externos de vértice, por exemplo E é #. ÐE Ñ.
w
4.19 (Teorema pobre do ângulo externo) Seja ÐEßFßGÑum
triângulo. Tem-se
então que a amplitude dos ângulos externos de vértice G é maior que . w
ÐE Ñ
e que . (os ângulos internos não adjacentes).
w
ÐF Ñ
Dem: Por simetria dos papéis dos vértices, basta mostrarmos que a amplitude
dos ângulos externos de vértice G é maior que . e, tendo em conta a
w
ÐF Ñ
igualdade da amplitude dos dois ângulos externos de vértice G,
podemos
considerar aquele que é determinado pela semirrecta GF e pela semirrecta
Û
oposta à semirrecta GE.
Û
A
B
C
A
– 43–
B
M
C
D

Seja Q−ÒFßGÓo ponto médio do par ÐFßGÑ(cf. 1.26)
e consideremos na
Û
semirrecta EQ o ponto H definido pela condição de se ter lEHl œ #lEQl
(cf. a alínea d) de 1.19), ponto para o qual se tem então Q−ÒEßHÓe
portanto, por 1.25, lEHl œ lEQl lQHl, donde lEQl œ lQHl.
Û Û Û Û
Uma vez que os ângulos ÖQFßQE× e ÖQGßQH× são verticalmente
opostos, e portanto com a mesma amplitude, podemos utilizar o axioma LAL
(cf. 4.13) para garantir que os triângulos ÐEßQßFÑ e ÐHßQßGÑ são
congruentes, e portanto que
w Û Û Û Û Û Û
. ÐF Ñ œ . ÐÖFEß FG×Ñ œ . ÐÖFEß FQ×Ñ œ . ÐÖGHß GQ×Ñ.
Û
Notemos , a recta EG , , œ GE e , a semirrecta oposta. Notemos + a
Û
recta FG e + œ GF. O ângulo externo considerado é assim Ö+ ß , ×
. Uma
Û Û Û Û
vez que Q−,+ , vem EQ§,+ , em particular H−,+ e tem-se HÂ, ,
uma vez que, por ser QÂ, , EQ,œÖE× . Por outro lado, por ser
Û Û
E−+Eœ+, e EÂ+ , H vai pertencer ao semiplano oposto, portanto
Û Û Û
H−+, e HÂ+ . Tem-se assim H−,+ +, œnÖ+ ß, ×
. Podemos
agora aplicar o axioma b) em 3.17 para garantir que
w Û Û Û
. ÐF Ñœ . ÐÖGHßGQ×Ñœ. ÐÖGHß+ ×Ñ. ÐÖ+ ß, ×Ñ.
w w
4.20 (Corolário) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo. Então . ÐF Ñ . ÐG Ñ #.
Dem: Pelo resultado precedente, . é menor que a amplitude dos ângulos
w
ÐF Ñ
externos de vértice G , as quais são iguais a #. ÐG Ñ.
w
4.21 (Lema) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo. Existe então um triângulo
w w w w w w w w w
ÐE ßF ßG Ñ tal que . ÐE Ñ. ÐF Ñ. ÐG Ñ œ . ÐE Ñ. ÐF Ñ. ÐG Ñ e
w " w
. ÐE Ñ Ÿ # . ÐE Ñ.
Dem: Como na demonstração de 4.19, seja Q−ÒFßGÓo
ponto médio do
Û
par ÐFß GÑ e consideremos na semirrecta EQ o ponto H definido pela
condição de se ter lEHl œ #lEQl,
ponto para o qual se tem então
Q − ÒEß HÓ e portanto lEHl œ lEQl lQHl, donde lEQl œ lQHl.
A
B
M
Û Û Û
Û
Uma vez que os ângulos ÖQFßQE× e ÖQGßQH× são verticalmente
C
– 44–
D

opostos, e portanto com a mesma amplitude, podemos utilizar o axioma LAL
(cf. 4.13) para garantir que os triângulos ÐEßQßFÑ e ÐHßQßGÑ são
congruentes, e portanto que
w Û Û Û Û Û Û
. ÐFÑœ. ÐÖFEßFG×Ñœ. ÐÖFEßFQ×Ñœ. ÐÖGHßGQ×Ñ,
Û Û Û Û Û Û w
. ÐÖEFßEQ×Ñœ. ÐÖHGßHQ×Ñœ. ÐÖHGßHE×Ñœ. ÐHÑ. Tendo em conta a convexidade dos sectores angulares, tem-se
Û Û Û Û
Q−nÖEFßEG× e Q−nÖGEßGH× e Q não pertence a nenhuma das
rectas EF, EG e GH pelo que, aplicando o axioma b) em 3.17,
w Û Û Û Û w Û Û
. ÐE Ñ œ . ÐÖEFß EQ×Ñ . ÐÖEQß EG×Ñ œ . ÐH Ñ . ÐÖEHß EG×Ñ,
Û Û Û Û Û Û w w
. ÐÖGEßGH×Ñœ . ÐÖGEßGQ×Ñ . ÐÖGHßGQ×Ñ œ . ÐG Ñ . ÐF Ñ.
w " w
Da primeira igualdade resulta que ou . ÐH Ñ # . ÐE Ñ ou
Û Û " w
. ÐÖEQß EG×Ñ # . ÐE Ñ.
Além disso, obtemos
w w w w Û Û Û Û
. ÐEÑ. ÐFÑ. ÐG Ñœ. ÐHÑ. ÐÖEHßEG×Ñ. ÐÖGEßGH×Ñ,
w w w
pelo que basta tomarmos para ÐE ßFßG Ñ no primeiro caso o triângulo
ÐHßGßEÑe no segundo caso o triângulo ÐEßGßHÑ.
4.22 (A soma dos ângulos internos pobre) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo.
w w w
Tem-se então . ÐE Ñ . ÐF Ñ . ÐG Ñ Ÿ 2.
Dem: Suponhamos que isso não acontecia. Tinha-se então, para um certo
w w w
$ ! , . ÐE Ñ . ÐF Ñ . ÐG Ñ œ # $ . Tendo em conta o lema
precedente, podemos construir recursivamente triângulos ÐE8ßF8ßG8 Ñ,
com
ÐE" ßF" ßG" ÑœÐEßFßGÑ,
w w w
. ÐE8Ñ. ÐF8Ñ. ÐG8Ñœ # $
w " w w
e . ÐE8ÑŸ# . ÐE Ñ 8 . ÐE8Ñ$ 8 . Podemos assim escolher tal que , donde
w w w w w
#$ œ . ÐE8Ñ. ÐF8Ñ. ÐG8Ñ . ÐF8Ñ. ÐG8 Ñ$
,
w w
portanto . ÐF8Ñ. ÐG8Ñ # , o que é absurdo, tendo em conta o corolário
4.20.
4.23 (Corolário) Se ÐEßFßGÑ é um triângulo, então pelo menos dois dos
w w w
ângulos internos E , F e G são agudos.
Dem: Se isso não acontecesse, dois dos ângulos tinham amplitude maior ou
igual a " , pelo que a soma das suas duas amplitudes seria maior ou igual a # e
portanto a soma das três amplitudes seria maior que # .
4.24 (Teorema melhorado do ângulo externo) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo.
Tem-se então que a amplitude dos ângulos externos de vértice G é maior ou
w w
igual a . ÐE Ñ . ÐF Ñ (a soma dos ângulos internos não adjacentes).
– 45–

w w w
Dem: Tendo em conta 4.22 , tem-se . ÐE Ñ . ÐF Ñ Ÿ # . ÐG Ñ pelo que
tudo o que temos que reparar é que #. ÐGÑ é precisamente a amplitude
w
dos ângulos externos de vértice G.
4.25 (Maior lado e maior ângulo) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo. Tem-se então
w w
que lEFl lEGl se, e só se, . ÐG Ñ . ÐF Ñ (a um lado maior opõe-se um
ângulo maior e reciprocamente).
Dem: Suponhamos que lEFl lEGl. Tendo em conta a alínea d) de 1.19,
podemos considerar H − ÒEß FÓ, distinto de E e de F, tal que lEFl œ lEGl.
B
D
Considerando agora o triângulo ÐEßHßGÑ, resulta de 4.16 que
Û Û Û Û
. ÐÖHEß HG×Ñ œ . ÐÖGEß GH×Ñ.
Û Û Û Û
Uma vez que HE e HF são semirrectas opostas de origem H, ÖHEß HG× é
um dos ângulos externos de vértice H do triângulo ÐFßHßGÑ, resulta de 4.19
que
w Û Û Û Û Û Û
. ÐF Ñ œ . ÐÖFHß FG×Ñ . ÐÖHEß HG×Ñ œ . ÐÖGEß GH×Ñ.
Por outro lado, a convexidade dos sectores angulares garante que
Û Û
H−nÖGEßGF× e portanto, como Fnão pertence às rectas GFe GEe
os
sectores angulares são cónicos relativamente ao respectivo vértice,
concluímos do axioma b) em 3.17 que
Û Û Û Û w
. ÐÖGEß GH×Ñ . ÐÖGEß GF×Ñ œ . ÐG Ñ,
w w
pelo que temos efectivamente . ÐF Ñ . ÐG Ñ.
w w
Suponhamos, reciprocamente, que . ÐF Ñ . ÐG Ñ.
Então não pode ser
lEFl lEGl, porque então, aplicando o anterior ao triângulo ÐEß Gß FÑ,
w w
vinha . ÐG Ñ . ÐF Ñ, nem pode ser lEFl œ lEGl, porque então, por 4.16,
w w
vinha . ÐG Ñ œ . ÐF Ñ. Concluímos assim que lEFl lEGl.
A
– 46–
C

4.26 (A perpendicular a uma recta num dos seus pontos) Sejam ! um plano,
œ = , e portanto > œ = .
4.27 (Um primeiro lugar geométrico) Sejam ! um plano e EÁF em ! .
Tem-se então que o conjunto dos pontos \−! tais que l\Elœl\Flé
a
recta = do plano ! perpendicular a < œ EF que contém o ponto médio Q do
par ÐEß FÑ (cf. 1.26).
Dem: Comecemos por lembrar que, como se viu em 1.26, Q é o único ponto
de \ − < tal que l\El œ l\Fl e que Q − ÒEß FÓ . Suponhamos agora \ − =
é tal que \ÁQ , e portanto \Â< .
X
A B
M
Podemos então considerar os triângulos ÐEßQß\Ñ e ÐFßQß\Ñ,
para os
Û Û Û Û
quais se tem . ÐÖQEßQ\×Ñœ " œ . ÐÖQ\ßQF×Ñ, lQElœ lQFl e
lQ\l œ lQ\l pelo que, pelo axioma LAL,
aqueles triângulos são
congruentes, e portanto l\El œ l\Fl.
Suponhamos, reciprocamente, que \− ! é tal que \ÁQe l\Elœl\Fl,
e portanto \Â< . Podemos então aplicar 4.16 ao triângulo ÐEßFß\Ñpara
garantir que
Û Û Û Û Û Û Û Û
. ÐÖEQßE\×Ñœ. ÐÖEFßE\×Ñœ. ÐÖFEßF\×Ñœ. ÐÖFQßF\×Ñ
– 47–
r

e daqui deduzimos, pelo axioma LAL, que os triângulos ÐEßQß\Ñ e
Û Û Û Û
ÐFß Qß \Ñ são congruentes, e portanto . ÐÖQEß Q\×Ñ œ . ÐÖQ\ß QF×Ñ.
Û Û Û Û
Uma vez que ÖQEßQ\× e ÖQ\ßQF× são ângulos adjacentes, e portanto
Û Û Û Û Û Û
. ÐÖQEßQ\×Ñ. ÐÖQ\ßQF×Ñœ # , segue-se que . ÐÖQEßQ\×Ñœ " ,
e portanto Q\ é a recta = , em particular \ − = .
4.28 (Perpendicular por um ponto exterior) Sejam < uma recta e \ Â < .
Existe então um, e um só, ponto E−< tal que a recta \Eseja
perpendicular
à recta < (dizemos que E é o pé da perpendicular de \ para < ).
Dem: Comecemos por provar a unicidade, para o que supomos que existiam
E Á F em < tais que as rectas \E e \F fossem ambas perpendiculares a < .
w w
Considerando o triângulo ÐEß\ßFÑ, vinha assim . ÐE Ñœ . ÐF Ñœ" , em
particular, a amplitude dos ângulos externos em F também era " , o que
contrariava o facto de essa amplitude dever ser maior que " , por 4.19.
Passemos agora à prova da existência.
O
Seja ! o plano que contém < e \ e fixemos um ponto S − < , podendo já
supor-se que a recta \S não é perpendicular a < , sem o que se tomava
EœS . Seja < uma das semirrectas de < de origem S.
Tendo em conta o
axioma a) em 3.17 , notando ! o semiplano de ! de bordo < que contém \ e
! o semiplano oposto, existe uma semirrecta = de origem S,
contida em
!, com =Á< , tal que
. . Û
ÐÖ= ß < ×Ñœ ÐÖS\ß < ×Ñ.
Tendo em conta a alínea d) em 1.19 , podemos considerar ]−=tal
que
lS\l œ lS] l . Uma vez que \ß ] não pertencem a < e estão em semiplanos
Û Û
opostos de ! com bordo < , existe E − Ò\ß ] Ó < . Vem que E\ e E] são
semirrectas opostas da recta \] e daqui resulta, em particular, que E Á S,
Û Û
sem o que ÖS\ß< × e ÖS]ß< × œ Ö= ß< ×
eram ângulos adjacentes com a
mesma amplitude, portanto de amplitude " , contrariando a hipótese de \S
não ser perpendicular a < . Podemos agora considerar os triângulos ÐSßEß\Ñ
– 48–
X
A
Y
s +
r

e ÐSßEß]Ñ, para os quais se tem lS\lœlS]le lSElœlSEle
os ângulos
Û Û Û Û
ÖS\ß SE× e ÖS] ß SE× têm a mesma amplitude, uma vez que eles são
Û Û Û
ÖS\ß< × e ÖS]ß< × œ Ö= ß< × , se SE œ < ,
ou adjacentes destes
Û
ângulos, se SE œ < .
Podemos assim aplicar o axioma LAL para garantir
que os triângulos ÐSßEß\Ñe ÐSßEß]Ñ são congruentes, e portanto que os
Û Û Û Û
ângulos ÖE\ß ES× e ÖE] ß ES× , têm a mesma amplitude. Uma vez que
estes ângulos são adjacentes, e portanto com a soma das amplitudes igual a # ,
concluímos que . , e portanto a recta é perpendicular à
Û Û
ÐÖE\ß ES×Ñ œ " \E
recta < .
4.29 (O pé está próximo) Sejam < uma recta, \ Â < e E − < o pé da
perpendicular de \ para < . Para cada F − < , com F Á E,
tem-se então
l\Fl l\El (o pé da perpendicular é o ponto de < mais próximo de \ ).
Dem: Considerando o triângulo Ð\ßFßEÑ , o facto de \Eser
perpendicular
w w
a

O facto de se ter lEFl lEGl com F e G na mesma semirrecta de origem
E, implica, pela alínea d) de 1.19,
que G − ÒEßFÓ, com G diferente de E e
Û Û
de F. Aplicando 4.23 ao triângulo ÐEßGß\Ñ, onde . ( ÖEG, E\×Ñ œ " ,
concluímos que . ( , e portanto, para o ângulo adjacente,
Û Û
ÖGE G\×Ñ "
. Û Û
( ÖGF, G\×Ñ " . Mais uma vez por 4.23,
aplicado agora ao triângulo
Û Û
Û Û
ÐGßFß\Ñ, concluímos que . ( ÖFG, F\×Ñ". ( ÖGFG\×Ñ , e daqui
deduzimos, por 4.25, que l\Fl l\Gl,
como queríamos.
Aplicando o que acabamos de mostrar com os papéis de F e G trocados
vemos que, se lEFl lEGl, então l\Fl l\Gl.
Uma das coisas estabelecidas atrás diz-nos que, se lEFl lEGl,
então
l\Fl l\Gl. Reciprocamente, se l\Fl l\Gl,
não pode ser
lEFl lEGl, sem o que l\Fl l\Gl, nem lEFl œ lEGl,
sem o que
l\Fl œ l\Gl, e portanto tem que ser lEFl lEGl.
Do mesmo modo, se l\Fl œ l\Gl, não pode ser lEFl lEGl,
sem o que
l\Fl l\Gl, nem pode ser lEFl lEGl, sem o que l\Fl l\Gl,
e
portanto lEFl œ lEGl.
4.32 (Onde está o pé) Sejam < uma recta, \ Â < e E − < o pé da perpendicular
de \ para < . Dado S − < , com S Á E , existe uma, e uma só, semirrecta <
Û
de < de origem S tal que o ângulo ÖS\ß< × seja agudo e tem-se então
E−

dois triângulos são congruentes.
C
A B
– 51–
C'
A' B'
Dem: Tendo em conta 4.23,
podemos já supor, se necessario fazendo uma
w w
mesma permutação nos vértices dos triângulos, que os ângulos E e F são
ambos agudos. Sejam ! o plano que contém os pontos Eß Fß G, ! o
semiplano de ! de bordo EF que contém G e ! o outro semiplano de !
com o mesmo bordo. Tendo em conta o axioma a) em 3.17,
podemos
considerar a única semirrecta = de ! de origem E , com = Á EF,
tal que
Û Ûw w Ûw
w . ÐÖEFß = ×Ñ
œ . ÐÖE F ß E G ×Ñ.
Tendo em conta a propriedade d) em
ww
1.19, podemos considerar o único ponto G − = tal que
ww w w lEG l œ lE G l œ lEGl.
C
A B
C" s+
C'
A' B'
Aplicando o axioma LAL,
podemos agora concluir que os triângulos
ww w w w
ÐEßFßG Ñ e ÐE ßFßG Ñ são congruentes, em particular que se tem também
ww w w ww
lFG l œ lF G l œ lFGl. Uma vez que G e G são pontos distintos do plano
! (por estarem em semiplanos distintos de bordo EF e não pertencerem a
esta recta), o facto de tanto F como E serem equidistantes de G e Gww implica, por 4.27, que a recta EF é a perpendicular à recta GG que passa
ww
ww
pelo ponto médio Q do par ÐGßG Ñ. Em particular Q é o pé da
perpendicular de G para a recta EF e portanto, pelo facto de os ângulos E e
w

w
F serem agudos e tendo em conta 4.33,
Q − ÒEßFÓ e Q é distinto de E e
de F.
Tendo em conta o facto de os sectores angulares serem convexos e
Û Ûww cónicos relativamente aos respectivos vértices, concluímos que GQ œ GG
Û Û
está contida no sector angular nÖGEß GF× , sendo distinta das respectivas
Ûww Ûww
semirrectas bordo, e que G Q œ G G está contida no sector angular
Ûww Û ww nÖG Eß G F× , sendo distinta das respectivas semirrectas bordo.
C
A B
M
C" s+
– 52–
C'
A' B'
Pelo axioma b) em 3.17,
Û Û Û Û Û Û
. ÐÖGEßGF×Ñœ . ÐÖGEßGQ×Ñ . ÐÖGQßGF×Ñ,
Ûww Ûww Ûww Ûww Ûww Ûww
. ÐÖG Eß G F×Ñ œ . ÐÖG Eß G Q×Ñ . ÐÖG Qß G F×Ñ.
ww ww
Resulta de 4.16 que os triângulos ÐEßGßG Ñ e ÐFßGßG Ñ são isósceles em
E e F,
respectivamente, e portanto que
Û Û Û Ûww Ûww Ûww Ûww Ûww
. ÐÖGEßGQ×Ñœ. ÐÖGEßGG ×Ñœ. ÐÖG EßG G×Ñœ. ÐÖG EßG Q×Ñ
Û Û Û Ûww Ûww Ûww Ûww Ûww
. ÐÖGFßGQ×Ñœ. ÐÖGFßGG ×Ñœ. ÐÖG FßG G×Ñœ. ÐÖG FßG Q×Ñ
C
A B
M
C" s+
C'
A' B'

Û Û Ûww Ûww
e portanto . ÐÖGEß GF×Ñ œ . ÐÖG Eß G F×Ñ.
Mais uma vez pelo axioma
LAL, vemos agora que o triângulo ÐEßFßGÑ é congruente ao triângulo
ww w w w
ÐEßFßG Ñ, e portanto também ao triângulo ÐEßFßG Ñ.
w w w
4.35 (O teorema LAA) Sejam ÐEßFßGÑe ÐEßFßG Ñ dois triângulos tais que
w w w w w w
lEFl œ lE F l, . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ e . ÐG Ñ œ . ÐG Ñ.
Tem-se então que os
dois triângulos são congruentes. 9
C
A B
– 53–
C'
A' B'
Dem: Tendo em conta o teorema ALA (cf. 4.15),
o resultado ficará provado
w w
se verificarmos que lFGl œ lF G l.
Suponhamos que isso não acontecia. Se
w w
necessário trocando o papel dos triângulos, tinha-se assim lFGl lF G l
w w
pelo que, tendo em conta a alínea d) de 1.19, podemos escolher H−ÒFßGÓ,
w w w
com H diferente de F e de G , tal que lFGl œ lF Hl.
C
A B
C'
D
A' B'
w w
Tendo em conta o axioma LAL, os triângulos ÐEßFßGÑ e ÐEßFßHÑ são
congruentes, em particular
Û w Û w Û Û Ûw w Ûw
w
. ÐÖHE ß HF ×Ñ œ . ÐÖGEß GF×Ñ œ . ÐÖG E ß G F ×Ñ.
Û w Û w
Mas isto é absurdo, tendo em conta 4.19, uma vez que ÖHE ß HF × é um dos
w w
ângulos externos de vértice H do triângulo ÐEßHßG Ñ,
que tem o ângulo
Ûw w Ûw w Ûw w Û w
ÖG E ß G F × œ ÖG E ß G H× como um dos ângulos internos.
9É claro que, se conhecêssemos o resultado que diz que a soma dos ângulo internos de
qualquer triângulo é igual a # , este resultado podia ser deduzido simplesmente da igualw
w
dade . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ, tendo em conta o teorema ALAÞ

4.36 (Nota) Repare-se que não devemos esperar a existência de um teorema
w w w
LLA, isto é, não é verdade que dados dois triângulos ÐEßFßGÑe ÐEßFßG Ñ
w w w w w w
tais que lEGl œ lE G l, lFGl œ lF G l e . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ,
os triângulos
tenham que ser congruentes. Um contraexemplo pode ser o sugerido na figura
a seguir.
C
A B
Há, no entanto, casos particulares em que esta conclusão pode ser tirada.
Limitamos-nos a examinar em seguida um desses casos particulares de
utilização mais frequente.
4.37 (Num triângulo rectângulo, aumentando os catetos, aumenta a hipote-
w w w w w
nusa) Sejam ÐEßFßGÑe ÐEßFßG Ñdois triângulos tais que lEFllEFl,
w w w w
w w
lFGlŸlFGle . ÐFÑœ. ÐFÑœ" . Então lEGllEGl.
C
– 54–
C'
A'
C'
1 1
A B A' B'
Dem: Consideremos na semirrecta FG um ponto G tal que lFG l œ lF G l
Û ww ww w w
e na semirrecta FE um ponto E tal que lFE l œ lF E l.
A"
A
1
B'
Û ww ww w w
C=C"
B
A"
A
1
C"
C
B

w w w ww ww
Pelo axioma LAL, os triângulos ÐEßFG Ñ e ÐE ßFßG Ñ são congruentes,
w w ww ww
em particular lE G l œ lE G l.
w w ww ww
No caso em que lFGlœlFGlvem GœG e, uma vez que E−ÒEßFÓ, ww ww ww ww w w
com EÁE , resulta de 4.31 que lEGllEGlœlEG lœlEGl.
w w ww ww
No caso em que lFGl lF G l, tem-se E − ÒE ß FÓ e G − ÒG ß FÓ,
com
ww ww
EÁE e GÁG , pelo que, aplicando duas vezes 4.31,
obtemos também
ww ww ww w w
lEGl lE Gl lE G l œ lE G l.
4.38 (Corolário — Caso de congruência de triângulos rectângulos) Sejam
w w w w w
ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG
Ñ dois triângulos tais que lEGlœlEGl, w w w w
lFGlœlFGle . ÐFÑœ. ÐFÑœ" . Tem-se então que estes triângulos são
congruentes.
A
1
w w
C
B
Dem: Tem que ser lEFl œ lE F l visto que, pelo resultado precedente, se
w w w w w w
fosse lEFl lE F l, vinha lEGl lE G l, e, se fosse lEFl lE F l,
vinha
w w lEGl lE G l.O
resultado é agora uma consequência do teorema LLL (cf.
4.34).
4.39 (Desigualdade triangular estrita) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo. Tem-se
então que
– 55–
A'
lEFl lEGl lGFl
(qualquer lado 10 é menor que a soma dos outros dois).
Dem: Podemos já supor que lEFl é maior que lEGl e lGFl,
sem o que a
desigualdade é trivial (uma das parcelas do segundo membro seria maior ou
igual a lEFl e a outra seria maior que ! ). Podemos então considerar um
ponto H − ÒEß FÓ, distinto de E e de F, tal que lHFl œ lGFl.
Û Û Û Û
Tendo em conta 4.16 , tem-se . ÐÖGHß GF×Ñ œ . ÐÖHGß HF×Ñ,
em
Û Û Û Û
particular, por 4.23 , . ÐÖHGß HF×Ñ " . Uma vez que ÖHGß HE× é
Û Û
adjacente de ÖHGß HF× , e portanto a soma das respectivas amplitudes é # ,
segue-se que . .
Û Û
ÐÖHGß HE×Ñ "
10 Reparar que podemos aplicar o resultado a qualquer triângulo que se obtenha por
permutação dos vértices.
1
C'
B'

A B
D
Mais uma vez por 4.23,
Û Û Û Û
. ÐÖGHß GE×Ñ " . ÐÖHGß HE×Ñ,
pelo que deduzimos de 4.25 que lEGl lEHl,
donde, finalmente,
lEFl œ lEHl lHFl œ lEHl lGFl lEGl lGFl.
4.41 (Desigualdade triangular geral) Sejam Eß Fß G pontos arbitrários. Tem-se
então sempre
lEFl Ÿ lEGl lGFl,
vindo lEFl œ lEGl lGFl se, e só se, G − ÒEß FÓ. 11
Dem: No caso em que EœF,
o resultado é trivial, uma vez que o primeiro
membro é ! e o segundo é maior que 0, salvo no caso em que G œ E e
GœF , caso em que esse segundo membro é também ! . No caso em que os
três pontos são não colineares, eles definem um triângulo, pelo que temos
uma consequência do resultado precedente, uma vez que não se pode ter
evidentemente G−ÒEßFÓ. No caso em que EÁFmas
os três pontos são
colineares, temos uma consequência de 1.25.
4.42 (Corolário) As diferentes funções
distância .−Y definem métricas no
conjunto X dos pontos do espaço, todas elas conformemente equivalentes
entre si, e portanto definindo uma mesmo topologia de X (a topologia
canónica de X).
4.43 (Um segundo lugar geométrico) Sejam ! um plano e < e = duas semirrectas
de origem S , com rectas associadas distintas < e = , e consideremos o
sector angular corrrespondente nÖ< ß = ×
. Tem-se então que o conjunto dos
pontos \−nÖ< ß= × tais que l\
de ! de origem S , nomeadamente a única semirrecta > de ! de origem S,
contida no semiplano Á < para a qual se tem
11 Lembrar que, se , define-se , embora este conjunto não seja consi-
E œ F ÒEß FÓ œ ÖE×
derado um segmento de recta.
– 56–
C

"
. ÐÖ< ß> ×Ñ œ . ÐÖ< ß= ×Ñ.
#
Dizemos que > é a bissectriz do ângulo Ö< ß= ×
.
Dem: A existência e unicidade de uma semirrecta > nas condições do
enunciado é uma consequência do axioma a) em 3.17, resultando de 3.18 que
se tem > § nÖ< ß= × e, evidentemente, > diferente de < e de = .
Observemos também que, pelo axioma b) em 3.17,
tem-se
. ÐÖ< ß = ×Ñœ. ÐÖ< ß > ×Ñ. ÐÖ> ß = ×Ñ,
donde também
"
. ÐÖ> ß = ×Ñœ . ÐÖ< ß = ×Ñœ. ÐÖ< ß > ×Ñ,
#
em particular . ÐÖ> ß = ×Ñœ. ÐÖ< ß > ×Ñ
" .
Suponhamos que \−> .
Se \œS, tem-se l\ ß = ×Ñ œ . ÐÖ< ß > ×Ñ œ . ÐÖSEß S\×Ñ
Û Û Û Û
. ÐÖFSß F\×Ñ œ " œ . ÐÖESß E\×Ñß
– 57–
A
X
r
+
,
deduzimos do teorema LAA (cf. 4.35) que os triângulos ÐSß\ßFÑ e
ÐSß\ßEÑ são congruentes, em particular
l\

e = , respectivamente.
O nosso primeiro problema é mostrar que, como antes, tem-se forçosamente
E−< ÏÖS× e F−= ÏÖS× . Suponhamos que isso não acontecia, por
exemplo que F−=.
s +
O
B
Y
s -
X
A r
+
Uma vez que \−

Û Û
. ÐÖ< ß= ×Ñ œ . ÐÖ< ßS\×Ñ. ÐÖ= ßS\×Ñ
,
Û "
concluímos que . ÐÖ< ßS\×Ñ œ # . ÐÖ< ß = ×Ñ œ . ÐÖ< ß > ×Ñ
donde, pelo
Û
axioma a) em 3.17, S\ œ > , portanto \ − > , como queríamos.
4.43 (Euclides I-21) Sejam ÐEßFßGÑ um triângulo e \ −ÒEßFßGÓ tal que
\ÁE e \ÂÒFßGÓ.
Tem-se então
l\Fl l\Gl lEFl lEGl,
Û Û Û Û
. ÐÖ\Fß \G×Ñ . ÐÖEFß EG×Ñ.
Dem: a) Comecemos por examinar o caso especial em que \ pertence a um
dos segmentos ÒEß FÓ ou ÒEß GÓ , podendo já supor-se que \ − ÒEß FÓ,
se
necessário substituindo o triângulo ÐEßFßGÑ pelo triângulo ÐEßGßFÑ.
Tendo em conta a desigualde triangular em 4.39,
vem
l\Fl l\Gl l\Fl lE\l lEGl œ lEFl lEGl
A
X
B
Û Û
e, tendo em conta o facto de Ö\Fß \G× ser um dos ângulos externos de
vértice \ do triângulo ÐEßGß\Ñ, deduzimos de 4.19 que
Û Û Û Û Û Û
. ÐÖ\Fß\G×Ñ. ÐÖE\ßEG×Ñœ. ÐÖEFßEG×Ñ.
b) Passemos ao caso em que \ não pertence a nenhum dos segmentos ÒEßFÓ
e ÒEß GÓ.
A
Y
B
Tendo em conta 4.6, a recta G\ intersecta o lado ÒEßFÓ num ponto ]
distinto de E e de F e vem \ − ÒGß]Ó , com \ distinto de G e de ]
.
X
– 59–
C
C

Aplicando o que já verificámos em a), ao ponto ] , vemos que, pela
desigualdade triangular,
l\Fl l\Gl l\] l l] Fl l\Gl œ l] Gl l] Fl lEFl lEGl
Û Û
e que, pelo facto de Ö\Fß \G× ser um dos ângulos externos de vértice \ do
triângulo Ð]ßFß\Ñ,
Û Û Û Û Û Û Û Û
. ÐÖ\Fß\G×Ñ. ÐÖ]\ß]F×Ñœ. ÐÖ]Gß]F×Ñ. ÐÖEFßEG×Ñ,
como queríamos.
4.45 (Euclides I-24 — Quem abre as pernas, mesmo se coxo, afasta os pés)
ww ww ww ww ww
Sejam ÐEßFßGÑ e ÐE ßF ßG Ñ dois triângulos tais que lEFlœlEF l,
ww ww Û Û Ûww ww Ûww
ww
lEGl œ lE G l e . ÐÖEFß EG×Ñ . ÐÖE F ß E G ×Ñ.
Tem-se então
ww ww lFGl lF G l.
Dem: Consideremos no semiplano de bordo EG que contém F uma
semirrecta < de origem E , com recta < distinta de EG,
tal que
Û Ûww ww Ûww
ww Û Û
. ÐÖ< ß EG×Ñ œ . ÐÖE F ß E G ×Ñ . ÐÖEFß EG×Ñ
(cf. o axioma a) em 3.17) e, nessa semirrecta, um ponto F tal que lEF l œ
ww ww w
lE F l œ lEFl. Pelo axioma LAL (cf. 4.13),
os triângulos ÐEß F ß GÑ e
ww ww ww w ww ww
ÐE ßF ßG Ñsão congruentes, em particular lFGlœlF G l.
Û w Û Û
w
Tendo em conta 3.18, tem-se EF § nÖEFß EG× , com a recta EF distinta
da recta EF, além de como já dissémos, distinta da recta EG.
Examinemos
agora o que se passa em cada uma das três possibilidades sobre a posição de
Fw , ilustradas nas figuras seguintes.
A
B
A
B'
B
C
– 60–
A
B'
B
B'
X
C
w w
C

w a) F pertence à recta FG.
Tendo em conta a alínea b) de 3.9,
tem-se
w w w
F − ÒFß GÓ, com F distinto de F e de G, donde lF Gl lFGl,
portanto
ww ww w lF G l œ lF Gl lFGl.
w b) F não pertence à recta FG e pertence ao semiplano, tendo esta recta
como bordo, oposto àquele que contém E. Neste caso o segmento ÒEßF Ó w
intersecta a recta FG num ponto \ que, pela alínea b) de 3.9,
pertence a
ÒFß GÓ e é distinto de F e de G.
Tendo em conta o facto de os sectores
angulares serem convexos e cónicos relativamente aos respectivos vértices,
Û Û Û Ûw Û Ûw
Concluímos que F\ œ FG § nÖFEßFF × , sendo distinta de FE e FF , e
Ûw Ûw Ûw Ûw Ûw Ûw
que F\œFE§nÖFFßFG× , sendo distinta de FF e FG,
de onde
resulta, tendo em conta o axioma b) em 3.17,
que
Ûw Û Ûw
Û
. ÐÖFF ß FG×Ñ . ÐÖFF ß FE×Ñ
Ûw Ûw Ûw Ûw
. ÐÖF Fß F E×Ñ . ÐÖF Fß F G×Ñ
w e portanto, uma vez que, por ser lEF l œ lEFl,
tem-se, tendo em conta 4.16,
Ûw Û Ûw Ûw
. ÐÖFFßFE×Ñœ. ÐÖFFßFE×Ñ,
deduzimos que
Ûw Û Ûw Ûw
. ÐÖFF ß FG×Ñ . ÐÖF Fß F G×Ñ.
– 61–
ww ww w
Aplicando enfim 4.25, deduzimos que lF G l œ lF Gl lFGl,
também
neste caso.
w c) F não pertence à recta FG e pertence ao semiplano, tendo esta recta
como bordo, que contém E. Por outras palavras, F pertence ao segmento
w
triangular ÒEßFßGÓ e não pertence a nenhum dos lados do triângulo
ÐEßFßGÑ. Tendo em conta 4.8 e 3.24,
tem-se
Ûw Ûw Ûw Ûw Ûw Ûw
. ÐÖFEßFF×Ñ. ÐÖFFßFG×Ñ. ÐÖFGßFE×Ñœ%
e daqui resulta, uma vez que a amplitude de um ângulo é sempre menor que
#, que
Ûw Ûw Ûw Ûw
. ÐÖF Eß F F×Ñ . ÐÖF Fß F G×Ñ # .
Por outro lado, pelo axioma b) em 3.17,
tem-se
Û Ûw Ûw Û Û Û
. ÐÖFEßFF ×Ñ . ÐÖFF ß FG×Ñ œ . ÐÖFEßFG×Ñ #
e portanto
Û Ûw Ûw Û Ûw Ûw Ûw Ûw
. ÐÖFEßFF×Ñ. ÐÖFFßFG×Ñ. ÐÖFEßFF×Ñ. ÐÖFFßFG×Ñ.
w Û Ûw Ûw Ûw
Uma vez que lEF l œ lEFl, donde, . ÐÖFEß FF ×Ñ œ . ÐÖF Eß F F×Ñ,
por
Ûw Û Ûw Ûw
4.16, deduzimos que . ÐÖFFßFG×Ñ. ÐÖFFßFG×Ñe
portanto, por 4.25,
ww ww w lF G l œ lF Gl lFGl,
também neste caso.

