Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres - Arquivo Escolar

4.9 (Rectas que passam por um ponto interior) Sejam ÐEßFßGÑum
triângulo
e \ −ÒEßFßGÓ , que não pertença a nenhum dos lados do triângulo. Sejam !
o plano que contém Eß Fß G e B uma recta tal que \ − B § ! . Tem-se então:
a) Se E−B, então Bintersecta ÒFßGÓnum ponto distinto de Fe de G;
b) Se F−B, então Bintersecta ÒGßEÓnum ponto distinto de Ge de E;
c) Se G−B, então Bintersecta ÒEßFÓnum ponto distinto de Ee de F;
d) Se nenhum dos pontos Eß Fß G pertence a B, então B intersecta dois, e só
dois, dos três lados ÒFß GÓ, ÒGß EÓ e ÒEß FÓ.
t
u+
A
r
C
– 40–
w
+
X D
Dem: A conclusão de a) está contida em 4.6 e as conclusões de b) e c)
resultam de a) por simetria dos papéis dos vértices. Suponhamos que se
verifica a hipótese em d) e utilizemos 4.8,
assim como as respectivas notações.
Sendo Buma das semirrectas de B de origem \ , a alínea c) de 3.15
garante-nos que se verifica uma das três condições B § nÖ@ßA ×
,
B § nÖAß? × e B § nÖ? ß@ ×
e concluímos então, da alínea b) de 3.9
que B, e portanto B,
intersecta um dos três segmentos ÒFß GÓ, ÒGß EÓ e
ÒEß FÓ. O facto de B intersectar então dois, e só dois, destes segmentos já foi
provado no teorema de Pasch ( 2.17).
4.10 (O segmento triangular determina o conjunto dos vértices) Seja
ÐEßFßGÑ um triângulo e seja ! o único plano que contém o segmento
triangular ÒEßFßGÓ (o único que contém os três vértices) . Tem-se então:
a) Existe uma recta ?§ ! tal que ?ÒEßFßGÓœÖE× .
b) Qualquer que seja \ −ÒEßFßGÓ, distinto de E, de F e de G,
e qualquer
que seja a recta ? com \ −? , ?ÒEßFßGÓtem
mais que um elemento.
Em particular, se dois triângulos têm o mesmo sector triangular, então têm o
mesmo conjunto de vértices.
Û Û
Dem: a) Notando EF œ < e EG œ = escolhamos V − nÖ< ß = ×
tal que
VÂ< e VÂ= (por exemplo, por 3.4 e pela alínea a) de 3.5).
Sendo
Û
? œ EF , vem ? distinta de < e de = e ? § nÖ< ß= × œ