1 Econometria - Danielle Carusi Machado

Econometria 

1. Propriedades assintóticas dos estimadores MQO 

(continuação) 

2. Inferência – grandes amostras 

Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 

2/2009 

Uma extensão do Teorema de 

Slutsky 

d 

Se x n x (Xn tem uma distribuição limite) e θ é uma constante tal 

⎯→ ⎯ 

d 

que g ( x n , θθθθ ) ⎯⎯→ 

g (gn tem uma distribuição limite que é função de θ), 

d 

e p limy n = θθθθ temos que: g ( x n , y n ) ⎯⎯→ 

g 

Ou seja, substituir o θ por um estimador consistente leva a mesma 

distribuição limite. 


2/2009 

Teorema do Limite Central 

Descreve o comportamento de uma variável 

aleatória que envolve soma de variáveis 

“Tendência para a normalidade.” 

A média de uma amostra aleatória de qualquer 

população (com variância finita), quando 

padronizada, tem uma distribuição normal 

padrão assintótica. 


2/2009 

Teorema de Slutsky para Variáveis 

Aleatórias 

d 

X 

Se n X 

, e se g(Xn) é uma função continua com derivadas 

⎯→ ⎯ 

contínuas e que não depende de n, temos que : 

Exemplo: 

d 

g ( X n ) g ( X ) ⎯→ ⎯ 

t-student converge para uma normal padrão. 

Quadrado de uma t-student converge para uma qui-quadrada. 


2/2009 

Aplicação do Teorema de Slutsky 

Comportamento da estatística F para testar restrições em grandes amostras: 

* * 

2 

* * 

( e ´ e − e´ 

e) 

⎫ d χχχχ J 

( e ´ e − e´ 

e ) 

2 ⎬ ⎯⎯→ 

J 

σσσσ J J 

F = 

= 

⎭ 

e´ 

e 

( ) e´ 

e 

⎫ p 

n − k 

2 ⎬ ⎯⎯→1 

σσσσ ( n − k ) ⎭ 

d 2 

JF ⎯⎯→ 

χχχχ J 


2/2009 


Teorema Lindeberg-Levy (versão simples do TLC): 

Se x 1 , x 2 , … , x n é uma amostra aleatória de uma população cuja 

distribuição de probabilidade tem média µ e variância finita 

n 

1 

n ∑ i 

n 

i = 1 

igual a σ2 e x = x temos que: 


2/2009 

x n − μμμμ d 

n ⎯⎯→ 

N ( 0, 

1) 

σσσσ 

Se p lims 

n= 

σσσσ : 

x n − μμμμ d 

n ⎯⎯→ 

N ( 0, 

1) 

sn 

1


Teorema Lindeberg-Feller : 

Suponha que { } , i = 1,..., 

n é uma sequência de variáveis aleatórias 

x i 

independentes com média µ i e variâncias positivas finitas σ2 i 

1 

μμμμ n = ( μμμμ 1 + μμμμ 2 + μμμμ 3 + ... + μμμμ n ) 

n 

2 1 

σσσσ n = ( σσσσ 1 + σσσσ 2 + σσσσ 3 + ... + σσσσ n ) 

n 

n 

d 

2 

( x − μμμμ ) ⎯⎯→N 

( 0, 

σσσσ ) 

n 

n 


2/2009 

Distribuição assintótica 

Uma distribuição assintótica é uma distribuição usada para a 

aproximar a verdadeira distribuição de amostra finita de uma variável 

aleatória. 

Construída a partir da distribuição limite da função de uma variável 

aleatória. 

Se 

é assintoticamente normalmente distribuído 

com média µ e variância σ2 ⎛ x n − μμμμ ⎞ d 

n ⎜ ⎟ ⎯⎯→ 

N ( 0, 

1) 

⎝ σσσσ ⎠ 

2 

x n ~ N ( μμμμ , σσσσ ) 

n 

/n. 


2/2009 

Eficiência assintótica 

Exemplo: Amostra aleatória de uma distribuição 

normal, 

A média amostral é assintoticamente normal com 

[µ,σ 2 /n] 

Mediana é assintoticamente normal com 

[µ,(π/2)σ 2 /n] 

Média é assintoticamente mais eficiente. 