Vamos agora utilizar resultados sobre a geometria do triângulo para obter
um resultado cuja natureza ultrapassa o âmbito da Geometria Plana,
nomeadamente a possibilidade de definir o ângulo de dois semiplanos
com a mesma recta como bordo. Começamos com um lema ainda da Geometria
Plana.
4.46 (Lema) Sejam ! um plano,

4.47 Sejam < uma recta e ! e " dois semiplanos de bordo < , cujos planos
continentes ! e " sejam distintos. Sejam TßU −< com T Á U , sejam = e
> a semirrectas de ! contidas em ! ,
de origens T e U respectivamente,
cujas rectas continentes = e > são ortogonais a < (cf. 4.26 e 2.12) e sejam ? e
@ a semirrectas de " contidas em " ,
de origens T e U respectivamente,
cujas rectas continentes ? e @ são ortogonais a < . Tem-se então
. ÐÖ= ß ? ×Ñœ. ÐÖ> ß@ ×Ñ.
Dem: Fixemos pontos arbirários E−= , com EÁT , e \−? ,
com
\ÁT . Consideremos as semirrectas > e @ de origem U opostas de > e
@, que estão assim contidas nos semiplanos ! e " , opostos de ! e de
", e sejam F − > e ] − @ tais que lUFl œ lT El e lU] l œ lT \l.
Tendo
em conta 4.46, o ponto médio Q do par ÐTßUÑ é simultaneamente o ponto
médio dos pares ÐEß FÑ e Ð\ß ] Ñ.
Û Û Û Û
Uma vez que os ângulos ÖQ\ßQE× e ÖQ]ßQF× são verticalmente
Û Û Û Û
opostos, tem-se . ÐÖQ\ßQE×Ñœ . ÐÖQ]ßQF×Ñ. De se ter lQElœ lQFl e lQ\l œ lQ] l deduzimos assim, do axioma 4.13,
que os triângulos
ÐQßEß\Ñ e ÐQßFß]Ñ são congruentes, e portanto lE\lœlF]l.
Pelo
teorema LLL ( 4.34), os triângulos ÐEßTß\Ñ e ÐFßUß]Ñ
são congruentes.
– 63–

Û Û
Resulta daqui, reparando que os ângulos ÖUFß U] × e Ö> ß@ ×
são
verticalmente opostos, que
Û Û Û Û
. ÐÖ= ß? ×Ñœ. ÐÖTEßT\×Ñœ. ÐÖUFßU]×Ñœ. ÐÖ> ß@ ×Ñ
,
como queríamos.
4.48 Nas condições precedentes, define-se a amplitude do ângulo dos dois
semiplanos ! e " , notada . ÐÖ! ß " ×Ñ, como sendo o valor . ÐÖ= ß ? ×Ñ
correspondente à escolha de um ponto arbitrário T de < e das
correspondentes semirrectas = e ? ,
valor esse que o resultado precedente
garante não depender de T .
5. Isometrias e Aplicações.
5.1 Seja V § X um conjunto. Diz-se que uma aplicação FÀV Ä X é isométrica
se, quaisquer que sejam Eß F − V, lFÐEÑFÐFÑl œ lEFl.
5.2 Se FÀVÄ X é uma aplicação isométrica, então Fé
injectiva e, sendo
"
W œ FÐVÑ, F ÀW Ä X também é uma aplicação isométrica.
Dem: Se FÐEÑ œ FÐFÑ, vem lEFl œ lFÐEÑFÐFÑl œ ! , donde E œ F.
Para
" " " " GßH − W, vem lF ÐGÑF ÐHÑlœ lFÐF ÐGÑÑFÐF ÐHÑÑlœlGHl.
w w
5.3 Se FÀVÄ X é uma aplicação isométrica e V§ V, então 0ÎVÀVÄ Xé
w
trivialmente também uma aplicação isométrica.
5.4 (Aplicações isométricas numa recta) Seja

tem-se F−ÒEß\Óportanto
lFÐEÑFÐ\Ñl œ lEß \l œ lEFl lF\l œ lFÐEÑFÐFÑllFÐFÑFÐ\Ñl donde FÐFÑ − ÒFÐEÑFÐ\ÑÓ, em particular FÐ\Ñ
− = . Em qualquer dos
casos tem-se portanto FÐ\Ñ − = .
2) Vamos agora mostrar que se tem mesmo FÐ

1) Comecemos por mostrar que se tem F! Ð Ñ § " , ou seja, que, se \ − ! ,
então F Ð\Ñ − " . Isso é trivial no caso em que \ − < . Vejamos o que sucede
se \−! Ï< . Tem-se então que o segmento ÒEß\Ó intersecta < num ponto
T, em particular a recta ET contém o ponto \ e portanto, mais uma vez por
5.4, FÐET Ñ é uma recta que contém o ponto FÐ\Ñ.
Mas, uma vez que
FÐET Ñ contém os pontos distintos FÐEÑ e F ÐT Ñ em " , ela está contida em
" , em particular F Ð\Ñ − " . Resta-nos examinar o que se passa no caso em
que \−! Ï< . Para isso, tomamos F−! Ï< e, uma vez que já sabemos
que F ÐFÑ − " , repetimos o raciocínio anterior: O segmento ÒFß \Ó intersecta
< num ponto U, em particular a recta FU contém o ponto \ e portanto
FÐFUÑ é uma recta que contém o ponto FÐ\Ñ
e que contém os pontos
distintos FÐFÑ e F ÐUÑ em " , pelo que está contida em " , em particular
F Ð\Ñ − " .
2) Vamos agora mostrar que se tem mesmo F! Ð Ñ œ " , isto é, que, para cada
]− " , existe \−! tal que FÐ\Ñœ]
. Isso é trivial no caso em que ]
pertence à recta =œF Ð

Dem: FÐ

5.12 (A inversão relativamente a um ponto) Seja S−X um ponto fixado.
Definimos então uma aplicação 38@SÀ X Ä X,
a que daremos o nome de
inversão relativamente a S, do seguinte modo: 38@SÐSÑ œ S;
para cada
Û
T ÁS , consideramos a recta Ñ estão em semirrectas opostas de < de origem S e são tais que
" " "
.Ð0 Ð>ÑßSÑ œ .Ð0 Ð>Ñß0 Ð!ÑÑ œ l> !l œ l> !l œ
" " "
œ .Ð0 Ð>Ñß 0 Ð!ÑÑ œ .Ð0 Ð>Ñß SÑ,
" "
o que mostra que 38@SÐ0 Ð>ÑÑ œ 0 Ð>Ñ,
igualdade que é trivialmente
também verificada para >œ! . Vem então
" "
0Ð38@SÐTÑÑœ0Ð38@SÐ0Ð0ÐTÑÑÑÑœ0Ð0 Ð0ÐTÑÑÑœ0ÐTÑ e, do mesmo modo 0Ð38@SÐUÑÑœ0ÐUÑ, portanto
.Ð38@SÐTÑß38@SÐUÑÑ œ l0Ð38@SÐTÑÑ0Ð38@SÐUÑÑl œ
œ l0ÐT Ñ 0ÐUÑl œ l0ÐT Ñ 0ÐUÑl œ .ÐT ß UÑ,
o que implica que l38@SÐT Ñ 38@SÐUÑl œ lT Ul.
3) Examinemos enfim o caso em que Sß T ß U são não colineares e portanto
as rectas < œ ST e = œ SU são distintas. Por construção, os ângulos
Û Û Û Û
ÖST ß SU× e ÖS38@SÐTÑßS38@SÐUÑ× são verticalmente opostos, e portanto
com a mesma amplitude e tem-se lS 38@SÐTÑlœlST l e lS 38@SÐUÑl œ
lSUl pelo que, pelo axioma 4.13, os triângulos ÐSß 38@SÐT Ñß 38@SÐUÑÑ e
ÐSßTßUÑ são congruentes, o que implica, também neste caso, que se tem
l38@SÐT Ñ 38@S ÐUÑl œ lT Ul.
– 68–
S

5.14 (A inversão relativamente a uma recta) Seja

l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ l38@TÐEÑ 38@T ÐFÑl œ lEFl.
4) Examinemos enfim o caso que nos falta, aquele em que EÂ< e FÂ<
têm pés da perpendicular T e U sobre a recta < , com T Á U. Notemos E œ w
w
38@< ÐEÑ œ 38@T ÐEÑ, F o ponto, de entre F e 38@< ÐFÑ œ 38@UÐFÑ, que está
ww
no mesmo semiplano ! de ! com bordo < que E e F o outro daqueles dois
pontos.
w w ww
Reparemos que as rectas EE e F F não se intersectam, tendo em conta a
afirmação de unicidade da definição do pé da perpendicular em 4.28,
e daqui
w w ww
resulta que E e E pertencem ao mesmo semiplano de ! de bordo F F que
Û Ûw w Û Ûww
T, e portanto que E−nÖUTßUF× e E −nÖUTßUF × .
Tendo em conta o axioma b) em 3.17,
tem-se assim
– 70–

Û Ûw Û Û Û Ûw
" œ . ÐÖUT ß UF ×Ñ œ . ÐÖUT ß UE×Ñ . ÐÖUEß UF ×Ñ,
Û Ûww Û ÛwÛwÛww " œ . ÐÖUT ß UF ×Ñ œ . ÐÖUT ß UE ×Ñ . ÐÖUE ß UF ×Ñ.
Uma vez que, pelo axioma LAL (cf. 4.13) os triângulos ÐTßUßEÑ e
w w
ÐTßUßEÑ são congruentes, sabemos que lEUlœlEUl e que
Û Û Û Û w . ÐÖUT ß UE×Ñ œ . ÐÖUT ß UE ×Ñ e desta última igualdade e das igualdades
Û Ûw Ûw Ûww
acima destacadas resulta que . ÐÖUEß UF ×Ñ œ . ÐÖUE ß UF ×Ñ.
Aplicando
w w ww
de novo o axioma LAL, deduzimos agora que lEF l œ lE F l.
Pelo teorema
LLL (cf. 4.34) podemos agora garantir que os triângulos ÐEßUßFÑ e w
w ww ÐEßUßF Ñsão
congruentes, o que implica que
Ûw Ûw ww Ûw Ûw Ûww w Ûww Ûww w Ûww
w
. ÐÖF Eß F F ×Ñ œ . ÐÖF Eß F U×Ñ œ . ÐÖF E ß F U×Ñ œ . ÐÖF E ß F F ×Ñ.
Mais uma vez o axioma LAL implica agora que os triângulos ÐFßF ßEÑe
ww w w ww w w
ÐF ßFßEÑ são congruentes, e portanto que lEFlœlEFl. As duas
w w ww ww w w
igualdades lEF l œ lE F l e lEF l œ lE F l mostram-nos finalmente que,
w ww ww
quer se tenha FœF, e portanto 38@ÐFÑœF < , ou FœF , e portanto
w 38@< ÐFÑ œ F , tem-se sempre
w
l38@ ÐEÑ 38@ ÐFÑl œ lE 38@ ÐFÑl œ lEFl.
< < <
– 71–
w ww
5.16 ( 38@< é isometria) Nas condições
de 5.14, a aplicação 38@< À X Ä X é uma
isometria involutiva, isto é, verifica 38@< Ð38@< ÐEÑÑ œ E, para cada E − X,
Dem: Comecemos por reparar que o facto de se ter 38@< Ð38@< ÐEÑÑ œ E,
para
cada E−X resulta de que, afastando já o caso trivial em que E−< , sendo T
o pé da perpendicular de E para < , T é também o pé da perpendicular de
38@T ÐEÑ para < , bastando portanto ter em conta o facto de a simetria
relativamente a T ser uma involução. Resta-nos mostrar que, quaisquer que
sejam Eß F − X , tem-se l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ lEFl,
o que faremos começando
por examinar casos particulares:
1) Se existir um plano ! tal que

w w
Notemos E œ38@ÐEÑœ38@ < T ÐEÑe F œ38@ÐFÑœ38@ < UÐFÑ.
Consideremos ainda uns pontos auxiliares: Na recta do plano ! que passa por
w
U e é perpendicular a < , definimos dois pontos \ e \ , respectivamente em
! e em ! ,
pela condição de se ter
w w
lU\l œ lU\ l œ lT El œ lT E l,
w
tendo-se então \ œ 38@UÐ\Ñ. Notamos ainda Q o ponto médio do par
ÐT ß UÑ e lembramos que, tendo em conta o lema 4.46,
Q é também o ponto
w w
médio dos pares ÐEß \ Ñ e ÐE ß \Ñ.
Começamos por reparar que, uma vez que 38@U é uma isometria, tem-se
w w
lF\ l œ lF \l. Por outro lado, uma vez que as restrições de 38@<
a ! e a "
w w
são isometrias, pelo lema 5.15, tem-se também lQF l œ lQFl e lQ\ l œ
lQ\l. Pelo teorema LLL (cf. 4.34),
concluímos que os triângulos
w w
ÐQßFß\Ñ e ÐQßF\Ñsão
congruentes, e portanto
Û Û w Û w Û
. ÐÖQFßQ\ ×Ñœ . ÐÖQF ßQ\×Ñ.
Û Û w Û Û
Uma vez que os ângulos ÖQFßQ\ × e ÖQFßQE× são adjacentes, e o
Û w Û Û w Û w
mesmo acontece aos ângulos ÖQF ßQ\× e ÖQF ßQE × , deduzimos
agora de 3.19 que se tem também
Û Û Û w Û w
. ÐÖQFßQE×Ñœ . ÐÖQF ßQE ×Ñ.
Uma vez que as restrições de 38@< a ! e a "
são isometrias, tem-se
– 72–

w w
lQF l œ lQFl e lQE l œ lQEle
daqui deduzimos, pelo axioma 4.13,
que
w w
os triângulos ÐQßEßFÑ e ÐQßEßFÑ são congruentes, e portanto, vem
w w l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ lE F l œ lEFl,
como queríamos.
Como aplicação do resultado precedente vamos examinar a noção de
perpendicularidade entre uma recta e um plano.
5.17 Sejam < uma recta e ! um plano e suponhamos que < e ! são concorrentes,
com

5.20 (Condição suficiente de perpendicularidade) Sejam ! um plano, T−!
e
=ß>§ ! duas rectas com =>œÖT× . Se < é uma recta, com T −< ,
simultaneamente perpendicular a = e a > , então < é perpendicular a ! .
Dem: Comecemos por reparar que não pode ser § ! .
< T
Por outro lado, 38@< ÐTÑœT −! . Uma vez que TßEßF não são colineares
e que 38@< é uma isometria involutiva, resulta de 5.4 que 38@< ÐT Ñß 38@< ÐEÑß
38@< ÐFÑ também são não colineares. Tendo em conta 5.6,
sabemos que
38@< Ð! Ñ é um plano pelo que, por conter três pontos não colineares de ! ,
tem-se 38@< Ð! Ñ œ ! . Pelo lema 5.18, < e ! são perpendiculares.
5.21 (Existência e unicidade do plano perpendicular num ponto duma recta)
Sejam < uma recta e T − < . Existe então um, e um só, plano ! tal que T−! e < e ! sejam perpendiculares.
Dem: A unicidade resulta de 5.19 , uma vez que ! não pode deixar de ser a
união da rectas perpendiculares a < que pasam por T.
Para provar a existência, comecemos por mostrar que se podem considerar
dois planos " e # , com " # œ < . Para isso tomamos um ponto F  < ,
definimos " como sendo o único plano que contém < e F,
consideramos um
ponto GÂ" (cf. a alínea e) de 1.6)
e definimos # como sendo o único plano
que contém < e G; uma vez que " Á # e que < § " #
, tem-se
efectivamente " # œ < (cf. as alíneas a) e d) de 1.7).
Sejam agora =§ " a recta perpendicular a < com T −= e >§ # a recta
perpendicular a < com T − > . Uma vez que =< œ ÖT× e >< œ ÖT× , vem
=>œÖT× pelo que podemos considerar o plano ! que contém = e > . Vem
T− ! e, tendo em conta 5.20, < e ! são perpendiculares.
5.22 (Existência e unicidade da recta perpendicular num ponto dum plano)
Sejam ! um plano e T− ! . Existe então uma, e uma só, recta < tal que
T−< e < e ! sejam perpendiculares.
Dem: Comecemos por provar a unicidade para o que, supomos que existiam
rectas distintas

uma recta que contenha T e algum ponto de ! não pertencente a ? ). Sejam #
e $ os planos que contêm o ponto T e são perpendiculares a ? e a @,
respectivamente (cf. 5.21 ). Tem-se # Á $ , tendo em conta a unicidade de
uma recta perpendicular a um plano passando por um dos seus pontos, que
demonstrámos no início, e, uma vez que T−# $ , concluímos que # $
é
uma recta < , que contém o ponto T (cf. a alínea d) de 1.7).
Uma vez que ? é
perpendicular a todas as rectas de # que passam por T , ? é perpendicular a <
e, uma vez que @ é perpendicular a todas as rectas de $ que passam por T, @ é
perpendicular a < . Concluímos agora de 5.20 que < é perpendicular a ! .
5.23 (Perpendicular a um plano por um ponto exterior) Sejam ! um plano e
\Â! . Existe então um, e um só, ponto E− ! tal que a recta \Eseja
perpendicular ao plano ! (dizemos que E é o pé da perpendicular de \ para
!).
Dem: 1) Comecemos por provar a unicidade, para o que supomos a
w w
existência de dois pontos EÁE em ! tais que as rectas \E e \E sejam
ambas perpendiculares a ! . Tem-se então que, sendo § ! , com F−> , tal que = e > sejam
perpendiculares.
Para isso, consideramos o plano " perpendicular a = tal que F − " (cf. 5.21),
atendemos a que " Á ! (porque = não é perpendicular a ! ) e a que
F−! " , pelo que ! " é uma recta > (cf. a alínea d) de 1.7),
que contém
F e está contida em ! e que é perpendicular a = , por estar contida em " que é
um plano perpendicular a =
.
– 75–

4) Seja ?§ ! a recta perpendicular a > tal que F−? (cf. 4.26)
e reparemos
que =œ\F não é perpendicular a ? , senão = , sendo perpendicular às recta
distintas > e ? de ! que passam por F seria perpendicular a ! .
5) Seja # o plano que contém as rectas concorrentes = e ? e seja E o pé da
perpendicular de \ para ? (cf. 4.28),
que é diferente de F , por = não ser
perpendicular a ? . Vamos verificar nas próximas alíneas que E é o ponto
procurado, isto é, que a recta @œ\Eque,
por construção, é perpendicular à
recta ? , é mesmo perpendicular ao plano !
6) Note-se que a recta @ está contida no plano # , por conter os pontos \ e E
de # . Seja @ a semirrecta de @ de origem E tal que \ − @. Seja A § # a
recta que contém F e é perpendicular a ? (cf. 4.26) e seja Aa
semirrecta de
A de origem F que está contida no mesmo semiplano # de # , com bordo ? ,
que a semirrecta @ . Fixemos um dos semiplanos ! de ! , de bordo ? , e seja
> a semirrecta de > de origem F que está contida em ! .
Reparemos que a
recta > é perpendicular ao plano # , por ser perpendicular às rectas
concorrentes = e ? de # (cf. 5.20)
e que portanto > é também perpendicular à
recta A de # . Seja D § ! a recta que passa por E e é perpendicular a ? e seja
D a semirrecta de D de origem E que está contida em ! .
Tendo em conta
4.47, vemos que
. ÐÖDß@ ×Ñœ. ÐÖ> ßA ×Ñ œ " ,
– 76–

e portanto a recta @ , que já sabíamos ser perpendicular a ? , é também
perpendicular a D. Tendo em conta 5.20 , @ é perpendicular ao plano ! , como
queríamos.
5.24 (A inversão relativamente a um plano) Seja ! § X um plano fixado.
Definimos então uma aplicação 38@! À X Ä X,
a que daremos o nome de
inversão relativamente a ! , do seguinte modo: Para cada T−!
,
38@! ÐT Ñ œ T ; Para cada \  ! , consideramos o pé da perpendicular E de
\ sobre ! (cf. 523) e definimos 38@ Ð\Ñ œ 38@ Ð\Ñ (cf. 5.12).
Þ ! E
5.25 ( 38@! é isometria) Nas condições
anteriores, a aplicação 38@! À X Ä X é
uma isometria involutiva, isto é, verifica 38@! Ð38@! Ð\ÑÑ œ \ , para cada
\−X,
Dem: Comecemos por reparar que o facto de se ter 38@< Ð38@< Ð\ÑÑ œ \ ,
para cada \− X resulta de que, afastando já o caso trivial em que \−!
,
sendo E o pé da perpendicular de \ para ! , E é também o pé da
perpendicular de 38@E Ð\Ñ para ! , bastando portanto ter em conta o facto de
a simetria relativamente a E ser uma involução. Resta-nos mostrar que,
quaisquer que sejam \ß ] − X , tem-se l38@! Ð\Ñ 38@! Ð] Ñl œ l\] l,
podendo
já afastar-se o caso trivial em que \œ] . Dois casos são possíveis:
1) A recta =œ\] é perpendicular a ! , com =! œÖE× . Nesse caso
tem-se 38@! Ð\Ñ œ 38@EÐ\Ñ e 38@! Ð] Ñ œ 38@EÐ] Ñ,
pelo que a igualdade
l38@! Ð\Ñ 38@! Ð] Ñl œ l\] l resulta de 38@EÀ X Ä X ser uma isometria (cf.
5.13).
2) A recta =œ\] não é perpendicular a ! . Nesse caso seja E o pé da
perpendicular de \ para ! , se \  ! , e E œ \ , se \ − ! , e, do mesmo
modo, seja F o pé da perpendicular de ] para ! , se ]  ! , e F œ ] , se
]− !, e consideremos a recta >œEF(reparemos que EÁF).
No caso em
que \Â ! a recta \E,
sendo perpendicular a ! , é também perpendicular a
>œEF, pelo que E é também o pé da perpendiicular de \ para > , donde
38@! Ð\Ñ œ 38@E Ð\Ñ œ 38@> Ð\Ñ e esta igualdade vale ainda trivialmente no
caso em que \−! . Do mesmo modo se vê que 38@! Ð]Ñœ38@Ð]Ñ > . A
igualdade l38@! Ð\Ñ 38@! Ð] Ñl œ l\] l é assim uma consequência de
38@> À X Ä X ser uma isometria (cf. 5.16).
6. Quadriláteros e Paralelogramos
6.1 Vamos chamar quadrilátero a uma quadra ordenada ÐEßFßGßHÑde
pontos
constituindo um conjunto complanar e tal que nenhum dos conjuntos
ÖEßFßG× , ÖFßGßH× , ÖGßHßE× e ÖHßEßF× seja colinear. As condições
anteriores implicam que os quatro pontos Eß Fß Gß H são todos distintos e
que existe um único plano ! contendo aqueles quatro pontos, a que daremos
o nome de plano do quadrilátero.
Chamamos vértices do quadrilátero aos
quatro pontos EßFß Gß H, lados
deste aos pares ÐEßFÑßÐFß GÑß ÐGß HÑß
– 77–

ÐHßEÑou aos segmentos de recta ÒEßFÓ, ÒFßGÓ, ÒGßHÓe ÒHßEÓe
ângulos
deste aos ângulos
w Û Û w Û Û
HEF œ ÖEHß EF× , EFG œ ÖFEß FG× ,
w Û Û w Û Û
FGH œ ÖGFß GH× , GHE œ ÖHGßHE× ,
w w w w
que serão notados simplesmente E , F , G e H quando o quadrilátero
estiver implícito (comparar com 4.1).
D
A
C
B
C
A
6.2 Diz-se que um quadrilátero ÐEßFßGßHÑ , com plano !, é convexo se, para
cada lado, os vértices que o definem pertencem ao mesmo semiplano de !
cujo bordo é a recta definida pelos restantes dois vértices, por outras
palavras, se se verificam as quatro condições seguintes:
1) G e H estão no mesmo semiplano de ! de bordo EF.
2) H e E estão no mesmo semiplano de ! de bordo FG.
3) E e F estão no mesmo semiplano de ! de bordo GH.
4) F e G estão no mesmo semiplano de ! de bordo HE.
6.3 Como consequência imediata da definição precedente, vemos que, apesar de
se tratar de quadriláteros distintos, se ÐEßFßGßHÑ é um quadrilátero, o
mesmo acontece aos, obtidos por permuta ção circular, ÐFßGßHßEÑ,
ÐGßHßEßFÑe ÐHßEßFßGÑe,
se um destes quatro quadriláteros é convexo,
o mesmo aconte aos outros três (os lados são os mesmos).
Do mesmo modo, se ÐEßFßGßHÑé
um quadrilátero, também o é o, obtido
por inversão da ordem, ÐHßGßFßEÑe
o primeiro é convexo se, e só se, o
segundo o é (os lados são os mesmos, com a ordem dos vértices invertida). 13
Repare-se que, no caso das três figuras acima, temos três quadriláteros,
dos quais só o primeiro é convexo. O segundo transforma-se num
quadrilátero convexo por reordenação dos vértices, por exemplo no
quadrilátero ÐEßFßHßGÑ,
mas o mesmo já não se consegue fazer com o
terceiro.
O resultado seguinte dá uma caracterização mais simples dos
quadriláteros convexos, que mostra que podemos tomar para os três pri-
13No entanto, se ÐEßFßGßHÑ é um quadrilátero, apesar de o mesmo acontecer, por
exemplo, a ÐEßGßFßHÑjá
não é verdade que a convexidade de um tenha alguma coisa a
ver com a convexidade do outro, uma vez que os lados são distintos.
– 78–
D
B
D
A
C
B

meiros vértices pontos arbitrários não colineares e caracterizar a convexidade
por uma condição envolvendo apenas o quarto vértice.
6.4 (Caracterização pelo quarto vértice) Sejam Eß Fß G pontos não colineares
e ! o plano que os contém. Dado H −! , tem-se que ÐEßFßGßHÑ é um
quadrilátero convexo se, e só se, se verificam as condições seguintes:
Û Û
Û
a) H−nÖFEßFG× e H não pertence a nenhuma das semirrectas FEe
FG Û .
b) HÂEGe Hpertence ao semiplano de ! de bordo EGoposto
àquele que
contém F.
B
A
– 79–
zona D
Dem: 1) Comecemos por supor que ÐEßFßGßHÑé
um quadrilátero convexo.
D
A
O facto de H estar no mesmo semiplano de ! de bordo EF que G e de estar
no mesmo semiplano de ! de bordo FG que E diz-nos que
Û Û
H−nÖFEßFG× e o facto de Hnão
pertencer a nenhuma das semirrectas
Û Û
FE e FG resulta de que EFH e FGH são não colineares, por termos um
quadrilátero. O facto de se ter HÂEG resulta de GßHßEserem
não
colineares, mais uma vez por termos um quadrilátero. O facto de E estar no
mesmo semiplano de ! de bordo GH que F e estar no mesmo semiplano de
Û Û
! de bordo FG que H implica que E − nÖGFß GH× e, como anteriormente,
pelo facto de termos um quadrilátero, E não pertence às semirrectas GF e
Û
GH Û . Aplicando a alínea a) do teorema da barra cruzada 3.9,
concluímos que
H pertence ao semiplano de ! de bordo EG oposto àquele que contém F.
2) Suponhamos, reciprocamente, que as condições a) e b) do enunciado são
verificadas. Elas implicam, em particular que H
não pertence a nenhuma das
C
C
B

ectas FG e FE (cf. 3.4)
pelo que, uma vez que, por hipótese, H e F não
pertencem à recta EG, concluímos que ÐEßFßGßHÑ é um quadrilátero. O
Û Û
facto de H pertencer a nÖFEßFG× mostra que H e E estão no mesmo
semiplano de ! de bordo FG e que H e G estão no mesmo semiplano de !
de bordo FE.
D
A
Û
Notemos = a semirrecta de origem G oposta à semirrecta GF. O facto de H
estar no mesmo semiplano de ! de bordo FG que E e estar no semiplano de
! de bordo EG oposto ao que contém F,
e portanto no mesmo que contém
Û
= , implica que H − nÖGEß= ×
. Tendo em conta a alínea d) de 3.9,
Û Û Û
deduzimos que GE § nÖGHßGF× , em particular E e F estão no mesmo
semiplano de ! de bordo GH.
Aplicando a conclusão a que acabamos de
chegar ao quadrilátero ÐGßFßEßHÑ,
que também verifica as condições a) e
b) no enunciado, vemos que F e G estão no mesmo semiplano de ! de bordo
EH. Terminámos assim a prova de que o quadrilátero ÐEßFßGßHÑ é
convexo.
6.5 (Nota) Embora não tenhamos de momento intenção
de o utilizar, a prova
anterior mostra-nos que, para termos a certeza que um quadrilátero
ÐEßFßGßHÑ é convexo, basta verificar as condições 1), 2) e 3) na definição
6.2, a condição 4) sendo portanto uma consequência daquelas três. Com
efeito, apenas utilizámos as condições 1), 2) e 3) para estabelecer as
propriedades a) e b) na parte 1) da demonstração e, na parte 2) desta,
verificámos que as condições a) e b) implicam as alíneas 1), 2), 3) e 4) da
definição.
Pelo contrário, é claro do exemplo na figura seguinte que as condições 1) e
2) não são suficientes para implicar que um quadrilátero é convexo.
A
B
D
– 80–
s -
C
C
B

6.6 Dado um quadrilátero ÐEßFßGßHÑ, chamamos diagonais aos segmentos de
recta ÒEß GÓ e ÒFß HÓ.
Repare-se que, como se constata imediatamente, um quadrilátero
ÐEßFßGßHÑ tem as mesmas diagonais que os quadriláteros ÐFßGßHßEÑ,
ÐGßHßEßFÑe ÐHßEßFßGÑ,
tal como tem as mesmas diagonais
6.7 (Caracterização da convexidade pelas diagonais) Um quadrilátero
ÐEßFßGßHÑ, contido no plano ! , é convexo se, e só se, as suas diagonais
ÒEß FÓ e ÒGß HÓ são concorrentes (cf. 1.2).
Dem: 1) Comecemos por supor que o quadrilátero ÐEßFßGßHÑé
convexo.
Tendo em conta a alínea b) de 6.4, Os pontos F e H estão em semiplanos
opostos de ! de bordo EG, o que implica que o segmento ÒFß HÓ e a recta
EG têm um ponto \ em comum. Aplicando esta conclusão ao quadrilátero
convexo ÐFßGßHßEÑ, concluímos que o segmento ÒEßGÓe a recta FHtêm
um ponto ] em comum. Uma vez que, por termos um quadrilátero, as rectas
EG e FH são distintas, e portanto não podem ter mais que um ponto em
comum, concluímos que \œ] é o único ponto comum às diagonais ÒEßFÓ
e ÒGß HÓ,
e portanto que estas são concorrentes.
2) Suponhamos, reciprocamente, que as diagonais ÒEß FÓ e ÒGß HÓ são concorrentes
num ponto \ .
D
A
Û Û
Atendendo a que o sector angular nÖFEß FG× é convexo e cónico
relativamente a F (cf. 3.4)
concluímos sucessivamente que o ponto \ , que
Û Û
pertence ao segmento ÒEß GÓ, pertence a nÖFEß FG× e que o ponto H,
que
Û
pertence à semirrecta F\ , por \ pertencer a ÒFß HÓ,
pertence também a
Û Û
nÖFEß FG× . O facto de o ponto H não pertencer a nenhuma das semirrectas
Û Û
FE e FG resulta de termos um quadrilátero. Este último facto implica
também que H não pertence à recta EG e o facto de F e H estarem em
semiplanos opostos de ! de bordo EG resulta de \ ser um ponto de EG no
segmento ÒFß HÓ. Podemos agora deduzir de 6.4 que ÐEß Fß Gß HÑ é um
quadrilátero convexo.
6.8 Seja ÐEßFßGßHÑ um quadrilátero convexo contido no plano ! . Tem-se
então que existe um, e um só, conjunto convexo V que contenha os quatro
pontos Eß Fß Gß H e que esteja contido em qualquer conjunto convexo que
contenha esses pontos. Esse conjunto convexo, que chamaremos de segmento
quadrangular associado a ÐEßFßGßHÑ e que será notado ÒEßFßGßHÓ
– 81–
X
C
B

