Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres - Arquivo Escolar

Suponhamos agora que \−nÖ< ß> ×
, com \ÁS.
Tem-se então que a
Û w
semirrecta S\ intersecta ÒUß WÓ num ponto \ , que não é mais do que a
intersecção das rectas S\ e UT;
com efeito, isso é evidente nos casos em
w w
que \−< (então \ œU ) e em que \−> (então \ œW)
e, caso
contrário, temos uma consequência de b). Resulta daqui que se tem
w \ −ÒUßTÓœUT nÖ< ß= × (cf. a alínea a) de 3.5)
e daqui resulta que
Û w
\−nÖ< ß= × , uma vez que \−S\ e nÖ< ß= ×
é cónico relativamente
a S.
Û
Por simetria dos papéis de < e = , se \−nÖ= ß> ×
, com \ÁS, então S\
intersecta ÒT ß WÓ num ponto \ , que não é mais do que a intersecção das
w
rectas S\ e UT , e tem-se também \ − nÖ< ß = ×
.
O que vimos nos dois parágrafos anteriores, mostra que se \ÁS e
w
\−nÖ< ß> ×nÖ= ß> ×
, então a intersecção \ das rectas S\ e UTé
Û
simultaneamente a intersecção de S\ com ÒUß WÓ e com ÒTß WÓ,
sendo assim
w
Û
\ œ W , portanto \ − SW œ > .
Uma vez que S pertence a todos os sectores angulares envolvidos e à
semirrecta > , o que vimos até agora mostra que nÖ< ß> × § nÖ< ß= ×
,
que nÖ= ß > × § nÖ< ß = × , donde
nÖ< ß > × nÖ> ß = × § nÖ< ß = ×
e que nÖ< ß > × nÖ> ß = × § > ,
e podemos dizer que se tem mesmo
nÖ< ß > × nÖ> ß = × œ > , uma vez que > está contido nos dois sectores
angulares nÖ< ß > × e nÖ> ß = ×
.
Resta-nos mostrar que nÖ< ß = × § nÖ< ß > × nÖ> ß = ×
, para o que
consideramos \−nÖ< ß= ×
, que podemos já supor distinto de S.
Tem-se
Û w
então que a semirrecta S\ intersecta ÒUß T Ó num ponto \ , que não é mais
do que a intersecção das rectas S\ e UT;
com efeito, isso é evidente nos
w w
casos em que \−< (então \ œU ) e em que \−= (então \ œT)
e,
caso contrário, temos uma consequência de b). Uma vez que ÒUß T Ó œ
w w
ÒUß WÓ ÒWß T Ó , tem-se \ − ÒUß WÓ œ UW nÖ< ß > ×
ou \ − ÒWß T Ó œ
w w
WT nÖ> ß = × , em particular \ − nÖ< ß > × ou \ − nÖ> ß = ×
(cf. a
alínea a) de 3.5 ) e daqui resulta que \−nÖ< ß> × ou \−nÖ> ß= ×
, uma
Û w
vez que \−S\ e os sectores angulares são cónicos relativamente a S.
d) Uma vez que a semirrecta < está contida num dos semiplanos de ! tendo
> como bordo e a semirrecta = está contida no outro semiplano de ! com o
mesmo bordo e uma vez que, por 2.12 , a semirrecta = está contida no
semiplano de ! de bordo > distinto do que contém a semirrecta =,
segue-se
que < § >=
Û
. Por outro lado o facto de se ter > § nÖ< ß= × § =< Û
implica que =< Û œ=>
Û
, e portanto < §=>
Û
.
Tem-se assim
< § >=
Û
=>
Û
œ nÖ> ß= ×
e a outra inclusão resulta da simetria dos papéis de < e = .
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