2/2009 

Lindberg-Levy vs. Lindeberg-Feller 

Lindeberg-Levy assume amostra aleatória – observações 

possuem as mesmas média e variância. 

Lindeberg-Feller – a variância pode ser diferente entre as 

observações, apenas com hipóteses de como elas variam. 

Soma de variáveis aleatórias, independente da sua 

distribuição, tenderão a ser normalmente distribuídas. E, 

mais, Lindeberg-Feller não requere que as variáveis na soma 

venham da mesma distribuição de probabilidade. 

Estimadores em econometria – uso da versão Lindeberg-Feller 

do TLC. 


2/2009 


Comparação de variâncias assintóticas 

Como comparamos estimadores consistentes? Se 

convergem para constante, ambas variâncias vão para zero. 

ˆ d 

n ( θθθθ n −θθθθ ) ⎯⎯→N 

( 0, 

V ) 

Eficiência assintótica: Um estimador θθθθˆ 

n é assintoticamente 

normal, este estimador é eficiente assintoticamente se a 

matriz de covariância de qq outro estimador consistente e 

assintoticamente normal exceder (1/n)V por uma matriz 

definida não negativa. 


2/2009 

Propriedades assintóticas do EMQ 

A hipótese de normalidade não é necessária para 

derivarmos as propriedades assintóticas. 

Hipóteses: Convergência de X′X/n para uma 

matriz Q positiva definida. 

Convergência de X’ε/n para 0. Suficiente para a 

consistência. 

Hipóteses: Convergência de (1/√n)X’ε para um 

vetor com distribuição normal – normalidade 

assintótica. 


2/2009 

2

EMQ 

EMQ pode ser escrito da seguinte forma: 

(X′X) -1 X′y = (X′X) -1 Σ ix iy i 

= β + (X′X) -1 Σ ix iε i 

Um vetor de constantes mais um vetor de variáveis 

aleatórias. 

Os resultados para a amostra finita são estabelecidos 

conforme regras estatísticas para esta soma. 

Como esta soma de variáveis se comporta em grandes 

amostras? 


2/2009 

Convergência em média quadrática 

E[b|X]=β para qualquer X. 

Var[b|X]0 para um X específico 

b converge para β 

b é consistente 


2/2009 

Limite de probabilidade 

Devemos encontrar o plim do último termo: 

⎛ X ' εεεε ⎞ 

p lim⎜ 

⎟ 

⎝ n ⎠ 

n 

n 

X ' εεεε 1 

1 

= x i i w i w 

n n ∑ εεεε = 

n ∑ = 

i = 1 

i = 1 

−1 

p limb 

= ββββ + Q p limw 

Para isto, devemos formular algumas hipóteses. 


2/2009 

We use 'convergence in mean square. Adequate for 

almost all problems, not adequate for some time 


series problems. 

−1 

n 

∑i= 

1 i i 

⎛ 1 

⎜ 

⎝ n 

−1 

⎞ ⎛ 1 n 

⎟ × ⎜ ∑i= 

1 

⎠ ⎝ n 

⎞ 1 n 

iε i ⎟ × ∑i= 

1 

⎠ n 

i εi 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

b = β + ⎜ X'X ⎟ × ⎜ x ε ⎟ 

⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ 

⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

( b - β)( β)( b - β) β) ' = 

= X'X x ⎜ x ' ⎟ ⎜ X'X ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ n ⎠ 

−1 −1 

n n 

∑ ε ε 

2 i= 1∑ 

i i j ' 

j=1 

j 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

= ⎜ X'X ⎟ ⎜ x x ⎟ ⎜ X'X ⎟ 

⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ 

In E[( b - β)( β)( b - β) 

β) ' | X] 

in the double sum, terms with unequal 

subscripts have expectation zero. 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 n 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

E[( b - β)( β)( b - β) 