(comparar com 4.2 e lembrar 4.4 e 4.7), admite as duas caracterizações
seguintes:
D
A
a) ÒEßFßGßHÓœÒEßFßGÓÒEßHßGÓ, onde ÒEßFßGÓÒEßHßGÓœ
ÒEß GÓ.
Û Û Û Û
b) ÒEßFßGßHÓœnÖFEßFG×nÖHEßHG× .
Dem: 1) Comecemos por mostrar que ÒEßFßGÓÒEßHßGÓœÒEßGÓ.
Em
primeiro lugar, tendo em conta a convexidade dos segmentos triangulares,
tem-se ÒEßGÓ§ÒEßFßGÓ e ÒEßGÓ§ÒEßHßGÓ, portanto ÒEßGÓ§
ÒEßFßGÓÒEßHßGÓ. Por outro lado, lembrando a caracterização dos
segmentos triangulares em 4.2 , vemos que, se \ −ÒEßFßGÓÒEßHßGÓ,
então \ pertence simultaneamente aos semiplanos de ! de bordo EG que
contêm respectivamente F e H,
semiplanos esses que são opostos, pela
Û Û
condição b) em 6.4 , pelo que \ − EG , e portanto \ − EG nÖFEß FG× ,
isto é \−ÒEßGÓ, pela alínea a) de 3.5.
2) Vamos agora verificar que
Û Û Û Û
ÒEßFßGÓÒEßHßGÓœnÖFEßFG×nÖHEßHG× .
Û Û
Tem-se que EßFß G − nÖFEßFG× e, tendo em conta a alínea a) de 6.4,
Û Û Û Û
também H − nÖFEß FG× . Tendo em conta o facto de nÖFEß FG× ser
convexo, deduzimos de 4.7 que
Û Û Û Û
ÒEßFßGÓ§nÖFEßFG× , ÒEßHßGÓ§nÖFEßFG× ,
e portanto
– 82–
B
C
Û Û
ÒEßFßGÓÒEßHßGÓ§nÖFEßFG× ;
Aplicando a mesma conclusão ao quadrilátero convexo ÐGßHßEßFÑ,
concluímos que se tem também
Û Û
ÒEßFßGÓÒEßHßGÓ§nÖHEßHG× ,
donde concluímos que

Û Û Û Û
ÒEßFßGÓÒEßHßGÓ§nÖFEßFG×nÖHEßHG× .
Û Û Û Û
Suponhamos, reciprocamente, que \ −nÖFEßFG×nÖHEßHG× . Tendo
em conta o facto de os semiplanos de ! de bordo EG que contêm F e H
serem opostos, \ pertence a um desses semiplanos. No caso de \ pertencer
Û Û
ao semiplano que contém F , o facto de ser \ − nÖFEßFG× implica que
\ −ÒEßFßGÓ e no caso de \ pertencer ao semiplano que contém H,
o facto
Û Û
de ser \ −nÖHEßHG× implica que \ −ÒEßHßGÓ,
em qualquer dos casos
vem \ −ÒEßFßGÓÒEßHßGÓ.
3) Tendo em conta o que vimos em 2), podemos definir
Û Û Û Û
ÒEßFßGßHÓœÒEßFßGÓÒEßHßGÓœnÖFEßFG×nÖHEßHG× .
A segunda caracterização mostra que se trata de um conjunto convexo, por
ser a intersecção de dois conjuntos convexos, e a primeira caracterização
mostra que se tem EßFßGßH −ÒEßFßGßHÓ.
Por outro lado, qualquer
conjunto convexo, que contenha Eß Fß Gß H, contém também, por 4.7,
ÒEßFßGÓ e ÒEßHßGÓ e portanto contém ÒEßFßGßHÓ,
tendo em conta a
primeira caracterização. A unicidade de um conjunto nas condições do
enunciado é uma consequência de que, a existirem dois, cada um deles teria
que estar contido no outro, e portanto teriam que ser iguais.
6.9 (Paralelogramos sem paralelas) Vamos chamar paralelogramo a um
quadrilátero convexo ÐEßFßGßHÑtal que lEFlœlGHle lFGlœlHEl(os
lados opostos são conguentes).
D
A B
6.10 Seja ÐEßFßGßHÑum
paralelogramo. Tem-se então:
w w w w
a) . ÐE Ñ œ . ÐG Ñ e . ÐF Ñ œ . ÐH Ñ (os ângulos opostos são congruentes);
b) Tem-se ÒEßGÓÒFßHÓœÖ\× , onde \ é o ponto médio tanto de ÐEßGÑ
como de ÐFß HÑ (as diagonais bissectam-se).
Dem: Considerando a diagonal ÒEß GÓ,
D
A B
– 83–
C
C

podemos aplicar o teorema LLL (cf. 4.34)
para garantir que os triângulos
w w
ÐEß Fß GÑ e ÐGß Hß EÑ são congruentes, e portanto que . ÐF Ñ œ . ÐH Ñ,
Û Û Û Û Û Û Û Û
. ÐÖEGß EH×Ñ œ . ÐÖGEß GF×Ñ, . ÐÖEFß EG×Ñ œ . ÐÖGHß GE×ÑÞ
Aplicando o que acabamos de concluir ao paralelogramo ÐFßGßHßEÑ,
w w
vemos que, considerando também a diagonal ÒFß HÓ, tem-se . ÐE Ñ œ . ÐG Ñ,
Û Û Û Û Û Û Û Û
. ÐÖFHß FE×Ñ œ . ÐÖHFß HG×Ñ, . ÐÖFGß FH×Ñ œ . ÐÖHEß HF×ÑÞ
Lembremos que, tendo em conta 6.7, tem-se ÒEß GÓ ÒFß HÓ œ Ö\× , onde \
não pertence a nenhuma das rectas EH e FG,
por termos um quadrilátero.
D
X
A B
O facto de se ter lEHl œ lGFl,
Û Û Û Û Û Û Û Û
. ÐÖEHß E\×Ñ œ . ÐÖEHß EG×Ñ œ . ÐÖGFß GE×Ñ œ . ÐÖGFß G\×Ñ,
Û Û Û Û Û Û Û Û
. ÐÖHEßH\×Ñœ. ÐÖHEßHF×Ñœ. ÐÖFGßFH×Ñœ. ÐÖFGßF\×Ñ,
implica, pelo teorema ALA (cf. 4.15), que os triângulos ÐEßHß\Ñ e
ÐGßFß\Ñsão congruentes, e portanto que lH\lœlF\le lE\lœlG\l,
o
que mostra que \ é o ponto médio tanto de ÐEßGÑ como de ÐFßHÑ.
6.11 (Existência e construção de paralelogramos) Sejam < e = rectas
concorrentes, com

obtidos por permuta ção circular, ÐFßGßHßEÑ, ÐGßHßEßFÑe ÐHßEßFßGÑ,
assim como ao obtido por inversão da ordem ÐHßGßFßEÑ.
7. Paralelismo e o axioma das paralelas
7.1 Diz-se que duas rectas . Sejam œ ÖF× e
notemos < e = as semirrectas de < e de = , com origens E e F,
que estão
contidas em ! e < e = as semirrectas opostas. Suponhamos que
Û Û
. ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñœ
# ou, o que é equivalente, que se tem
Û Û
. ( ÖEFß < × ) œ . ÐÖFEß = ×ÑÞ
Tem-se então que as rectas < e = são
estritamente paralelas. 14
B
A
t
Û Û
Dem: Comecemos por reparar que . ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñœ
# é equi-
Û Û Û
valente a . ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñœ # e a . ( ÖEFß < ×
) œ
. Û
ÐÖFEß = ×Ñ,
uma vez que, por termos ângulos adjacentes, tem-se
Û Û Û Û
. ( ÖEFß < × ) œ # . ( ÖEFß < × ) e . ÐÖFEß = ×Ñœ # . ÐÖFEß = ×Ñ.
Suponhamos que < e = não eram paralelas, e portanto, por serem rectas
distintas e complanares, que pelo que, ou G −!,
ou G pertence ao semiplano oposto !.
Considerando o triângulo ÐEßFßGÑ
tem-se então, no primeiro caso,
w w Û Û
. ÐE Ñ . ÐF Ñ œ . ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñ œ #
– 85–
a +
r+
s+
14 Û Û
Os ângulos ÖEFß < × e ÖFEß = × são chamados usualmente de
Û Û
lado da secante e os ângulos ÖEFß < × e ÖFEß = × são ditos alternos internos.
internos do mesmo

e, no segundo caso,
w w Û Û
. ÐE Ñ . ÐF Ñ œ . ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñ œ #
– 86–
pelo que, em ambos os casos, chegamos a um absurdo, tendo em conta o
corolário 4.20.
7.3 (Corolário — Duas rectas perpendiculares a uma terceira) Sejam ! § X
um plano, >§ ! uma recta e EßF−> . Sejam œÖF× , ambas perpendiculares a > . Tem-se então que as
rectas < e = ão paralelas.
Dem: Se EÁF,
trata-se de um caso particular do resultado precedente, se
recordarmos que a perpendicularidade de duas rectas concorrentes é
equivalente ao facto de a medida do ângulo de duas semirrectas ser " e que,
esse facto não se altera quando se substitui alguma, ou ambas as semirrectas
pelas suas opostas. Se EœF temos o resultado sobre a uniciade de uma
perpendicular a uma recta passando por um ponto dado e contida num dado
plano (cf. 4.26).
7.4 (Existência de paralela) Sejam < uma recta e F Â < . Existe então uma recta
= estritamente paralela a < tal que F − = .
Dem: Seja ! o plano que contém < e F. Seja E o pé da perpendicular de F
para < (cf. 4.28 ). Sendo > § ! a recta EF,
podemos considerar uma recta
=§ ! com F−= e = perpendicular a > (cf. 5.22). Tendo em conta 7.3,
< e =
são estritamente paralelas.
7.5 (Porquê “paralelogramo”) Seja ÐEßFßGßHÑ um paralelogramo. Tem-se
então que as rectas EF e GH são paralelas e as rectas HE e FG são
paralelas (os lados opostos são paralelos).
Dem: Seja ! o plano que contém os vértices do paralelogramo e consideremos
a recta EG, lembrando que, pela alínea b) de 6Þ4, F e H estão em
semiplanos opostos de ! de bordo EG.
D
A B
Tendo em conta o teorema LLL (cf. 4.34), os triângulos ÐEßFßGÑ e
Û Û
ÐGßHßEÑ são congruentes, donde, em particular, . ÐÖEGßEF×Ñœ
. Û Û
ÐÖGEß GH×Ñ. Podemos agora aplicar 7.2 para garantir que as rectas EF e
GH são paralelas e, aplicando esta conclusão ao paralelogramo
ÐFßGßHßEÑ, vemos que as rectas FGe HEtambém
são paralelas.
C

7.6 (Paralelismo de recta com plano) Diz-se que uma recta < e um plano ! são
estritamente paralelos se e < . Uma vez que
U−! " e que ! Á " , porque >§ Î ! , segue-se que existe uma recta = tal
que ! " œ = . Tem-se U − = § ! pelo que, por > ser perpendicular a ! , > é
perpendicular a = . As rectas < e = são duas rectas do plano " , ambas
perpendiculares a > pelo que, por 7.3, < e = são paralelas o que, por 7.7,
implica que a recta < é paralela ao plano ! .
7.9 (Duas rectas perpendiculares a um plano) Sejam ! um plano e

indiferente quais os semiplanos considerados). Sendo = a recta de
w "
w w
perpendicular a TU e tal que U −= , tem-se, por 4.47,
que = também é
perpendicular a @ , e portanto ao plano ! (cf. 5.20)
donde, pela unicidade da
perpendicular a um plano passando por um ponto deste (cf. 5.22),
vem
w = œ = , e portanto a recta = também está contida no plano " , que contém < .
Uma vez que < e = são ambas perpendiculares à recta TU de " , deduzimos
de 7.3 que as rectas < e = são paralelas.
Vamos agora introduzir um último axioma, aquele que distingue a Geometria
Euclidiana da não Euclidiana.
7.10 (Axioma das paralelas) Dada uma recta < e um ponto F Â < , não existe
mais do que uma recta = paralela a < , tal que F − = . 15
7.11 (Transitividade do paralelismo) A relação
de paralelismo entre rectas é
uma relação de equivalência.
Dem: A relação é trivialmente reflexiva e simétrica. Seja então < uma recta,
simultaneamente paralela às rectas = e > , e provemos que = e > são paralelas,
para o que podemos já supor que =Á> . Seja E−= , com EÂ> e seja ! o
único plano que contém E e > . Tendo em conta 7.7,
a recta < é paralela ao
w w w
plano ! e, pelo mesmo resultado, existe uma recta = § ! com E − = e =
w
paralela a < . Tendo em conta o axioma das paralelas 7.10,
tem-se = œ = ,
portanto =§ ! . As rectas = e > são assim complanares pelo que, para
verificarmos que são efectivamente paralelas, basta verificar que =>œg.
Ora, se isso não acontecesse, existia F−=> , e éramos conduzidos a um
absurdo pela unicidade da paralela a < que passa por F garantida pelo
axioma das paralelas 7.10.
7.12 (Transitividade recta, recta, plano) Se a recta = é paralela ao plano ! e a
recta < é paralela a = , então a recta < é também paralela ao plano ! . 16
Dem: Tendo em conta 7.7 , existe uma recta >§ ! tal que = seja paralela a > e
então < também é paralela a > , o que, pelo mesmo resultado, implica que < é
paralela a ! .
7.13 (Recíproco de 7.2 ) Sejam uma recta tal que >< œ ÖE× e >= œ
ÖF× , para a qual se tem assim > § ! . Seja ! um dos semiplanos de ! de
bordo > e notemos < e = as semirectas de < e de = , de origens E e F,
que
< =
estão contidas em e e as semirrectas opostas. Tem-se então
!
15É claro que, se F−< , tembém existe uma única paralela = a < tal que F−= ,
nomeadamente =œ< .
16É claro que, se duas rectas < e = são ambas paralelas a um plano ! , < e = não têm que
ser paralelas.
– 88–

Û Û
. ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñ œ #
(os ângulos internos do mesmo lado da secante são suplementares) e
Û Û
. ( ÖEFß < × ) œ . ÐÖFEß = ×Ñ
(os ângulos alternos internos são iguais).
B
A
t
Dem: Tendo em conta o axioma a) em 3.17,
podemos considerar uma semir-
w recta = § ! de origem F tal que
– 89–
a +
r+
s+
Û Û w
. ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñ œ #
w w w
e, sendo = § ! a recta que contém = ,
resulta de 7.2 que as rectas < e = são
w w
paralelas. Pelo axioma das paralelas, tem-se =œ= , e portanto = œ= ,
de
onde resulta que se tem efectivamente
Û Û
. ( ÖEFß < × ) . ÐÖFEß = ×Ñ œ # .
Û Û
Se repararmos que ÖFEß = × e ÖFEß = ×
são ângulos adjacentes, e portanto
Û Û
que . ÐÖFEß = ×Ñ œ # . ÐÖFEß = ×Ñ,
a igualdade anterior implica que se
Û Û
tem também . ( ÖEFß < × ) œ . ÐÖFEß = ×Ñ.
7.14 (Corolário — recta paralela a uma recta perpendicular a uma recta)
Sejam < uma recta perpendicular à recta > e = uma recta paralela a < e
concorrente com > . Tem-se então que = é perpendicular a > .
Dem: Se

ecta paralela a < passando por T , pelo que = œ = , e portanto = é
perpendicular ao plano ! .
7.16 (Recta paralela a um plano perpendicular a uma recta) Sejam ! um
plano perpendicular a uma recta < e = uma recta paralela ao plano ! e
concorrente com < . Tem-se então a resta = é perpendicular à recta < .
Dem: Sendo ! paralela a = , tal
que T−>§ ! (cf. 7.7).
Como < é perpendicular a ! , vem < perpendicular a
> e portanto, como = é paralela a > e concorrente com < , resulta de 7.14 que =
é perpendicular a < .
7.17 (Teorema do ângulo externo e soma dos ângulos internos) Seja
ÐEßFßGÑ um triângulo. Tem-se então que a amplitude dos ângulos externos
w w
de vértice G (cf. 4.18 ) é igual a . ÐE Ñ . ÐF Ñ (a soma das amplitudes dos
ângulos internos não adjacentes). 17 Em consequência, tem-se também
w w w
. ÐE Ñ . ÐF Ñ . ÐG Ñ œ #. 18
A
B
b+
Dem: Tendo em conta a igualdade da amplitude dos dois ângulos externos de
vértice G, podemos considerar aquele que é determinado pela semirrecta GF
Û
Û
e pela semirrecta , oposta à semirrecta , œ GE.
Consideremos o
semiplano ! de bordo ,œEGque contém o ponto Fe,
tendo em conta o
axioma a) em 3.17 , consideremos a semirrecta = de origem G contida em
! . . w
tal que ÐÖ, ß = ×ÑœÐE
Ñ. Uma vez que, tendo em conta 4.19,
w Û Û
. ÐÖ, ß= ×Ñ œ . ÐE Ñ . ÐÖ, ßGF×Ñ , resulta de 3.18 que = § nÖ, ßGF×
e portanto, pelo axioma b) em 3.17,
Û Û
(#)
. ÐÖ, ß GF×Ñ œ . ÐÖ, ß = ×Ñ . ÐÖ= ß GF×Ñ
– 90–
C
s+
w
b-
.
Uma vez que os ângulos Ö, ß = × e Ö, ß = ×
são adjacentes, vem
17Comparar com 4.19 e 4.24.
18A soma dos ângulos internos dum triângulo é # , comparar com 4.22.

Û Û Û
. ÐÖGEß = ×Ñ œ . ÐÖ, ß = ×Ñ œ # . ÐÖ, ß = ×Ñ œ # . ÐÖEGß EF×Ñ
pelo que, por 7.2, a recta EF é paralela à recta = que contém =.
Como o
Û
ponto E, e portanto a semirrecta FE está no semiplano de ! de bordo FG
Û
oposto àquele que contém = (porque = § nÖ, ßGF×
), deduzimos de 7.13
Û Û Û w
que . ÐÖ= ß
GF×Ñ œ . ÐÖFEß FG×Ñ œ . ÐF Ñ.
Substituindo na fórmula (#)
Û w w
acima, obtemos finalmente . ÐÖ, ß
GF×Ñ œ . ÐE Ñ . ÐF Ñ.
A fórmula
w w w Û
. ÐEÑ. ÐFÑ. ÐG Ñœ# resulta agora de que os ângulos Ö, ßGF×
e
Û w
Ö, ß
GF× œ G são adjacentes, e portanto verificam a igualdade
w Û
. ( G ) œ #. ÐÖ, ßGF×Ñ.
7.18 Seja ÐEßFßGßHÑum
quadrilátero convexo. Tem-se então que a soma dos
seus ângulos é igual a % :
w w w w
. ÐEÑ. ÐF Ñ. ÐG Ñ. ÐHÑœ% .
Dem: Seja ! o plano que contém o quadrilátero. O facto de F e G estarem
no mesmo semiplano de ! de bordo EH e de G e H estarem no mesmo
Û Û
semiplano de ! de bordo EF, diz-nos que H − nÖEFß EH× , tendo que H
não pertence a EF nem a EH,
por termos um quadrilátero.
A
Podemos assim deduzir do axioma b) em 3.17 que se tem
w Û Û Û Û Û Û
. ÐE Ñ œ . ÐÖEFß EH×Ñ œ . ÐÖEFß EG×Ñ . ÐÖEGß EH×Ñ.
Aplicando esta conclusão ao quadrilátero convexo ÐGßHßEßFÑ,
obtemos
w Û Û Û Û Û Û
. ÐG Ñ œ . ÐÖGHß GF×Ñ œ . ÐÖGHß GE×Ñ . ÐÖGEß GF×Ñ.
Por outro lado, aplicando 7.17 aos triângulos ÐEßFßGÑe ÐEßHßGÑ,
vemos
que
w Û Û Û Û
. ÐF Ñ . ÐÖGEß GF×Ñ . ÐÖEFß EG×Ñ œ # ,
w Û Û Û Û
. ÐH Ñ . ÐÖEGß EH×Ñ . ÐÖGHß GE×Ñ œ # .
– 91–
B
D
C

Podemos assim escrever
w w w w
. ÐEÑ. ÐF Ñ. ÐG Ñ. ÐHÑœ Û Û Û Û Û Û
œ . ÐÖEFß EG×Ñ . ÐÖEGß EH×Ñ . ÐÖGHß GE×Ñ
Û Û w w
œ . ÐÖGEßGF×Ñ. Ð F Ñ. ÐH Ñ œ
œ##œ% .
7.19 (Caracterização dos paralelogramos pelo paralelismo) Sejam
Eß Fß Gß H quatro pontos distintos tais que as rectas EF e GH sejam
estritamente paralelas e as rectas FG e HE sejam estritamente paralelas.
Tem-se então que ÐEßFßGßHÑé
um paralelogramo.
Dem: O facto de EF e GH serem estritamente paralelas implica a existência
de um plano ! contendo os quatro pontos a o facto de cada terno de pontos
ÐFßGßHÑ, ÐGßHßEÑ, ÐHßEßFÑ e ÐEßFßGÑ ser não colinear, pelo que
ÐEßFßGßHÑé um quadrilátero. Esse mesmo paralelismo implica que G e H
estão no mesmo semiplano de ! de bordo EF (se a recta GH tem
intersecção vazia com EF, o segmento ÒGß HÓ também não intersecta EF)
e
que E e F estão no mesmo semiplano de ! de bordo GH.
Do mesmo modo,
o paralelismo das rectas FG e EH implica que E e H estão no mesmo
semiplano de ! de bordo FG e que F e G estão no mesmo semiplano de !
de bordo HE. Concluímos assim que o quadrilátero ÐEßFßGßHÑé
convexo.
D
A B
O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de 6.4,
que F e H estão em semiplanos opostos de ! de bordo EG pelo que o
Û Û
paralelismo das rectas EF e GH implica, por 7.13 , que . ÐÖEGß EF×Ñ œ
. Û Û
ÐÖGEß GH×Ñ e o paralelismo das rectas FG e HE implica, pelo mesmo
Û Û Û Û
resultado, que . ÐÖEGß EH×Ñ œ . ÐÖGEß GF×Ñ.
Podemos agora aplicar o
teorema ALA (cf. 4.15) para garantir que os triângulos ÐEßFßGÑ e
ÐGßHßEÑsão congruentes e portanto que lEHlœlFGle lEFlœlGHl,
o
que mostra que o quadrilátero convexo ÐEßFßGßHÑé um paralelogramo.
7.20 (Outra caracterização dos paralelogramos) Seja ÐEßFßGßHÑ um
quadrilátero convexo tal que as rectas EF e GH sejam paralelas e que
lEFl œ lGHl. Tem-se então que ÐEßFß Gß HÑ é um paralelogramo.
Dem: O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de
6.4, que F e H estão em semiplanos opostos de ! de bordo EG pelo que o
Û Û
paralelismo das rectas EF e GH implica, por 7.13 , que . ÐÖEGß EF×Ñ œ
. Û Û
ÐÖGEß GH×Ñ.
– 92–
C

D
A B
Tendo em conta o axioma 4.13, os triângulos ÐEßFßGÑ e ÐGßHßEÑ são
congruentes e portanto tem-se também lEHl œ lFGl,
o que nos permite
concluir que o quadrilátero convexo ÐEßFßGßHÑé um paralelogramo.
7.21 (Ainda outra) Seja ÐEßFßGßHÑum
quadrilátero convexo tal que as rectas
w w
EF e GH sejam paralelas e que . ÐH Ñ œ . ÐF Ñ.
Tem-se então que
ÐEßFßGßHÑ é um paralelogramo.
D
A B
Dem: O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de
6.4, que F e H estão em semiplanos opostos de ! de bordo EG pelo que o
Û Û
paralelismo das rectas EF e GH implica, por 7.13 , que . ÐÖEGß EF×Ñ œ
. Û Û
ÐÖGEß GH×Ñ.Podemos então aplicar o teorema LAA (cf. 4.35)
para
garantir que os triângulos ÐEßFßGÑe ÐGßHßEÑsão
congruentes e portanto
tem-se lEHl œ lFGl e lEFl œ lGHl,
o que nos permite concluir que o
quadrilátero convexo ÐEßFßGßHÑé um paralelogramo.
7.22 (E mais uma) Seja ÐEßFßGßHÑ um quadrilátero convexo tal que os ânw
w w w
gulos opostos sejam congruentes, isto é, . ÐE Ñ œ . ÐG Ñ e . ÐH Ñ œ . ÐF ÑÞ
Tem-se então que ÐEßFßGßHÑé
um paralelogramo.
D
A B
w w w w
Dem: Tendo em conta 7.18 , . ÐEÑ. ÐFÑ. ÐG Ñ. ÐHÑœ% , portanto
w w w w
# . ÐEÑ# . ÐHÑœ% , ou seja, . ÐEÑ. ÐHÑœ# . Uma vez que, por
termos um quadrilátero convexo, F e G estão no mesmo semiplano do plano
do quadrilátero com bordo EH, resulta de 7.13 que as rectas EF e GH são
paralelas. Aplicando esta conclusão ao quadrilátero convexo ÐFßGßHßEÑ,
– 93–
C
C
C

que verifica as mesmas hipóteses, vemos que as rectas EH e FG também
são paralelas pelo que, por 7.19, ÐEßFßGßHÑé um paralelogramo.
Vamos terminar esta secção examinando mais uma noção de paralelismo,
agora a de paralelismo de dois planos.
7.23 Diz-se que dois planos ! e " são estritamente paralelos se ! " œ g e que
eles são paralelos se forem estritamente paralelos ou ! œ " .
7.24 Sejam ! e " dois planos paralelos. Tem-se então:
a) Se § ! , e
portanto também >" œg. Uma vez que T −=> , o axioma das paralelas
(cf. 7.10 ) garante que =œ> , donde =§! , como queríamos.
– 94–

7.25 (Corolário) Sejam ! e " planos paralelos e T−!
. Tem-se então que ! é a
união de todas as rectas = paralelas a " tais que T − = .
Dem: Tendo em conta a alínea b) de 7.24 , cada recta = paralela a " tal que
T−= está contida em ! . Se U− ! , podemos considerar um recta

paralelas a < distintas e passando por E . Sendo ! o plano que contém < e = ,
tem-se T−! e ! é paralelo a " , tendo em conta 7.26.
7.30 (Dois planos perpendiculares a uma recta) Sejam ! e " dois planos
perpendiculares a uma recta < . Tem-se então que ! e " são paralelos.
w ww w ww
Dem: Seja ! < œ ÖT× . Sejam T ßT − ! tais que TßT ßT seja não coliw
ww neares. Tem-se então que as rectas TT e TT são rectas de ! perpendicuw
ww
lares a < pelo que, tendo em conta 7.8, as rectas TT e TT são ambas
paralelas ao plano " . Pdemos agora deduzir de 7.26 que os planos ! e " são
paralelos.
7.31 (Plano paralelo a um plano perpendicular a uma recta) Sejam ! um
plano perpendicular a uma recta < e " um plano paralelo a ! . Tem-se então
que o plano " é perpendicular à recta < .
Dem: A recta < não é paralela ao plano " , senão seria também paralela ao
plano ! (cf. 7.27 ). Tem-se portanto

B
A
X Y
Dem: 1) Seja ! o plano que contém Eß Fß G . Uma vez que \ Â FG,
por ser
EF FG œ ÖF× , vemos que a única recta < , paralela a FG e contendo \ , é
estritamente paralela a FG, em particular F e G não pertencem a < . Tem-se
também EÂ< , sem o que

A
X Y
B C
Tendo em conta o lema 8.1, podemos considerar o ponto ^−ÒFßGÓtal
que
]^ seja paralela a EF, o qual é distinto de F e de G, e tem-se lF\lœ
l^] l, lF^l œ l\] l,
Û Û Û Û Û Û
. ÐÖG^ß G] ×Ñ œ . ÐÖGFß GE×Ñ œ . ÐÖ] \ß ] E×Ñ,
Û Û Û Û Û Û
. ÐÖE\ß E] ×Ñ œ . ÐÖEFß EG×Ñ œ . ÐÖ] ^ß ] G×Ñ.
O facto de se ter
#lE\l œ lEFl œ lE\l lF\l
implica que l^] l œ lF\l œ lE\l. Podemos agora aplicar o teorema 4.35
para garantir que os triângulos ÐEß\ß]Ñ e Ð]ß^ßGÑ são congruentes,
donde l] Gl œ lE] l e l^Gl œ l\] l œ lF^l.
Podemos daqui deduzir que
lEGl œ lE] l l] Gl œ #lE] l e lFGl œ lF^l l^Gl œ #l\] l,
como
queríamos.
2) Vamos agora supor o resultado verdadeiro para um certo 5 # e que se
tem lEFl œ Ð5 "ÑlE\l.
B'
X
A
Y
B C" C
Consideremos o ponto F − ÒEß FÓ para o qual se tem lEF l œ 5lE\l (cf. a
w
alínea d) de 1.19 ) e os pontos ]ßG −ÒEßGÓ definidos pela condição de \]
w w ww
e FG serem rectas paralelas a FG. Consideremos o ponto G −ÒFßGÓ
w ww
definido pela condição de a recta GG ser paralela a EF.
Tendo em conta o
– 98–
C'
w w

w ww w ww w w
lema 8.1, tem-se lFF l œ lG G l, lFG l œ lF G l,
Ûww Û w Û Û Û Û
. ÐÖGGßGG ×Ñœ. ÐÖGFßGE×Ñœ. ÐÖ]\ß]E×Ñ,
Û Û Û Û Ûw ww Ûw
. ÐÖE\ßE]×Ñœ. ÐÖEFßEG×Ñœ. ÐÖGG ßG G×Ñ.
Uma vez que
w w w
Ð5 "ÑlE\l œ lEFl œ lEF l lF Fl œ 5lE\l lF Fl,
w ww w 4.35
deduzimos que lE\l œ lFF l œ lG G l.
Deduzimos de que os triângu-
w ww w
los ÐEß\ß]Ñ e ÐGßG ßGÑsão congruentes, e portanto que lE]lœlGGle ww l\] l œ lG Gl.
Por outro lado, pela hipótese de indução, tem-se
w w w
lEG l œ 5lE] l e lF G l œ 5l\] l.
Podemos finalmente concluir que
w w
lEGlœlEGllGGlœ5lE]llE]lœÐ5"ÑlE]l,
ww ww w w ww
lFGlœlFGllGGlœlFGllGGlœ5l\]ll\]lœÐ5"Ñl\]l, o que termina a demonstração por indução.
8.3 (Versão interior de Thales) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo e seja \ −ÒEßFÓ,
distinto de E . Existe então um único ] − ÒEßGÓ tal que a recta \] seja
paralela a FG , e, sendo + ! o definido por lE\l œ +lEFl , vem + Ÿ " ,
Û Û Û Û
lE] l œ +lEGl, l\] l œ +lFGl,
. ÐÖFGßFE×Ñœ. ÐÖ\]ß\E×Ñ e
Û Û Û Û
. ÐÖGFß GE×Ñ œ . ÐÖ] \ß ] E×Ñ.
A
X Y
B C
Dem: 1) O facto de se ter +" é uma consequência imediata de se ter
!lE\lŸlEFl (cf. a alínea d) de 1.19 ). No caso em que \œF,
e
portanto +œ" , G é o único ] −ÒEßGÓ tal que \] é paralelo a FG,
uma
vez que FG EG œ ÖG× , e é trivial que ] œ G verifica todas as condições
do enunciado.
Podemos assim supor em seguida \ÁF, portanto que lE\llEFl e que
+".
2) A existência e unicidade de ]−ÒEßGÓ tal que \] seja paralela a FGfoi
estabelecida no lema 8.1 tal como o foi o facto de ] ser diferente de E e de
Û Û Û
Û
G e a igualdade . ÐÖGFß GE×Ñ œ . ÐÖ] \ß ] E×Ñ.
Aplicando a mesma con-
– 99–

clusão ao triângulo ÐEßGßFÑ e reparando que \ é o único elemento de
ÒEß FÓ tal que ] \ seja paralela a GF,
concluímos que se tem também a
Û Û Û Û
igualdade . ÐÖFGßFE×Ñœ. ÐÖ\]ß\E×Ñ.
3) Resta-nos mostrar as igualdades lE] l œ +lEGl, l\] l œ +lFGl.
Faremos
essa prova nesta alínea no caso particular em que !+" é racional,
:
portanto da forma +œ ; , onde : e ; são naturais com "Ÿ:; , podendo já
afastar-se o caso em que :œ" , caso em que a conclusão está contida no
"
lema 8.2. Sejam ^ − ÒEß \Ó o ponto para o qual se tem lE^l œ : lE\l,
"
portanto também lE^l œ ; lEFl e [ − ÒEß ] Ó o único ponto tal que ^[
seja paralela a. \] , e portanto a FG.
Z
A
W
X Y
B C
Aplicando duas vezes o lema 8.2, concluímos que se tem lE] l œ :lE[ l,
l\] l œ :l^[ l, lEGl œ ;lE[ l e lFGl œ ;l^[ l,
donde
"
lE] l œ : ‚ lEGl œ +lEGl,
;
"
l\] l œ : ‚ lFGl œ +lFGl.
;
4) Vamos enfim examinar o caso mais geral em que !+" é um real
w ww w ww
arbitrário. Sejam + e + racionais arbitrários tais que !+ ++ " .
w ww
A
X' Y'
X Y
X"
Y"
B C
Sejam \ß\ −ÒEßFÓ, distintos de E e de F os pontos definidos por
w w ww ww
lE\ l œ + lEFl e lE\ l œ + lEFl,
pontos para os quais se tem assim
– 100–

w ww w ww
\ − ÒEß \Ó e \ − ÒEß \ Ó (cf. a alínea d) de 1.19).
Sejam ] ß ] − ÒEß GÓ
w w ww ww
os únicos pontos para os quais as rectas \] e \ ] são paralelas a FG,
w w
pontos para os quais se tem ] − ÒEß]Ó (o único ponto ] − ÒEß]Ó tal que
w w w w
\] é paralela a \] é um ponto de ÒEßGÓ tal que \] é paralela a FGÑe
ww w ww
] − ÒEß ] Ó (justificação análoga). Tem-se assim lE] l lE] l lE] l e,
w w ww ww
tendo em conta o lema 8.1, l\ ] l l\] l l\ ] l.
Tendo em conta o
w w w w w
caso particular tratado em 3), tem-se lE] l œ + lEFl, l\ ] l œ + lFGl,
ww ww ww ww ww
lE] l œ + lEFl e l\ ] l œ + lFGl , pelo que sendo ,ß - os números reais
w ww
definidos por lE] l œ ,lEFl e l\] l œ -lFGl , tem-se + , + e
w ww w ww
+ - + . Tendo em conta a arbitrariedade dos racionais + e + ,
concluímos finalmente que ,œ+ e -œ+ . 19
8.4 (Versão completa do recíproco de Thales) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo.
Û Û
Sejam \ − EF e ] − EG tais que, para um certo + ! , lE\l œ +lEFl e
lE] l œ +lEGl . Tem-se então que a recta \] é paralela à recta FG .
Dem: Comecemos por examinar o caso em que !+Ÿ" , e portanto
\−ÒEßFÓ e ] −ÒEßGÓsão diferentes de E.
Tendo em conta 8.3,
existe um
w w w
único ] − ÒEßGÓ tal que a recta \] seja paralela a FG e então lE] l œ
w
+lEGl œ lE] l , o que implica, por ] e ] estarema na mesma semirrecta de
w
origem E , que ] œ ] , e portanto a recta \] é paralela a FG.
Vejamos agora o que se passa no caso em que +" . Uma vez que Eß\ß]
são não colineares, podemos considerar o triângulo ÐEß\ß]Ñ,
para o qual se
Û Û " " "
tem F − E\ , G − E] , lEFl œ + lE\l e lEGl œ + lE] l , onde ! + " ,
pelo que, aplicando o caso estudado anteriormente, concluímos que a recta
FG é paralela à recta \] .
X
B
A
8.5 (Versão completa de Thales) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo e seja \ −EF, Û
distinto de E . Existe então um único ] − EG tal que a recta \] seja
Û
paralela a FG , e, sendo + ! o definido por lE\l œ +lEFl,
vem
Û Û Û Û
lE] l œ +lEGl, l\] l œ +lFGl,
. ÐÖFGßFE×Ñœ. ÐÖ\]ß\E×Ñ e
19Um número real que é menor que todos os racionais maiores que + e maior que todos os
racionais menores que + tem que ser +
.
– 101–
C
Y

