Aula 9 – Intervalo de confiança para a média - AEDBEst

Essa última expressão é o intervalo de confiança para a média μ de uma população normal com variância
desconhecida.
Intervalo de confiança para a média da N(μ; σ 2 ) −σ 2 desconhecida
Seja X1, X2, . . . ,Xn uma amostra aleatória simples de uma população X ∼N (μ; σ 2 ) . O intervalo de
confiança para μ de nível de confiança 1 − α é
onde tn−1; /2 é o valor crítico da distribuição t -Student com n−1 graus de liberdade que deixa área α/2 acima dele.
Margem de erro
Note, mais uma vez, a forma do intervalo de confiança: , onde a margem de erro , agora, é definida em
termos do valor crítico da distribuição t e do erro padrão estimado de X :
Amostras grandes
Onde:
Vimos que, para populações normais, a distribuição exata da estatística Mas
vimos também que, quando o número de graus de liberdade é grande, a diferença entre as distribuições t e N(0; 1)
tornam-se desprezíveis.
Por outro lado, se a população não é normal, mas tem média μ e variância σ 2 , o teorema central do limite nos diz
que a distribuição de se aproxima de uma N(0; 1)à medida que n → ∞. Pode-se mostrar que esse
resultado continua valendo se substituímos σ por seu estimador S. A conclusão dessas duas observações é a
seguinte:
Dada uma amostra aleatória simples X1,X2, . . . ,X onde uma população X com média μe variância σ 2 , então
nível de confiança 1 − αpara μ é
para n suficientemente grande. Nesse caso, o intervalo de confiança aproximado de
Exemplos
1. De uma população normal com média e variância desconhecidas, extrai-se uma amostra de tamanho 15 obtendose
x = 12 e s2 = 49. Obtenha um intervalo de confiança para a verdadeira média populacional, utilizando o nível de
confiança de 95%.
Solução
Os seguintes requisitos para o IC para μ são satisfeitos: a população é normal e a amostra é pequena. Dessa forma,
temos que usar a distribui ção t com n − 1 = 14 graus de liberdade. Como o nível de confiança é de 95%, em cada
cauda da distribuição temos que ter 2,5%. Assim, devemos procurar a abscissa t14;0,025 procurando na linha
correspondente a 14 graus de liberdade e na coluna correspondente à área de 0,025. Encontramos t14;0,025= 2,145
Página 6 de 13