β) ' | X] = ⎜ X'X ⎟ ⎜ ∑ x ε 

= ix 2 i 1 j 'E[ i | X] ⎟ ⎜ X'X ⎟ 

⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ 

−1 

−1 −1 

2 −1 −1 2 

−1 

σ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ σ ⎛ 1 ⎞ 

= ⎜ X'X ⎟ ⎜ X'X ⎟ ⎜ X'X ⎟ = ⎜ X'X 

n 

⎟ 

⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ n ⎝ n ⎠ 


2/2009 


−1 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 n ⎞ 

b = β + ⎜ X'X ⎟ × ⎜ ∑ x ε 

i= 1 i i ⎟ 

⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ 

−1 −1 

n 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

b - β β = ⎜ X'X ⎟ × ⎜ ∑ x ε = 

i= 1 i i ⎟ ⎜ X'X ⎟ ⎜ X'ε 

ε 

⎟ 

⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ 

−1 

⎡ ⎤ 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

P lim( b - ββ β β) = plim ⎢⎜ X'X ⎟ ⎜ X' ε 

ε⎟⎥ 

⎢⎣ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠⎥⎦ 

−1 

−1 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ 

= plim ⎜ X'X ⎟ plim ⎜ X'ε ⎟ = plim X'X 

⎝ n ⎠ ⎝ n 

⎢ ⎜ 

⎠ ⎝ n 

⎟⎥ plim ⎜ X'ε 

⎟ 

⎣ ⎠⎦ ⎝ n ⎠ 

−1 

⎛ 1 ⎞ 

= Q plim ⎜ X'ε⎟ 

assuming well behaved regressors. A inversa é uma 

⎝ n ⎠ 

função contínua 

⎛ 1 ⎞ 

What must be assumed to get plim Este 

⎜ 

plim X'εdeverá ⎟ = 0 ? ser zero da matriz 

⎝ n ⎠ 

original. 


2/2009 

Hipótese crucial do modelo 

O que devemos assumir para que plim(1/nX’ε)=0? 

1) x i = vetor aleatório com média e variâncias finitas e com 

distribuições idênticas. 

2) ε i = variável aleatória com uma distribuição constante com 

média e variância finitas e E(ε i)=0 

3) x i e ε i são estatisticamente independentes. w i = x iε i = uma 

observação em uma amostra aleatória, com matriz de 

covariância constante e o vetor de média igual a zero. 

1 

converge para sua esperança. 

∑w i 

n 


2/2009 

3


Pela hipótese de exogeneidade e pela lei das 

expectativas iteradas: 

⎡ 

( ) 

⎛w 

⎤ ⎡ 

⎤ 

= 

i ⎞ ⎛ x 

= 

i εεεε 

E w 

i ⎞ 

i E x ⎢E 

⎜ ⎟⎥ 

E x ⎢E 

⎜ ⎟⎥ 

⎣ ⎝ x i ⎠⎦ 

⎣ ⎝ x i ⎠⎦ 

⎡ 

⎤ 

= E 

⎛ i ⎞ 

x ⎢x 

i E 

εεεε 

⎜ ⎟⎥ 

= 0 

⎣ ⎝ x i ⎠⎦ 

Desta forma a expectativa 

exata E ( w ) = 0 

∑ 

∑ 

1 

1 

1 

E ( w ) = E ( w i ) = E ( w i ) = E ( w i ) = 0 

n n 

n 

i = 1 

i = 1 

i = 1 

Substituindo 

(2) em (1) : 


2/2009 

∑ 


[ var( 

w ) ] 

⎡⎛ 

2 

σσσσ ⎞ ⎤ ⎛ 2 

σσσσ ⎞ ⎡⎛ 

⎞⎤ 

⎢⎜ 

⎟⎛ 

X ' X ⎞ 

⎥ = ⎜ ⎟ X ' X 

var( w ) = E 

= E ⎜ ⎟ E ⎢⎜ 

⎟ 

X 

⎜ ⎟ 

⎥ 

⎢⎜ 

⎟ 

⎣⎝ 

n 

⎠⎝ 

n ⎠⎥ 

⎦ ⎝ 

n 

⎠ ⎣⎝ 

n ⎠⎦ 

A variância 

irá para zero se a esperança entre parênteses convergir para 

uma matriz constante. A hipótese de que plim (X' X/n) converge para Q será 

suficiente. 

lim var( w ) = 0. 