Û Û Û Û
. ÐÖGFß GE×Ñ œ . ÐÖ] \ß ] E×Ñ.
Dem: O caso em que \ −ÒEßFÓ ou, o que é o mesmo, aquele em que +Ÿ" ,
já foi estabelecido em 8.3 (em rigor aí apenas se afirmou a unicidade de ]
em ÒEß GÓ , mas não pode haver mais que um ] − EG tal que E] seja
paralela a FG ). Resta examinar o caso em que \ Â ÒEßFÓ, isto é, em que
"
+ " , caso em que se tem F − ÒEß \Ó e lEFl œ + lE\l . Sendo ] − EG Û o
definido por lE] l œ +lEGl , resulta de 8.4 que a recta \] é paralela a FG
e, é claro que ] é mesmo o único elemento da recta EG com esta
propriedade, em particular é o único elemento de EG para o qual isso
Û
acontece. É claro que G é também o único elemento de E] tal que FG seja
paralela a \] , pelo que, aplicando 8.3 ao triângulo ÐEß\ß]Ñ e ao ponto
Û Û Û Û
F−ÒEß\Ó concluímos que . ÐÖ\] ß \E×Ñ œ . ÐÖFGß FE×Ñ e
Û Û Û Û
. ÐÖ] \ß ] E×Ñ œ . ÐÖGFß GE×Ñ.
w w w
8.6 Diz-se que dois triângulos ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ são semelhantes se se
w w w w w w
tem . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ, . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ e . ÐG Ñ œ . ÐG Ñ e existe + ! tal
w w w w w w
que lE F l œ +lEFl, lF G l œ +lFGl e lG E l œ +lGEl . Diz-se então que +
é a razão de semelhança (do primeiro triângulo para o segundo).
8.7 A relação de semelhnça entre triângulos é uma relação de equivalência. Mais
precisamente:
1) Os triângulos ÐEßFßGÑ e ÐEßFßGÑ são semelhantes, com razão de
semelhança " .
w w w
2) Se ÐEßFßGÑe ÐEßFßG
Ñ são semelhantes, com razão de sememelhança
w w w +! , então ÐE ßFßGÑe
ÐEß Fß GÑ são semelhantes, com razão de seme-
" lhança + .
w w w
3) ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ são semelhantes, com razão de semelhança + , e
w w w ww ww ww
ÐE ßFßG Ñ e ÐE ß F ß G Ñ são semelhantes, com razão de semelhança , ,
ww ww ww
então ÐEßFßGÑ e ÐE ßF ßG Ñ são semelhantes, com razão de semelhança
+,.
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição.
w w w
8.8 Dois triângulos ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ são congruentes (cf. a definição
4.11) se, e só se, são semelhantes, com razão de semelhança " .
w w w
8.9 (Critério LAL de semelhança) Sejam ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ dois triân-
w w w w
gulos tais que . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ e que exista + ! tal que lE F l œ +lEFl e
w w lE G l œ +lEGl.
Tem-se então que os dois triângulos são semelhantes, com
razão de semelhança + .
Û Û
Dem: Consideremos \ − EF e ] − EG tais que
w w w w
lE\l œ lE F l œ +lEFl, lE] l œ lE G l œ +lEGl.
Tendo em conta o axioma LAL (cf. 4.13), os triângulos ÐEß\ß]Ñ e
w w w ÐEßFßG Ñ são congruentes. Tendo em conta 8.4,
a recta \] é paralela à
recta FG e podemos então aplicar 8.5
para garantir que
– 102–

w w
lF G l œ l\] l œ +lFGl,
w Û Û Û Û w
. ÐFÑœ. ÐÖ\]ß\E×Ñœ. ÐÖFGßFE×Ñœ. ÐFÑ, w Û Û Û Û w
. ÐG Ñœ. ÐÖ]\ß]E×Ñœ. ÐÖGFßGE×Ñœ. ÐGÑ, donde o resultado.
w w w
8.10 (Critério AA de semelhança) Sejam ÐEßFßGÑ e ÐEßFßG Ñ dois triân-
w w w w
gulos tais que . ÐE Ñ œ . ÐE Ñ e . ÐF Ñ œ . ÐF Ñ.
Tem-se então que os dois
triângulos são semelhantes.
Dem: Seja \ − EF tal que lE\l œ lEF l.
Tendo em conta , podemos
Û w w 8.5
considerar ] − EG \] FG +!
Û tal que a recta seja paralela a , e, sendo o
definido por lE\l œ +lEFl, vem lE] l œ +lEGl, l\] l œ +lFGl,
Û Û Û Û Û Û Û Û
. ÐÖFGß FE×Ñ œ . ÐÖ\] ß \E×Ñ e . ÐÖGFß GE×Ñ œ . ÐÖ] \ß ] E×Ñ.
As
w w
igualdades lE\l œ lE F l,
Û Û w w
. ÐÖE\ßE]×Ñœ. ÐEÑœ. ÐEÑ, Û Û Û Û w w
. ÐÖ\]ß\E×Ñœ. ÐÖFGßFE×Ñœ. ÐFÑœ. ÐFÑ, implicam, pelo teorema ALA (cf. 4.15), que os triângulos ÐEß\ß]Ñ e
w w w ÐEßFßG Ñsão
congruentes. Tem-se assim
w Û Û Û Û Ûw w Ûw
w w
. ÐGÑœ. ÐÖGFßGE×Ñœ. ÐÖ]\ß]E×Ñœ. ÐÖGFßGE×Ñœ. ÐG Ñ,
w w
lE F l œ lE\l œ+lEFl,
w w
lE G l œ lE] l œ+lEGl,
w w
lF ß G l œ l\] l œ+lFGl,
o que mostra que os dois triângulos são semelhantes.
w w w
8.11 (Critério LLL de semelhança) Sejam ÐEßFßGÑe ÐEßFßG Ñ dois triân-
w w w w
gulos tais que, para um certo +! , lEFlœ+lEFl, lFGlœ+lFGle
w w lG E l œ +lGEl.
Tem-se então que os dois triângulos são semelhantes.
ww
Dem: Fixemos um ponto arbitrário E e duas semirrecta < e = de origem
ww ww ww
E tais que . Ð< ß= Ñ œ . ÐE Ñ. Consideremos pontos F − < e G − =
w
ww ww w w ww ww w w
tais que lE F l œ lE F l œ +lEFl e lE G l œ lE G l œ +lEGl.
Tendo em
conta o critério LAL de semelhança (cf. 8.9), os triângulos ÐEßFßGÑ e
ww ww ww ww ww
ÐE ßF ßG Ñ são semelhantes, em particular tem-se também lF G lœ
w w +lFGl œ lF G l.
Tendo em conta o teorema LLL (cf. 4.34),
vemos que os
w w w ww ww ww
triângulos ÐE ßFßG Ñ e ÐE ßF ßG Ñ são congruentes, em particular
w w w
semelhantes e daqui decorre, por transitividade, que ÐEßFßGÑe ÐEßFßG
Ñ
são semelhantes.
8.12 (Teorema de Pitágoras) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo tal que . w
ÐE Ñ œ "
(um triângulo rectângulo em E).
Tem-se então
– 103–

# # #
lFGl œ lEFl lEGl
(a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa) 20.
Dem: Para simplificar o formalismo, vamos fixar .−Y,
reparando que nos
# # #
bastará provar que se tem .ÐFß GÑ œ .ÐEßFÑ .ÐEßGÑ , isto é,
# # # + œ- , , onde, como é habitual, se nota +œ.ÐFßGÑ, -œ.ÐEßFÑe
,œ.ÐEßGÑ.
w w w w w
Uma vez que . ÐE Ñ . ÐF Ñ . ÐG Ñ œ # , vem . ÐF Ñ . ÐG Ñ œ " , em
w w
particular . ÐF Ñ " e . ÐG Ñ " . Consideremos o pé da perpendicular H
de E para a recta FG (cf. 4.28) e reparemos que, tendo em conta 4.33,
tem-se H−ÒFßGÓ, com Hdiferente de Fe de G. Notemos Bœ.ÐFßHÑe
Cœ.ÐHßGÑe reparemos que, por ser H−ÒFßGÓ,
resulta de 1.25 que
+ œ .ÐFß GÑ œ .ÐFßHÑ .ÐHßGÑ œ B C.
c
A
1
x
1 1 y
B D a
C
Reparemos agora que, tendo em conta 8.10, os triângulos ÐHßFßEÑ e
ÐHßEßGÑ são ambos semelhantes ao triângulo ÐEßFßGÑ,
no primeiro caso
por ser
Û Û Û Û Û Û Û Û
. ÐÖHFßHE×Ñœ"œ. ÐÖEFßEG×Ñ, ÖFHßFEלÖFEßFG× ,
e no segundo caso por ser
Û Û Û Û Û Û Û Û
. ÐÖHEßHG×Ñ œ " œ . ÐÖEFßEG×Ñ, ÖGHßGE× œ ÖGEßGF× .
Da primeira semelhança deduzimos que - œ + a da segunda que , œ + .
# #
Deduzimos destas duas igualdades que - œ B+ e , œ C+ , donde
# # #
- , œB+C+œÐBCÑ+œ+ ,
– 104–
b
B - C ,
como queríamos.
8.13 (Corolário) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo tal que . w
ÐE Ñ " (respectivamente
. ). Tem-se então (respectivamente
w
# # #
ÐE Ñ " lFGl lEFl lEGl
20Lembrar que, por exemplo, lFGl é a família dos .ÐFßGÑ,
indexada nas distâncias
# #
. − Y. A notação lFGl refere-se asim, naturalmente à família dos .ÐFßGÑ .
Analogamente, o segundo membro é uma soma de duas famílias indexadas em .−Y e,
como tal, é naturalmente uma família indexada em .−Y.

# # # lFGl lEFl lEGl ). Em consequência, se ÐEßFßGÑ é um triângulo tal
# # # w
que lFGl œ lEFl lEGl , então . ÐE Ñ œ " .
w
Dem: Escolhamos um ponto E arbitrário e duas semirrectas < e = de
w w w
origem E tais que . Ð< ß= Ñ œ " . Escolhamos pontos F − < e G − =
w w w w tais que lE F l œ lEFl e lE G l œ lEGl e reparemos que, por 8.12,
tem-se
w w # w w # w w # w w
lF G l œ lE F l lE G l . Supondo que . ÐE Ñ " œ . ÐE Ñ (respectiva-
w w w w
mente que . ÐE Ñ " œ . ÐE Ñ), resulta de 4.44 que lFGl lF G l (respecw
w
tivamente que lFGl lF G l)
e portanto
(respectivamente
# w w# w w# w w# # #
lFGl lF G l œ lE F l lE G l œ lEFl lEGl
# w w# w w# w w# # #
lFGl lF G l œ lE F l lE G l œ lEFl lEGl ).
Por fim, se ÐEßFßGÑ é um triângulo tal que lFGl œ lEFl lEGl , então,
w w
pelo que vimos atrás, não pode ser . ÐE Ñ " nem . ÐE Ñ " , e portanto
vem . .
w
ÐE Ñ œ "
– 105–
# # #
9. Outros resultados sobre isometrias; Translações e vectores
9.1 Seja S−X fixado e consideremos a inversão relativamente a S,
38@SÀX Ä X, que sabemos ser uma isometria (cf. 5.12 e 5.13).
Tem-se então:
a) Para cada recta

38@SÐVÑ−SV38@S Ð

9.3 (Corolário) Sejam

9.5 (Corolário) Sejam ! § X um plano e FßG À! Ä X duas aplicações
isométricas tais que existam Eß Fß G em ! , não colineares, com
FÐEÑ œ GÐEÑ, FÐFÑœGÐFÑe FÐGÑ œ GÐGÑ. Tem-se então F œ G.
Dem: Tendo em conta 5.2 e 5Þ 6,
" œ F Ð! Ñ e # œ G Ð! Ñ são planos e F e G
são bijecções de ! sobre estes planos. Uma vez que " e # contêm os pontos
não colineares FÐEÑ œ GÐEÑ, FÐFÑœGÐFÑe FÐGÑ œ GÐGÑ,
tem-se
"
" œ # . Podemos assim considerar a aplicação isométrica G ‰ F À! Ä ! ,
" " "
para a qual se tem G ‰ FÐEÑ œ E , G ‰ FÐFÑ œ F e G ‰ FÐGÑ
œ G,
" pelo que G ‰ F œ M. ! , o que implica que G œ F.
9.6 (Isometrias do espaço com três pontos fixos não colineares) Seja
FX À Ä Xuma isometria tal que existam EßFßG − Xnão
colineares tais que
FÐEÑ œ E, FÐFÑœFe FÐGÑ œ G. Tem-se então que, ou F œ M. X,
ou,
notando ! o plano que contém Eß Fß G, F œ 38@! (cf. 5.24).
Em particular, se existir HÂ! tal que FÐHÑÁH(se
existirem quatro
pontos fixos não complanares), tem-se F œM.X.
Dem: Tendo em conta 5.9, tem-se FX Ð Ñ œ X . Sendo ! o plano que contém os
pontos Eß Fß G, resulta de 5.6 que F! Ð Ñ é um plano, o qual vai conter os
pontos FÐEÑœE, FÐFÑœFe FÐGÑœG, o que implica que F Ð! Ñœ!
e,
tendo em conta 9.4, que a restrição de F a ! é a aplicação identidade de ! .
Tendo em conta 5.10, sendo X e X os dois semiespaços de bordo ! (cf.
2.11), tem-se que FX Ð Ñ e FX Ð Ñ
são os dois semiespaços de Xde
bordo
F! Ð Ñ œ ! , pelo que duas coisas podem acontecer: Ou FX Ð Ñ œ X
e
FX Ð Ñ œ X, ou FX Ð Ñ œ X e FX Ð Ñ œ X.
Em qualquer dos casos, para cada \−X Ï!
, podemos considerar o pé da
perpendicular E de \ sobre ! (cf. 5.23).
O facto de a recta \E ser
perpendicular ao plano ! , implica que, escolhando duas rectas distintas

No caso em que existe H−X Ï! tal que FÐHÑœH,
tem-se trivialmente
FÐHÑ Á 38@! ÐHÑ, pelo que F não é igual a 38@! , e portanto F œ M. XÞ
9.7 (Corolário) Sejam FGX ß À ÄXduas isometrias tais que existam EßFßGßH
não complanares, com FÐEÑœGÐEÑ, FÐFÑ œ GÐFÑ, FÐGÑœGÐGÑe FÐHÑ œ GÐHÑ. Tem-se então F œ G.
Dem: Tendo em conta 5.2 e 5.9, FX Ð Ñ œ GX Ð Ñ œ X.
Podemos assim
" considerar a aplicação isométrica G ‰ FÀX Ä X,
para a qual se tem
" " " "
G ‰ FÐEÑ œ E , G ‰ FÐFÑ œ F , G ‰ FÐGÑ œ G e G ‰ FÐHÑ
œ H,
" pelo que G ‰ F œ M. , o que implica que G œ F.
X
Vamos agora definir outras isometrias do espaço, as translações, por um
processo que, embora pareça talvez artificial, tem a vantagem de não
exigir definições diferenciadas para as imagens dos diferentes tipos de
pontos. Estudaremos a seguir como propriedades, outras caracterizações
alternativas, mais intuitivas mas que necessitam de separar os diferentes
tipos de pontos.
9.8 Sejam Eß F − X e notemos Q o ponto médio do par ÐEß FÑ (cf. 1.26).
Definimos então a translação associada ao par ÐEß FÑ, 7FßEÀ X Ä X como
sendo a isometria œ 38@ ‰ 38@ (composta de duas isometrias).
7FßE Q E
9.9 Nas condições anteriores, para cada recta

Comecemos por mostrar que, sendo 7FßEÐE
Ñ œ F , ÐEß Fß F ß E Ñ é um
paralelogramo. Em primeiro lugar, lembrando que 7FßEÀX Ä X é uma
isometria, em particular injectiva, e que 7FßEÐEÑ œ F,
concluímos que
w w w
FÁF e, tendo em conta 9.9, que FFœ7FßEÐEEÑé uma recta paralela a
EEw , em particular está contida em ! , sendo mesmo estritamente paralela,
w w uma vez que F Â EE , já que E Â EF.
21 Em particular, podemos já
w w
concluir que os pontos Eß Fß F ß E são todos distintos. Notemos
w w w w w w
\œ38@EÐEÑ−! e reparemos que F ÂEE œ\E, pelo que EßFß\
são não colineares. Notemos Q o ponto médio de ÐEßFÑ,
tendo-se portanto
w F œ 38@ Ð\Ñ.
Q
A
X
A' B'
– 110–
M
w w w w
Tem-se assim que E é o ponto médio de Ð\ßE Ñ e Q é o ponto médio de
w w w " w
Ð\ßFÑ, e portanto E−Ò\ßEÓ, Q −Ò\ßFÓ, l\Elœ# l\ßEl e l\Qlœ
" w
# l\F l. Tendo em conta o recíproco do teorema de Thales em 8.4,
concluíw
w
mos que a recta EQ œ EF é paralela a E F , sendo mesmo estritamente
w paralela, por ser E Â EF.
Podemos agora aplicar 7.19 para concluir que
w w ÐEßFßFßEÑ é efectivamente um paralelogramo.
Resta-nos provar a unicidade de F nas condições do enunciado, para o que
w
ww ww w
supomos que F −X é tal que ÐEßFßF ßEÑ seja um paralelogramo. Uma
w ww w w
vez que, tendo em conta 7.5, EF , tal como EF é paralela a EFe
contém
w w w w ww
E, o axioma das paralelas implica que E F œ E F . O facto de termos
w w w ww w ww
paralelogramos implica que lE F l œ lEFl œ lE F l e que F e F estão
w
ambos no semiplano de ! de bordo EE que contém F e portanto estão
w w w ww w
ambos na mesma semirrecta de EF œEF de origem E.
Concluímos
ww w daqui finalmente que F œ F , o que prova a unicidade pretendida.
O resultado precedente não caracteriza completamente a translação
7FßEÀX Ä X uma vez que apenas nos diz o que é a imagem por esta
w
isometria dos pontos E que não pertencem a < œ EF.
O próximo
resultado dá uma caracterização da imagem por 7FßE dos pontos que estão
21 w w
Também podíamos concluir que lFFlœlEEl,
mas não utilizamos esse facto para
provar que temos um paralelogramo.
w
B

em

w w
diz-nos que EFF E é um paralelogramo e portanto, por definição,
w w w w
lE F l œ lEFl e, tendo em conta 7.5,
as rectas EF e E F são paralelas. No
w w w
caso em que E − EF, a caracterização de F œ 7FßEÐEÑ em 9.13 diz-nos
w w w w w
que lEFlœlEFl! , em particular F ÁE, e que F −EF,
portanto
w w w w
EF œEF, em particular EFe EF são rectas paralelas.
9.15 (Norma de uma translação) Suponhamos fixada uma função distância
.−Y. Dada uma translação 7, definimos a .-norma de 7 (ou simplesmente
w w
norma de 7, se . estiver implícito) como sendo o número real .ÐEß7ÐEÑÑ, w w
com E ponto arbitrário de X,
número real que não depende de E , tendo em
conta 9.14 e o facto de 7EßE ser a aplicação identidade. A norma referida será
notada m7m , ou simplesmente m7m se . estiver implícito.
.
9.16 Dadas duas funções distância .ß. − Y,
tais que . œ -. , para um certo
-! , tem-se, para cada translação 7, m7m w œ-m7m. – 112–
w w
. .
9.17 (Propriedades da norma) Suponhamos fixada uma função
distância
.−Y. Tem-se então:
a) m7FßEm œ .ÐEßFÑ.
b) m7m ! , sendo m7mœ! se, e só se, 7 œM. X.
Dem: A alínea a) resulta da definição e do facto de se ter 7FßEÐEÑ œ F.
A
alínea b) resulta de a) e de se ter M. œ .
X 7EßE
9.18 (Um lema elementar mas útil) Seja ! § X um plano. Existem então
pontos Eß Fß Gß H não complanares, nenhum deles pertencente a ! .
Dem: Seja EÂ! (se não existisse, todo o conjunto seria complanar). Seja "
o plano paralelo a ! tal que E−" (cf. 7.29),
plano esse que é mesmo
estritamente paralelo por ser EÂ! . Consideremos sucessivamente um ponto
F−" tal que FÁEe um ponto G−" tal que GÂEF(se
não existisse,
todo o subconjunto de " seria colinear). Tem-se assim que Eß Fß G − " são
não colineares e Eß Fß G Â ! , por ! e " serem estritamente paralelos.
Escolhamos um ponto arbitrário \−! e escolhamos enfim H−\E,
distinto de \ e E (por exemplo o ponto médio do par Ð\ßEÑ).
Tem-se que
\E não está contida em ! nem em " , donde \E ! œ Ö\× e
\E" œÖE× e daqui resulta que H Â! e H Â" , portanto EßFßGßHsão
não complanares.
w w w ww
9.19 (Lema) Sejam Eß F − X, com E Á F, E − X e F œ 7FßEÐE
Ñ. Dado E
w w ww ww
ÂEF, tem-se então 7 ÐEÑœ7 w wÐEÑ.
FßE F ßE
A" B"
A' B'
ww ww w w
FßE
Dem: Notemos F œ 7 ÐE Ñ. Tendo em conta 9.14,
Tem-se F Á E ,

ww ww w w ww ww
F Á E e as rectas EF e E F são ambas paralelas à recta EF,
logo
paralelas entre si (cf. 7.11),
sendo mesmo estritamente paralelas, uma vez
ww w w w w ww ww
que E ÂEF. Em particular, os pontos EßFßE ßF são todos distintos.
w ww w ww
Por outro lado, tendo em conta 9.9, a recta FF œ7FßEÐEEÑé paralela à
w ww w w ww
recta EE , portanto estritamente paralela, uma vez que F ÂEE , já que
ww w w w w ww ww
E ÂEF . Podemos assim aplicar 7.19 para garantir que ÐEßFßF ßE Ñé
ww ww
um paralelogramo o que, por 9.12, implica que F œ 7 w wÐE Ñ.
9.20 (Teorema Fundamental das Translações) Sejam Eß Fß E − X e F œ
w 7FßEÐE Ñ. Tem-se então 7FßE œ 7FwßEw.
w w
Dem: No caso em que EœF, tem-se 7FßE œM. X,
portanto F œE,
donde
7FßE w w œM. X œ 7FßE.
Suponhamos agora que EÁF.
Tendo em conta o
lema 9.19, as isometrias 7FßEß7FwßEwÀX Ä X coincidem no complementar de
EF w w em X.
Uma vez que esse complementar contém quatro pontos não
colineares (aplicar o lema 9.18 , depois de considerar um plano arbitrário !
w w
contendo EF), deduzimos de 9.7 que 7 œ7
w w.
w w
– 113–
FßE F ßE
FßE
w w
9.21 (Corolário) Dados pontos E ßF −X, existe uma, e uma só, translação
w w
7ÀX Ä X tal que 7ÐEÑ œ F , a saber a translação 7FßE
w w.
w w
Dem: Já sabemos que a translação 7FwßEw aplica E em F (cf. 9.11)
e o
resultado precedente diz-nos que qualquer translação 7FßE que verifique essa
propriedade é igual a w w.
7F ßE
9.22 (A inversa duma translação) Dados Eß F − X,
tem-se que a isometria
inversa da translação 7FßEÀX Ä X é a translação 7EßFÀX Ä X.
Dem: No caso em que EœF, o resultado é trivial, uma vez que 7EßE é a
identidade, e portanto inversa de si mesmo. Suponhamos assim que EÁF.
Tudo o que temos que mostrar é que a isometria 7EßF ‰ 7FßEÀX Ä X é a
w identidade. Comecemos por considerar E Â EF.
Tendo em conta 9.12,
w w w w w
tem-se 7FßEÐEÑœF , onde F é o único ponto de X tal que ÐEßFßFßEÑ
seja um paralelogramo.
A B
A' B'
w w 6.12
Mas então ÐFßEßEßFÑ também é um paralelogramo (cf. , passando
w w
pelo paralelogramo ÐEßFßFßEÑ),
pelo que, mais uma vez pelo esmo
resultado, tem-se w w E œ 7EßFÐF Ñ , portanto w w
7EßF ‰ 7FßEÐEÑ
œ E .
w w w w
Considerando agora quatro pontos não complanares EßEßEßE
" # $ % não
pertencentes a EF (aplicar 9.18 , depois de considerar um plano arbitrário !

contendo EF ), verificamos que a isometria 7EßF ‰ 7FßE
tem quatro pontos
fixos não complanares e portanto, por 9.6, 7 ‰ 7 œ M.X. 22
– 114–
EßF FßE
9.23 (Outra caracterização da inversa duma translação) Sejam < uma recta e
0À< Ä ‘ um sistema de coordenadas. Dados EßF − < , tem-se que a inversa
w
da translação 7FßEÀX Ä X é a translação 7FwßEÀX Ä X,
onde F œ 38@EÐFÑ, e
w portanto F também pode ser caracterizado pela condição de E ser o ponto
médio do par ÐFß F Ñ ou pela de se ter
w
w
0ÐF Ñ œ 0ÐEÑ Ð0ÐFÑ 0ÐEÑÑ œ #0ÐEÑ 0ÐFÑ.
Dem: Tendo em conta 9.22, tem-se 7FßE œ 7EßF.
Tendo em conta 9.20 e
" 9.13, vem também 7 œ 7 w
w , donde F œ 7 ÐEÑ,
portanto
FßE
"
FßE EßF
w
0ÐF Ñ œ 0ÐEÑ Ð0ÐEÑ 0ÐFÑÑ œ #0ÐEÑ 0ÐFÑ.
0ÐFÑ0ÐF Ñ
Desta igualdade sai que 0ÐEÑœ # o que, por 1.26,
implica que E é
w w
o ponto médio de ÐFß F Ñ, ou seja, que F œ 38@EÐFÑ.
9.24 (Lema) Sejam Eß F − X e Q o ponto médio do par ÐEß FÑ.
Tem-se então
38@Q ‰ 38@E œ 7 FßE œ 38@ F ‰ 38@Q.
Dem: Sabemos que 7FßE œ 38@Q ‰38@Ee que 7EßFœ
38@Q
‰38@F.
Podemos então aplicar 9.22 para garantir que
M. X œ 7 ‰ 7 œ 38@Q ‰ 38@ ‰ 38@Q
‰ 38@ ,
w
EßF FßE F
E
donde, lembrando que as inversões relativamente a um ponto são involutivas,
38@ F ‰ 38@Q œ 38@ F ‰ 38@ Q ‰ M. X œ
œ 38@ F ‰ 38@ Q ‰ 38@Q ‰ 38@ F ‰ 38@Q
‰ 38@E œ
œ 38@Q
‰38@ .
E
9.25 (A composta de duas translações) Sejam 7ß5ÀX Ä X duas translações.
Tem-se então que 5 ‰ 7ÀX Ä X é uma translação. Em consequência, se 7 œ
7FßE e 5 œ 7GßF, tem-se 5 ‰ 7 œ 7GßE.
Dem: Sejam Eß F − X tais que 7 œ 7FßE. Tendo em conta 9.20,
existe G − X
tal que 5 œ 7GßF, nomeadamente G œ 5ÐFÑ.
Sejam Q o ponto médio do par
w ÐEßFÑe Q o ponto médio do par ÐFßGÑ.
Tendo em conta 9.24 e o facto de
as inversões relativamente a um ponto serem involutivas, tem-se
5 ‰ 7 œ 38@ ‰ 38@ ‰ 38@ ‰ 38@ œ 38@ ‰ 38@
Q F F Q Q Q
w w ,
o que mostra que 5 7 é uma translação, nomeadamente a translação 7 , ww
‰ Q ßQ
22Esta parte do argumento também podia ser substituída pela verificação directa,
utilizando 9.13 depois de fixar um sistema de coordenadas da rcta EF,
de que, para
w w w
E − EF , ainda se tem 7 ‰ 7
ÐE Ñ œ E
EßF FßE

ww w
onde Q œ 38@QÐQÑ (uma vez que Q é então o ponto médio do par
w
ww ÐQß Q Ñ ). O facto de se ter também 5 ‰ 7 œ 7GßE
resulta mais uma vez de
9.20, uma vez que 5 ‰ 7ÐEÑ œ 5ÐFÑ
œ G.
9.26 (Corolário) O conjunto das translações
7ÀX Ä X é um subgrupo do grupo
das isometrias X Ä X. Esse subgrupo será notado XÞ
Ä
Dem: Trata-se de uma consequência de 9.10, 9.22 e 9.25.
9.27 (Outras propriedades da norma) Suponhamos fixada uma função
distância .−Y.
A norma das translações tem então, além das propriedades
a) e b) em 9.17, ainda as propriedades:
" c) m7 m œ m7m. d) m 5 ‰ 7m Ÿ m5mm7mÞ Dem: A alínea c) vem de que tem
" w " w w w
m7 m œ .Ð7ÐE Ñß 7 Ð7ÐE ÑÑÑ œ .Ð7ÐE Ñß E Ñ œ m7m. Quanto a d), temos, pela desigualdade triangular em 4.41,
w w w w w w
m 5‰ 7mœ .Ð57 Ð ÐE ÑÑß E Ñ Ÿ .Ð57 Ð ÐE ÑÑß 7ÐE ÑÑ .Ð7ÐEÑß E Ñ œ m5m m7m.
w w
9.28 (Precomutatividade) Sejam Eß Fß E − X. Então 7FßEÐEÑ œ 7EwßEÐFÑ.
w w
Dem: No caso em que EœF, tem-se 7FßEÐEÑœE œ7EwßEÐFÑe, naquele
w w
em que EœE, tem-se 7FßEÐEÑœFœ7EwßEÐFÑ. Tratemos agora o caso em que EÁF e EÁE. Há duas situações
w
possíveis:
w w
1) Suponhamos que E − < œ EF, e portanto também F − EE œ < . Tendo
w
em conta 9.13, tem-se então 7FßEÐE Ñ − < e 7EwßEÐFÑ
− < e, tomando um
sistema de coordenadas 0À< Ä ‘ e pondo + œ 0ÐEÑ , , œ 0ÐFÑe - œ 0ÐGÑ,
vem
w w w
FßE E ßE
0Ð7 ÐEÑÑœ+ Ð,+Ñœ,Ð+ +Ñœ0Ð7 w ÐFÑÑ,
w
donde 7FßEÐE Ñ œ 7EwßEÐFÑ.
w w
2) Suponhamos que E Â EF, portanto também F Â EE . Tendo em conta
w w w
9.12, tem-se 7FßEÐE Ñ œ F , onde F é o único ponto de X tal que
ÐEßFßFßEÑ
w w seja um paralelogramo.
A B
A' B'
w w 6.12
Mas então ÐEßEßFßFÑ também é um paralelogramo (cf. , passando
w w
pelo paralelogramo ÐEßFßFßEÑ)
o que, pelo mesmo resultado, garante que
w
w ÐFÑ œ F .
7E ßE
– 115–

