Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres - Arquivo Escolar

Seja Q−ÒFßGÓo ponto médio do par ÐFßGÑ(cf. 1.26)
e consideremos na
Û
semirrecta EQ o ponto H definido pela condição de se ter lEHl œ #lEQl
(cf. a alínea d) de 1.19), ponto para o qual se tem então Q−ÒEßHÓe
portanto, por 1.25, lEHl œ lEQl lQHl, donde lEQl œ lQHl.
Û Û Û Û
Uma vez que os ângulos ÖQFßQE× e ÖQGßQH× são verticalmente
opostos, e portanto com a mesma amplitude, podemos utilizar o axioma LAL
(cf. 4.13) para garantir que os triângulos ÐEßQßFÑ e ÐHßQßGÑ são
congruentes, e portanto que
w Û Û Û Û Û Û
. ÐF Ñ œ . ÐÖFEß FG×Ñ œ . ÐÖFEß FQ×Ñ œ . ÐÖGHß GQ×Ñ.
Û
Notemos , a recta EG , , œ GE e , a semirrecta oposta. Notemos + a
Û
recta FG e + œ GF. O ângulo externo considerado é assim Ö+ ß , ×
. Uma
Û Û Û Û
vez que Q−,+ , vem EQ§,+ , em particular H−,+ e tem-se HÂ, ,
uma vez que, por ser QÂ, , EQ,œÖE× . Por outro lado, por ser
Û Û
E−+Eœ+, e EÂ+ , H vai pertencer ao semiplano oposto, portanto
Û Û Û
H−+, e HÂ+ . Tem-se assim H−,+ +, œnÖ+ ß, ×
. Podemos
agora aplicar o axioma b) em 3.17 para garantir que
w Û Û Û
. ÐF Ñœ . ÐÖGHßGQ×Ñœ. ÐÖGHß+ ×Ñ. ÐÖ+ ß, ×Ñ.
w w
4.20 (Corolário) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo. Então . ÐF Ñ . ÐG Ñ #.
Dem: Pelo resultado precedente, . é menor que a amplitude dos ângulos
w
ÐF Ñ
externos de vértice G , as quais são iguais a #. ÐG Ñ.
w
4.21 (Lema) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo. Existe então um triângulo
w w w w w w w w w
ÐE ßF ßG Ñ tal que . ÐE Ñ. ÐF Ñ. ÐG Ñ œ . ÐE Ñ. ÐF Ñ. ÐG Ñ e
w " w
. ÐE Ñ Ÿ # . ÐE Ñ.
Dem: Como na demonstração de 4.19, seja Q−ÒFßGÓo
ponto médio do
Û
par ÐFß GÑ e consideremos na semirrecta EQ o ponto H definido pela
condição de se ter lEHl œ #lEQl,
ponto para o qual se tem então
Q − ÒEß HÓ e portanto lEHl œ lEQl lQHl, donde lEQl œ lQHl.
A
B
M
Û Û Û
Û
Uma vez que os ângulos ÖQFßQE× e ÖQGßQH× são verticalmente
C
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D