Q = 0 

n → ∞ 

Como a médiaw 

é zero e sua variância converge para zero, w converge em média 

quadrática para zero, desta forma : 

X ' εεεε 

plim = 0 

n 

−1 p limb 

= ββββ + Q . 0 = ββββ 

EMQ é consistente!! 


2/2009 

Resultados Assintóticos 

− ⎛ ⎞ 

+ × ⎜ ∑ ε 

= ⎟ 

⎝ ⎠ 

n 

1 1 

β Q x 

i 1 i i 

n 

Qual What a média is the desta mean variável of this aleatória? random vector? 

What is its variance? 

Qual sua variância? 

Do they 'converge' to something? We use 

Esta 

this 

soma 

method 

converge 

to 

para 

find 

algo? 

the probability 

Podemos achar 

limit. 

o 

limite de probabilidade. 

Qual What a distribuição is the asymptotic assintótica? distribution? 


2/2009 

var( 

= E 

var 


Pela decomposição da variância: 

w ) = E [ var( 

w ) ] + var[ 

E ( w ) ] 

X 

X 

[ var( 

w ) ] + 0 (1) 

Para 

calcular o primeiro termo usamos E 

( w ) = E [ ww 

'| 

X ] 

X 

1 

X 'E 

n 

X 

1 

n 

⎛ 2 

σσσσ ⎞⎛ 

X ' X ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 

n 

⎠⎝ 

n ⎠ 

[ εε εε εε εε'| 

X ] X = ⎜ ⎟⎜ 

⎟ (2) 


2/2009 

[ εε εε εε εε'| 

X ] 

2 

= σσσσ I 

⎡ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎤ 

= E ⎢ X ' εεεε ⎜ X ' εεεε ⎟'| 

X ⎥ = 

⎣n 

⎝ n ⎠ ⎦ 


−1 

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 n ⎞ 

b = β + ⎜ X'X ⎟ × ⎜ ∑ x ε 

i= 1 i i ⎟ 

⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ 

O comportamento The limiting behavior limite de of b é is o mesmo the same da as 

estatística that of the resultante statistic da that substituição results when da matriz the de 

momentos pelo seu limite. 

Examinamos moment matrix o comportamento is replaced da by seguinte its limit. soma We 

modificada: examine the behavior of the modified sum 

β 

β 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ n ⎠ 

− 

+ × ∑ ε 

= 

n 

1 

Q x 

i 1 i i 


2/2009 


b β em probabilidade. Como descrever esta 

distribuição? 

Não tem uma distribuição limite 

Variância b 0 

Como estabilizar a variância? Var[√n b] ~ σ 2 Q -1 

Mas, E[√n b]= √n β que diverge 

√n (b - β) é uma variável aleatória com média e 

variância finitas (transformação que estabiliza) 

b aproximadamente β +1/ √n vezes a variável 

aleatória. 


2/2009 

4

Distribuição limite 

√n (b - β) = √n (X’X) -1 X’ε 

= (X’X/n) -1 (X’ε/ √ n) 

No limite, isto é igual a (plim): 

Q -1 (X’ε/√ n) 

Q é uma matriz positiva definida. 

Comportamento depende da variável aleatória 

(X’ε/√ n) 

σσσσ 

= 

n 


2/2009 

Distribuição no limite: Normal 

Se 

var( x i εεεε i ) = σσσσ E ( x i x i ') 

= σσσσ Qi 

1 

1 

var( nw 

) = n var( w ) = n var( x i εεεε i ) = 

n ∑ n 

2 

2 

∑ 

Qi 

= σσσσ Qn 

2 

limσσσσ 

Qn 

= σσσσ Q 

{ εεεε } 

⎛ 

2 ⎞ 

1 

~ ⎜ − σσσσ 

b N ββββ , Q ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ 

n 

⎠ 

2 

d 

n ( b − ββββ ) ⎯⎯→ 

N 

2 


2/2009 

2 

∑ 


−1 

2 ( 0, 

Q σσσσ ) 

da normalidade 

dos distúrbios com consequência 

do TLC. 