Ä
9.29 (Comutatividade do grupo X das translações) Quaisquer que sejam as
translações 57X ß À Ä X, tem-se 5‰ 7œ 7‰ 5.
w
Dem: Sejam Eß F − X tais que 7 œ 7FßE e seja E − X tal que 5 œ 7EwßE,
w nomeadamente E œ 5ÐEÑ (cf. 9.20).
w w
s
A t B
t
A' B'
Sendo F œ 7FßEÐE Ñ, vem, por 9.20, 7 œ 7FwßEw
e, tendo em conta 9.28,
w
tem-se também F œ 7EßE w ÐFÑ, donde 5 œ 7FßF
w . Podemos agora aplicar 9.25
para garantir que
5 ‰ 7 œ 7 w ‰ 7 œ 7 w œ 7 w w ‰ 7 w œ 7 ‰ 5.
– 116–
s
FßF FßE F ßE F ßE E ßE
9.30 (Translações duma recta e dum plano) Seja 7ÀX Ä X uma translação.
Dada uma recta < (respectivamente um plano ! ), diz-se que 7 é uma
translação da recta < (respectivamente translação do plano ! ) se se tem
7Ð

Ä
7) Dados Eß F − X,
o vector EF é por vezes notado F E,
esta notação
sendo explicada pelo facto de se tratar do único vector
Ä
? tal que E?
Ä
œ F
(cf. 9.21).
8) As propriedades das normas em 9.17 e 9.27 tomam o aspecto mais habi-
Ä
tual: a) mEFmœ.ÐEßFÑ; b) m?m
Ä
! , sendo m?mœ!
Ä
se, e só se,
Ä Ä
? œ! ;
c) m?
Ä
m œ m?
Ä
m; d) m?
Ä
Ä
@ m Ÿ m?
Ä
m m@
Ä
m.
9) Um vector
Ä
?œEFé
frequentemente representado numa figura por um
Ä
segmento de extremidades E e F, com uma seta colocada em F (uma
“flecha”). Essa representação já foi aliás utilizada na figura atrás, na demonstração
de 9.29.
Ä
9.32 Seja < uma recta. Se E − < , um vector EF é um vector da recta < se, e só
se, F−< . O conjunto dos vectores da recta < é um subgrupo próprio do
Ä
grupo comutativo X das translações, que notaremos
Ä
< , e que contém estritamente
o subgrupo trivial Ö! × .
Ä
A um conjunto da forma
Ä
< , para alguma recta < , damos o nome de recta
vectorial ou o de direcção.
Como sinónimo de uma expressão
Ä
?−<
Ä
,
também diremos que
Ä
< é uma direcção do vector
Ä
? . Dizemos também que
Ä
< é a direcção da recta < .
Ä Ä
Dem: Se EF é um vector da recta < , então F œ EFÐEÑ − < . Recipro-
Ä Ä
camente, se F−< , então, ou FœE e EFœ! œM. X é trivialmente um
Ä
w w
vector de < , ou F Á E e então, para cada E − < , tem-se EFÐEÑ − < , pela
Ä Ä
caracterização em 9.13, o que mostra que EFÐ

Ä
?œEF EÁF <
Ä , com em . Tendo em conta 9.20 e 9.12,
escolhendo então
E − =
Ä
? œ EF F
Ä
w w w w
, tem-se também , onde é o único ponto de X tal que
w w w w
ÐEßFßFßEÑ seja um paralelogramo, tendo-se então que EF é uma recta
w
que, tal como = , contém E e é paralela a < œ EF,
portanto, pelo axioma das
paralelas 7.10, EF œ= , donde F −= e
Ä Ä
w w w w w ? œEF −=
Ä
, como queríamos.
Ficou assim provado que
Ä
< œ=
Ä
, em particular
Ä
< =
Ä
œ<
Ä Ä
ÁÖ!× .
Suponhamos agora que
Ä

9.36 Seja ! um plano. Se E− ! , um vector EF é um vector do plano ! se, e só
Ä
se, F−! . O conjunto dos vectores do plano ! é um subgrupo próprio do
Ä
grupo comutativo X dos vectores, que notaremos
Ä
! , e que contém estritamente
cada subgrupo,
Ä
< , com < recta contida em ! .
A um conjunto da forma
Ä
! , para algum plano ! , damos o nome de plano
vectorial.
Ä Ä
Dem: Se EF é um vector do plano ! , então F œ EFÐEÑ − ! . Recipro-
Ä Ä
camente, se F−! , então, ou FœEe EFœ! œM. X é trivialmente um
Ä
w w
vector de ! , ou FÁEe então, para cada E −! , tem-se EFÐEÑ−!
, pela
w
caracterização em 9.13 se E − EF e pela caracterização em 9.12 se
Ä Ä
w E Â EF, o que mostra que EFÐ! Ñ § ! , ou seja, EF é um vector de ! . Já
Ä
referimos que !œM. X é trivialmente um vector (translação) de ! . Fixemos
E−
ÄÄ
?ß@
Ä Ä
! . Se são vectores de ! , tem-se ? œEF, com Fœ?ÐEÑ−
Ä
! ,
donde, por 9.22, ?
Ä Ä
œFE é um vector de , e
Ä Ä
! @ œFG,
com
Gœ@ÐFÑ−
Ä Ä
?@œEG
Ä Ä
!, donde, tendo em conta 9.25,
é um vector de
! . Ficou assim provado que
Ä
! é efectivamente um subgrupo do grupo
Ä
comutativo X dos vectores e o facto de ser um subgrupo próprio resulta de
Ä
que, sendo GÂ! , EGÂ
Ä
! . No caso em que

Dem: Suponhamos que os planos ! e " são paralelos. Para mostrarmnos que
Ä Ä
! "
Ä Ä
œ , basta mostrarmos que ! § " , tendo em conta a simetria do papéis
de ! e " . Seja então
Ä
?−
Ä
! , podendo já supor-se
Ä Ä
?Á! . Tem-se então
Ä
?œ
Ä
EF, com Eß F − ! , e portanto, sendo < œ EF que é uma recta contida em
! , e portanto paralela a " (cf. a alínea a) de 7.24 ), tem-se
Ä
?−

o que mostra que se tem efectivamente
Ä
! œ<
Ä
Š=
Ä
.
Ä
Quanto à unicidade, se " é um plano vectorial tal que
Ä Ä Ä

Dem: Tendo em conta 9.37 , tem-se
Ä
! <
Ä
œÖ!× , o que nos permite utilizar
Ä
a notação
Ä
! Š<
Ä
, e < e ! não são paralelos, portanto ! .
Dem: Tendo em conta a alínea 2) de 9.41 e a alínea 1) de 9.35 ,
Ä
? e
Ä
@ são
Ä
não colineares, em particular diferentes de ! . Sendo
Ä
< e
Ä
= as rectas
vectoriais que contêm
Ä
? e
Ä
@ , respectivamente, tem-se
Ä
< Á
Ä
= portanto, por
9.39, sendo
Ä
! o único plano vectorial que contém
Ä
< e
Ä
= , tem-se
Ä
! œ
Ä
< Š=
Ä
.
Ä
Mas > § Î
Ä
! , senão
ÄÄÄ
?ß@ßA eram complanares, e portanto, tendo em conta
9.42, vem
Ä
X œ
Ä Ä
! Š> œ Ð<
Ä
Š=ÑŠ>
Ä Ä
œ
Ä
< Š=
Ä Ä
Š> .
Vamos agora verificar como se pode definir uma noção de sentido para os
vectores não nulos. Começamos, para isso, por definir uma relação de
equivalência na classe dos pares ordenados de pontos distintos de X,
relação a cujas classe de equivalência vamos chamar sentidos.
– 122–

9.44 Consideremos a relação µ na classe dos pares ordenados ÐEßFÑ de pontos
distintos de X definida por ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ se, e só se, a isometria (trans-
Û Û
lação) 7GßE
aplica a semirrecta EF sobre a semirrecta GH (lembrar que,
Û
tendo em conta 5.4 e 5.5, 7GßE
aplica a semirrecta EF da recta EF sobre
uma semirrecta da recta 7GßEÐEFÑ de origem 7GßEÐEÑ
œ G).
Tem-se então:
a) A relação µ é de equivalência.
b) Dados pontos E Á F e G, tem-se ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ, com H œ 7GßEÐFÑ.
Ä Ä Ä
Se EF œ GH Á ! , então ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ.
c) Se ÐEßFѵÐGßHÑ, então as rectas EFe GHsão
paralelas.
w w w
d) Se E é diferente de F e de F , então ÐEß FÑ µ ÐEß F Ñ se, e só se, F e F
estão numa mesma semirrecta de origem E (em particular, as rectas EF e
EFw coincidem).
Dem: a) O facto de se ter ÐEßFѵÐEßFÑé uma consequência de 7EßE ser a
identidade e aplicar assim a semirrecta EF sobre ela mesma. Supondo que
Û
Û
ÐEßFѵÐGßHÑ, a translação 7GßE
aplica a semirrecta EF sobre a
semirrecta GH e portanto a sua inversa que, tendo em conta , é ,
Û
9.22 7EßG
Û Ä
aplica GH sobre EF, o que mostra que ÐGßHѵÐEßFÑ.
Por fim, se
ÐEßFѵÐGßHÑ e ÐGßHѵÐIßJÑ a translação 7GßE aplica a semirrecta
Û Û Û
EF sobre a semirrecta GH e a translação 7IßG
aplica a semirrecta GH sobre
Û
a semirrecta IJ pelo que, tendo em conta 9.25, 7IßE œ 7IßG ‰ 7GßEaplica
a
Û Û
semirrecta EFsobre a semirrecta IJ, isto é, ÐEßFѵÐIßJÑ.
b) Uma vez que Gœ7GßEÐEÑ, se Hœ7GßEÐFÑentão a translação 7GßE
aplica a recta EF sobre a recta GH e a semirrecta EF sobre a semirrecta
Û
Û Ä Ä Ä
GH, o que mostra que ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ. Supondo que EF œ GH Á ! , em
particular EÁF e GÁH, tem-se Hœ7FßEÐGÑ(cf. 9.21)
portanto, por
9.28, vem também Hœ7GßEÐFÑdonde, como acabamos de verificar,
ÐEßFѵÐGßHÑ.
Û
c) Uma vez que a isometria 7GßE
aplica a semirrecta EF sobre a semirrecta
Û Û
Û
GH, a imagem da recta EF, que contém EF, é uma recta que contém GH,
e
portanto é a recta GH. Basta agora lembrarmos que, por 9.9,
a imagem por
7GßE da recta EF é uma recta paralela a EF.
d) Trata-se de uma consequência imediata da definição e do facto de a
translação 7EßE ser a identidade.
9.45 Vamos chamar sentido em X a uma classe de equivalência de pares orde-
nados ÐEß FÑ de pontos distintos de X para a relação
µ definida em 9.44.
A
classe de equivalência do par ordenado ÐEß FÑ será notada ÒÐEß FÑÓµ .
9.46 Chamamos direcção de um sentido ÒÐEß FÑÓ < Ä
µ à recta vectorial associada
à recta

9.47 Cada direcção
Ä
< é direcção de dois, e só dois, sentidos.
Dado um sentido, chamamos sentido oposto ao outro sentido que tem a
mesma direcção que o primeiro.
w
Dem: Fixemos E−< e sejam FßF−< distintos de E e em semirrectas de <
w
distintas de origem E. Tem-se então que que ÒÐEß FÑÓµ e ÒÐEß F ÑÓµ
são
sentidos cuja direcção é
Ä
< e são sentidos distintos uma vez que 7EßE é a
identidade e aplica assim a semirrecta EF sobre ela mesma, que é distinta da
Û
Û w
semirrecta EF . Suponhamos, enfim que ÒÐGß HÑÓµ
é um sentido cuja
direcção é
Ä
< , e portanto que = œ GH é uma recta paralela a < . Podemos
ww
então considerar F œ 7EßGÐHÑ, tendo-se portanto que a translação 7EßG
Û Ûww aplica a semirrecta GH sobre a semirrecta EF , donde ÒÐGßHÑÓµ œ
ww ww
ÒÐEß F ÑÓµ e portanto a recta EF também é paralela a < , logo igual a < por
ter o ponto E em comum. Tem-se assim que F pertence a uma das
ww
Û Ûw Ûww Û Ûw
semirrectas EF ou EF , ou seja EF é uma das semirrectas EF ou EF e
ww
portanto, mais uma vez por 7EßE ser a identidade, ÒÐGß HÑÓµ œ ÒÐEß F ÑÓµ
é
w um dos sentidos ÒÐEß FÑÓµ ou ÒÐEß F ÑÓµ
.
9.48 Dado um vector
Ä Ä
? Á!
Ä Ä
, com ? œEF , chamamos sentido de
Ä
? ao sentido
ÒÐEß FÑÓµ, sentido esse que está vem definido, tendo em conta a alínea b) de
9.44.
Repare-se que, como decorre das definições em 9.34 e 9.46,
a direcção de um
vector
Ä Ä
?Á! é igual à direcção do sentido de
Ä
? .
9.49 Dado um vector
Ä Ä
? Á! , o vector ?
Ä
tem a mesma direcção mas sentido
distinto do de
Ä
? (por outras palavras, tem sentido oposto ao de
Ä
? ) e portanto,
sendo
Ä
< a direcção de
Ä
? qualquer vector
Ä
@ −
Ä Ä
< ÏÖ!× tem o sentido de
Ä
? ou
o de ? .
Ä
Dem: Escolhendo E−< , tem-se
Ä
? œEF, para um certo F−< , e então,
Ä
tendo em conta 9.23, tem-se ?
Ä
œEF, onde F œ38@ÐFÑé um ponto de
Ä w w
E
< < F < Ä
na semirrecta de oposta à que contém e portanto é também a
direcção de ?
Ä w e o seu sentido ÒÐEß F ÑÓµ é distinto do sentido ÒÐEß FÑÓµ
de
Ä Û
? (a translação 7EßE
œ M. X aplica a semirecta EF sobre ela mesma, que é
Û w
diferente de EF ). Por fim, qualquer vector
Ä Ä
@ Á ! em
Ä
< tem que ter um dos
dois sentidos cuja direcção é
Ä
< (cf. 9.47),
e portanto o seu sentido tem que
ser o de
Ä
? ou o de ?
Ä
.
9.50 (Caracterização dos vectores por sentido e comprimento) Suponhamos
fixada uma função distância .−Y . Dado um sentido ÒÐEßFÑÓµ
e um real
+!
Ä Ä Ä
existe um, e um só, vector ? −X ÏÖ!× com aquele sentido e tal que
m?
Ä
m œ + .
Dem: Fixado E , qualquer vector
Ä Ä
? Á ! pode escrever-se de maneira única
Ä
w w
na forma EF , com F Á E e um tal vector tem o sentido ÒÐEß FÑÓ se, e só
– 124–
µ

Û Û w
se, a translação 7EßE
œM. X aplicar a semirrecta EFsobre a semirrecta EF
w
Û
ou seja, se, e só se, F pertence à semirrecta EF.
Ficamos assim reduzidos
w
Û
ao facto conhecido que existe um, e um só elemento F da semirrecta EF tal
que .ÐEßF Ñ œ + .
w
Como acontece com qualquer grupo abeliano, com notação aditiva, o
conjunto dos vectores livres fica a ser automaticamente um módulo sobre
o anel dos inteiros, onde a acção de associa a cada 8−
e a cada
vector
Ä
? um vector 8?
Ä
. Lembramos que o vector 8?
Ä
, com 8 ! , pode
ser definido indutivamente por !
Ä Ä
? œ ! e Ð8 "Ñ?
Ä
œ 8?
Ä
Ä
? (em particular
"
Ä
? œ
Ä
? ) e que, para 8 Ÿ ! , define-se 8?
Ä
œ Ð8Ñ?
Ä
(para 8 œ !
Ä
as duas caracterizações dão o mesmo resultado, nomeadamente ! ), em
particular ?
Ä
œ Ð"Ñ?
Ä Ä Ä
. Lembremos ainda que se tem 8! œ ! , para cada
8−.
O nosso próximo objectivo é mostrar que o conjunto dos vectores livres
tem mesmo uma estrutura de espaço vectorial real, cuja soma é a definida
anteriormente. A multiplicação pelos reais estende então automaticamente
a multiplicação pelos inteiros referida atrás.
9.51 Sejam
Ä
? um vector e +− ‘ . Define-se então um vector +?
Ä
, produto do real
+ ? Ä
pelo vector , do seguinte modo:
a) Se +œ! ou
Ä Ä
? œ! , então +?
Ä Ä
œ! .
b) Se +! e
Ä Ä
? Á! , então, fixado .− Y,
+?
Ä
é o único vector com o
mesmo sentido que
Ä
? e tal que m+?
Ä
m œ +m?
Ä
. m.
(constata-se então que, para
w cada . − Y, tem-se ainda m+?
Ä
m œ +m?
Ä
. w m.
w,
pelo que o resultado não
depende da fixação de . ).
c) Se +! e
Ä Ä
? Á! , então, fixado .− Y,
+?
Ä
é o único vector com o
sentido oposto ao de
Ä
? e tal que m+?
Ä
m œ l+lm?
Ä
. m.
(constata-se então que,
w para cada . − Y, tem-se ainda m+?
Ä
m œ l+lm?
Ä
. w m.
w,
pelo que o resultado não
depende da fixação de . ).
9.52 Como consequência imediata da definição anterior, vemos que, fixada uma
função distância .−Y e considerando a norma associada, tem-se, para cada
Ä Ä
? − X e + − ‘ , m+?
Ä
m œ l+lm?
Ä
m.
9.53 (Lema) Fixemos uma função
distância .− Y e seja < uma recta e 0À

) Começamos por reparar que b) é trivial no caso em que
Ä Ä
?œ! (ou seja,
EœS
Ä Ä
) ou @ œ! (ou seja, FœS)
pelo que basta examinar o caso em que
Ä Ä
?Á!
Ä Ä
@Á!
Ä Ä
e . Tendo em conta 9.20,
tem-se também @œEG,
onde
Gœ7ES ÐFÑ,
e portanto, por 9.13,
0ÐGÑœ 0ÐFÑÐ0ÐEÑ0ÐSÑÑœ0ÐEÑ0ÐFÑ. Basta agora atendermos que se tem, por 9.25,
Ä
?
Ä
@ œ SE EG œ SG
Ä Ä Ä .
c) Começamos por reparar que a conclusão é trivial no caso em que + œ!
(vem HœS ) e naquele em que
Ä Ä
? œ! (vem EœS, donde 0ÐHÑœ! e
HœS +Á!
Ä Ä
). Podemos assim supor já que se tem e ? Á! . Supondo que
+ ! , 0ÐHÑ e 0ÐEÑ têm o mesmo sinal ou seja, por ser 0ÐSÑ œ ! , H e E
Ä Ä
estão na mesma semirrecta de origem S e portanto os vectores SH e SE
têm o mesmo sentido, pelo que, por ser
Ä
mSHm œ .ÐSß HÑ œ l0ÐHÑ 0ÐSÑl œ l0ÐHÑl œ +l0ÐEÑl œ
œ +l0ÐEÑ 0ÐSÑl œ + .ÐSß EÑ œ +mSEm
Ä
.
.,
Ä Ä
tem-se efectivamente SHœ+SEœ+?
Ä
. Supondo agora que +! , 0ÐHÑe
0ÐEÑtêm sinais distintos ou seja, por ser 0ÐSÑœ ! , H e E estão em semir-
Ä Ä
rectas opostas de origem S e portanto os vectores SH e SE têm sentidos
opostos, pelo que, por ser
Ä
mSHm œ .ÐSß HÑ œ l0ÐHÑ 0ÐSÑl œ l0ÐHÑl œ l+ll0ÐEÑl œ
œ l+ll0ÐEÑ 0ÐSÑl œ l+l .ÐSß EÑ œ l+lmSEm
Ä
.
.,
Ä Ä
tem-se efectivamente SH œ + SE œ +?
Ä
.
9.54 (Primeiras propriedades da multiplicação pelos reais) Dados +ß , − ‘ e
ÄÄ
?ß@ −
Ä X que sejam colineares, tem-se:
a) 0 †?
Ä Ä Ä Ä
œ! , +†! œ! , "†?
Ä
œ?
Ä
e Ð"ц?
Ä
œ?
Ä
;
b) Ð+ ,Ñ?
Ä
œ +?
Ä
,?
Ä
;
c) Ð+,Ñ?
Ä
œ +Ð,?Ñ
Ä
;
d) +Ð?@Ñœ+?+@
Ä Ä Ä Ä
.
Dem: As propriedades em a) resultam imediatamente da definição em 9.51.
Para as restantes alíneas, fixemos um função distância .− Y,
uma recta < tal
que
ÄÄ
?ß@ −<
Ä
e um . -sistema de coordenadas 0À< Ä ‘ com origem S −< e
consideremos EßF−< tais que
Ä Ä
? œSEe Ä Ä
@ œSF.
Aplicando as diferentes
conclusões do lema 9.53 , vemos que se tem +?
Ä Ä
œ SE e ,?
Ä Ä
w ww œ SE , com
0ÐEÑ œ +0ÐEÑ 0ÐE Ñ œ ,0ÐEÑ +?
Ä
,?
Ä
œ SG 0ÐGÑœ Ä
w ww e , donde , com
– 126–

+0ÐEÑ ,0ÐEÑ œ Ð+ ,Ñ0ÐEÑ , o que mostra que +?
Ä
,?
Ä
œ Ð+ ,Ñ?
Ä
. Do
mesmo modo, de ser ,?
Ä
œ SE , com 0ÐE Ñ œ ,0ÐEÑ,
deduzimos que
Ä ww ww
+Ð,?Ñ
Ä Ä ww
œ SH, com 0ÐHÑœ +0ÐE Ñ œ +,0ÐEÑ , o que mostra que +Ð,?Ñ
Ä
œ
Ð+,Ñ?
Ä Ä
? @
Ä
œEG 0ÐGÑœ0ÐEÑ0ÐFÑ
Ä
. Quanto a d), sabemos que , com ,
donde +Ð?
Ä
Ä Ä
w w
@ Ñ œ EG , com 0ÐG Ñ œ +0ÐGÑ œ +0ÐEÑ +0ÐFÑ e, por
outro lado, +?
Ä Ä
œ SE e +@
Ä Ä
w w w w
œ SF, com 0ÐEÑ œ +0ÐEÑe 0ÐFÑ œ +0ÐFÑ
donde resulta finalmente que +?
Ä
+@
Ä Ä
w œEG œ+Ð?
Ä
@Ñ
Ä
.
9.55 (Espaço vectorial) O conjunto X Ä dos vectores do espaço, com a soma de
vectores e a multiplicação de um vector por um número real atrás definidas, é
um espaço vectorial.
Dem: A única propriedade que nos falta estabelecer é a igualdade
+Ð?@Ñœ+?+@
Ä Ä Ä Ä
, no caso em que os vectores
Ä
? e
Ä
@não
são colineares,
Ä
em particular são ambos diferentes de ! . Podemos também já supor que
Ä Ä Ä
+! , uma vez que a igualdade se reduz a ! œ!! , no caso em que
+œ! , e que o caso em que +! se reduz àquele em que +! , tendo em
conta que se +! , pode-se escrever
Ð+ÑÐ?
Ä
Ä
@ Ñ œ +ÐÐ"ÑÐ?
Ä
Ä
@ ÑÑ œ +ÐÐ?
Ä
Ä
@ ÑÑ œ +ÐÐ?
Ä
Ñ Ð@
Ä
ÑÑ œ
œ +Ð?
Ä
Ñ +Ð@
Ä
Ñ œ +ÐÐ"Ñ?
Ä
Ñ +ÐÐ"Ñ@
Ä
Ñ œ
œ Ð+Ñ?
Ä
Ð+Ñ@
Ä
.
Depois de termos mostrado que basta considerar o caso em que +! ,
reparemos agora que basta considerar o caso em que !+" . Com efeito,
se +œ" a igualdade pretendida é trivial (
Ä
? @
Ä
œ?
Ä
@
Ä
) e, se tivermos
provado a igualdade no caso em que +" vemos que, para +" , tem-se
"
+ ", e portanto
+Ð?
Ä
Ä "
@ Ñ œ +ÐÐ +Ñ?
Ä "
Ð +Ñ@
Ä "
Ñ œ +Ð Ð+?
Ä "
Ñ Ð+@
Ä
ÑÑ œ
+ + + +
"
œ +Ð Ð+?
Ä
+@
Ä "
ÑÑ œ Ð+ ÑÐ+?
Ä
+@
Ä
Ñ œ +?
Ä
+@
Ä
.
+ +
Passemos então à demonstração no caso em que +" . Escolhamos pontos
Eß F
Ä Ä
? œ EF G
Ä Ä
tais que e um ponto tal que @ œ FG . O facto de
Ä
? e
Ä
@ não
serem colineares implica que Eß Fß G não são colineares e tam-se então
+?
Ä
œ E\ \ − ÒEß FÓ E F
Ä , onde é distinto de e de e definido pela condição
de se ter lE\l œ +lEFl. Podemos então aplicar o lema 8.1 para considerar o
único ponto ]−ÒEßGÓ tal que a recta \] seja paralela a FG,
ponto esse
que é diferente de E e de G, e o único ponto ^ − ÒGFÓ tal que a recta ]^
seja paralela a EF, ponto esse que é diferente de F e de G,
tendo-se então
que ÐFß^ß]ß\Ñé
um paralelogramo.
– 127–

B
A
X Y
Pelo teorema de Thales em 8.3, tem-se também lF^l œ l\] l œ +lFGl e
Ä Ä
lE] l œ +lEGl, a última igualdade implicando que E] œ +EG e a primeira
Ä Ä
que F^ œ +FG œ +@
Ä
. Por outro lado, tendo em conta 9.12 e 9.20,
tem-se
Ä Ä Ä
F^ œ \] , e portanto também \] œ +@
Ä
. Podemos agora escrever, tendo
Ä Ä Ä
em conta 9.25, EGœEFFGœ?@
Ä Ä
, donde
+Ð?
Ä
Ä Ä Ä Ä
@ Ñ œ E] œ E\ \] œ +?
Ä
+@
Ä
.
9.56 Se < § < Ä
X é uma recta, então a correspondente recta vectorial é um
subespaço vectorial de dimensão " de e qualquer subespaço vectorial de
Ä X
dimensão " de é deste tipo.
Ä X
Dem: Fixemos uma função distância .−Y e seja 0À

Ä
Z fosse um subespaço vectorial de dimensão # , podíamos considerar uma
base
ÄÄ
@ßA de , que eram assim não colineares e portanto, por , existia
Ä Z 9.40
um plano vectorial
Ä
! contendo
Ä
@ e
Ä
A , de onde duduzimos que Z §
Ä
! ,
Ä
Ä
donde Z œ
Ä
! , por se tratarem de subespaços vectoriais com a mesma
dimensão.
9.58 O espaço vectorial X Ä
tem dimensão $ .
Dem: Sejam Eß Fß Gß H pontos não complanares de X. Tendo em conta 9.41,
os vectores
Ä Ä
? œ EF, Ä Ä
@ œ EG e
Ä Ä
A œ EH são não complanares e portanto,
por 9.43 , sendo
ÄÄ Ä
< , = e > as rectas vectoriais que contêm aqueles três
Ä
vectores, tem lugar a soma directa X œ<
Ä
Š=
Ä Ä
Š> de subgrupos abelianos
Ä
que são subespaços vectoriais de dimensão " , o que mostra que X é um
espaço vectorial de dimensão $ .
Vamos agora examinar alguns exemplos de utilização da Álgebra Linear
Ä
de X ao estudo da Geometria.
9.59 (Caracterização vectorial dos pontos da recta) Sejam < uma recta e EßF
dois pontos distintos de < . Tem-se então que os pontos \ − < são
Ä Ä
exactamente aqueles para os quais se tem E\ œ>EF , para um certo >−‘
.
Û
Um tal > é então único e, sendo < œ EF e < a semirrecta oposta de origem
E , tem-se \−< se, e só se, > ! e \−< se, e só se, >Ÿ! .
Dem: Sabemos que os pontos \−< são exactamente aqueles para os quais
Ä
E\ −
Ä
< pelo que a primeira afirmação, tal como aquela sobre a unicidade de
> EF Ä
resulta simplesmente de que é um vector não nulo, e portanto uma base
do subespaço vectorial
Ä
< de dimensão " . Afastando agora o caso trivial em
que \œE , que pertence a ambas as semirrectas e para o qual >œ! , vemos
Ä Ä
que \−< se, e só se, os vectores E\ e EFtêm
o mesmo sentido o que,
tendo em conta a definição da multiplicação dos vectores pelos números reais
em 9.51 , equivale a >! .
9.60 (Combinações afins de pontos) Sejam ÐE4Ñ4−Numa família finita de
pontos e Ð> 4Ñ 4−Numa família de números reais tal que ! > 4œ
" . Existe então
4
um, e um só, ponto \ , que notaremos ! > E com a propriedade de, para
Ä Ä
qualquer ponto S, se ter S\ œ ! > SE .
4
– 129–
4
4 4
Dem: A unicidade de um ponto \ nas condições pedidas é imediata. Para
provarmos a existência, o que temos que repararar é que, escolhendo S e
Ä Ä
definindo \ pela condição de se ter S\ œ ! > SE , então dado outro
4 4
4
4 4

ponto S , tem-se w
Ä Ä Ä
w w Ä Ä
S\œSSS\œ " w
> SS " > SE œ
Ä Ä
Ä
œ " w
> ÐS SSE Ñ œ " w
> S E .
– 130–
4 4 4
4 4
4 4 4 4
4 4
9.61 (Nota) É comum utilizar notações
alternativas para ! >E (quando se tem
!
4
> œ ") que são claramente entendidas como sinónimas. Ninguém terá
4
dúvidas em entender, por exemplo, o que queremos significar ao escrever
=E>F (se =>œ" ) ou = " E" â= 8E 8 (se = " â= 8 œ" ).
Note-se que, como caso particular trivial, tem-se Eœ"E.
9.62 (Caracterização afim dos pontos duma recta, duma semirrecta e dum
segmento de recta) Sejam < uma recta e EßF dois pontos distintos de < .
Tem-se então que os pontos \−< são exactamente aqueles para os quais se
tem \œ=E>F , com =>œ" , os reais =ß> estando então univocamente
determinados por \ . Tem-se então E œ "E !F, F œ !E "F e, para \
Û Û
com a decomposição referida, \−EF se, e só se, > ! , \−FEse,
e só
se, = ! (ou, o que é equivalente, >Ÿ" ) e portanto \−ÒEßFÓse,
e só se,
> ! e = ! (ou, o que é equivalente, >−Ò!ß"Ó).
Dem: A caracterização dos pontos \−< como os que se podem escrever na
forma \œ=E>F , com =>œ" , e a unicidade de uma tal decomposição
resultam de 9.59, uma vez que, escolhendo como ponto auxiliar o ponto E,
Ä Ä Ä Ä Ä
aquela igualdade é equivalente a E\ œ =EE >EF, isto é a E\ œ >EF,
igualdade que, para cada \ é verificada para um único > , o qual determina =
pela condição =œ"> . É evidente que "E!Fœ"EœE e que
Û
!E "F œ "F œ F . O facto de se ter \ − EF se, e só se, > ! é uma
consequência de 9.59 uma vez que, como já referido, \œ=E>F é
Ä Ä
equivalente a E\ œ >EF. Por simetria dos papéis de E e F,
tem-se
Û
\−FE se, e só se, = ! , o que é equivalente a >Ÿ" , por ser >œ"=Þ
Por fim, sabemos que \−ÒEßFÓ se, e só se, \ pertence simultaneamente às
Û Û
semirrectas EF e FE , o que é equivalente a > ! e = ! , e portanto
também a >−Ò!ß"Ó uma vez que, como já referido, = ! é equivalente a
>Ÿ".
9.63 (Caracterização vectorial dos pontos do plano) Sejam ! um plano,

Ä Ä Ä
E\ œ = EF > EG,
com =ß > − ‘ . Um tal par de números reais Ð=ß >Ñ é então único e tem-se
\−< se, e só se, >œ! , \− ! se, e só se, > ! e \−!
se, e só se,
>Ÿ!.
Dem: Sabemos que os pontos \−! são exactamente aqueles para os quais
Ä
E\ −
Ä!
pelo que a primeira afirmação, assim como a unicidade do par
Ä Ä
Ð=ß >Ñ, resultam de que, por 9.35,
EF e EG são vectores não colineares, logo
linearmente independentes, do espaço vectorial
Ä
! de dimensão # , e portanto
uma base deste espaço. A caracterização dos pontos \−< em 9.59
mostra-nos que, para um tal ponto \ , tem-se \ − < se, e só se, > œ ! . Seja
Ä Ä Ä
agora \ − ! Ï < , portanto E\ œ = EF > EG com > Á ! . Tendo em conta
a caracterização dos segmentos de recta em 9.62 , os pontos ]−ÒGß\Ósão
aqueles para os quais, para um certo ?−Ò!ß"Ó,
Ä Ä Ä Ä Ä
E] œ Ð" ?ÑEG ?E\ œ Ð" ? ?>ÑEG ?=EF.
Se > ! , tem-se, para todo o ? − Ò!ß "Ó , " ? ?> ! portanto ] Â < , o
que mostra que o segmento de recta ÒGß \Ó não intersecta < , e portanto \
está no mesmo semiplano de bordo < que G , ou seja, \ − !.
Suponhamos
"
agora que >! . Podemos então considerar o valor ?œ "> −Ò!ß"Ó,
para o
qual se tem "??>œ! , pelo que o ponto ] −ÒGß\Ódefinido
por
Ä Ä Ä
E] œ Ð" ?ÑEG ?E\ pertence a < , o que mostra que G e \ estão em
semiplanos opostos de bordo < , ou seja, \ − !.
9.64 (Corolário) Sejam ! um plano e Eß Fß G três pontos não colineares de ! e
Û Û
consideremos as semirrectas < œ EF e = œ EG de origem E e o
correspondente sector angular nÖ< ß = × § ! . Tem-se então que um ponto
Ä Ä Ä
\ − !, com E\ œ ?EF @ EG, pertence a nÖ< ß = ×
se, e só se, ? ! e
@ !.
Dem: Trata-se de uma consequência de 9.63,
se nos lembrarmos que
nÖ< ß = × é a intersecção do semiplano de ! de bordo EF que contém G
com o semiplano de ! de bordo EG que contém F.
9.65 (Caracterização afim dos pontos dum plano, dum semiplano, dum
sector angular e dum segmento triangular) Sejam ! um plano e Eß Fß G
três pontos não colineares de ! . Tem-se então que os pontos \−!
são
exactamente aqueles para os quais se tem
\œ=E>F?G,
com =>?œ" e, para cada ponto \ nessas condições, o triplo Ð=ß>ß?Ñ
fica univocamente determinado. Além disso, para um ponto \ nessas
condições, tem-se que \ pertence à recta EF se, e só se ? œ ! , \ pertence
ao semiplano de ! de bordo EF que contém G se, e só se, ? ! , \
pertence
– 131–

