Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres - Arquivo Escolar

e seja o espírito da segunda aproximação aquele que está presente quando se
define o produto de um vector por um núero real. Em particular o vector EF é
Ä
definido como a única translação que aplica E em F,
nomeadamente a composta
da inversão relativamente a E seguida da inversão relativamente ao ponto médio
do par ÐEß FÑ.
São estudadas as propriedades de espaço vectorial nos vectores
livres e os subespaços vectoriais próprios e diferentes de Ö!× são identificados
como as rectas e os planos vectoriais. O prodto interno de vectores é definido,
primeiro para vectores colineares e depois para vectores arbitrários, utilizando
nesse caso a projecção ortogonal do segundo vector sobre a recta vectorial
definida pelo primeiro, sendo provada a comutatividade e as propriedades de
bilinearidade.
O cosseno, primeiro de um par de vectores não nulos, e depois de um
ângulo, é definido a partir do produto interno, o que leva a alguma simplificação
na discussão da questão do sinal. O seno é definido a partir do cosseno e são
estabelecidas as fórmulas para o cosseno da soma de dois ângulos e, a partir
desta, para o cosseno da metade de um ângulo. Essa fórmulas são utilizadas, em
particular para relacionar as funções trigonométricas assim definidas com as
definidas de modo analítico. Uma das definições analíticas das funções
trigonométricas é apresentada num apêndice.
Referimos enfim que este trabalho necessitaria de uma revisão mais
cuidada se o objectivo fosse o de uma publicação mais formal. Em particular
temos a consciência de que algumas notações alternativas são introduzidas, sem
que venham a ser utilizadas no seguimento, e que alguma propriedades técnicas
são estabelecidas sem que a sua utilidade se viesse a confirmar posteriormente.
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