Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres - Arquivo Escolar

w w w
Dem: Tendo em conta 4.22 , tem-se . ÐE Ñ . ÐF Ñ Ÿ # . ÐG Ñ pelo que
tudo o que temos que reparar é que #. ÐGÑ é precisamente a amplitude
w
dos ângulos externos de vértice G.
4.25 (Maior lado e maior ângulo) Seja ÐEßFßGÑ um triângulo. Tem-se então
w w
que lEFl lEGl se, e só se, . ÐG Ñ . ÐF Ñ (a um lado maior opõe-se um
ângulo maior e reciprocamente).
Dem: Suponhamos que lEFl lEGl. Tendo em conta a alínea d) de 1.19,
podemos considerar H − ÒEß FÓ, distinto de E e de F, tal que lEFl œ lEGl.
B
D
Considerando agora o triângulo ÐEßHßGÑ, resulta de 4.16 que
Û Û Û Û
. ÐÖHEß HG×Ñ œ . ÐÖGEß GH×Ñ.
Û Û Û Û
Uma vez que HE e HF são semirrectas opostas de origem H, ÖHEß HG× é
um dos ângulos externos de vértice H do triângulo ÐFßHßGÑ, resulta de 4.19
que
w Û Û Û Û Û Û
. ÐF Ñ œ . ÐÖFHß FG×Ñ . ÐÖHEß HG×Ñ œ . ÐÖGEß GH×Ñ.
Por outro lado, a convexidade dos sectores angulares garante que
Û Û
H−nÖGEßGF× e portanto, como Fnão pertence às rectas GFe GEe
os
sectores angulares são cónicos relativamente ao respectivo vértice,
concluímos do axioma b) em 3.17 que
Û Û Û Û w
. ÐÖGEß GH×Ñ . ÐÖGEß GF×Ñ œ . ÐG Ñ,
w w
pelo que temos efectivamente . ÐF Ñ . ÐG Ñ.
w w
Suponhamos, reciprocamente, que . ÐF Ñ . ÐG Ñ.
Então não pode ser
lEFl lEGl, porque então, aplicando o anterior ao triângulo ÐEß Gß FÑ,
w w
vinha . ÐG Ñ . ÐF Ñ, nem pode ser lEFl œ lEGl, porque então, por 4.16,
w w
vinha . ÐG Ñ œ . ÐF Ñ. Concluímos assim que lEFl lEGl.
A
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C