Û Û
ao sector angular nÖEFß EG× se, e só se, > ! e ? ! e \ pertence ao
segmento triangular ÒEßFßGÓ se, e só se, = !ß> ! e ? ! .
Dem: A caracterização dos pontos \−! como os que se podem escrever na
forma \œ=E>F?G , com =>?œ", e a unicidade de uma tal
decomposição resultam de 9.63,
uma vez que, escolhendo como ponto
auxiliar o ponto E,
aquela igualdade é equivalente a
Ä Ä Ä Ä
E\ œ =EE >EF ?EG,
Ä Ä Ä
isto é a E\ œ >EF ?EG , igualdade que, para cada \ é verificada para
um único par Ð>ß ?Ñ , o qual determina = pela condição = œ " > ? . As
condições referidas no enunciado para que \ pertença à recta EF,
ao
Û Û
semiplano de ! de bordo EF que contém G e ao sector angular nÖEFß EG×
resultam das correspondentes condições em 9.63 e 9.64 e a condição para
que \ pertença ao segmento triangular ÒEßFßGÓ resulta de que isso é
Û Û
equivalente a \ pertencer simultaneamente ao sector angular nÖEFßEG× e
ao semiplano de ! de bordo FG que contém E.
9.66 (Caracterização vectorial dos pontos do espaço) Sejam ! um plano e
HÂ! e notemos X o semiespaço de bordo ! que contém He
X
o outro
semiespaço com o mesmo bordo (cf. 2.11). Sejam Eß Fß G pontos não
colineares de ! . Tem-se então que, para cada \−X, o vector E\ escreve-se
Ä
de modo único na forma
Ä Ä Ä Ä
E\ œ = EF > EG ? EH,
tendo-se então que \− ! se, e só se, ?œ! , \− Xse,
e só se, ? ! e
\− X se, e só se, ?Ÿ! .
Dem: Uma vez que Eß Fß Gß H são não complanares, resulta de 9.41 que os
Ä Ä Ä
vectores EF, EG e EH são não complanares, portanto linearmente indepen-
Ä
dentes, logo uma base de X , o que mostra que, para cada ponto \ , o vector
Ä Ä Ä Ä Ä
E\ escreve-se de modo único na forma E\ œ = EF > EG ? EH,
com
=ß>ß?− ‘ . O facto de se ter \− ! se, e só se, ?œ! é uma consequência da
caracterização dos pontos de ! em 9.63 . Seja agora \−X Ï!
, portanto
Ä Ä Ä Ä
E\ œ = EF > EG ? EH com ? Á ! . Tendo em conta a caracterização
dos segmentos de recta em 9.62 , os pontos ]−ÒHß\Ósão
aqueles para os
quais, para um certo @−Ò!ß"Ó,
Ä Ä Ä Ä Ä Ä
E] œ Ð" @ÑEH @E\ œ Ð" @ @?ÑEH @=EF @>EG.
Se ? ! , tem-se, para todo o @ − Ò!ß "Ó , " @ @? ! portanto ] Â ! , o
que mostra que o segmento de recta ÒGß \Ó não intersecta ! , e portanto \
está no mesmo semiespaço de bordo ! que G , ou seja, \ − X.
Suponhamos
"
agora que ?! . Podemos então considerar o valor @œ "? −Ò!ß"Ó,
para o
qual se tem "@@?œ! , pelo que o ponto ] −ÒGß\Ódefinido
por
– 132–

Ä Ä Ä
E] œ Ð" @ÑEH @E\ pertence a ! , o que mostra que G e \ estão em
semiespaços opostos de bordo ! , ou seja, \−X.
9.67 (Caracterização afim dos pontos do espaço e dum semiespaço) Sejam !
um plano e HÂ! e notemos X o semiespaço de bordo ! que contém He
Eß Fß G
colineares de ! . Tem-se então que qualquer ponto \−X
se escreve de modo
único na forma
\œ=E>F?G@H,
X o outro semiespaço com o mesmo bordo. Sejam pontos não
com =>?@œ" , tendo-se \−! se, e só se, @œ! , \−Xse,
e só
se, @ ! e \−X se, e só se, @Ÿ! .
Dem: O facto de qualquer ponto \−X se poder escrever na forma
\œ=E>F?G@H , com =>?@œ" , e a unicidade de uma tal
decomposição resultam de 9.66,
uma vez que, escolhendo como ponto
auxiliar o ponto E,
aquela igualdade é equivalente a
Ä Ä Ä Ä Ä
E\ œ =EE >EF ?EG @EH,
Ä Ä Ä Ä
isto é a E\ œ >EF ?EG @EH , igualdade que, para cada \ é verificada
para um único triplo Ð>ß?ß@Ñ , o qual determina = pela condição
=œ">?@ . As condições referidas no enunciado para que \ pertença
a ! , a X e a X
resultam das correspondentes condições em 9.66.
10. Ângulo de vectores, ortogonalidade, produto interno.
10.1 Existe uma única aplicação .s que a cada par de vectores
Ä
? e
Ä
@ não
colineares (em particular não nulos) associa .sÐ?ß@Ñ−Ó!ß#Ò
ÄÄ
tal que, sempre
que
Ä Ä
? œ EF e
Ä Ä
@ œ EG, se tenha Ð?
ÄÄ Û Û
s. ß @ Ñ œ . ÐÖEFß EG×Ñ (cf. 3.16).
Dizemos que .sÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ é a amplitude do ângulo dos vectores
Ä
? e
Ä
@ .
Dem: A unicidade de uma aplicação .s nas condições pedidas é uma
consequência de que, fixado E, existem pontos únicos F e G tais que
Ä Ä
? œ EF
Ä Ä
Û Û
e @ œ EG e então Eß Fß G são não colineares, pelo que EF e EG
são semirrectas com a mesma origem determinando rectas distintas. Para
terminar a demonstração, tudo o que temos que verificar é que, se for
também
Ä Ä
? œEF e
Ä Ä
w w w w @ œEG,
então tem-se
Û Û Ûw w Ûw
w . ÐÖEFßEG×Ñœ. ÐÖEFßEG ×Ñ.
Ora, por 9.28,
uma vez que
w w w
F œ 7FßEÐEÑ, tem-se também F œ 7EwEÐFÑ
e, do mesmo modo
w w
G œ 7EE w ÐGÑ e, evidentemente, E œ 7EE
w ÐEÑ.
Tendo em conta o facto de
7EE w ÀX Ä X ser uma isometria, deduzimos agora de que se tem
5.8
Û Û Ûw w Ûw
w efectivamente . ÐÖEFßEG×Ñœ. ÐÖEFßEG ×Ñ.
– 133–

10.2 Extendemos a definição anterior definindo, quando
Ä
? e
Ä
@ são vectores não
nulos colineares, a amplitude do ângulo .sÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ œ ! , se os vectores tiverem
o mesmo sentido, e .sÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ œ # , se os vectores tiverem sentidos diferentes.
10.3 Quaisquer que sejam os vectores não nulos ? ÄÄ
ß@ e +! , tem-se:
a) . sÐ?ß@Ñœ ÄÄ
. sÐ@ß?Ñ
ÄÄ
;
b) . sÐ+?ß@Ñœ ÄÄ
. sÐ?ß@Ñ
ÄÄ
;
c) . sÐ?ß@Ñœ# ÄÄ
. sÐ?ß@Ñ
ÄÄ
.
Dem: A alínea a) resulta trivialmente das definições em 10.1 e 10.2.
Quanto
a b), no caso em que os vectores são colineares, temos uma consequência de
Ä
? e +?
Ä
terem o mesmo sentido e, no caso em que não são colineares, basta
repararmos que, sendo
Ä Ä
? œ EF e
Ä Ä
@ œ EG , tem-se +?
Ä Ä
w œ EF , onde, por
Ä Ä
w Û Û w
EF ter o mesmo sentido que EF, as semirrectas EF e EF coincidem.
Qanto a c), no caso em que os vectores são colineares, temos uma
consequência de
Ä
? e ?
Ä
terem sentidos opostos e, no caso em que não são
colineares, basta repararmos que se tem ?
Ä
œ EF , onde as semirrectas EF
Ä ww Û
ÛwÛ Û Ûww
Û
e EF são opostas, e portanto os ângulos ÖEFß EG× e ÖEF ß EG× são
adjacentes.
10.4 (Nota) Os resultados precedentes tornam possível definir, sem dificuldade,
a amplitude do ângulo de duas semirrectas, não necessariamente com a
mesma origem, de tal modo que quando elas tenham a mesma origem e
tenham rectas continentes distintas, se reencontre a noção em 3.16.
10.5 Dizemos que dois vectores
Ä
? e
Ä
@ são ortogonais, ou perpendiculares,
e
escrevemos
Ä
?¼@
Ä Ä
, se pelo menos um deles for ! ou, sendo ambos não
nulos, for .sÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ œ " .
10.6 A relação de ortogonalidade verifica as seguintes condições:
a) Se
Ä
?¼@
Ä
, então
Ä
@¼?
Ä
;
b) Se
Ä
?¼@
Ä
, então, para cada +− ‘ ,
Ä
?¼+@
Ä
.
Dem: Trata-se de uma consequência imediata de 10.3 se repararmos que,
afastando já os casos triviais em que
Ä Ä
?œ! ou
Ä Ä
@œ! , se s. Ð?ß@Ñœ"
ÄÄ
, então
tem-se também . sÐ?ß@Ñœ# Ä Ä
. sÐ?ß@Ñœ"
ÄÄ
, donde, para +! ,
. sÐ?ß+@Ñœ Ä Ä
. Ð?ß@Ñœ"
ÄÄ
, para +! , . sÐ?ß+@Ñœ Ä Ä
. sÐ?ß@Ñœ"
Ä Ä
e, para
+œ! +@
Ä Ä
, œ! , donde
Ä
? ¼+@
Ä
.
10.7 (O complementar ortogonal de um conjunto) Seja T § Ä X um conjunto
de vectores. Define-se então o complementar ortogonal de T como sendo o
¼ conjunto T dos vectores
Ä Ä
?− X tais que
Ä
?¼@
Ä
para qualquer
Ä
@−T.
10.8 Tem-se:
a) Para cada T , ! Ä − T¼ ;
¼ ¼
b) Se T § U, então T ¨ U ;
c) g œ Ä ¼ X
– 134–

Ä Ä ¼ d) Ö! × œ X
ļ Ä
e) X œÖ!× .
Ä
Dem: As alíneas a) e d) resultam de se ter !¼@
Ä
, para todo o
Ä
@.
As alíneas
b) e c) são triviais. A alínea e) resulta de a) e de que, se
Ä Ä
?Á! , então não se
tem
Ä
? ¼?
Ä
( Ð?ß?Ñœ!
ÄÄ
) e portanto
Ä Ä
. s
? Â X . ¼
10.9 (O complementar ortogonal de um vector não nulo e de uma recta
vectorial) Sejam
Ä Ä
? Á! um vector e
Ä
< a única recta vectorial tal que
Ä
? −<
Ä
(cf. 9.34). Tem-se então que Ö?
Ä ¼ × œ
ļ < é um plano vectorial
Ä
! , para o qual
Ä
se tem X œ<
Ä
Š
Ä
! . Mais precisamente, escolhendo T −< , pode-se tomar
para ! o plano perpendicular a < que passa por T (cf. 5.21).
Dem: Uma vez que
Ä
< é um espaço vectorial de dimensão " que contém o
vector não nulo
Ä
? , segue-se que todo o vector de
Ä
< é da forma +?
Ä
com
+− ? Ä
‘ e portanto qualquer vector ortogonal a é ortogonal a todos os
vectores de
Ä
< , o que mostra que se tem Ö?×
Ä ¼ œ
ļ
< . Escolhamos T − < , seja
U−<
Ä
? œTU < T
Ä
tal que e seja ! o plano perpendicular a que passa por .
Cada vector
Ä
@−
Ä
! é perpendicular a
Ä
? visto que, supondo-o já diferente de
Ä
!
Ä
@ œ TE E − T TE
Ä
, tem-se , com ! distinto de e então as rectas e
TU œ < sÐ?ß@Ñœ "
ÄÄ
são perpendiculares (cf. 5.17 ), em particular . .
Reciprocamente, se
Ä Ä
@− X é perpendicular a
Ä
? , então
Ä
@−
Ä
! visto que,
supondo já
Ä Ä
@Á! , podemos escrever
Ä Ä
@œTF, para um certo F−Xe
então
a recta TF é perpendicular à recta TU œ < donde, por 5.19 , TF § ! , em
particular
Ä Ä
@œTF−
Ä
! . Ficou assim provado que
Ä
! œ<
Ä
e o facto de ter
Ä
lugar a soma directa X œ<
Ä
Š
Ä
! resulta, por exemplo, de 9.42,
uma vez que
Ä
<
Ä Ä Ä
! œÖ!× , já que um vector diferente de ! nunca é perpendicular a si
mesmo.
10.10 (Corolário) O complementar ortogonal de qualquer conjunto T § Ä X é um
Ä Ä Ä
subespaço vectorial de X, e portanto é Ö! × , ou X,
ou uma recta vectorial
Ä
< ,
ou um plano vectorial
Ä
! .
Ä ¼ ¼
Dem: Já sabemos que g œ X e, se T Á g,
T é trivialmente a intersecção
dos Ö?
Ä ¼ × , com
Ä
? − T e portanto, sendo uma intersecção de subespaços
vectoriais é um subespaço vectorial. Basta agora reparar que, uma vez que X Ä
tem dimensão $ , os seus subespaços vectoriais só podem ter dimensão ! , " , #
ou $ , no primeiro caso sendo igual a Ö!× , no segundo sendo uma recta
Ä
vectorial
Ä
< (cf. 9.56), no terceiro sendo um plano vectorial (cf. 9.57)
e no
Ä
quarto sendo igual a X .
10.11 (O complementar ortogonal de um plano vectorial) Dado um plano
vectorial
Ä
!
ļ , tem-se que ! é uma recta vectorial
Ä
< , para a qual se tem
Ä
X œ
Ä
! Š<
Ä
. Mais precisamente, escolhendo T − ! , pode-se tomar para < a
– 135–

ecta perpendicular a ! que passa por T (cf. 5.22).
Dem: Escolhamos T− ! e seja < a recta perpendicular a ! que passa por T.
Cada vector
Ä
@−<
Ä
é ortogonal a
Ä
, visto que, supondo já
Ä Ä
!
@Á! , podemos
escrever
Ä Ä
@œTUcom U−< distinto de Te então
Ä
@é
ortogonal a qualquer
vector
Ä
?−
Ä
visto que, supondo já
Ä Ä
?Á! , tem-se
Ä Ä
!
?œTE,
para um certo
E−! distinto de T e então a recta TEestá
contida em ! portanto, por
definição, < œ TU é perpendicular a TE, em particular sÐ?ß@Ñœ " .
ÄÄ
.
Suponhamos, reciprocamente, que
Ä Ä
@−X
é ortogonal a
Ä
! e mostremos que
Ä
@−<
Ä Ä Ä
@Á!
Ä Ä
, para o que podemos já supor , portanto @œTU,
para um
certo U−X distinto de T . Para cada recta =§ ! com T −= , podemos
considerar E−= distinto de T e então
Ä Ä
@ é ortogonal ao vector TE−
Ä
! ,
w
pelo que a recta < œ TU é perpendicular à recta =œ TE.
Ficou assim
w provado que < é perpendicular a todas as rectas de ! que passam por T,
ou
w w
seja < é perpendicular ao plano ! o que, por 5.22,
implica que < œ < , e
portanto
Ä Ä
@œTU−<
Ä Ä
. O facto de se ter X œ
Ä
! Š<
Ä
é uma consequência de
10.9, uma vez que ! é o plano perpendicular a < que passa por T.
Vamos agora definir o produto interno de vectores do espaço, associado a
uma função distância que se suporá fixada. Começamos, para isso, por
considerar o caso mais simples em que os vectores são colineares.
10.12 Consideremos fixada uma função distância .−Y e notemos
simplesmente m?
Ä
m a norma m?
Ä
m dum vector
Ä
.
? , associada a . (cf. 9.15 e a
alínea 8) em 9.31 ). Dados dois vectores colineares
Ä
? e
Ä
@,
definimos o seu
produto interno Ø?ß@Ù
ÄÄ
− , ou simplesmente Ø?ß@Ù−
ÄÄ
. ‘ ‘ , se . estiver
implícito, do seguinte modo:
1) Se
Ä Ä
?œ! ou
Ä Ä
@œ! , definimos Ø?ß@Ùœ!
ÄÄ
;
2) Se
Ä Ä
?Á! e
Ä Ä
@Á! tiverem o mesmo sentido (cf. 9.48),
definimos
Ø?
ÄÄ
ß @ Ù œ m?
Ä
mm@
Ä
m.
3) Se
Ä Ä
?Á! e
Ä Ä
@Á! tiverem sentidos opostos (cf. 9.48 e 9.47),
definimos
Ø?
ÄÄ
ß @ Ù œ m?
Ä
mm@
Ä
m.
w w
10.13 Dadas duas funções distância .ß. − Y,
com . œ -. , para um certo
- ! , tem-se, quaisquer que sejam os vectores colineares
ÄÄ
?ß@, Ø?ß@Ù
ÄÄ
. œ w
# -Ø?ß@Ù
ÄÄ
..
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição, tendo em conta a
correspondente propriedade para as normas em 9.16.
10.14 (Corolário) Consideremos fixada uma função
distância .−Y.
Qualquer
que seja o vector
Ä
? , tem-se Ø?ß?Ùœm?m
ÄÄ Ä # .
Dem: Se
Ä Ä
?Á! , temos uma consequência da alínea 2) da definição.
Se
Ä Ä
?œ! , ambos os membros da igualdade são ! .
– 136–

10.15 (Lema) Consideremos fixada uma função
distância .− Y e sejam < uma
recta e 0À< Ä ‘ um d-sistema de coordenadas de origem S − < . Quaisquer
Ä Ä
que sejam Eß F − < , tem-se então ØSE ß SFÙ œ 0ÐEÑ0ÐFÑ.
Dem: Uma vez que 0ÐSÑœ ! , a igualdade anterior é trivial no caso em que
Ä Ä Ä
um dos vectores SE e SF é ! (tem-se então E œ S ou F œ S).
Afastando
já este caso trivial reparamos que se tem
Ä
mSEm œ .ÐSß EÑ œ l0ÐEÑ 0ÐSÑl œ l0ÐEÑl
Ä
e, do mesmo modo, mSFm œ l0ÐFÑl pelo que, para concluirmos o resultado,
Ä Ä
basta repararmos que os vectores SE e SF têm o mesmo sentido se, e só se,
E e F pertencem à mesma semirrecta de < de origem S,
o que, uma vez que
0 transporta uma das ordens lineares de < sobre a ordem usual de ‘ , é
equivalente a 0ÐEÑe 0ÐFÑterem
o mesmo sinal, ou seja, o seu produto ser
positivo.
10.16 (Bilinearidade do produto interno numa recta vectorial) Consideremos
fixada uma função distância .− Y.
Dada uma recta < , a aplicação
Ä

Ø?
ÄÄ
ß @ Ù œ Ø?
Ä
ß 1 Ð@
Ä
Ä
< ÑÙ.
Repare-se que esta definição extende a definição apresentada anteriormente
para o caso dos vectores colineares. Com efeito, isso acontece trivialmente
no caso em que
Ä Ä
?œ! e, se
Ä Ä
?Á! , basta repararmos que, se
Ä
? e
Ä
@ são
colineares, tem-se
Ä
@−<
Ä
, e portanto 1 Ð@Ñœ@
Ä Ä
Ä
< .
w w
10.18 Dadas duas funções distância .ß. − Y,
com . œ -. , para um certo
-!
ÄÄ
?ß@− Ä
, tem-se, quaisquer que sejam os vectores X ,
Ø?
ÄÄ #
ß @ Ù œ - Ø?
ÄÄ
w ß @ Ù .
. .
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição e da correspondente
propriedade para o caso dos vectores colineares em 10.13.
10.19 (Comutatividade do produto interno) Consideremos fixada uma função
distância .− . Quaisquer que sejam os vectores
ÄÄ
?ß@− , tem-se
Ä
Y X
Ø@ß?ÙœØ?ß@Ù
ÄÄ ÄÄ Ä
?
Ä Ä
. Além disso, no caso em que e @ são diferentes de ! ,
tem-se Ø?
ÄÄ
ß @ Ù ! se s. Ð?
ÄÄ
ß @ Ñ " (cf. 10.1 e 10.2),
Ø?
ÄÄ
ß @ Ù œ ! se
. sÐ?ß@Ñœ" ÄÄ
e Ø?ß@Ù!
ÄÄ
se . sÐ?ß@Ñ"
ÄÄ
.
Dem: Comecemos por reparar que decorre imediatamente da definição em
10.17 que se tem Ø?
ÄÄ
ß @ Ù œ ! , sempre que
Ä Ä
? œ ! ou
Ä Ä
@ œ ! (no segundo
caso, fora da situação trivial em que
Ä Ä
?œ! , tem-se, por linearidade,
Ä Ä
1 ÄÐ! < Ñ œ ! ). Basta assim demonstrar a igualdade do enunciado no caso em
que
Ä Ä
?Á! e
Ä Ä
@Á! . No caso em que os vectores
Ä
? e
Ä
@ são colineares, a
comutatividade já foi estabelecida em 10.16 e, tendo em conta 10.2 e 10.12,
sabemos que, ou . sÐ?ß@Ñœ! ÄÄ
e Ø?ß@Ù!
ÄÄ
, ou . sÐ?ß@Ñœ#
ÄÄ
e Ø?ß@Ù!
ÄÄ
.
Examinemos agora o caso em que
Ä
? e
Ä
@ não são colineares. Escolhamos um
ponto S e sejam Eß F tais que
Ä Ä
? œ SE e
Ä Ä
@ œ SF . Sejam < e = as rectas
SE e SF,
respectivamente.
Se .sÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ œ " , os vectores
Ä
? e
Ä
@ são pependiculares, pelo que o facto de se
ter
Ä
@−<
ļ(cf. ) implica que Ð@Ñœ!
Ä Ä
10.9 1 , e portanto Ø?ß@Ùœ
ÄÄ
Ä
<
Ø?
Ä
ß 1 Ð@
Ä
Ä
< ÑÙ œ ! e, por simetria dos papéis dos dois vectores, tem-se também
Ø@
ÄÄ
ß ? Ù œ ! .
Û Û
Suponhamos agora que . sÐ?ß@Ñ"
ÄÄ
, portanto que o ângulo ÖSEßSF× é
agudo. Sejam T o pé da perpendicular de E para a recta s œ SF e U o pé da
perpendicular de F para a recta < œ SE (cf. 4.28),
pontos que são distintos
de S, por SE e SF não serem perpendiculares, e que, tendo em conta 4.32
Û Û
pertencem respectivamente às semirrectas SF e SE.
O facto de se ter
Ä Ä Ä Ä Ä
@ œ SF œ SU UF, com SU −
Ä Ä
< e UF perpendicular a
Ä Ä Ä
SU , e portanto a
Ä
< , implica que SU œ 1 Ð@
Ä
Ä
< Ñ e, do mesmo modo, ST œ
1 ÄÐ? = Ñ
Ä . Podemos assim concluir que
– 138–

Ø?ß@ÙœØ?ßSUÙœ.ÐSßEÑ‚.ÐSßUÑ!
ÄÄ Ä Ä
Ø@ß?ÙœØ@ßSTÙœ.ÐSßFÑ‚.ÐSßTÑ!
ÄÄ Ä Ä
,
.
O
P
B
Q
Û Û Û Û Û Û
Mas, uma vez que ÖSEß ST × œ ÖSFß SU× e . ÐÖUSß UF×Ñ œ " œ
. Û Û
ÐÖT Sß T E×Ñ, o teorema 8.10 garante que os triângulos ÐUß Sß FÑ e
.ÐSßFÑ .ÐSßEÑ
ÐTßSßEÑsão semelhantes, e daqui deduzimos que .ÐSßUÑ œ .ÐSßTÑ , donde
Ø?
ÄÄ
ß @ Ù œ .ÐSß EÑ ‚ .ÐSß UÑ œ .ÐSß FÑ ‚ .ÐSß T Ñ œ Ø@
ÄÄ
ß ? Ù.
Examinemos enfim o caso em que .sÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ " , portanto em que o ângulo
Û Û
ÖSEß SF× é obtuso. Sejam T o pé da perpendicular de E para a recta
s œSFe Uo pé da perpendicular de F para a recta

Û Û Û Û
verticalmente opostos, e . ÐÖUSßUF×Ñœ"œ. ÐÖTSßTE×Ñ,
o teorema
8.10 garante que os triângulos ÐUßSßFÑ e ÐTßSßEÑ são semelhantes, e
.ÐSßFÑ .ÐSßEÑ
daqui deduzimos que .ÐSßUÑ œ .ÐSßTÑ , donde
Ø?ß@Ùœ.ÐSßEÑ‚.ÐSßUÑœ.ÐSßFÑ‚.ÐSßTÑœØ@ß?Ù
ÄÄ ÄÄ
.
10.20 (Corolário) Consideremos fixada uma função distância .−Y.
Dois
vectores
ÄÄ Ä
? ß@ −X são ortogonais se, e só se, Ø?ß@Ùœ!
ÄÄ
.
Ä
Dem: Se os vectores forem ambos diferentes de ! , a conclusão já foi referida
em 10.19 . Se um dos vectores for ! tem-se, por definição e pela comutati-
Ä
vidade, Ø?
ÄÄ
ß @ Ù œ ! e os vectores são, por definição, ortogonais (cf. 10.5).
10.21 (Bilinearidade do produto interno) Consideremos fixada uma função
Ä Ä
distância . − Y. A aplicação
X ‚ X Ä ‘ , Ð?
ÄÄ
ß @ Ñ È Ø?
ÄÄ
ß @ Ù,
é bilinear.
Dem: Tendo em conta a comutatividade em 10.19,
basta mostrarmos que,
para cada
Ä
?−X fixado, a aplicação
Ä
@ÈØ?ß@Ù
ÄÄ
é linear. Ora, isso é trivial
se
Ä Ä
?œ! , por termos uma aplicação identicamente nula, e, no caso em que
Ä Ä
?Á! , consideramos a recta vectorial
Ä
< que contém
Ä
? e atendemos a que,
por se ter Ø?
ÄÄ
ß @ Ù œ Ø?
Ä
ß 1 Ð@
Ä
Ä
< ÑÙ,
a linearidade é consequência da linearidade
Ä
da projecção ortogonal 1ÄÀ < X Ä
Ä
< e da bilinearidade em 10.16.
10.22 (A norma de uma projecção ortogonal) Consideremos fixada uma
função distância .− . Sejam
Ä
< uma recta vectorial,
Ä
œ<
ļ
Y ! o plano
Ä
vectorial complementar ortogonal e 1ÄÀ < X Ä
Ä
< a projecção associada à soma
Ä Ä
directa X œ<
Ä
Š
Ä
! (cf. 10.9).
Para cada vector
Ä
? −X,
tem-se então
m1 Ð?
Ä
Ñm Ÿ m?
Ä
m m Ð?
Ä
Ñm œ m?
Ä
m
Ä
? −
Ä
Ä
< , tendo-se 1Ä
<
se, e só se, < .
Dem: Tem-se
Ä
?œ@A
Ä Ä
, com
Ä
@œ1 Ð?Ñ−<
Ä Ä
e
Ä
A−
Ä
Ä
<
! , e portanto
Ø@
ÄÄ
ß AÙ œ ! . Resulta daqui que
m?m
Ä #
œØ?ß?ÙœØ@
ÄÄ Ä
Aß@
ÄÄ
AÙœØ@ß@
Ä ÄÄ
AÙØAß@
Ä ÄÄ
Aٜ
Ä
œØ@ß@ÙØ@ßAÙØAß@ÙØAßAÙœm@m
ÄÄ ÄÄ ÄÄ ÄÄ Ä #
mAm
Ä #
,
portanto m?
Ä # m m@
Ä # m , tendo-se m?
Ä # m œ m@
Ä # m se, e só se, mAm
Ä # œ ! , isto é,
Ä Ä
Aœ! , isto é,
Ä
?−<
Ä
.
10.23 Dados dois vectores não nulos ? Ä Ä e @ , fica bem definido um número real
cosÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ,
pela condição de se ter, qualquer que seja a função distância
.−Y,
cosÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ œ
– 140–
Ø?
ÄÄ
ß @ Ù
m?
Ä
m m@
Ä
m
.
. .
Dem: Tudo o que temos que reparar é que, dadas duas funções distância
.

w w
.ß . − Y, existe - ! tal que . œ -. e então, tendo em conta 10.13 e 9.16,
Ø?ß@Ù
ÄÄ
. w
m?m
Ä
m@m
Ä w w
# - Ø?ß@Ù
ÄÄ
.
œ
-m?m
Ä
-m@m
Ä
Ø?ß@Ù
ÄÄ
.
œ
m?m
Ä
m@m
Ä .
. . . . . .
10.24 A função cos,
no conjunto dos pares de vectores não nulos, verifica as
seguintes propriedades:
a) cosÐ?ß@Ñœ ÄÄ
cosÐ@ß?Ñ
ÄÄ
;
b) Se +! , então cosÐ?ß+@Ñœ Ä Ä
cosÐ?ß@Ñ
ÄÄ
;
c) Se + ! , então cosÐ?ß+@Ñœ Ä Ä
cosÐ?ß@Ñ
ÄÄ
;
d) cosÐ? ÄÄ
ß @ Ñ − Ò"ß "Ó, sendo cosÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ œ " se, e só se,
Ä
? e
Ä
@ têm o mesmo
sentido (em particular são colineares) e cosÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ œ " se, e só se,
Ä
? e
Ä
@
têm sentidos opostos (em particular são colineares).
e) cosÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ œ ! se, e só se, os vectores
Ä
? e
Ä
@ são ortogonais.
Dem: Fixemos uma função distância .−YÞA alínea a) é uma consequência
directa da simetria do produto interno. Quanto a b) e a c) basta repararmos
que, tendo em conta a bilinearidade do produto interno e 9.52,
tem-se, para
cada + Á!
cosÐ?ß+@Ñœ Ä Ä Ø?ß+@Ù
Ä Ä
+ Ø?ß@Ù
ÄÄ
+
œ œ cosÐ?ß@Ñ
ÄÄ
m?
Ä
mm+
Ä
@ m m?
Ä
mm@
Ä
.
l+l m l+l
Quanto a d), tem-se, por definição, sendo
Ä
< a recta vectorial que contém
Ä
? , e
tendo em conta 10.22,
lØ?
ÄÄ
ß @ Ùl œ lØ?
Ä
ß 1 Ð@
Ä
ÑÙl œ l„m?
Ä
mmß Ð@
Ä
Ñml Ÿ m?
Ä
mm@
Ä
Ä
< 1Ä
<
m,
tendo-se lØ?
ÄÄ
ß @ Ùl œ m?
Ä
mm@
Ä
m se, e só se,
Ä
@ −
Ä
< isto é,
Ä
? e
Ä
@ são colineares,
e, nesse caso, sabemos, por definição que Ø?
ÄÄ
ß @ Ù œ m?
Ä
mm@
Ä
m , se
Ä
? e
Ä
@ têm o
mesmo sentido, e Ø?
ÄÄ
ß @ Ù œ m?
Ä
mm@
Ä
m , se
Ä
? e
Ä
@ têm sentidos opostos. A
conclusão de e) resulta imediatamente de 10.20.
10.25 Para cada par de vectores não nulos
ÄÄ
? ß@, define-se sinÐ?ß@Ñ−Ò!ß"Ó
ÄÄ
por
sinÐ? ÄÄ
ß @ Ñ œ É " cos#
Ð?
ÄÄ
ß @ Ñ.
# #
Por definição, tem-se sempre sin Ð?
ÄÄ
ß @ Ñ cos Ð?
ÄÄ
ß @ Ñ œ " .
10.26 (Teorema Pitagoróide) Sejam Eß Fß G três pontos, com F e G distintos
de E. Dada uma função
distância .−Y,
tem-se então
# # #
Ä Ä
.ÐFß GÑ œ .ÐEßFÑ .ÐEßGÑ #.ÐEßFÑ.ÐEßGÑcos ÐEFß EGÑ.
Ä Ä Ä Ä Ä Ä
Dem: Uma vez que EF FG œ EG, vem FG œ EG EF.
Lembrando
Ä Ä Ä Ä
ØEFßEGÙ
que cosÐEFß EGÑ œ , podemos agora escrever
Ä Ä
mEFmmEGm
– 141–

