Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres - Arquivo Escolar

e daqui deduzimos, pelo axioma LAL, que os triângulos ÐEßQß\Ñ e
Û Û Û Û
ÐFß Qß \Ñ são congruentes, e portanto . ÐÖQEß Q\×Ñ œ . ÐÖQ\ß QF×Ñ.
Û Û Û Û
Uma vez que ÖQEßQ\× e ÖQ\ßQF× são ângulos adjacentes, e portanto
Û Û Û Û Û Û
. ÐÖQEßQ\×Ñ. ÐÖQ\ßQF×Ñœ # , segue-se que . ÐÖQEßQ\×Ñœ " ,
e portanto Q\ é a recta = , em particular \ − = .
4.28 (Perpendicular por um ponto exterior) Sejam < uma recta e \ Â < .
Existe então um, e um só, ponto E−< tal que a recta \Eseja
perpendicular
à recta < (dizemos que E é o pé da perpendicular de \ para < ).
Dem: Comecemos por provar a unicidade, para o que supomos que existiam
E Á F em < tais que as rectas \E e \F fossem ambas perpendiculares a < .
w w
Considerando o triângulo ÐEß\ßFÑ, vinha assim . ÐE Ñœ . ÐF Ñœ" , em
particular, a amplitude dos ângulos externos em F também era " , o que
contrariava o facto de essa amplitude dever ser maior que " , por 4.19.
Passemos agora à prova da existência.
O
Seja ! o plano que contém < e \ e fixemos um ponto S − < , podendo já
supor-se que a recta \S não é perpendicular a < , sem o que se tomava
EœS . Seja < uma das semirrectas de < de origem S.
Tendo em conta o
axioma a) em 3.17 , notando ! o semiplano de ! de bordo < que contém \ e
! o semiplano oposto, existe uma semirrecta = de origem S,
contida em
!, com =Á< , tal que
. . Û
ÐÖ= ß < ×Ñœ ÐÖS\ß < ×Ñ.
Tendo em conta a alínea d) em 1.19 , podemos considerar ]−=tal
que
lS\l œ lS] l . Uma vez que \ß ] não pertencem a < e estão em semiplanos
Û Û
opostos de ! com bordo < , existe E − Ò\ß ] Ó < . Vem que E\ e E] são
semirrectas opostas da recta \] e daqui resulta, em particular, que E Á S,
Û Û
sem o que ÖS\ß< × e ÖS]ß< × œ Ö= ß< ×
eram ângulos adjacentes com a
mesma amplitude, portanto de amplitude " , contrariando a hipótese de \S
não ser perpendicular a < . Podemos agora considerar os triângulos ÐSßEß\Ñ
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X
A
Y
s +
r