2/2009 

var( x i εεεε i ) 

Teorema : Distribuição 

assintótica 

de b com observações 

independentes 

Se i são independentemente 

distribuídos 

com média zero e variância 

2 

finita σσσσ temos que : 

Resultado importante : normalidade 

assintótica 

do EMQ não depende 


1 

( ) X 'εεεε 

= n ( w − E ( w ) ) 

n 

Podemos usar a versão Lindeberg - Feller do TLC para obter 

a distribuição 

limite da variável aleatória acima. 

w é a média de n vetores aleatórios independentes 

: 

w i = x i εεεε i 

Estes vetores têm média zero e variância igual a : 

2 

2 

var( x i εεεε i ) = σσσσ E ( x i x i ') 

= σσσσ Qi 

{ x εεεε } 


2/2009 


Temos todos elementos para aplicarmos o TLC para o vetor 

− i i são vetores independentes 

distribuídos 

com média zero e 

2 

variância igual a σσσσ Qi 

. 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 ⎞ d 

⎟ 

2 

⎟ 

X 'εεεε 

⎯⎯→ 

N ( 0, 

σσσσ Q ) 

n ⎠ 

−1⎛ 

1 ⎞ d 

Q ⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

X 'εεεε 

⎯⎯→ 

⎝ n ⎠ 

d 

n ( b − ββββ ) ⎯⎯→ 

N 

−1 

−1 

2 −1 

N ( Q 0, 

Q σσσσ QQ ) 

−1 

2 ( 0, 

Q σσσσ ) 


2/2009 

Consistência de s 2 

2 1 1 n 1 

s = e'e = ε ε'M ε ε = = = ε ε'M ε 

ε 

n − K n − K n − K n 

n 

→ 1 

n − K 

2 1 ⎡1 1 

-1 ⎤ 

plim s = plim ε ε'M ε ε = = plim ⎢ ε ε' ε ε −− − ε ε'X( X'X) X' ε 

ε 

n ⎥ 

⎣n n 

⎦ 

1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 -1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

= = plim ε ε' ε ε − plim ⎜ ε ε'X ⎟ plim ⎜ ( X'X) ⎟plim n 

⎜ X' ε 

ε⎟ 

⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ 

1 

-1 

= = plim ε ε' ε ε − 

− 0'Q 0 

n 

1 

2 2 

What must be assumed 

to claim plim = E[ ε ] = σ ? 

n ' εε ε εε 

ε 


2/2009 

n ( w ) : 

5

Consistência de s 2 

2 X ' X −1 

2 −1 

p lims 

( ) = σσσσ Q 

n 

2 

σσσσ −1 

var b = Q 

n 

2 −1 

est var b = s ( X ' X ) 


2/2009 

Econometria 

1. Propriedades assintóticas dos estimadores MQO 

(continuação) 

2. Inferência – grandes amostras 


2/2009 

Estatística de Wald 

Abordagem geral considerando uma distribuição univariada 

Quadrado de uma variável normal padrão qui-quadrada com 1 grau 

de liberdade. 

Suponha z ~ N[0,σ 2 ] , desta forma (z/σ) 2 é uma qui-quadrada com 1 

gl. 

Suponha z~N[μ,σ 2 ]. 

[(z - μ)/σ] 2 é uma qui-quadrada com 1 gl. Esta é a distância 

normalizada entre z e μ, onde a distância é medida em unidades 

de desvios padrão. 

Suponha z n não é exatamente normalmente distribuída, mas (1) E[z n] 

= μ, (2) Var[z n] = σ 2 , (3) a distribuição limite de z n é normal. 

(z n - μ)/σ N[0,1], que é uma distribuição limite , não é uma 

distribuição exata em uma amostra finita. 


2/2009 


Um estimador é assintoticamente eficiente se é 

consistente, assintoticamente normalmente distribuído, e 

tem uma matriz de covariância que não é maior que uma 

matriz de covariância de qualquer outro estimador 

consistente e com distribuição assintótica normal. 


2/2009 

Estatísticas de testes 

Como estabelecemos a distribuição assintótica de b, 

podemos construir estatísticas de testes. Baseamos os 

testes na estatística de Wald. 