# Ä # Ä Ä Ä Ä Ä Ä
.ÐFß GÑ œ mFGm œ ØFGß FGÙ œ ØEG EFßEG EFÙ œ
Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä
œ ØEGß EGÙ ØEGß EFÙ ØEFß EGÙ ØEFß EFÙ œ
Ä # Ä # Ä Ä
œ mEFm mEGm #ØEFß EGÙ œ
Ä # Ä # Ä Ä Ä Ä
œ mEFm mEGm #mEFmmEGmcosÐEFß
EGÑ œ
# #
Ä Ä
œ .ÐEß FÑ .ÐEß GÑ #.ÐEß FÑ.ÐEß GÑcosÐEFß EGÑ,
como queríamos.
10.27 Sejam
ÄÄ
?
Äw ß@ e ? ß@
Äw
dois pares de vectores não nulos. Tem-se então
. sÐ?ß@Ñœ ÄÄ
. sÐ?
Äw ß@
Äw ÑÊ Ð?ß@Ñœ
ÄÄ
Ð?
Äw ß@
Äw
cos cos Ñ,
. sÐ?ß@Ñ ÄÄ
. sÐ?
Äw ß@
Äw ÑÊ Ð?ß@Ñ
ÄÄ
Ð?
Äw ß@
Äw
cos cos Ñ.
(cf. as definições de ângulo de vectores em 10.1 e 10.2).
Dem: Fixemos uma função distância .−Y. Tendo em contas as alíneas a) e
b) de 10.3 e as alíneas a) e b) de 10.24,
vemos que, se necessário substituindo
ÄÄÄw ?ß@ß? ß@
Äw " Ä " ?ß
Ä " @ß
Äw " ? ß
Äw
respectivamente por @
m?m
Ä
m@m
Ä
m?m
Äw m@
Äw
, o que não altera
m
os valores de cosÐ? ÄÄ
ß @ Ñß cosÐ?
Äwß Äw @ Ñß Ð?
ÄÄ
ß @ Ñß Ð?
Äwß Äw
. s . s @ Ñ,
podemos já supor
que se tem m?
Ä
m œ m@
Ä
m œ m?
Äwmœm@ Äwmœ
" .
Se repararmos que
ÄÄ
?ß@ são colineares e do mesmo sentido (respectivamente
colineares e com sentidos opostos) se, e só se, cosÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ œ 1 (respectiva-
mente cosÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ œ 1) se, e só se s. Ð?
ÄÄ
ß @ Ñ œ 0 (respectivamente
.sÐ?ß@Ñœ#
ÄÄ
) e que, se
ÄÄ
?ß@ são não colineares, "cosÐ?ß@Ñ" ÄÄ
e
!sÐ?ß@Ñ# ÄÄ
. (cf. 10Þ1, 10.2 e a alínea d) de 10.24)
assim como nos
factos análogos para
ÄÄ w w ?ß@,
constatamos que basta provar as implicações
apenas no caso em que tento
ÄÄ
?ß@ como
Äw ? ß@
Äw
são não colineares.
Escolhamos pontos EßFßG tais que
Ä Ä
? œEFe Ä Ä w w w
@ œEGe pontos EßFßG
tais que
Ä Ä
? œEF e
Ä Ä
w w w w w w @ œEG. Temos assim dois triângulos ÐEßFßGÑe
w w w w w w w
ÐEßFßG Ñ com .ÐEßFÑœ.ÐEßGÑœ" e .ÐEßFÑœ.ÐEßG Ñœ" , pelo
que a igualdade em 10.26 dá
#
Ä Ä
.ÐFß GÑ œ # # cosÐEFß
EGÑ,
Ä Ä
w w # w w w w
.ÐFßGÑ œ## cosÐEFßEGÑ.
Û Û Û Û
Se . sÐ? ÄÄ
ß @ Ñ œ . sÐ?
Äwß Äw
w w w w
@ Ñ, vem . ÐÖEFß EG×Ñ œ . ÐÖE F ß E G ×Ñ donde,
pelo axioma 4.13 , os triângulos são congruentes, em particular .ÐFß GÑ œ
w w .ÐF ß G Ñ o que, pelas fórmulas anteriores, implica que
cosÐ?ß@Ñœ ÄÄ Ä Ä Ä Ä
w w w w
cosÐEFßEGÑœcosÐEFßEGÑœcosÐ?ß@ ÄwÄw Ñ.
Û Û Û Û
Se . sÐ? ÄÄ
ß @ Ñ . sÐ?
Äwß Äw
w w w w
@ Ñ, vem . ÐÖEFß EG×Ñ . ÐÖE F ß E G ×Ñ donde, por
w w
4.45, .ÐFß GÑ .ÐF ß G Ñ o que, mais uma vez pelas fórmulas acima,
– 142–

implica que
cosÐ?ß@Ñœ ÄÄ Ä Ä Ä Ä
w w w w
cosÐEFßEGÑcosÐEFßEGÑœcosÐ?ß@ ÄwÄw Ñ.
10.28 Fica bem definida uma aplicação cos s À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Ó pela condição de se
ter, quaisquer que sejam os vectores não nulos
ÄÄ
?ß@,
cos s Ð. sÐ?ß@ÑÑ ÄÄ
œ cosÐ?ß@Ñ
ÄÄ
. 23
Dem: Trata-se de uma consequência da primeira implicação em 10.27,
desde
que reparemos que, para cada +−Ò!ß#Ó , existem vectores não nulos ?ß@ tais
ÄÄ
que .sÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ œ + . Ora, para + œ ! e + œ # basta tomar um vector não nulo
arbitrário
Ä
? e tomar respectivamente
Ä
@ œ
Ä
? e
Ä
@ œ ?
Ä
e, para + − Ó!ß#Ò,
podemos tomar duas semirrectas < / s com a mesma origem E,
com rectas
correspondentes < Á = tais que . ÐÖ< ß = ×Ñ œ + (cf. o axioma a) em 3.17)
e
escolhendo então F−< e G−= ,
ambos distintos de E,
tem-se, com
Ä Ä
? œ EF
Ä Ä
e @ œ EG, . sÐ?
ÄÄ
ß @ Ñ œ . ÐÖ< ß = ×Ñœ + .
10.29 A aplicação cos s À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Ó é contínua, estritamente decrescente e
sobrejectiva. Tem-se cos s Ð!Ñ œ " , cos s Ð"Ñ œ ! e cos s Ð#Ñ œ " . Tem-se ainda,
para cada +−Ò!ß#Ó, cos s Ð#+Ñœcos s Ð+Ñ.
Dem: O facto de ela ser estritamente decrescente é uma consequência da
segunda implicação em 10.27.
Consideremos agora uma função distância
.− Y e, em duas semirrectas perpendiculares < e = com a mesma origem
E, dois pontos F − < e G − = com .ÐEßFÑ œ .ÐEßGÑ œ " . Sendo
Ä Ä
? œ EF
Ä Ä
e A œ EG, tem-se assim Ø?
ÄÄ
ß AÙ œ ! e m?
Ä
m œ mAm
Ä
œ " . Dado
agora , − Ò"ß "Ó, podemos tomar - œ " , e, tomando o vector @ œ
Ä
È #
,?
Ä
-A
Ä
, vem
m@
Ä #
m œ Ø@
ÄÄ
ß @ Ù œ Ø,?
Ä
-Aß
Ä
,?
Ä
-AÙ
Ä
œ
#
œ, Ø?ß?Ù,-Ø?ßAÙ,-ØAß?Ù-
ÄÄ ÄÄ ÄÄ #
ØAßAÙœ
ÄÄ
#
œ, m?m-
Ä #
mAm
Ä # # #
œ, - œ"
e, por outro lado,
Ø?
ÄÄ
ß @ Ù œ Ø?
Ä
ß ,?
Ä
-AÙ
Ä
œ ,Ø?
ÄÄ
ß ? Ù -Ø?
ÄÄ
ß AÙ œ ,m?
Ä #
m œ , ,
donde
cos s ÐsÐ?ß@ÑÑœcosÐ?ß@Ñœ œ,
ÄÄ ÄÄ Ø?
ÄÄ
ß @ Ù
.
m?
Ä
mm@
Ä .
m
23A razão do símbolo ^ em cima de cos é a necessidade de distinguirmos esta função da
função cosÀ ‘ Ä Ò"ß "Ó dos analistas (cf. o apêndice 1).
Veremos adiante uma relação
entre estas duas funções.
– 143–

A continuidade da função cos s À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Ó resulta de um teorema
elementar de Análise Real que garante que toda a função real cujo domínio é
um intervalo de ‘ , que seja crescente ou decrescente (mesmo que apenas no
sentido lato) e cuja imagem seja um intervalo de ‘ , é uma aplicação
contínua. Quanto aos valores indicados para a função cos s , basta repararmos
que
cos s Ð!Ñœcos s Ð. sÐ?ß?ÑÑœ ÄÄ
cosÐ?ß?ÑœØ?ß?Ùœ"
ÄÄ ÄÄ
,
cos s Ð"Ñœcos s Ð. sÐ?ßAÑÑœ ÄÄ
cosÐ?ßAÑœØ?ßAÙœ!
ÄÄ ÄÄ
,
cos s Ð#Ñ œ cos s Ð. sÐ? Ä
ß ?
Ä
Ñ œ cosÐ?
Ä
ß ?
Ä
Ñ œ Ø?
Ä
ß?Ùœ".
Ä
A igualdade cos s Ð# +Ñ œ cos s Ð+Ñ é verdadeira, por inspecção directa dos
valores, nos casos em que +œ! e +œ# . Mostremo-la então para +−Ó!ß#Ò.
Para isso, retomando as notações do início da demonstração, seja G na w
w
semirrecta < de origem E oposta de < e também com .ÐEßG Ñ œ " ,
tendo-se assim ?
Ä
œ Eß G . Seja > uma semirrecta de origem E tal que
Ä w
.ÐÖ< ß > ×Ñ œ + (cf. o axioma a) em 3.17) e reparemos que, por 3.19,
tem-se
.ÐÖ< ß > ×Ñ œ # + H − > .ÐEß HÑ œ "
Ä
D œ EH
Ä
. Seja tal que e seja , para
o qual se tem assim mD
Ä
m œ " . Podemos então escrever
cos s Ð# +Ñ œ cos s Ð. sÐ? ÄÄ
ß D ÑÑ œ cosÐ?
ÄÄ
ß D Ñ œ Ø?
ÄÄ
ß D Ù œ Ø?
ÄÄ
ß D Ù œ
œ cosÐ? ÄÄ
ß D Ñ œ cos s Ð. sÐ?
ÄÄ
ß D ÑÑ œ cos s Ð+Ñ.
10.30 Definimos também uma aplicação contínua sin
, por
s À Ò!ß #Ó Ä Ò!ß "Ó
sin s Ð+Ñ œ É #
" cos s Ð+Ñ.
É claro que, por construção, tem-se, para todo o +−Ò!ß#Ó,
#
cos s Ð+Ñ sin s Ð+Ñ œ " .
Além disso, das propriedades correspondentes em 10.29, para a função cos s ,
deduzimos que
sin s Ð!Ñœ! , sin s Ð"Ñœ" , sin s Ð#Ñœ!
sin s Ð# +Ñ œ sin s Ð+Ñ,
e da definição em 10.25 deduzimos que, para
Ä
? e
Ä
@ vectores não nulos,
sin s Ð. sÐ?ß@ÑÑ ÄÄ
œ sinÐ?ß@Ñ
ÄÄ
.
10.31 (O cosseno da soma) Sejam +ß , − Ò!ß #Ó tais que + , − Ò!ß #Ó.
Tem-se
então
cos s Ð+ ,Ñ œ cos s Ð+Ñcos s Ð,Ñ sin s Ð+Ñsin s Ð,Ñ.
– 144–
#

Dem: O resultado é verdadeiro se +œ! , uma vez que se reduz a fórmula
cos s Ð,Ñœ"‚ cos s Ð,Ñ!‚ sin s Ð,Ñ,
e, por simetria dos papéis, ele é também verdadeiro se ,œ! . No caso em que
+,œ# , portanto ,œ#+ , uma vez que vem
cos s Ð+Ñcos s Ð,Ñ sin s Ð+Ñsin s #
Ð,Ñ œ cos s Ð+Ñ sin s Ð+Ñ œ " œ cos s Ð+ ,Ñ.
Resta-nos verificar o resultado no caso em que +! , ,! e +,# .
Fixemos um ponto E e uma semirrecta < de origem E e consideremos uma
semirrecta = de origem E tal que . ÐÖ< ß= ×Ñ
œ +, e, sendo < a recta
que contém < , uma semirrecta > de origem E contida no mesmo
semiplano de bordo < que a semirrecta = e tal que . ÐÖ< ß> ×Ñ
œ + . Tendo
em conta 3.18 , tem-se > § nÖ< ß= × , com > distinta de < e de = ,
e
portanto, pelo axioma b) em 3.17 , .ÐÖ> ß = ×Ñ œ , .
– 145–
s+
C D
v b
w
a
A u
Fixada uma função distância .−Y, escolhamos pontos F−< , G−= e
H − > .ÐEß FÑ œ .ÐEß GÑ œ .ÐEß HÑ œ "
Ä Ä
? œ EF
Ä
tais que . Pondo , @ œ
Ä Ä
EG e
Ä
A œ EH, tem-se assim m?
Ä
m œ m@
Ä
m œ mAm
Ä
œ " e, tendo em conta
9.64, tem-se
Ä
Aœ-?.@
Ä Ä
, com -! e .! (se algum fosse ! , Hestaria
numa das semirrectas < e = ). Reparemos agora que se pode escrever
" œ ØAß
ÄÄ
AÙ œ Ø-?
Ä
.
Ä
@ ß -?
Ä
.
Ä # #
@ Ù œ - Ø?ß ?Ù . Ø@
ÄÄ
ß @ Ù #-.Ø?
ÄÄ
ß @ Ù œ
# #
œ- . #-. cos s Ð+,Ñ.
Por outro lado, vem também
cos s Ð+ÑœØAß?ÙœØ-?.@ß?Ùœ-.Ø@ß?Ùœ-.
ÄÄ Ä ÄÄ ÄÄ
cos s Ð+,Ñ
cos s Ð,ÑœØAß@ÙœØ-?.@ß@Ùœ.-Ø?ß@Ùœ.-
ÄÄ Ä ÄÄ ÄÄ
cos s Ð+,Ñ,
donde sai, por um lado,
cos s Ð+Ñcos s Ð,Ñ œ -. -. cos s Ð+ ,Ñ Ð- . Ñcos s Ð+ ,Ñ,
e, por outro lado,
t +
B
#
r
+
# # #

# # #
sin s Ð+Ñœ"cos s # #
Ð+Ñœ"- . cos s Ð+,Ñ#-. cos s Ð+,Ñœ
# #
œ"- . #-. cos s # #
Ð+,Ñ. Ð"cos s Ð+,ÑÑœ
# #
#
œ"". Ð"cos s
#
Ð+,ÑÑœ. sin s Ð+,Ñ
tal como
# # #
sin s Ð,Ñ œ " cos s # #
Ð,Ñ œ " . - cos s Ð+ ,Ñ #-. cos s Ð+ ,Ñ œ
# #
œ"- . #-. cos s # #
Ð+,Ñ- Ð"cos s Ð+,ÑÑœ
# #
#
œ""- Ð"cos s
#
Ð+,ÑÑœ-sin s Ð+,Ñ,
portanto
sin s Ð+Ñ œ . sin s Ð+ ,Ñ, sin s Ð,Ñ œ - sin s Ð+ ,Ñ.
Podemos agora escrever
cos s Ð+Ñcos s Ð,Ñ sin s Ð+Ñsin s Ð,Ñ œ
# #
œ-.-. cos s # #
Ð+,ÑÐ- . Ñcos s Ð+,Ñ-. sin s Ð+,Ñœ
#
œ#-. cos s # #
Ð+,ÑÐ- . Ñcos s Ð+,Ñœ
œcos s
# #
Ð+,ÑÐ-. #- . cos s Ð+,ÑÑ œ cos s Ð+,Ñ.
10.32 (Corolário) Seja +−Ò!ß"Ó.
Tem-se então
#
cos s Ð#+Ñ œ cos s Ð+Ñ sin s
#
Ð+Ñ œ # cos s Ð+Ñ " .
10.33 (Corolário) Seja ,−Ò!ß#Ó.
Tem-se então
, "cos s Ð,Ñ
cos s Ð Ñ œ Ê .
# #
Dem: Do corolário anterior podemos deduzir que
portanto
# ,
cos s Ð,Ñ œ # cos s Ð Ñ " ,
#
# , "cos s Ð,Ñ
cos s Ð Ñ œ ,
# #
, ,
bastando enfim atender a que, por ser Ÿ" , tem-se cos s Ð Ñ 0Þ
– 146–
#
# #
10.34 (Relação entre os cossenos e senos geométrico e analítico) Seja
+−Ò!ß#Ó. Tem-se então

1+ cos s Ð+ÑœcosÐ Ñ sin s 1+
, Ð+ÑœsinÐ Ñ,
# #
onde nos segundos membros estão as funções trigonométricas definidas
analiticamente no apêndice 1.
Dem: Começamos por notar que, se para um certo +−Ò!ß#Óse
verifica a
primeira igualdade do enunciado, então também se verifica a segunda. Com
1+ 1+
efeito, tem-se # −Ò!ß1Ó, donde sinÐ
# Ñ ! e, tendo em conta a definição
de sin e , tem-se então
s Ð+Ñ Ap1.8
sin s Ð+Ñœ É # 1+ 1+
"cos s Ð+Ñœ "cos# Ê Ð ÑœsinÐ Ñ
# #
Reparemos agora que a primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida
para +œ# , uma vez que cos s Ð2 Ñœ"œcosÐ1Ñ. Suponhamos a primeira
igualdade, e portanto a segunda é válida para um certo +−Ò!ß#Ó.
Uma vez
1+ 1 1+
que % −Ò!ß# Ó, e portanto cosÐ % Ñ ! , resulta de 10.33 e da fórmula
análoga em Ap1.12,
+ "cos s Ð+Ñ "cosÐ Ñ +
cos s Ð Ñ œ Ê œ Ê
# 1
œ cosÐ
Ñ,
# # # %
+
pelo que a primeira igualdade, e portanto a segunda, é também válida para # .
Resulta daqui, por indução, que, para cada 8 ! , a primeira igualdade, e
#
portanto a segunda, é válida para cada + da forma # . Observamos agora que,
8
se a primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida para valores
+ß , − Ò!ß #Ó tais que + , − Ò!ß #Ó a primeira igualdade, e portanto a
segunda, é também válida para +, , uma vez que podemos escrever, tendo
em conta 10.31 e Ap1.11
cos s Ð+ ,Ñ œ cos s Ð+Ñcos s Ð,Ñ sin s Ð+Ñsin s Ð,Ñ œ
1+ 1, 1+ 1, 1Ð+,Ñ
œ cosÐ ÑcosÐ ÑsinÐ ÑsinÐ Ñ œ cosÐ
Ñ.
# # # # #
Resulta daqui, por indução em : , que, para cada 8 ! e cada " Ÿ : Ÿ # , a 8
primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida para +œ . Mas o
#:
# 8
conjunto dos + desta forma é denso em Ò!ß #Ó e portanto, uma vez que ambos
os membros da primeira igualdade são funções contínuas de + , concluímos
que esta, e portanto a segunda, são válidas para qualquer +−Ò!ß#Ó.
10.35 (Corolário) As funções
cos s ßsin s ÀÒ!ß#Ó Ä ‘ são deriváveis em todos os
pontos e tem-se
w 1 w
cos s Ð+Ñœ sin s Ð+Ñ sin s 1
, Ð+Ñœ cos s Ð+Ñ.
# #
Dem: Trata-se de uma consequência de 10.34,
tendo em conta as fórmulas de
derivação em Ap1.10.
– 147–
1+

10.36 (Corolário) Para além da propriedade em 10.31,
valem ainda as seguintes:
a) Sejam +ß , − Ò!ß #Ó tais que + , − Ò!ß #Ó.
Tem-se então
sin s Ð+ ,Ñ œ sin s Ð+Ñcos s Ð,Ñ cos s Ð+Ñsin s Ð,Ñ.
b) Sejam , Ÿ + em Ò!ß #Ó.
Tem-se então
cos s Ð+ ,Ñ œ cos s Ð+Ñcos s Ð,Ñ sin s Ð+Ñsin s Ð,Ñ,
sin s Ð+ ,Ñ œ sin s Ð+Ñcos s Ð,Ñ cos s Ð+Ñsin s Ð,Ñ.
Dem: Trata-se de uma consequência de 10.34,
tendo em conta as fórmulas
em Ap1.11 e Ap1.9.
10.37 (Corolário) Suponhamos que !Ÿ+Ÿ" . Tem-se então:
cos s Ð" +Ñ œ sin s Ð+Ñ, sin s Ð" +Ñ œ cos s Ð+Ñ.
Suponhamos que "Ÿ+Ÿ# . Tem-se então
cos s Ð+ "Ñ œ sin s Ð+Ñ, sin s Ð+ "Ñ œ cos s Ð+Ñ.
Dem: Trata-se de uma consequência das fórmulas na alínea b) de 10Þ36.
10.38 (Trigonometria do triângulo rectângulo) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo
Ä Ä
tal que .sÐÖFEß FG×Ñ œ " (um triângulo rectângulo em F).
Fixada uma
função distância .−Y,
tem-se então
A B
Ä Ä .ÐEßFÑ Ä Ä .ÐGß FÑ
cosÐEFß EGÑ œ , sinÐEFß
EGÑ œ .
.ÐEßGÑ .ÐEßGÑ Ä Ä Ä Ä Ä
Dem: Vem EG œ EF FG, onde, por ser s. ÐÖFEßFG×Ñ œ " e
Ä Ä Ä Ä
EF œ FE, tem-se também . sÐÖEFß
FG×Ñ œ " (cf. 10.3).
Concluímos
Ä
daqui que, sendo < œ EF, tem-se FG −
Ä Ä Ä
¼ < , e portanto EF œ 1Ä
< ÐEGÑ.
Ä Ä #
Deduzimos daqui que ØEFß EGÙ œ .ÐEß FÑ , e portanto
Ä Ä
Ä Ä #
ØEFß EGÙ .ÐEß FÑ .ÐEß FÑ
cosÐEFß EGÑ œ Ä Ä œ œ ,
mEFmmEGm .ÐEßFÑ.ÐEßGÑ .ÐEßGÑ donde a primeira igualdade do enunciado. Aplicando o que acabamos de
– 148–
C

deduzir ao triângulo ÐGßFßEÑ,
resulta que
Ä Ä .ÐGß FÑ .ÐGß FÑ
cosÐGFß GEÑ œ œ
.ÐGß EÑ .ÐEßGÑ ,
bastando agora reparar que, uma vez que a soma das amplitudes dos ângulos
internos dum triângulo é igual a # , tem-se
Ä Ä Ä Ä
. sÐÖGFß GE×Ñ œ " . sÐÖEFß
EG×Ñ,
donde, tendo em conta 10.37,
Ä Ä
sinÐEFß EGÑ œ sin s
Ä Ä Ä Ä Ä Ä
Ð. sÐÖEFß EG×ÑÑ œ cos s Ð. sÐÖGFß
GE×ÑÑ œ cosÐGFß
GEÑ,
o que nos dá a segunda igualdade do enunciado.
10.39 Seja ÐEßFßGÑum triângulo e consideremos fixada uma função
distância
.−Y. Seja Q o pé da perpendicular de G para a recta EF(cf.
4.28).
Tem-se então
Ä Ä
.ÐGßQÑœ.ÐFßGÑsin ÐFEßFGÑ.
Û Û
Dem: Separemos três casos, conforme o ângulo ÖFEß FG× seja recto, agudo
ou obtuso.
C
A B=M
– 149–
C
A M B A B
No caso em que o ângulo em questão é recto, tem-se FœQe
Ä Ä
sinÐFEß FGÑ œ É
Ä Ä
" cos#
ÐFEß FGÑ œ " ,
pelo que a igualdade é trivial. No caso em que o ângulo é agudo, resulta de
Ä Û Û
4.32 que Q − FE, portanto FE œ FQ,
pelo que, aplicando 10.38 ao
triângulo ÐFßQßGÑ,
Ä Ä
sinÐFEß FGÑ œ sin s Û Û
Ð ÐÖFEß FG×ÑÑ œ sin s Û Û
. Ð. ÐÖFQß FG×ÑÑ œ
Ä Ä .ÐGß QÑ
œ sinÐFQßFGÑ
œ ,
.ÐFß GÑ
donde a igualdade do enunciado. Por fim, examinemos o caso em que o
ângulo é obtuso. Resulta de 4.32 que Q pertence à semirrecta de EF
de
C
M

Ä
origem F oposta a FE, pelo que, aplicando 10.38 ao triângulo ÐFßQßGÑ,
Ä Ä
sinÐFEß FGÑ œ sin s Û Û
Ð ÐÖFEß FG×ÑÑ œ sin s Û Û
. Ð# . ÐÖFQß FG×ÑÑ œ
œ sin s Ä Ä .ÐGß QÑ
Ð. ÐÖFQßFG×ÑÑ œ sinÐFQßFGÑ
œ
.ÐFß GÑ
Û Û
,
o que implica, mais uma vez, a igualdade do enunciado.
10.40 (Corolário — Lei dos senos) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo e
consideremos fixada uma função distância .−Y.
Tem-se então
.ÐFß GÑ .ÐEßGÑ .ÐEßFÑ Ä Ä œ Ä Ä œ Ä Ä .
sinÐEFß EGÑ sinÐFEßFGÑ sinÐGEßGFÑ
Dem: Aplicando 10.40 aos triângulos ÐEßFßGÑ e ÐFßEßGÑ,
vemos que,
sendo Q o pé da perpendicular de G para a recta EF,
tem-se
Ä Ä
Ä Ä
.ÐFßGÑsinÐFEßFGÑ œ .ÐGßQÑ œ .ÐEßGÑsin ÐEFßEGÑ,
donde a primeira igualdade do enunciado. A segunda resulta de aplicar a
primeira ao triângulo ÐFßGßEÑ.
11. Geometria da Circunferência.
11.1 Em toda esta secção vamos supor fixada uma função distância .−Y e um
plano ! . Dados G−! e 3 ! , define-se a circunferência V de centro Ge
raio 3 como sendo o conjunto dos pontos \− ! tais que .ÐGß\Ñœ3.
Esta
circunferência será também notada V3ÐGÑ.
11.2 (Lema) Seja V a circunferência de centro G e raio 3 e seja TÁGem
! .
Tem-se então que na recta

Ä Ä Ä 3 Ä 3 Ä
.ÐTßEÑœmTEmœmGEGTmœmÐ "ÑGTmœl "lmGTmœl3 +l,
+ +
Ä Ä Ä 3 Ä 3 Ä
.ÐTßFÑœmTFmœmGFGTmœmÐ "ÑGTmœl "lmGTmœl3+l, + +
pelo que só se teria .ÐTß EÑ œ .ÐTß FÑ se fosse 3 + œ 3 + ou
3+œ3+ , o que não pode acontecer, por ser 3 Á! e +Á! .
11.3 O centro e o raio de uma circunferência V estão bem definidos.
Dem: Se V é uma circunferência de centro G e raio 3,
o lema precedente
mostra que, para cada TÁG, V não é uma circunferência de centro T(tem
dois pontos E e F a distâncias distintas de T) e o facto de V ser um conjunto
não vazio (por exemplo ß também pelo lema precedente) implica que V não é
circunferência com nenhum raio distinto de 3.
11.4 Dada uma circunferência V, de centro G e raio 3, diz-se que um ponto
E−! está no interior da circunferência (respectivamente no exterior da
circunferência) se .ÐGß EÑ 3 (respectivamente .ÐGß EÑ 3Ñ. 24
Por exemplo, o próprio centro G está no interior da circunferência.
11.5 Seja V uma circunferência de centro G e raio 3. Sejam H um ponto no
interior da circunferência e < uma recta com H − < . Tem-se então que a recta
< tem dois, e só dois, pontos EßF pertencentes a V.
Dem: No caso em que G−< , temos uma consequência de 11.2.
tomando
para T qualquer ponto de < distinto de G.
A
C
D
M
– 151–
r
B
Supomos então que GÂ< e consideramos o pé da perpendicular Q de G
para < (cf. 4.28). Tendo em conta 4.29, tem-se .ÐGßQÑ Ÿ .ÐGßHÑ 3.
Tendo em conta o teorema de Pitágoras 8.12 , para um ponto \−< , distinto
# # # de Q , tem-se .ÐGß \Ñ œ .ÐGß QÑ .ÐQß \Ñ , pelo que \ − V se, e só
se, .ÐGß \Ñ œ 3 se, e só se, .ÐQß \Ñ œ È 3#
.ÐGß QÑ#
, o que mostra que
há efectivamente dois, e só dois, pontos \ nessas condições, um em cada
uma das semirrectas de < de origem Q.
11.6 Seja V uma circunferência de centro G e raio 3. Sejam Eß F pontos
distintos de V e < a recta EF . Tem-se então que

Dem: Comecemos por examinar o caso em que G−< , caso em que, por ser
.ÐGß EÑ œ 3 œ .ÐGß FÑ, G é o ponto médio do par ÐEßFÑ, em particular
G−ÒEßFÓ (cf. 1.26). Tendo em conta a alínea d) de 1.19 um ponto \−<
está no interior de V, isto é, verifica .ÐGß \Ñ 3 se, e só se, pertence a
ÒGß FÓ Ï ÖF× ou pertence a ÒGß EÓ Ï ÖE× , isto é, se, e só se, pertence a
ÒEßFÓÏÖEßF× . Tendo em conta 11.5, E e F são os únicos pontos de V na
recta < .
Passemos agora ao caso em que GÂ< e seja Qo pé da perpendicular de G
para < (cf. 4.28). Tendo em conta 4.29, tem-se .ÐGßQÑ .ÐGßFÑ œ 3,
portanto Q está no interior de V, o que implica já, por 11.5,
que E e F são
os únicos pontos de < em V. Além disso, por 4.27,
e uma vez que .ÐGßEÑ œ
3 œ .ÐGß FÑ, Q é o ponto médio do par ÐEß FÑ, em particular Q − ÒEß FÓ
(cf. 1.26).
A
C
X
M
– 152–
r
B
Tendo em conta 4.31 , um ponto \−< está no interior de V,
isto é, verifica
.ÐGß \Ñ 3 œ .ÐGß FÑ œ .ÐGß EÑ se, e só se. .ÐQß \Ñ .ÐQß FÑ œ
.ÐQß EÑ o que, mais uma vez pela alínea d) de 1.19,
é equivalente a \
pertencer a um dos conjuntos ÒQß FÓ Ï ÖF× ou ÒQß EÓ Ï ÖE× , o que equivale
a \ pertencer a ÒEß FÓ Ï ÖEß F× .
11.7 (Recta tangente a uma circunferência) Seja V uma circunferência de
centro G e raio 3. Sejam E− V e < uma recta com E−< . Tem-se então que
V

Dem: Comecemos por supor que a recta < é perpendicular à recta GE,
em
particular que E é o pé da perpendicular de G para < . Tendo em conta 4.29,
para cada \−< com \ÁE tem-se .ÐGß\Ñ.ÐGßEÑœ3,
portanto
\Â V e \ não está no interior de V; ficou assim provado que V

11.11 (Intersecção de duas circunferências) Sejam GÁG em e notemos
w !
w w
+œ.ÐGßGÑ. Sejam 3 ! e 3 ! e consideremos as circunferências V,
de
w w w
centro G e raio 3, e V , de centro G e raio 3 . Tem-se então:
w w w
a) Se l33 l + 33 , então VV é um conjunto com dois elementos.
C C'
w w w
b) Se +œl33 l ou +œ33 , então VV é um conjunto com um único
elemento.
C C' C C'
w w w
c) Se +l33 l ou +33 , então VV œg.
CC' C C'
Dem: Seja H − ! tal que GH seja ortogonal a GG e que .ÐGßHÑ œ " .
Notemos
Ä Ä
? œ GG e
Ä Ä
w @ œ GH,
vectores para os quais se tem assim
Ø?ß?Ùœm?m
ÄÄ Ä # #
œ+ Ø@ß@Ùœm@m
ÄÄ Ä #
, œ" , Ø?ß@Ùœ!
ÄÄ
.
Podemos considerar uma correspondência biunívoca entre pontos \ do plano
! e pares Ð,ß -Ñ de números reais, que cada \ associa o par Ð,ß -Ñ definido
Ä
pela condição de se ter G\ œ ,?
Ä
-@
Ä
.
– 154–
w

D
v
C u C'
Ä
Para um tal ponto \ , tem-se G\œ?G\
Ä Ä Ä Ä
w w , donde G\œG\?œ
Ä
Ð,"Ñ?
Ä
-@
Ä
e tem-se
Ä #
mG\m ϯ,?
Ä
-@ß,?
Ä Ä
-@ٜ,
Ä #
Ø?ß?Ù-
ÄÄ #
Ø@ß@Ù#,-Ø?ß@Ùœ
ÄÄ ÄÄ
# # #
œ, + -
e, do mesmo modo,
– 155–
X
Ä
w # # #
mG \m œ Ð, "Ñ + -
#.
A condição de se ter \−VV é assim equivalente à de os correspondentes
w
,ß - verificarem as condições
3
3
# # # #
œ, + -
w #
# #
œÐ,"Ñ - .
Subtraindo membro a membro estas igualdades vemos que estas condições
são equivalentes às condições
a segunda das quais é equivalente a
# # # #
3 œ, + -
# w #
#
3 3 œ Ð#, "Ñ+ ,
# w # #
3 3 +
,œ .
#+ #
Substituindo este valor de , na primeira condição do sistema atrás, vemos
assim que o número de pontos \ em VV é igual ao número de reais - para
w
os quais se tem
isto é,
3
# w # #
# # # #
3 3 +
œÐ Ñ + - ,
#+ #
# w # # #
# # Ð3 3 + Ñ
- œ 3
%+ #

que é sucessivamente equivalente a
# # w # # #
# Ð# 3+ÑÐ3 3 + Ñ
- œ ,
%+ #
# # w # # # w#
# Ð# 3+ 3 + 3 ÑÐ# 3+ 3 + 3 Ñ
c œ ,
%+ #
# w# w #
#
# ÐÐ3+Ñ 3 ÑÐ3 Ð3+ÑÑ - œ ,
%+ #
w w w w
# Ð3+3 ÑÐ3+3 ÑÐ3 3+ÑÐ3 3+ Ñ
- œ ,
%+ #
w # # # w #
# ÐÐ33 Ñ + ÑÐ+ Ð33ÑÑ - œ .
%+ #
w w # w #
Uma vez que, por ser 3 ! e 3 ! , tem-se Ð33 Ñ Ð33 Ñ , vai
existir um, e um só, - que verifica a igualdade anterior se, e só se, o segundo
membro é ! (a solução é então - œ ! ) isto é, se, e só se + œ l33 l ou w
+œ33 -
w , vão existir dois, e só dois, que verificam a igualdade (um
simétrico do outro) se, e só se o segundo membro é maior que ! , isto é, se, e
w w
só se, l33 l + 33 e não vai existir nenhum - que verifica a
igualdade, caso contrário.
11.12 Dada uma circunferência V, de centro G e raio 3, diz-se que dois pontos
Eß F − V são diametralmente opostos se são distintos e a recta EF contém
G.
Repare-se que, dado E−V, existe um, e um só, F−V tal que Ee Fsejam
diametralmente opostos, nomeadamente o ponto de EG V distinto de E (cf.
11.5).
11.13 (Ângulo inscrito num diâmetro) Sejam V uma circunferência, de centro
G e raio 3, e Eß F − V dois pontos diametralmente opostos. Para cada ponto
Ä Ä
H − V, distinto de E e de F, tem-se então que os vectores HE e HF são
ortogonais.
Dem: Sendo
Ä
? œ GE , o facto de se ter .ÐEßGÑ œ œ .ÐFßGÑ com
Ä
3
EÁF ?
Ä
œGF H− E F
Ä
, implica que . Sendo agora V,
distinto de e de ,
em particular com .ÐGß HÑ œ , obtemos, pondo
Ä
A œ GH,
Ä
3
A
u
D
w
C
– 156–
-u
B

Ä Ä
ØHEß HFÙ œ Ø?
Ä
Ä
Aß ?
Ä
Ä
AÙ œ Ø?
ÄÄ
ß ? Ù Ø?
ÄÄ
ß AÙ ØAß
ÄÄ
? Ù ØAß
ÄÄ
AÙ œ
# #
œ3 3 œ! ,
Ä Ä
o que mostra que os vectores HE e HF são ortogonais.
11.14 (Ângulo inscrito no caso não trivial) Sejam V uma circunferência, de
centro G e raio 3, e Eß F − V dois pontos distintos, não diametralmente
opostos. Para cada ponto H−V, distinto de Ee de F,
tem-se então:
Û Û
1) Se HÂnÖGEßGF× , então
Û Û " Û Û
. ÐÖHEßHF×Ñœ . ÐÖGEßGF×Ñ.
#
Û Û
2) Se H−nÖGEßGF× , então
A
u
Û Û " Û Û
. ÐÖHEß HF×Ñ œ # . ÐÖGEß GF×Ñ.
#
D
x/2
w
C
x
v
B
A
– 157–
C v
B
x
u
2-x/2
w
D
Dem: 25 Notemos
Ä Ä
? œ GE, Ä Ä
@ œ GF e
Ä Ä
A œ GH,
vectores para os quais se
tem assim m?
Ä
m œ m@
Ä
m œ mAm
Ä
œ 3.
Uma vez que Eß Fß G são não colineares,
os vectores
ÄÄ
?ß@ são também não colineares, e portanto uma base do plano
vectorial
Ä
! associado ao plano ! . Existem assim +ß , − ‘ tais que
Ä
Aœ+?,@
Ä Ä
Û Û
e, tendo em conta 9.64, tem-se H−nÖGEßGF× se, e só se, + ! e , ! ,
caso em que se tem mesmo +! e ,! (senão Hpertenceria
a uma das
Û Û
semirrectas GE e GF e teria que ser respectivamente E ou F por estar à
Û Û
mesma distância de G que estes), e portanto H Â nÖGEßGF× se, e só se,
+! ou ,! .
Notemos
25 Também existe uma demonstração puramente geométrica e intuitivamente mais clara
deste resultado, que evita os detalhes algébricos mas que exige que se examinem separadamente
várias situações possíveis “para a figura”.

