Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres - Arquivo Escolar

1.12 (Mudança de sistema de coordenadas I) Sejam 0À< Ä ‘ um . -sistema
de coordenadas. Tem-se então:
a) Se - − ‘ Ï Ö!× , então a bijecção 1À < Ä ‘ definida por 1ÐT Ñ œ -0ÐT Ñ é
um Ðl-l .Ñ-sistema
de coordenadas com a mesma origem. Em particular, para
cada s.− Y,
a recta < admite um s.
-sistema de coordenadas.
b) Se + − ‘ , então a bijecção 2À < Ä ‘ definida por 2ÐTÑ œ 0ÐTÑ + é um
"
. -sistema de coordenadas com origem 0 Ð+Ñ.
Dem: a) De ser 0ÐSÑ œ ! , sai ainda 1ÐSÑ œ ! e vemos que
l1ÐUÑ 1ÐT Ñl œ l-Ð0ÐUÑ 0ÐT Ñl l-ll0ÐUÑ 0ÐT Ñl œ l-l .ÐT ß UÑ.
A última afirmação resulta de que qualquer s.−Y é da forma -. , para algum
-!.
" "
b) Tem-se 2Ð0 Ð+ÑÑ œ 0Ð0 Ð+ÑÑ + œ ! e
l2ÐUÑ2ÐTÑlœl0ÐUÑ+0ÐTÑ+lœl0ÐUÑ0ÐTÑlœ.ÐTßUÑ.
1.13 (Lema) Seja :‘ À Ä ‘ uma aplicação tal que : Ð!Ñ œ ! e que, quaisquer
que sejam Bß C − ‘ , l: ÐBÑ : ÐCÑl œ lB Cl. Tem-se então que ou : œ M. ‘
ou : œM.‘ .
Dem: Para cada B−‘ , vem
l: ÐBÑlœl: ÐBÑ: Ð!ÑlœlB!lœlBl,
e portanto, ou : ÐBÑœB ou : ÐBÑœB. É claro que, para Bœ! tem-se
simultaneamente : ÐBÑ œ B e : ÐBÑ œ B, pelo que, se não fosse : œ M.‘
nem : œM. ‘ , existiam BÁ! e CÁ! tais que : ÐBÑœB e : ÐCÑœC.
Podíamos então escrever
lBClœl: ÐBÑ: ÐCÑlœlBCl,
portanto, ou BCœBCou BCœCB; no primeiro caso vinha Cœ!
e no segundo vinha Bœ! , pelo que, em ambos os casos, chegámos a um
absurdo.
1.14 (Mudança de sistema de coordenadas II) Sejam