Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres - Arquivo Escolar

£ < Í nÖ= ß> × § nÖ= ß< × Í > § nÖ= ß< × Í > § קnÖ= ß< × , então > §nÖ= ß< ×
e, recipro-
camente, se > § nÖ= ß< × , ou > œ < ,
caso em que se tem trivialmente
nÖ= ß> קnÖ= ß< × , ou > Á< e então, aplicando 3.9 depois de
escolher V em > ÏÖS× , concluímos que
nÖ< ß = × œ nÖ< ß > × nÖ> ß = × ,
em particular nÖ= ß > × § nÖ= ß < ×
. Ficou assim provada a segunda
equivalência no enunciado. A terceira equivalência do enunciado é uma
consequência de que nÖ= ß < × œ § ! œ =< Û
.
A definição da relação £ implica trivialmente que ela é transitiva e que
verifica < £ < , para cada < . Por outro lado, se > £ < e < £ > ,
podemos concluir que nÖ= ß> קnÖ= ß< × e portanto, por 3.6,
< œ> .
Consideremos enfim < e > tais que não se tenha > £ < .
Tem-se assim
> § Î § § Á< (porque > § Á= (porque >Á= ). Podemos então
aplicar 3.10, depois de escolher V em > ÏÖS× , para deduzir que
nÖ= ß > × œ nÖ= ß < × nÖ< ß > × ,
em particular nÖ= ß< קnÖ= ß> × , ou seja, < £> .
3.12 (Corolário) Nas condições
anteriores, se notarmos £ a relação de ordem
w
total que se obtém no mesmo conjunto de semirrectas de origem S quando se
utiliza a semirrecta = no lugar de = , tem-se
w
> £ < Í < £ >
(as ordens totais são opostas uma da outra).
Dem: Por simetria dos papéis das semirrectas = e = ,
basta mostrarmos que,
w se > £ < , então < £ > . Ora, isso é evidente se > œ < e caso contrário,
vem > § § Î § œ < )
e
portanto não é > £ < , sendo assim < £ > .
3.13 (Os intervalos para a relação £ ) Seja = uma semirrecta de origem S e
contida num plano ! e escolhamos um dos semiplanos ! de ! cujo bordo é
a recta = que contém =e
consideremos a correspondente ordem total
definida em 3.11 no conjunto das semirrectas de origem S contidas em ! e
de recta continente distinta de = . Sejam, no referido conjunto, > £ < ,
com
> Á < . Seja ? uma semirrecta de origem S contida em ! e de recta
continente distinta de = . Tem-se então que ? § nÖ> ß< ×
se, e só se,
> £ ? £ < .
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