Tópicos Matriciais - Pedro Pantoja - Versão 1.0 - Rumo ao ITA

1. Traço de Matrizes.
Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN
Definição 1.1: O traço de uma matriz quadrada A a de ordem n é a soma dos
elementos da diagonal principal.
Em símbolos,
TrA a a a a .
Daqui em diante, A denotará uma matriz quadrada de ordem n, cujos elementos
são números reais. Esperamos que o leitor esteja familiarizado com as definições e
operações mais elementares sobre matrizes.
Exemplo 1.1: Considere a matriz n x n
A
cos x 0
0
0 cos 2x 0
0 0
0
0 0 cos nx
Assim, TrA cos x cos 2x cos nx /
/
Da definição 1.1 decorre o seguinte resultado:
Proposição 1.1: Sejam A e B , então
a) TrI n
b) TrA λ · B TrA λ · TrB , λ
c) TrA TrA
d) TrAB TrBA.
Prova:
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, para x 2kπ, k .
a) Claramente TrI 1 1 1 n.
b) Sejam A a e B b para todo 1 i, j n , então como λB multiplica
todos os elementos b da matriz B, teremos λ · TrB ∑ λb, assim
TrA λ · TrB ∑a λb TrA λ · B.
c) Quando fazemos a operação transposta de uma matriz A os elementos da
diagonal principal são os mesmos da matriz A, portanto TrA TrA.

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d) Sabemos que o i, j ésimo elemento da matriz AB é AB ,
Logo,
a b
TrAB a b b a TrBA.
Corolário 1.1: Sejam A , B e C matrizes simétricas, então TrABC
TrBAC TrCAB.
Prova:
É imediato, pela proposição 1.1, temos TrABC TrABC TrCAB
TrCAB TrB A C TrBAC, pois A, B e C são simétricas.
Corolário 1.2: O traço de uma matriz anti-simétrica é zero.
Prova:
Se A é uma matriz anti-simétrica, então A A TrA TrA TrA
TrA TrA TrA TrA 0.
Exercício Resolvido 1.1: (IME-80) Mostre que não existem matrizes quadradas A e B,
que verifiquem AB BA I , onde I é a matriz identidade de uma ordem n qualquer.
Solução:
Pela proposição 1.1 , TrAB BA TrAB TrBA 0, por outro lado,
TrI n , assim n 0 absurdo!
Portanto tais matrizes A e B não existem.
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LEMA 1.1: (CAUCHY-SCHWARZ) Sejam a , a , … , a e b , b , … , b números reais
positivos. A seguinte desigualdade é verdadeira:
ab
a b .
Corolário 1.3: Sejam A e B matrizes diagonais. Então TrAB
TrA · TrB .
Prova:
a 0
0 a Sejam A
0
b 0
0
0 b e B
0 0 a 0
0
0 0 b Assim é fácil ver que
EXERCÍCIOS
TrAB ab
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a b TrA · TrB.
1) (ITA) Sejam A e B matrizes reais 3 x 3. Se TrA denota a soma dos elementos
da diagonal principal de A. Considere as afirmações:
(I) TrA TrA .
(II) Se A é inversível, então TrA 0.
(III) TrA λ · B TrA λ · TrB , para todo λ .
Temos que
a) Todas as afirmações são verdadeiras;
b) Todas as afirmações são falsas;
c) Apenas a afirmação (I) é verdadeira;
d) Apenas a afirmação (II) é falsa;
e) Apenas a afirmação (III) é falsa.

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2) (IME-09) Demonstre que a matriz
y
z xy
xy x z xz
yz
xz yz x y
Onde x, y, z , pode ser escrita como o quadrado de uma matriz simétrica, com
traço igual a zero, cujos elementos pertencem ao conjunto dos números naturais.
Obs.: Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal principal.
3)
1
Seja A
0
1
2 . Calcule TrA A A onde K .
4) (ITA-08) Seja A M uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos
são tais que a , a e a formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão
q 1 e TrA 5a . Sabendo-se que o sistema AX X admite solução não-nula
X M, pode-se afirmar que a q é igual a
a)
b)
2. Matrizes Ortogonais.
c) 5 d)
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e)
Definição 2.2: Dizemos que uma matriz quadrada A é ortogonal se A é inversível e
A A .
Proposição 2.1:
a) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.
b) O determinante de uma matriz ortogonal é 1 ou 1.
Prova:
a) Suponhamos que A e B sejam matrizes ortogonais, então A A e
B B , agora sabemos que se A e B são inversíveis AB também o é,
AB B A B A AB .
b) Se A A DetA DetA DetA DetA
DetA 1 DetA 1 ou DetA 1.

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cos θ
Exemplo 2.1: A matriz A
sin θ
sin θ
cos θ é ortogonal, de fato, AA
cos θ sin θ θ
· cos
sin θ
sin θ cos θ sin θ cos θ
cosθ sinθ cos θ sin θ cos θ sin θ
sin θ cos θ sin θ cosθ
sinθ cosθ Da mesma forma,
Portanto, A A .
AA 1 0
veriique!
0 1
A matriz A é conhecida como matriz de rotação do plano.
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1 0
0 1
Exercício resolvido 2.1: (ITA-91) Sejam M e B matrizes quadradas de ordem n tais que
M M B. Sabendo que M M , podemos afirmar que:
a) B é a matriz nula.
b) B 2I
c) B é simétrica
d) B é anti-simétrica
e) N.d.a.
Notações: M e M denotam, respectivamente, a matriz transposta de M e a
matriz inversa de M. Por I denotamos a matriz identidade de ordem n.
Solução:
Como M M ( M é ortogonal) temos que M M B B
M M M M M M B B B , isto é, B é antisimétrica.
Resposta: alternativa D.
Dizemos que uma matriz A é idempotente se A A.
Exercício resolvido 2.2: Mostre que para qualquer matriz simétrica e idempotente
A, a matriz I 2A é ortogonal.

Solução:
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Como A é simétrica e idempotente e . Note que 2
2 2 2 2 4 4 4 , í 2 0,
portanto 2 é inversível. Agora 2 2 2, logo
2 2 2 2 2 2 , assim 2
é ortogonal.
EXERCÍCIOS
1) Mostre que a matriz abaixo é ortogonal
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
2) (ITA-04) Se A é uma matriz real, considere as definições:
i) Uma matriz quadrada é ortogonal se e só se A for inversível e .
ii) Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se 0, para todo ,
1, … , , .
Determine toda as matrizes quadradas de ordem 3 que são, simultaneamente,
diagonais e ortogonais.
3) (ITA-08) Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e .
Determine todas as matrizes 2 x 2 que são simétricas e ortogonais, expressando-as
quando for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da diagonal principal.
4) (IME-01) Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando sua transposta
é igual a sua inversa. Considerando esta definição, determine se a matriz abaixo, é
uma matriz ortogonal, sabendo-se que n é um número inteiro e um ângulo qualquer.
Justifique sua resposta.
cos sin 0
sin
cos 0
0 0 1
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GABARITO
TRAÇO DE MATRIZES:
1) D
2) Demonstração
3)
4) A
MATRIZES ORTOGONAIS
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1) Demonstração
2)
com a, b, c ,
3)
,
, √
√ , √
√ com
4) Sim
REFERÊNCIAS:
[1] SALAHODDIN SHOKRANIAN, INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR, EDITORA UNB,
2004.
[2] ELON L. LIMA, ÁLGEBRA LINEAR, C. MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA, IMPA, 2009.
Para dúvidas e sugestões, entre em contato pelo email: p.pantoja@hotmail.com
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