Û Û Ä Ä
Bœ. ÐÖGEßGF×Ñœ. sÐGEßGFÑœ. sÐ?ß@Ñ−Ó!ß#Ò
ÄÄ
.
Tem-se assim cos s ÐBÑ œ cos s Ð?
ÄÄ Ø?ß@Ù
ß @ Ñ œ œ Ø?
ÄÄ
ß @ Ù,
por outras palavras,
ÄÄ
"
m?mm@m
ÄÄ 3 #
Ø?
ÄÄ
ß @ Ù œ 3 s ÐBÑ # cos , e daqui deduzimos uma relação fundamental entre os
coeficientes +ß , : De
# # #
3 œØAßAÙœØ+?
ÄÄ Ä
,@ß+?
Ä Ä
,@ٜ+
Ä
Ø?ß?Ù,
ÄÄ
Ø@ß@Ù#+,Ø?ß@Ùœ
ÄÄ ÄÄ
# # # # #
œ+ 3 , 3 #+, 3 cos s ÐBÑ,
deduzimos que
(*)
# #
+ , #+, cos s ÐBÑ œ " .
# Daqui se deduz, em particular, que Ð+,Ñ œ"#+,Ð"cos s ÐBÑÑ,
onde
Û
" s
Û
cos ÐBÑ! e portanto, se H−nÖGEßGF× , tem-se +! e ,! ,
Û Û
donde +," , e, se HÂnÖGEßGF× , tem-se +! ou ,! , donde
+," (reparar que +,l+,le
que a desigualdade é trivial se um
dos números + e , for menor que ! e o outro menor ou igual a ! porque então
é mesmo +,! ).
Reparemos agora que, uma vez que
Ø?
ÄÄ
ß AÙ œ +Ø?
ÄÄ
ß ? Ù ,Ø?
ÄÄ #
ß @ Ù œ 3 Ð+ , cos s ÐBÑÑ,
Ø@
ÄÄ
ß AÙ œ +Ø@
ÄÄ
ß ? Ù ,Ø@
ÄÄ #
ß @ Ù œ 3 Ð, + cos s ÐBÑÑ,
e que cos s cos s B
ÐBÑ œ # Ð # Ñ " , obtemos
Ä Ä
ØHEßHFÙœØ?
Ä
Aß@
ÄÄ
AÙœØ?ß@ÙØ?ßAÙØAß@ÙØAßAÙœ
Ä ÄÄ ÄÄ ÄÄ ÄÄ
#
œ3 Ðcos s ÐBÑ+, cos s ÐBÑ,+ cos s ÐBÑ"Ñœ
#
œ3 Ð"+,ÑÐ"s #
cosÐBÑÑœ# 3 Ð"+,Ñcos
s Ð Ñ
B #
.
#
Analogamente,
Ä #
mHEm œ Ø?
Ä
ÄÄ
Aß?
Ä
AÙ œ Ø?ß?Ù
ÄÄ
ØAßAÙ
ÄÄ
#Ø?ßAÙ
ÄÄ
œ
#
œ# 3 Ð"+, cos s ÐBÑÑ,
Ä #
mHFm œ Ø@
Ä
ÄÄ
Aß@
Ä
AÙ œ Ø@ß@Ù
ÄÄ
ØAßAÙ
ÄÄ
#Ø@ßAÙ
ÄÄ
œ
#
œ# 3 Ð",+ cos s ÐBÑÑ,
donde, aplicando várias vezes a fórmula fundamental (*) e, de novo, a
igualdade cos s cos s B
ÐBÑ œ # Ð Ñ " ,
#
– 158–

Ä # Ä # %
mHEmmHFmœ% Ð"++ s ÐBÑ,, s #
3 cos cosÐBÑ+ cos s ÐBÑ
#
#
œ , cos s ÐBÑ+,+, cos s ÐBÑÑœ
% # B # B
œ% Ð"#+ s Ð Ñ#, s #
3 cos cos Ð Ñ+ cos s ÐBÑ
# #
#
" " "
œ , cos s ÐBÑ
+, s #
ÐBÑ + s #
cos cosÐBÑ , cos s ÐBÑÑ œ
# # #
% # B # B "
œ % Ð" #+ s Ð Ñ #, s #
3 cos cos Ð Ñ + cos s ÐBÑ
# # #
" #
"
œ , cos s ÐBÑ+, cos s ÐBÑ œ
# #
%
# B
# B
œ% 3 Ð"#+ cos s Ð Ñ#, s # # B "
Ð Ñ+ s
#
cos cos Ð Ñ +
#
# # #
# # B " B "
, s #
#
œ cos Ð Ñ , +,cos s Ð Ñ Ñœ
# # # #
% " # B # B B
œ% Ð #+ s Ð Ñ#, s # #
3 cos cos Ð Ñ+ cos s Ð Ñ
# # # #
# # B "
# B
œ , cos s Ð Ñ +,
cos s ÐBÑ +, cos s Ð ÑÑ œ
# #
#
% # B # B B
œ% Ð#+ s Ð Ñ#, s # #
3 cos cos Ð Ñ+ cos s Ð Ñ
# # #
# # B # B # B
œ , cos s Ð Ñ#+, cos s Ð Ñcos s Ð ÑÑœ
# # #
% # B
œ% cos s
# #
3 Ð ÑÐ"+ , #+ #,#+,Ñœ
#
% # B
œ% s
#
3 cos Ð ÑÐ"+,Ñ.
#
B Reparando que ! " , e portanto s B
# cosÐ#
Ñ! , deduzimos que
Ä Ä
mHEmmHFm œ # s Ð Ñl" + ,l
B
3
#
# cos ,
e portanto
Ä Ä
ØHEß HFÙ B
Ä Ä œ„ Ð Ñ
mHEmmHFm
s cos ,
#
Û Û
onde o sinal é quando +, " , isto é, H Â nÖGEßGF× , e é quando
Û Û
+," , isto é, H−nÖGEßGF× , tendo-se assim no primeiro caso
Û Û B Û Û
B
. ÐÖHEß HF×Ñ œ e, no segundo . ÐÖHEß HF×Ñ œ # .
# #
11.15 (Potência de um ponto relativamente a uma circunferência) Seja V
uma circunferência, de centro G e raio 3 . Dado um ponto T−!
, chama-se
# #
potência de T relativamente a V ao número real Pot VÐTÑ
œ .ÐGßTÑ 3
.
Repare-se que, por definição, tem-se que Pot VÐT Ñ œ ! se, e só se, T − V,
– 159–

Pot VÐTÑ! se, e só se, T está no interior de V e Pot VÐTÑ!
se, e só se, T
está no exterior de V.
11.16 Seja V uma circunferência, de centro G e raio 3 . Sejam T− ! e < uma
recta contida em ! , com T −< . Suponhamos que

como única solução que pode ser distinta da solução +œ! . Para esse valor
de + , tem-se então
Ä Ä
ØTEßTFÙœØ?
Ä
Aß@
ÄÄ
Aٜ
Ä
Ø?
Ä
AßÐ@
Ä Ä
?ÑÐA?ÑÙœ
Ä Ä Ä
œØA?ßA?Ù+ØA?ßA?Ùœ
Ä ÄÄ Ä Ä ÄÄ Ä
œØA?ßA?Ù#Ø?ßA?Ùœ
Ä ÄÄ Ä ÄÄ Ä
œØA?ßA?Ùœ
Ä ÄÄ Ä
œ ØAßAÙ
ÄÄ
ØAß?ÙØ?ßAÙØ?ß?Ùœ
ÄÄ ÄÄ ÄÄ
œmAm
Ä # #
3 œPot VÐTÑ.
Apêndice 1: As funções trigonométricas dos Analistas.
Ap1.1 (Diferenciabilidade do limite) Sejam I e J espaços vectoriais de
dimensão finita, Y §Ium aberto e Ð0Ñ 8 8−uma
família de funções de
" classe G , 08ÀY Ä J, tal que existam aplicações 0ÀY Ä J e
-ÀY ÄPÐIàJÑ tais que 08ÐBÑÄ0ÐBÑ, para cada B−Y,
e que
H08BÄ- B uniformemente para B − Y . Tem-se então que 0À Y Ä J é de
" classe G e, para cada B − Y, H0B œ -B.
Dem: Comecemos por notar que, uma vez que cada H08ÀY ÄPÐIàJÑ é
contínua e que o limite uniforme da aplicações contínuas é uma aplicação
contínua, podemos concluir que -ÀY ÄPÐIàJÑ é uma aplicação contínua.
Seja B! − Y arbitrário. Seja $ ! arbitrário. Seja < ! tal que a bola aberta
$
FÐBÑ < ! esteja contida em Y e que, para cada B−FÐBÑ < ! , m-B - B mŸ # .
!
Pela convergência uniforme, seja 8! tal que, sempre que 8 8! e B − Y,
$ mH0 - m Ÿ . Para cada 8 8 e B − F ÐB Ñ,
tem-se assim
8B B #
! < !
mH0 - m Ÿ mH0 - m m- - m Ÿ $
8B B 8B B B B
! ! .
Podemos agora aplicar o teorema da média à aplicação :ÀF< ÐB! ÑÄJ,
definida por : ÐBÑ œ 0 ÐBÑ - ÐBÑ,
para a qual se tem
8 B!
mH: BmœmH08B - B m Ÿ $ ,
!
para deduzir que, para cada 8 8! e B−FÐB < ! Ñ,
m0ÐBÑ0ÐBÑ- ÐBBÑmœm: ÐBÑ: ÐBÑmŸ$ mBBm,
8 8 ! B ! ! !
!
pelo que, passando ao limite em 8,
vem também
m0ÐBÑ0ÐBÑ- ÐBBÑmœm: ÐBÑ: ÐBÑmŸ$ mBBm,
! B ! ! !
!
o que mostra que 0 é diferenciável em B e com H0 œ - .
– 161–
! B B
! !

Ap1.2 Tendo em conta a convergência uniforme da série, em qualquer bola de
centro ! , deduzimos do resultado anterior que tem lugar uma aplicação
de
" classe Gßexp À‚ Ä‚
, a aplicação exponencial,
definida por
D " # " $ " %
expÐDÑ œ / œ "D D D D â,
# $x %x
w aplicação para a qual se tem exp ÐDÑ œ expÐDÑ
e que, portanto, é mesmo de
classe G . _
Ap1.3 A aplicação exponencial verifica as seguintes propriedades:
a) expÐ!Ñ œ " ,
b) expÐDÑ ‚ expÐDÑ œ " , em particular tem-se expÐDÑ
Á ! ;
c) expÐD AÑ œ expÐDÑ ‚ expÐAÑ.
Dem: A conclusão de a) resulta de substituir D por ! na expressão da série
definidora. Para provarmos b), consideramos uma função :‚ À Ä ‚ definida
por :ÐDÑ œ expÐDÑ ‚ expÐDÑ
e reparamos que, tendo em conta a expressão
da derivada da função exp,
sai
: w ÐDÑ œ expÐDÑ ‚ expÐDÑ expÐDÑ ‚ expÐDÑ
œ !
pelo que a função : é constante, portanto : ÐDÑ œ : Ð!Ñ œ " . Para provarmos
c), consideremos A−‚ fixado e definamos uma função < À‚ Ä‚
por
expÐDÑ ‚ expÐAÑ
Ñ " > , o que implica que lim expÐ>Ñ
œ _.
Para cada
– 162–
>Ä_
"
expÐ>Ñ
expÐAÑ
>Ÿ! , o facto de se ter > ! e expÐ>Ñœ implica que expÐ>Ñ!
e
que lim expÐ>Ñ œ ! . O facto de a restrição de exp a ‘ ser estritamente
>Ä_
w crescente resulta de que exp Ð>ÑœexpÐ>Ñ! . O conhecimento dos limites
de exp quando >Ä_ e quando >Ä_ implica agora que o
contradomínio de exp é Ó!ß _Ò e portanto que exp é uma bijecção
estritamente crescente de ‘ sobre Ó!ß _Ò e o facto de se ter exp Ð>Ñ Á ! w
implica, pelo teorema da função inversa, que a função inversa de exp é
também de classe G . _

Ap1.5 Define-se a função logaritmo neperiano lnÀÓ!ß_ÒÄ‘ como sendo o
difeomorfismo inverso do difeomorfismo expÀ‘ Ä Ó!ß_Ò,
difeomorfismo
w "
para o qual se tem ln Ð=Ñ œ = .
Dem: Pelo teorema da função inversa, tem-se
w " " "
ln Ð=Ñ œ œ œ .
expwÐlnÐ=ÑÑ expÐlnÐ=ÑÑ =
Ap1.6 Para cada complexo D, tem-se expÐDÑ œ expÐDÑ.
Em consequência, se
DœD, isto é, se Dœ,3 , para um certo ,−‘,
então lexpÐDÑl œ " .
Dem: A primeira afirmação resulta da série definidora da aplicação
exponencial, tendo em conta o facto de a conjugação ser uma aplicação linear
real e o de o conjugado de um produto ser o produto dos conjugados (e
portanto, por indução, o conjugado de uma potência de expoente 8 é a
potência de expoente 8 do conjugado). Quando D œ D,
podemos assim
escrever
#
lexpÐDÑl œ expÐDÑ ‚ expÐDÑ œ expÐDÑ ‚ expÐDÑ
œ " .
Ap1.7 Definimos funções trigonométricas cosßsinÀ‘ Ä ‘ , pela igualdade
expÐ3>Ñ œ cosÐ>Ñ sinÐ>Ñ
3.
Ap1.8 Tendo em conta Ap1.6, tem-se lexp3>Ñl œ " , portanto, para cada > ,
# #
# #
cos Ð>Ñ sin Ð>Ñ œ ",
em particular cos Ð>ÑŸ" e sin Ð>ÑŸ" , isto é, cosÐ>Ñ−Ò1 ß"Óe sinÐ>Ñ−
Ò"ß "Ó.
Ap1.9 Lembrando que expÐ3>Ñ œ expÐ3>Ñ œ expÐ3>Ñ,
podemos escrever
cosÐ>Ñ sinÐ>Ñ 3 œ cosÐ>Ñ sinÐ>Ñ
3,
portanto
cosÐ>Ñ œ cosÐ>Ñ, sinÐ>Ñ œ sinÐ>Ñ. Ap1.10 Por derivação da igualdade cosÐ>Ñ sinÐ>Ñ 3 œ expÐ3>Ñ,
obtemos
w w
cos Ð>Ñ sin Ð>Ñ 3 œ 3 expÐ3>Ñ œ sinÐ>Ñ cosÐ>Ñ
3,
portanto
w w
cos Ð>Ñ œ sinÐ>Ñ, sin Ð>Ñ œ cosÐ>Ñ.
– 163–

Ap1.11 Da fórmula expÐ3Ð= >ÑÑ œ expÐ3=Ñ
‚ exp Ð3>Ñ,
deduzimos que
cosÐ= >Ñ sinÐ= >Ñ 3 œ ÐcosÐ=Ñ sinÐ=Ñ 3ÑÐcosÐ>Ñ sinÐ>Ñ
3Ñ œ
œ ÐcosÐ=ÑcosÐ>Ñ sinÐ=ÑsinÐ>ÑÑ ÐcosÐ=ÑsinÐ>Ñ sinÐ=ÑcosÐ>ÑÑ 3,
de onde deduzimos as fórmulas
cosÐ= >Ñ œ cosÐ=ÑcosÐ>Ñ sinÐ=ÑsinÐ>Ñ, sinÐ= >Ñ œ sinÐ=ÑcosÐ>Ñ cosÐ=ÑsinÐ>Ñ. Ap1.12 Como casos particulares de Ap1.11, temos, tendo em conta Ap1.8,
# # # #
cosÐ#>Ñ œ cos Ð>Ñ sin Ð>Ñ œ # cos Ð>Ñ " œ " # sin Ð>Ñ,
sinÐ#>Ñ œ # sinÐ>ÑcosÐ>Ñ. e portanto também, pondo >œ , =
#
= "cosÐ=Ñ cosÐ
Ñ œ „ Ê .
# #
Ap1.13 Partindo da série definidora da aplicação exponencial, vemos que, com a
!
convenção ! œ " ,
"
cosÐ>Ñ sinÐ>Ñ 3 œ expÐ3>Ñ
œ " 5
Ð3>Ñ œ
5x
5œ!
_ _
" "
œ " #8 #8
3 > " #8" #8"
3 > œ
Ð#8Ñx Ð#8 "Ñx
8œ! 8œ!
_ 8 _ 8
Ð"Ñ Ð"Ñ
œ " #8
> "
#8"
> 3,
Ð#8Ñx Ð#8 "Ñx
8œ! 8œ!
pelo que, comparando as partes reais e as partes imaginárias, obtemos a
séries definidoras das funções trigonométricas,
Ð"Ñ > > >
cosÐ>Ñ
œ " #8
> œ " â,
Ð#8Ñx #x %x 'x
8œ!
_ 8 $ & (
Ð"Ñ > > >
sinÐ>Ñ
œ "
#8"
> œ > â.
Ð#8"Ñx $x &x (x
– 164–
_
_ 8 # % '
8œ!
Ap1.14 (Algumas avaliações das funções trigonométricas) Tem-se cosÐ!Ñ œ "
" &
e sinÐ!Ñœ! . Para cada !Ÿ>Ÿ" , tem-se cosÐ>Ñ # e sinÐ>Ñ
'>
. Tem-se
cosÐ#Ñ !.
Dem: Os valores das funções trigonométricas em ! resultam imediatamente
da substituição nas séries. Suponhamos agora que !Ÿ>Ÿ" . Tem-se então
que cosÐ>Ñ e sinÐ>Ñ
são também caracterizados pelas séries de termos
latamente positivos

de onde deduzimos que
# % ' ) "!
> > > > >
cosÐ>Ñ
œ Ð" ÑÐ ÑÐ Ñâ
#x %x 'x )x "!x
$ & ( * ""
> > > > >
sinÐ>Ñ
œ Ð> ÑÐ ÑÐ Ñâ
$x &x (x *x ""x
#
cosÐ>Ñ
>
"
#
" "
" œ ,
# #
sinÐ>Ñ
$ #
> >
> œ>Ð" Ñ
' '
" &
>Ð" Ñœ > .
' '
Em particular, tem-se sinÐ"Ñ & , donde, por Ap1.12,
'
# &!
cosÐ#Ñ œ " # sin Ð"Ñ Ÿ " ! .
$'
Ap1.15 Existe um mínimo > ! para o conjunto dos > ! tais que cosÐ>Ñ
œ ! ,
tendo-se "> ! # , tendo-se então cosÐ>Ñ!
, para cada !Ÿ>> ! .
Dem: A existência de !Ÿ># tal que cosÐ>Ñœ!
é uma consequência de se
ter cosÐ!Ñœ"! e cosÐ#Ñ! . O conjuntos do > ! tais que cosÐ>Ñœ!
é
assim fechado não vazio e minorado pelo que admite um mínimo (o seu
ínfimo) > ! . O facto de se ter > ! # resulta de que, como referimos, existe um
elemento ># no conjunto referido e o facto de se ter > ! " resulta de que,
"
para cada !Ÿ>Ÿ" , tem-se cos Ð>Ñ # ! . O facto de se ter cosÐ>Ñ !,
para cada !Ÿ>> ! , resulta de que a existir um tal > com cosÐ>ÑŸ!
,
podíamos aplicar mais uma vez o teorema do valor intermédio para garantir a
existência de =−Ò!ß>Ótal que cos Ð=Ñœ! , o que contrariava o facto de > ! ser
o mínimo nessas condições.
Ap1.16 Definimos o número real 1 como sendo o dobro do número real >!
referido em Ap1.15 . Tem-se assim, por aquele resultado, #1 % . 27
Ap1.17 A restrição da função sin ao intervalo Ò!ß # Ó é uma bijecção estritamente
crescente deste intervalo sobre o intervalo Ò!ß "Ó e a restrição da função cos ao
1
intervalo Ò!ß # Ó é uma bijecção estritamente decrescente deste intervalo sobre
1 1
o intervalo Ò!ß"Ó. Em particular, cosÐ# Ñœ! e sinÐ#
ќ" .
1
Dem: Por definição de 1, tem-se cosÐ# Ñ œ ! e cosÐ>Ñ
! , para cada
1
w
>−Ò!ß# Ò. Uma vez que sin Ð>ÑœcosÐ>Ñ, segue-se que a restrição de sin a
1 Ò!ß # Ó Ð!Ñ œ !
é estritamente crescente, em particular injectiva, e, por ser , sin
1 # 1 # 1
tem-se sinÐ>Ñ ! , para cada > − Ó!ß # Ó. Da igualdade sin Ð # Ñ cos Ð # Ñ œ " ,
# 1 1
resulta que sin Ð# Ñ œ " , e portanto sinÐ#
Ñ œ " . A imagem da restrição da
1
função sin a Ò!ß Ó é o intervalo Ò!ß "Ó,
visto que contém esse intervalo, pelo
#
27 É uma informação um pouco pobre, mas é melhor do que nada…
– 165–
1

teorema do valor intermédio, e está contida nesse intervalo, por ser
w estritamente crescente. Uma vez que cos Ð>Ñ œ sinÐ>Ñ, tem-se, para cada
1 w
1
>−Ó!ß# Ó, cos Ð>Ñ! , o que implica que a restrição de cos a Ò!ß# Ó é
estritamente decrescente, em particular injectiva e com valores no intervalo
Ò!ß "Ó. Como antes, o teorema do valor intermédio garante que a imagem por
1
cos do intervalo Ò!ß Ó é precisamente o intervalo Ò!ß "Ó.
#
1 1
Ap1.18 a) As igualdades cosÐ# Ñ œ ! e sinÐ#
Ñ œ " podem ser traduzidas por
1 expÐ# 3Ñ œ 3.
1 # # b) De a) resulta que expÐ13Ñ œ expÐ#
3Ñ œ 3 œ " ( fórmula de Euler),
o
que pode ser traduzido por cosÐ1Ñ œ " e sinÐ1Ñ
œ ! .
$ 1 1 $ $
c) De a) também resulta que expÐ # 3Ñ œ expÐ#
3Ñ œ 3 œ 3,
o que pode
$ 1 $ 1
ser traduzido por cosÐ # Ñ œ ! e sinÐ
# Ñ œ " .
# #
d) De b) resulta que expÐ# 13Ñ œ expÐ1 3Ñ œ Ð"Ñ œ " œ expÐ!Ñ,
o que
pode ser traduzido por cosÐ# 1Ñœ " œ cosÐ!Ñ e sinÐ# 1Ñœ
! œ sinÐ!Ñ.
Ap1.19 As funções cosßsinÀ‘ Ä Ò"ß"Ó são periódicas, admitindo # 1 como
período positivo mínimo.
Dem: Comecemos por reparar que, de se ter
expÐ ( > # 1) 3Ñ œ expÐ>3Ñ ‚ expÐ# 13Ñ
œ expÐ>3Ñ ‚ " œ expÐ>3Ñ,
podemos escrever
cosÐ> # 1ÑœcosÐ>Ñ, sinÐ> # 1ÑœsinÐ>Ñ,
o que mostra que #1 é um período de ambas as funções. Uma vez que estas
1
têm restrições injectivas ao intervalo Ò!ß # Ó,
não podem admitir período
1
menor ou igual a # . Sendo contínuas admitem assim um período positivo
mínímo que tem que ser submúltiplo inteiro de # 1. Se # 1 não fosse o período
positivo mínimo, ele teria assim que ser 1. Mas as igualdades cosÐ!Ñ œ " e
1
cosÐ1Ñ œ " mostram que 1 não é período de cos e as igualdades sinÐ#
Ñ œ "
1 $ 1
e sinÐ 1Ñ œ sinÐ Ñ œ " mostram que 1 não é período de sin.
# #
1 1
Ap1.20 Tem-se cosÐ # >Ñ œ sinÐ>Ñ e sinÐ # >Ñ œ cosÐ>Ñ.
Dem: Podemos escrever
ou seja,
1 1
expÐÐ >Ñ3Ñ œ expÐ 3Ñ ‚ expÐ>3Ñ œ 3 ‚ expÐ>3Ñ,
# #
1 1
cosÐ >ÑsinÐ >Ñ3œ3‚ÐcosÐ>ÑsinÐ>Ñ3Ñœ # #
œ sinÐ>Ñ cosÐ>Ñ
3,
donde o resultado.
– 166–

Ap1.21 Tem-se cosÐ1 >Ñ œ cosÐ>Ñ e sinÐ1 >Ñ œ sinÐ>Ñ.
Dem: Podemos escrever
ou seja
expÐÐ1 >Ñ3Ñ œ expÐ1 3Ñ ‚ expÐ>3Ñ œ " ‚ expÐ>3Ñ,
cosÐ1 >Ñ sinÐ1 >Ñ 3 œ ÐcosÐ>Ñ sinÐ>Ñ3Ñ
œ
œcosÐ>ÑsinÐ>Ñ3, donde o resultado.
1
Ap1.22 A restrição da função sin ao intervalo Ò# ß Ó é uma bijecção estritamente
1
decrescente daquele intervalo sobre o intervalo Ò!ß "Ó e a restrição da função
1
cos ao intervalo Ò# ß Ó é uma bijecção estritamente decrescente daquele
1
intervalo sobre o intervalo Ò"ß !Ó.
Dem: Trata-se de uma consequência de Ap1.17 e de Ap1.21,
se repararmos
1
que a aplicação >È1> é uma bijecção estritamente decrescente de Ò# ß1Ó 1 sobre Ò!ß # Ó (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a aplicação
= È = é uma bijecção estritamente decrescente de Ò!ß "Ó sobre Ò"ß !Ó (mais
uma vez com inversa definida pela mesma fórmula).
Ap1.23 Tem-se, tendo em conta a periodicidade de sin e cos e as fórmulas em
Ap1.9,
cosÐ#
1 >ÑœcosÐ>ÑœcosÐ>Ñ, sinÐ#
1 >ÑœsinÐ>ÑœsinÐ>Ñ. Ap1.24 A restrição da função sin ao intervalo Ò1 ß Ó é uma bijecção estritamente
$ 1
#
decrescente deste intervalo sobre o intervalo Ò"ß !Ó. A restrição
da função
cos ao intervalo Ò1 ß Ó é uma bijecção estritamente crescente deste intervalo
$ 1
#
sobre o intervalo Ò"ß !Ó.
Dem: Trata-se de uma consequência de Ap1.22 e de Ap1.23,
se repararmos
que a aplicação >È# 1 > é uma bijecção estritamente decrescente de
$ 1 1
Ò1ß # Ó sobre Ò# ß1Ó (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a
aplicação =È= é uma bijecção estritamente decrescente de Ò!ß"Ósobre
Ò"ß !Ó (mais uma vez com inversa definida pela mesma fórmula).
Ap1.25 A restrição da função sin ao intervalo Ò # ß# Ó é uma bijecção estrita-
mente crescente deste intervalo sobre o intervalo Ò"ß !Ó.
A restrição da
$ 1 função cos ao intervalo Ò # ß# 1Ó
é uma bijecção estritamente crescente deste
intervalo sobre o intervalo Ò!ß "Ó.
Dem: Trata-se de uma consequência de Ap1.17 e de Ap1.23,
se repararmos
que a aplicação >È# 1 > é uma bijecção estritamente decrescente de
$ 1 1
Ò # ß# 1 Ó sobre Ò!ß # Ó (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a
aplicação =È= é uma bijecção estritamente decrescente de Ò!ß"Ósobre
Ò"ß !Ó (mais uma vez com inversa definida pela mesma fórmula).
– 167–
$ 1 1

Ap1.26 Seja W § ‚ o conjunto dos complexos de módulo " . Tem então lugar
uma bijecção de Ò!ß # 1Ò
sobre W,
definida por
> È expÐ3>Ñ œ cosÐ>Ñ sin Ð>Ñ 3.
Dem: Já verificámos em Ap1.6 que esta aplicação toma valores em W.
Para
verificarmos que se trata de uma bijecção sobre W,
basta decompormos
Ò!ß # 1 Ò como união de subconjuntos E 5,
" Ÿ 5 Ÿ ) , disjuntos dois a dois, tais
que a restrição da aplicação a cada E5 seja uma bijecção sobre um
subconjunto F5 de W, com os F5 disjuntos dois a dois e de união W.
Definimos, para isso,
E" œ Ö!× , F" œ Ö"× ,
1
E# œ Ó!ß Ò, F# œ ÖD œ + ,3 − W ± + ! • , !× ,
#
1
E$ œ Ö × , F$ œ Ö3× ,
#
1
E% œÓ ß1Ò, F% œÖDœ+,3−W±+!•,!× ,
#
E& œ Ö 1×
, F& œ Ö"× ,
$
E' œ Ó1ß Ò, F' œ ÖD œ +,
#
1
3−W±+!•,!× ,
$ 1
E( œ Ö × , F( œ Ö3× ,
#
$ 1
E) œ Ó ß # 1Ò,
F) œ ÖD œ + ,3 − W ± + ! • , !× .
#
Reparando que, para Dœ+,3−W , se +œ! , então ,œ„" e, se ,œ! ,
então +œ„" , constatamos que os conjuntos F5 são efectivamente disjuntos
dois a dois de união W . Reparando, por outro lado, que, se +,3 − W,
com
+ œ cosÐ>Ñ , resulta de Ap1.8 que , œ „ sinÐ>Ñ,
deduzimos das propriedades
Ap1.17, Ap1.22, Ap1.24 e Ap1.25 que as restrições da aplicação do enunciado
a cada E é efectivamente uma bijecção de E sobre F .
5 5 5
– 168–