Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres - Arquivo Escolar

Introdução
Este texto é um ensaio de desenvolvimento da Geometria Euclidiana,
do ponto de vista axiomático, tendo em vista chegar a uma definição dos
vectores livres e ao estudo das suas propriedades algébricas. A via axiomática
seguida é a introduzida por Moïse, E. E., Elementary Geometry from an
Advanced Standpoint, Addison-Wesley, 1990, e que se caracteriza pela
introdução de axiomas métricos para os comprimentos e os ângulos (o axioma da
régua e o do transferidor), baseados no preconhecimento das propriedades dos
números reais.
Também baseados na via seguida por Moïse, existem pelo menos mais
dois textos em língua portuguesa, o livro de Paulo Ventura Araújo, Curso de
Geometria, publicado pela Gradiva em 1998, e o de A. J. Franco Oliveira,
Geometria Euclidiana, publicado pela Universidade Aberta em 1995. O nosso
texto difere destes em vários pontos. Em primeiro lugar é bastante menos
ambicioso, tendo como objectivo essencial chegar à noção de vector livre e a
algumas aplicações dos vectores livres à Geometria. Em segundo lugar é
bastante mais detalhado nas demonstrações e nas referências a resultados
anteriores. Esta segunda característica torna-o mais pesado e, eventualmente,
aborrecido, se for estudado na forma tradicional de um texto impresso, mas
poderá ser útil se, como temos em vista, ele for utilizado no monitor do
computador, como ficheiro pdf, com as referências associadas a “links” que
enviam, com possibilidade de retorno à origem, para os resultados citados.
Destacamos a seguir alguns pontos em que a nossa opção foi diferente
da tomada por Moïse e pelos autores portugueses atrás referidos.
Relativamente aos axiomas métricos, pareceu-nos pouco natural
(apesar de perfeitamente legítimo do ponto de vista formal) ser dada como noção
primitiva uma função distância que associa a cada par de pontos do espaço um
número real. A existência de uma tal função distância privilegiada corresponde à
ideia de uma unidade de medida dada a priori, quando é certo que a nossa
experiência geométrica nos diz que uma tal unidade não existe. Preferimos assim
tomar, em vez disso, como noção primitiva um conjunto “completo” de funções
distância, cada uma múltipla de qualquer outra, correspondendo às diferentes
unidades de medida que é possível escolher. Se é verdade que disso resultou
uma ligeira complicação para alguns enunciados, pareceu-nos ter ganho alguma
coisa na compreensão geométrica do espaço e, mais geralmente com o
estabelecimento de relações com a problemática dos diferentes tipos de grandeza
em Física. Em particular um comprimento não é um número real mas uma
família de números reais indexada no conjunto das funções distância, família que
deve verificar uma condição de homogeneidade natural, e torna-se evidente que
nunca pode ter significado geométrico, por exemplo, um resultado que afirme a
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