1 Econometria - Danielle Carusi Machado

1. Modelo Restrito (giz)
2. Formas funcionais
Econometria
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria
2/2010
Variáveis binárias numa regressão
Variáveis binárias ou dummy:
-valor 1 para algumas observações (efeito ou pertencem a algum grupo) e zero para
observações restantes.
-Deslocamentos discretos de uma função dentro do modelo de regressão.
- Efeito tratamento
- Exemplos: efeito da universidade nos ganhos ao longo da vida, diferenças de sexo no
comportamento da oferta de trabalho, etc.
- Exemplo: vários estados para 10 anos.
Diversos grupos
• Variáveis binárias
Formas funcionais
• Não linearidade nas variáveis
• Modelagem e teste de mudança estrutural
• Viés variável omitida
-Conjunto de variáveis binárias
Diversas categorias
Exemplo: dummies para correção de fatores sazonais
-Armadilha da variável dummy
-Exemplo: níveis educacionais
Fatores qualitativos
Variável discreta: 0 – sem escolaridade (SE), 1 – Fundamental (F), 2 – Médio (M), 3 –
Superior (S).
O que acontece???
Modelo mais flexível (mais alto nível alcançado)
Fazer esperança condicional: E(renda/idade, SE), E(renda/idade, F), E(renda/idade, M),
E(renda/idade, S)
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Regressão “Spline”
- Dados cross section para indivíduos de diversas idades: alguns padrões são específicos
para determinadas faixas etárias.
- 18 anos: fim do ensino médio
- 22 anos: fim da faculdade.
-Amostra pode ser dividida em 3 grupos.
Formas funcionais
Termos de interação
Exemplos
Econometria
1. Propriedades assintóticas dos estimadores MQO
(continuação)
4. Inferência – grandes amostras
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria
2/2009
Não linearidade de variáveis
- O modelo de regressão deverá ser escrito de uma forma mais geral.
um conjunto de funções linearmente independentes de z.
Seja g(y) uma função do y observado, o modelo de regressão nesta forma geral é:
Como é o modelo de regressão linear??
Viés de omissão de variável
relevante
Substitui o y e ache o viés, que dependerá de X1’X2 e de
beta2.
Estatísticas de testes
Como estabelecemos a distribuição assintótica de b,
podemos construir estatísticas de testes. Baseamos os
testes na estatística de Wald.
F[J,n-K] = (1/J)(Rb - q)’[R s 2 (X′X) -1 R′] -1 (Rb - q)
Esta é a estatística de teste usual para testar hipóteses
lineares no modelo de regressão linear, seguindo uma
distribuição F exata se os erros são normalmente
distribuídos.
Qual o resultado mais geral? Quando não se assume
normalidade.
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria
2/2009
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Estatística de Wald
Abordagem geral considerando uma distribuição univariada
Quadrado de uma variável normal padrão qui-quadrada com 1 grau
de liberdade.
Suponha z ~ N[0,σ 2 ] , desta forma (z/σ) 2 é uma qui-quadrada com 1
gl.
Suponha z~N[μ,σ 2 ].
[(z - μ)/σ] 2 é uma qui-quadrada com 1 gl. Esta é a distância
normalizada entre z e μ, onde a distância é medida em unidades
de desvios padrão.
Suponha z n não é exatamente normalmente distribuída, mas (1) E[z n]
= μ, (2) Var[z n] = σ 2 , (3) a distribuição limite de z n é normal.
(z n - μ)/σ N[0,1], que é uma distribuição limite , não é uma
distribuição exata em uma amostra finita.
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria
2/2009
Forma Quadrática
Se um vetor aleatório x (dimensão k)
tem uma distribuição normal multivariada com
vetor de média igual a μ e matriz covariância
igual a Σ, a variável aleatória W = (x - μ)′Σ ′Σ -
1 (x - μ) tem uma distribuição qui-quadrada
com K graus de liberdade..
Construindo a estatística de teste
Wald
Suponha que a hipótese de normalidade
permanece, mas ao invés de termos a matriz
de parâmetros Σ usamos a matriz S n que é
consistente (plim S n = Σ).
O resultado exato da qui-quadrada não se aplica,
mas a distribuição limite é a mesma se
usarmos Σ.
Extensões
Logo:
τ n 2 = [(zn - μ)/σ] 2 {N[0,1]} 2 , ou χ 2 [1].
Novamente, uma distribuição limite, não é uma distribuição exata.
Suponha σ desconhecido, e substituímos σ por um estimador
consistente para σ, ou seja s n, tal que plim s n = σ.
O que acontece com este “análogo empírico”?
t n = [(z n - μ)/s n]?
Como plim s n = σ, o comportamento desta estatística em uma grande
amostra será igual ao comportamento da estatística original
usando σ ao invés de s n.
t n 2 = [(zn - μ)/s n] 2 converge para uma qui-quadrada[1].
t n e τ n convergem para a mesma variável aleatória.
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria
2/2009
Prova
Σ1/2 é uma matriz tal que:
Σ1/2 × Σ1/2 = Σ. Logo, V = (Σ1/2 ) -1 é a inversa da raiz
quadrada, tal que V × V = Σ-1/2 Σ-1/2 = Σ-1 .
Se z = (x - μ). O z tem média 0, matriz covariância Σ, e distribuição
normal.
O vetor aleatório w = Vz tem média V0 = 0 e matriz covariância VΣV′
= I.
w tem uma distribuição normal com´média 0 e matriz covariância I.
w′w = Σ 2
kwk onde cada elemento é o quadrado de uma normal
padrão, logo uma qui-quadrada(1). A soma de qui-quadradas é
igual a uma qui-quadrada, logo:
w′w = (x - μ) ′Σ -1 (x - μ).
Estatística de Wald
Suponha que a estatística é construída com um x que não
tem uma distribuição normal exata, mas com x n que
tem distribuição normal limite.
(x n - μ) ′S n -1 (xn - μ) χ 2 [K]
Nada depende da distribuição normal. Usamos a
consistência de (S n) e TLC para x n.
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Resultado geral para a distância de
Wald
Medida de distância de Wald: Se plim x n = μ, x n é
assintoticamente normalmente distribuído
com média μ e variância Σ, e se S n é um
estimador consistente para Σ, a estatística de
Wald, que é uma medida de distância
generalizada converge para uma qui-quadrada
(x n - μ) ′S n -1 (xn - μ) χ 2 [K]
A estatística F
H0: Rβ - q = 0
F[J, n-K] = [(e*’e* - e’e)/J] / [e’e / (n-K)]
F[J,n-K] = (1/J) × (Rb n - q)′[R s 2 (X′X) -1 R’] -1 (Rb n - q).
Onde m = (Rb n - q). Sob Ho, plim m=0.
√n m N[0, R(σ 2 /n)Q -1 R’]
Var estimada : R(s 2 /n)(X’X/n) -1 R’]
(√n m )’ [Est.Var(√n m)] -1 (√n m )
Se plim b n = β, plim s 2 = σ 2 ,
JF[J,n-K] χ2[J].
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