F[J,n-K] = (1/J)(Rb - q)’[R s 2 (X′X) -1 R′] -1 (Rb - q) 

Esta é a estatística de teste usual para testar hipóteses 

lineares no modelo de regressão linear, seguindo uma 

distribuição F exata se os erros são normalmente 

distribuídos. 

Qual o resultado mais geral? Quando não se assume 

normalidade. 


2/2009 

Extensões 

Logo: 

τ n 2 = [(zn - μ)/σ] 2 {N[0,1]} 2 , ou χ 2 [1]. 

Novamente, uma distribuição limite, não é uma distribuição exata. 

Suponha σ desconhecido, e substituímos σ por um estimador 

consistente para σ, ou seja s n, tal que plim s n = σ. 

O que acontece com este “análogo empírico”? 

t n = [(z n - μ)/s n]? 

Como plim s n = σ, o comportamento desta estatística em uma grande 

amostra será igual ao comportamento da estatística original 

usando σ ao invés de s n. 

t n 2 = [(zn - μ)/s n] 2 converge para uma qui-quadrada[1]. 

t n e τ n convergem para a mesma variável aleatória. 


2/2009 

6

Forma Quadrática 

Se um vetor aleatório x (dimensão k) 

tem uma distribuição normal multivariada com 

vetor de média igual a μ e matriz covariância 

igual a Σ, a variável aleatória W = (x - μ)′Σ ′Σ - 

1 (x - μ) tem uma distribuição qui-quadrada 

com K graus de liberdade.. 

Construindo a estatística de teste 

Wald 

Suponha que a hipótese de normalidade 

permanece, mas ao invés de termos a matriz 

de parâmetros Σ usamos a matriz S n que é 

consistente (plim S n = Σ). 

O resultado exato da qui-quadrada não se aplica, 

mas a distribuição limite é a mesma se 

usarmos Σ. 

Resultado geral para a distância de 

Wald 

Medida de distância de Wald: Se plim x n = μ, x n é 

assintoticamente normalmente distribuído 

com média μ e variância Σ, e se S n é um 

estimador consistente para Σ, a estatística de 

Wald, que é uma medida de distância 

generalizada converge para uma qui-quadrada 

(x n - μ) ′S n -1 (xn - μ) χ 2 [K] 

Prova 

Σ1/2 é uma matriz tal que: 

Σ1/2 × Σ1/2 = Σ. Logo, V = (Σ1/2 ) -1 é a inversa da raiz 

quadrada, tal que V × V = Σ-1/2 Σ-1/2 = Σ-1 . 

Se z = (x - μ). O z tem média 0, matriz covariância Σ, e distribuição 

normal. 

O vetor aleatório w = Vz tem média V0 = 0 e matriz covariância VΣV′ 

= I. 

w tem uma distribuição normal com´média 0 e matriz covariância I. 

w′w = Σ 2 

kwk onde cada elemento é o quadrado de uma normal 

padrão, logo uma qui-quadrada(1). A soma de qui-quadradas é 

igual a uma qui-quadrada, logo: 

w′w = (x - μ) ′Σ -1 (x - μ). 

Estatística de Wald 

Suponha que a estatística é construída com um x que não 

tem uma distribuição normal exata, mas com x n que 

tem distribuição normal limite. 

(x n - μ) ′S n -1 (xn - μ) χ 2 [K] 

Nada depende da distribuição normal. Usamos a 

consistência de (S n) e TLC para x n. 

A estatística F 

H0: Rβ - q = 0 

F[J, n-K] = [(e*’e* - e’e)/J] / [e’e / (n-K)] 

F[J,n-K] = (1/J) × (Rb n - q)′[R s 2 (X′X) -1 R’] -1 (Rb n - q). 

Onde m = (Rb n - q). Sob Ho, plim m=0. 

√n m N[0, R(σ 2 /n)Q -1 R’] 

Var estimada : R(s 2 /n)(X’X/n) -1 R’] 

(√n m )’ [Est.Var(√n m)] -1 (√n m ) 

Se plim b n = β, plim s 2 = σ 2 , 

JF[J,n-K] χ2[J]. 

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1 Econometria - Danielle Carusi Machado

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